Bài giảng Toán cao cấp A1 - Trần Bảo Ngọc

Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Bài giảng môn học
TOÁN CAO CẤP A1
ThS. Trần Bảo Ngọc
Bộ môn Toán, Khoa Khoa học
Trường Đại học Nông Lâm TP HCM
Học kỳ 1, Năm học 2013-2014
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Giới thiệu : Quy định môn học
Cách tính điểm kết thúc môn học
Điểm giữa kỳ : 30% điểm kết thúc môn học.
Điểm cuối kỳ : 70% điểm kết thúc môn học.
Sinh viên vắng từ 30% số tiết học sẽ nhận điểm 0 giữa kỳ
và trừ 3 điểm vào điểm kết thúc môn học.
Sinh viên sử dụng giáo trình photocopy sẽ nhận điểm 0
giữa kỳ.
Cấu trúc đề thi
Thời gian và cấu trúc đề thi giữa kỳ sẽ dặn dò trên lớp và trên
website.
12 cầu Trắc nghiệm × 0,5 điểm = 6,0 điểm.
2 câu Tự luận × 2,0 điểm = 4,0 điểm.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Giới thiệu : Quy định môn học
Giáo trình, bài giảng và tài liệu tham khảo
GT. Toán cao cấp A1, Ngô Thiện - Đặng Thành Danh.
BG. Toán cao cấp A1, Trần Bảo Ngọc.
Các tài liệu tham khảo thêm sẽ được post lên website.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Giới thiệu : Nội dung chính của môn học
Chương 1. Hàm số, Giới hạn và Liên tục.
Chương 2. Đạo hàm và vi phân.
Chương 3. Tích phân bất định, Tích phân xác định và Ứng
dụng của tích phân xác định.
Chương 4. Chuỗi số.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Chương 1.
Hàm số, Giới hạn và Liên tục
"Trên bước đường thành công, không có
dấu chân của kẻ lười biếng."
Ngạn ngữ phương Đông.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.1. Các hàm số thực quan trọng
Các hàm số sơ cấp ở bậc THPT
Hàm lũy thừa
Ví dụ : x5, x−2 := 1
x2
, x
2
3 :=
3√x2,. . .
Hàm mũ và logarit
Ví dụ :
5x , 2−x :=
1
2x
, 32x = (3x)2 = 9x , 3x = ex ln 3,. . .
Hàm lượng giác
Ví dụ : sin x , cos x , tan x , cot x .
Hàm lũy thừa, mũ, logarit và lượng giác được gọi là các hàm sơ
cấp cơ bản. Hàm số sơ cấp tổng quát là hàm thu được
bằng cách lấy tổng, hiệu, tích, thương, hợp của các hàm
sơ cấp cơ bản.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.1. Các hàm số thực quan trọng
Đường tròn lượng giác và các trục lượng giác
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.1. Các hàm số thực quan trọng
Bổ sung các hàm số lượng giác ngược
1 y = arcsin x ⇐⇒

−1 ≤ x ≤ 1
−pi
2
≤ y ≤ pi
2
x = sin y
2 y = arccos x ⇐⇒

−1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ pi
x = cos y
3 y = arctan x ⇐⇒

x ∈ R
−pi
2
< y < pi
2
x = tan y
4 y = arccot x ⇐⇒

x ∈ R
0 < y < pi
x = cot y
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.2. Giới hạn hàm số
Các định nghĩa giới hạn và tính chất có thể xem trong giáo trình
(đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn mạnh :
Các quá trình (được xét trong môn Toán B1)
Ba quá trình thường gặp : x → a, x → −∞, x →∞. Ứng với 3
quá trình đó, ta thường xét các giới hạn ở dạng :
lim
x→a f (x), limx→−∞ f (x), limx→∞ f (x).
Các dạng vô định thường gặp
0
0
,
∞
∞ , ∞−∞, 0.∞, 0
0 và 1∞.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.3. Các định lý và hệ quả
Định lý 1
1 lim
x→0
sin x
x = 1.
2 lim
x→0
ln (1 + x)
x = 1.
3 lim
x→0
ex − 1
x = 1.
Định lý 2
lim [u(x)]v(x) ( có dạng 1∞) = elim[u(x)−1].v(x).
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.3. Các định lý và hệ quả
Hệ quả của định lý 1
1 lim
x→0
tanax
x = a
2 lim
x→0
1− cosax
x2
=
a2
2
.
Hệ quả của định lý 2
1 lim
x→0
(1 + x)
1
x = e và lim
x→0
(1− x) 1x = 1e .
2 lim
x→∞ (1 +
1
x )
x = e và lim
x→∞ (1−
1
x )
x =
1
e .
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.3. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
a) Định nghĩa
Hàm α(x) được gọi là VCB trong một quá trình nào đó nếu
limα(x) = 0 trong quá trình đó.
Ví dụ 1 : x , sin x , arcsin x , tan x , arctan x , xα (α > 0) là các
VCB xét trong quá trình x → 0.
Ví dụ 2 : ,
1
xα (α > 0), q
x (|q| < 1) là các VCB xét trong quá
trình x → +∞.
b) Tính chất
limα(x) = L⇐⇒ {α(x)− L} là một VCB.
Nếu α(x) là một VCB và |β(x)| ≤ M thì α(x).β(x) là một
VCB.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.3. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
c) So sánh hai VCB trong cùng quá trình
Nếu lim
α(x)
β(x) = 0 thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x).
Nếu lim
α(x)
β(x) = k thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB cùng cấp.
Đặc biệt nếu k = 1 thì α(x) và β(x) gọi là hai VCB tương
đương. Kí hiệu α(x) ∼ β(x).
Chú ý
Nếu α(x) là một VCB bậc cao hơn β(x) thì α(x) + β(x) ∼ β(x).
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.3. Khái niệm vô cùng bé (VCB)
d) Quá trình u → 0 và VCB tương đương thường gặp
sinu ∼ arcsinu ∼ tanu ∼ arctanu ∼ u.
1− cosu ∼ u
2
2
.
ln (1 + u) ∼ (eu − 1) ∼ u.
e) Dạng vô định
0
0
và VCB tương đương
Nếu α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) thì
lim
α(x)
β(x) = lim
α(x)
β(x)
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.4. Sự liên tục của hàm số
Nhắc lại
Nếu lim
x→a−
f (x) = lim
x→a+
f (x) = L thì
lim
x→a f (x) tồn tại và limx→a f (x) = L.
a) Định nghĩa
Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a nếu{
i) f (a) xác định và
ii) lim
x→a f (x) = f (a).
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
1.4. Sự liên tục của hàm số
b) Điểm gián đoạn
Giá trị x = a được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f (x)
nếu ít nhất một trong các dấu hiệu sau xảy ra
f (a) không xác định.
lim
x→a f (x) không tồn tại.
lim
x→a f (x) 6= f (a).
Chú ý
Ta phân loại điểm gián đoạn thành 2 loại (tham khảo giáo
trình). Các khái niệm hàm số liên tục trên một khoảng cũng như
các tính chất cơ bản của hàm liên tục có thể xem trong giáo
trình (tr. 32-34).
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Chương 2.
Đạo hàm và vi phân
"Ngủ dậy muộn thi phí mất cả ngày, ở tuổi
thanh niên mà không học tập thì phí mất cả
cuộc đời."
Ngạn ngữ phương Đông.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.1. Đạo hàm
Các định nghĩa đạo hàm, bảng công thức đạo hàm của các
hàm sơ cấp cơ bản và cũng như đạo hàm hàm hợp có thể
xem trong giáo trình (đã học ở cấp THPT). Ở đây ta nhấn
mạnh :
Đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược
(arcsin x)′ = 1√
1− x2 , (arccos x)
′ =
−1√
1− x2
(arctan x)′ = 1
1 + x2
, (arccot x)′ = −1
1 + x2
Đạo hàm cấp cao y(n) =
[
y(n−1)
]′
Đạo hàm cấp cao của một tích : (f .g)(n) =
n∑
k=0
Ckn f (n)g(n−k).
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.1. Đạo hàm
Đạo hàm cấp cao hàm lượng giác
(sin x)(n) = sin
(
x + npi
2
)
(cos x)(n) = cos
(
x + npi
2
)
Đạo hàm cấp cao hàm lũy thừa và mũ
(xex)(n) = (n + x)ex .(
1
ax + b
)(n)
=
(−a)nn!
(ax + b)n+1
.
[ln (ax + b)](n) =
(
a
ax + b
)(n−1)
= a
(
1
ax + b
)(n−1)
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.2. Vi phân và ứng dụng
Cho hàm số y = f (x) xác định tại x0. Gọi ∆x là số gia theo
hoành độ tại x0. Đặt
∆f = f (x0 + ∆x)− f (x0).
Định nghĩa
Nếu ∆f = A.∆x + α(∆x) với A là hằng số, α(∆x) là một VCB
bậc cao hơn ∆x xét trong quá trình ∆x → 0 thì ta nói :
Hàm số y = f (x) khả vi tại x0.
Biểu thức A.∆x là vi phân của hàm số y = f (x) tại x0. Ký
hiệu df (x0) = A.∆x .
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.2. Vi phân và ứng dụng
Định lý cơ bản về vi phân
Cho hàm số y = f (x) khả vi tại x0. Khi đó hàm số y = f (x) khả
vi tại x0, hơn nữa :
df (x0) = f ′(x0).∆x .
dx = ∆x .
Hệ quả - Ứng dụng vi phân tính gần đúng
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + df (x0).
Vi phân cấp cao
dnf (x0) = f (n)(x0).dxn.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.3. Qui tắc L’Hospital và khử dạng vô định
Qui tắc L’Hospital
Nếu f (x),g(x) là hai hàm số khả vi trên một lân cận của x0 và
lim
x→x0
f ′(x)
g′(x) tồn tại thì
lim
x→x0
f (x)
g(x)
(
có dạng
0
0
hoặc
∞
∞
)
= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
Chú ý
Nếu lim
x→x0
f ′(x)
g′(x) không tồn tại thì ta không thể khẳng định
lim
x→x0
f (x)
g(x)
tồn tại hay không tồn tại.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
2.3. Qui tắc L’Hospital và khử dạng vô định
Khử các dạn vô định∞−∞, 0.∞, 00
Đưa các dạng vô định này về dạng vô định
0
0
hoặc
∞
∞ (được sử
dụng quy tắc L’Hospital) như sau :
∞−∞ : Quy đồng đưa về dạng 0
0
.
0.∞ : Viết thành 0
( 1∞)
(dạng
0
0
) hoặc
∞
(10)
(dạng
∞
∞ )
00 : Sử dụng công thức ab = eb.lna đưa về dạng 0.∞.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Chương 3.
Tích phân bất định, Tích phân xác định và Ứng
dụng của tích phân xác định.
"Hỏi một câu chỉ dốt chốc lát. Nhưng không
hỏi sẽ dốt nát cả đời."
Ngạn ngữ phương Tây.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
3.1. Tích phân bất định (không cận)
Một số tích phân đặc biệt
1
∫
1
x2 − a2dx =
1
2a ln
x − a
x + a + C.
2
∫
1
x2 + a2
dx = 1a arctan
x
a + C.
3
∫
1√
a2 − x2dx = arcsin
x
a + C∫ √
a2 − x2dx = a
2
2
arcsin
x
a +
1
2
x
√
a2 − x2 + C.
4
∫
1√
x2 + b
dx = ln
∣∣∣x +√x2 + b∣∣∣+ C∫ √
x2 + bdx = b
2
ln
∣∣∣x +√x2 + b∣∣∣+ x
2
√
x2 + b + C
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
3.2.a) Tích phân từng phần
∫
f (x)g(x)dx
Dạng 1. f (x) là đa thức, g(x) ∈ {eax ; sinax ; cosax}
=⇒ đặt u = f (x).
Dạng 2. f (x) là đa thức hoặc hằng số
g(x) ∈ {lnax ;arcsinax ;arccosax ;arctanax}
=⇒ đặt u = g(x).
Dạng 3. f (x) = eax , g(x) ∈ {sinax , cosbx}
=⇒ đặt u = f (x).
Chú ý : dạng 3 phải tích phân từng phần 2 lần, rồi
chuyển vế tính tích phân.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
3.2.b) Tích phân hàm hữu tỉ
∫ P(x)
Q(x)dx với bậcP(x) < bậcQ(x)
Dạng 1. Q(x) bậc 1 =⇒ ADCT∫
1
ax + bdx =
1
a ln |ax + b|+ C.
Dạng 2. Q(x) bậc 2
Q(x) có nghiệm =⇒ Khai triển phân thức và ADCT∫
1
(ax + b)2 dx =
1
a .
−1
ax + b + C.
Q(x) vô nghiệm =⇒ Q(x) = (mx + n)2 + a2 và đặt
(mx + n) = a tan t .
Dạng 3. Q(x) bậc cao =⇒ Khai triển phân thức.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
3.2.c) Tích phân hàm lượng giác
Dạng 1.
∫
R(sin x , cos x)dx với R là phân thức
=⇒ đặt t = tan x
2
Một số trường hợp có thể làm ngắn gọn hơn bởi
R(− sin x , cos x) = −R(sin x , cos x) =⇒ đặt t = cos x
R(sin x ,− cos x) = −R(sin x , cos x) =⇒ đặt t = sin x
R(− sin x ,− cos x) = R(sin x , cos x) =⇒ đặt t = tan x
Dạng 2.
∫
sinm x . cosn xdx
Nếu m lẻ hoặc n lẻ =⇒ đặt t = cos x hoặc t = sin x
Nếu m,n cùng chẵn =⇒ dùng CT nhân đôi, hạ bậc
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
3.2.d) Tích phân hàm căn thức
Dạng 1.
∫
R
[
x , n
√
ax + b
cx + d ,
s
√
ax + b
cx + d
]
dx
=⇒ đặt tk = ax + bcx + d với k là BCNN của n và s.
Dạng 2.
∫
R
(
x ,
√
ax2 + bx + c
)
dx =⇒ đặt u = x + b
2a đưa
về tích phân chứa một trong các dạng căn
√
α2 − u2 −→ đặt u = α sin t√
α2 + u2 −→ đặt u = α tan t
√
u2 − α2 −→ đặt u = α
cos t
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
3.4. Tích phân suy rộng
Loại 1 : Tích phân suy rộng với cận ±∞
Ta ký hiệu (và gọi là TPSR)∫ +∞
a
f (x)dx bởi giới hạn lim
b→+∞
∫ b
a
f (x)dx∫ b
−∞
f (x)dx := lim
a→−∞
∫ b
a
f (x)dx∫ +∞
−∞
f (x)dx :=
∫ c
−∞
f (x)dx +
∫ +∞
c
f (x)dx .
TPSR được gọi là hội tụ nếu các giới hạn tương ứng hữu hạn.
Ví dụ : Xét sự hội của các tích phân suy rộng∫ +∞
0
1
1 + x2
dx ,
∫ +∞
1
1
xαdx ,
∫ 0
−∞
exdx ,
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx .
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
3.4. Tích phân suy rộng
Loại 2 : Tích phân suy rộng với cận hữu hạn
Nếu lim
x→b−
f (x) =∞ thì
∫ b
a
f (x)dx := lim
c→b−
∫ c
a
f (x)dx .
TPSR được gọi là hội tụ nếu giới hạn tương ứng hữu hạn.
Ví dụ : Xét sự hội của các tích phân suy rộng∫ 1
0
1√
1− x2dx ,
∫ 1
0
1
x dx ,
∫ −1
1
1
x2
dx .
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Chương 4.
Chuỗi số
"Đừng xấu hổ khi không biết, chỉ xấu hổ khi
không học."
Khuyết danh.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
4.1. Định nghĩa chuỗi số và tính chất
4.1.a) Định nghĩa chuỗi số
Cho dãy số {un}, khi đó tổng vô hạn
∞∑
n=1
un = u1 + u2 + . . .+ un + . . .
được gọi là một chuỗi số. Khi đó Sn = u1 + u2 + . . .+ un được
gọi là tổng riêng phần của chuỗi đã cho.
Nếu lim
n→+∞Sn tồn tại thì chuỗi
∞∑
n=1
un được gọi hội tụ. Ngược lại
gọi là phân kỳ.
Ví dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau
∞∑
n=1
qn,
∞∑
n=1
1
n(n + 1) ,
∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
n
)
,
∞∑
n=1
1√
n +
√
n + 1
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
4.1. Định nghĩa chuỗi số và tính chất
4.1.b) Tính chất của chuỗi số
TC 1 lim
n→+∞Sn hội tụ =⇒ limn→+∞un = 0.
TC 2 •
∞∑
n=1
un,
∞∑
n=1
vn cùng hội tụ =⇒
∞∑
n=1
(un + vn) hội tụ
•
∞∑
n=1
un hội tụ,
∞∑
n=1
vn phân kỳ =⇒
∞∑
n=1
(un + vn) phân kỳ
•
∞∑
n=1
(un + vn) hội tụ =⇒ không có kết luận.
TC 3 Nếu 0 < un ≤ vn với n ≥ n0 thì
•
∞∑
n=1
vn hội tụ =⇒
∞∑
n=1
un hội tụ
•
∞∑
n=1
un phân kỳ =⇒
∞∑
n=1
vn phân kỳ
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
4.2. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương
4.2.a) Tiêu chuẩn so sánh
Cho hai chuỗi (1)
∞∑
n=1
un và (2)
∞∑
n=1
vn. Giả sử limn→+∞
un
vn
= L.
L = 0 : (2) hội tụ =⇒ (1) hội tụ.
L = +∞ : (1) hội tụ =⇒ (2) hội tụ.
0 < L < +∞ : (1) và (2) có cùng tính chất hội tụ, phân kỳ.
Ví dụ : xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau
∞∑
n=1
sin
(
1
2n + 3
)
,
∞∑
n=1
n + 1
n.2n ,
∞∑
n=1
(√
n2 + 1− n
)
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
4.2. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương
Giả sử ta có (D) lim
n→+∞
un+1
un
= L hoặc ta có (C) lim
n→+∞
n
√
un = L.
4.2.b) Tiêu chuẩn D’Alembert và Tiêu chuẩn Cauchy
L < 1 =⇒ chuỗi hội tụ.
L > 1 =⇒ chuỗi phân kỳ.
L = 1 =⇒ không có kết luận. Nếu có n0 nào đó màun+1
un
≥ 1 hoặc n√un ≥ 1 với n ≥ n0 thì chuỗi phân kỳ.
Ví dụ : xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau
∞∑
n=1
en
nn ,
∞∑
n=1
nn
n! ,
∞∑
n=1
enn!
nn ,
∞∑
n=1
2n
(
1− 1n
)n2
,
∞∑
n=1
(
3n + 1
2n + 5
)2n−1
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
4.2. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương
4.2.c) Tiêu chuẩn tích phân
Cho hàm số liên tục, không âm y = f (x) và nghịch biến trên
khoảng (1,+∞). Khi đó
∞∑
n=1
f (n) và
∫ +∞
1
f (x)dx
có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.
Ví dụ : xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau
∞∑
n=1
1
nα ,
∞∑
n=1
1
n
√
lnn
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
4.3. Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu
4.3.a) Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối
Nếu
∞∑
n=1
|un| hội tụ thì
∞∑
n=1
un hội tụ.
Nếu
∞∑
n=1
|un| phân kỳ và
∞∑
n=1
un hội tụ thì
∞∑
n=1
un được gọi là
bán hội tụ.
Chú ý : Khi sử dụng tiêu chuẩn D’Alambert hoặc Cauchy
cho chuỗi số dương
∞∑
n=1
|un| cho kết quả hội tụ hoặc phân
kỳ thì chuỗi
∞∑
n=1
un tương ứng cũng hội tụ hoặc phân kỳ.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
4.3. Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu
4.3.b) Tiêu chuẩn Leibniz (chuỗi đan dấu)
Nếu dãy số un giảm và limn→+∞un = 0 thì chuỗi
∞∑
n=1
(−1)n+1un
hội tụ về S. Hơn nữa 0 < S < u1.
Ví dụ : Các chuỗi sau hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ hay phân kỳ ?
∞∑
n=1
1
n2
arcsin
(
1
n2
)
,
∞∑
n=1
(−e)n
n4 + 1
,
∞∑
n=1
(−1)n+1
n ,
∞∑
n=1
(−1)n+1n
n2 + n + 1
.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
4.4. Chuỗi hàm
4.4.a) Miền hội tụ của chuỗi hàm
Tập hợp D gồm tất cả các giá trị của x sao cho chuỗi
∞∑
n=1
un(x)
hội tụ được gọi là miền hội tụ của nó.
Ví dụ : Tìm miền hội tụ của các chuỗi số sau :
∞∑
n=1
1
nx ,
∞∑
n=1
xn,
∞∑
n=1
xn
1− xn .
4.4.b) Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
Giá trị R sao cho chuỗi lũy thừa
∞∑
n=1
anxn hội tụ trên (−R,R) và
phân kỳ trên (−∞,−R) ∪ (R,+∞) đgl bán kính hội tụ của nó.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
4.4. Chuỗi hàm
4.4.c) Định lý (tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa)
Nếu (D) lim
n→+∞
un+1
un
= L hoặc (C) lim
n→+∞
n
√
un = L thì bán kính
hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 1L .
Ví dụ : Tìm miền hội tụ của các chuỗi số sau :
∞∑
n=1
xn+1
n ,
∞∑
n=1
(x + 2)2n
n23n
,
∞∑
n=1
(2n + 1)xn
n! ,
∞∑
n=1
2n
xn
(
n
4n − 1
)2n+1
,
∞∑
n=1
(−1)nxn
n2n lnn .
Chú ý Nếu chuỗi
∑
un(x) có bán kính hội tụ là R thì chuỗi
(
∑
un(x))′ và chuỗi
∫ x
0
∑
un(t)dx có bán kính hội tụ là R.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1
Ch1. Giới hạn Ch2. Đạo hàm Ch3. Tích phân Ch4. Chuỗi số
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP B1
"Một ngày ngồi trách móc sao bằng một giờ
làm việc. Một giờ này làm lòng ta nhẹ và túi
ta nặng."
Benjamin Franklin.
HẾT.
Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP A1