Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến

06/10/2017
1
LOGO
Chương 2:Đạo hàm và vi phânhàm một biến
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Đạo hàm của hàm một biến§2. Hàm khả vi, vi phân của hàm số
§3. Đạo hàm và vi phân cấp cao
2
§1. Đạo hàm của hàm một biến
3
I. Đạo hàm cấp một:Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trênkhoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) củahàm số f(x) tại x0, ký hiệu , đượctính bởi
0
00 0
( ) ( )( ) limx x f x f xf x x x
  
0 0( ) ( )y x f x 
nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.Chú ý 1.2. Nếu tồn tại thì f(x) đượcgọi là khả vi tại x0. 0( )f x

4
Trong định nghĩa trên, nếu đặt
0 :x x x   Số gia của biến số tại x0.
0( ) ( )y f x f x   : Số gia của hàm số tại x0.0 0( ) ( )f x x f x   Khi đó
0 00 0 0
0 0
0
( ) ( )( ) lim lim
( ) ( )lim
x x
h
y f x x f xf x x xf x h f x
h
   

       
5
Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số
2ln(1 ) khi 0( )
0 khi 0
x xf x x x
    tại 0 0.x Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
0
00 0
( ) ( )( ) limx x f x f xf x x x 
  
Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)
0
00 0
( ) ( )( ) limx x f x f xf x x x 
  
6
Định lý 1.5
0 0 0( ) ( ) ( )f x L f x f x L       
Định lý 1.6.f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0.
Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số
( )f x xtại 0 0.x 
06/10/2017
2
7
Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số 
23 5 khi 1( ) khi 1
       
x xf x ax b x
có đạo hàm tại 
Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
2( ) khi 0( ) khi 0
    
xe x x xf x m x
khả vi tại 0 0.x 
0 1.x  
II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:
8
2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.
2
( . ) .
( )
( . ) . .
. .
k u k u
u v u v
u v u v u v
u u v u v
v v
 
    
   
      2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó ( ) .u xy x y u  
2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có ( ), ( )u u x v v x 
9
Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) arctany x
b) 2(arcsin )y x
c) 11
 
xy x
d) 2arctan ln 1  x x xy e e e
e) 32( 1)  xy x
f) 2 3 3(1 ) 2 3   y x x x
III. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm:
10
3.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal):Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến số kinh tế, gọi 0 .x D
Hàm số được gọi là hàm biên tế (hàm cậnbiên) của biến y. ( )My f x
Giá trị được gọi là biên tế (giá trị cậnbiên) của hàm số f(x) tại điểm x0.0 0
( ) ( )My x f x
11
3.2. Ý nghĩa của biên tế: cho biết xấp xỉ lượngthay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1đơn vị. Cụ thể, ta có
0( )My x
0( ) 0 My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ tăng
0( )My x đơn vị.
0( ) 0 My x có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ giảm 
0( )My x đơn vị.Ví dụ 1.6: Cho hàm tổng chi phí
20,1 0,3 100.  C Q Qa) Tìm hàm chi phí biên tế. 
b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng đơn vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.120Q
12
3.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối:
Xét hàm số y = f(x). Khi biến số tăng từ x0 đến x thì ta có-Độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại x0 là
0  x x x
Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vịchọn để đo biến x.-Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0 là
0
x
x
Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vàođơn vị chọn để đo biến x.
06/10/2017
3
13
3.4. Hệ số co dãn: hệ số co dãn của biến y theo biến x tạix0 là
00 0 0
( ) ( ) ( )  yx xx y x y x
3.5. Ý nghĩa của hệ số co dãn: cho biết xấp xỉ độ thay đổi tương đối của biến y khi biến x tăng tương đối lên 1% tại x0. Cụ thể, ta có
0( )yx x
0( ) 0 yx x có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi xtăng 1% thì y sẽ tăng 0( )%. yx xcó nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi xtăng 1% thì y sẽ giảm 0( )%. yx x0( ) 0 yx x
14
Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau:
 Nếu thì hàm f được gọi là co dãn tại x0 (hàmsố có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khiđó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm co dãn.
 Nếu thì hàm f được gọi là đẳng co dãn tại x0Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn(điểm co dãn đơn vị).
 Nếu thì hàm f được gọi là không co dãn tạix0 (hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biếnsố). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm không codãn.
0( ) 1 yx x
0( ) 1 yx x
0( ) 1 yx x
15
Ví dụ 1.7: Cho hàm cầu Tính hệ số codãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 100; P =200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.
600 2 . Q P
16
§2. Vi phân của hàm số
I. Vi phân cấp một:
17
Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là
( ) ( )df x f x dx
dy y dxhay
Ví dụ 2.1. Tìm vi phân của hàm số 2 .xy e
18
Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì
1) ( ) .d u v du dv  
2) ( . ) . .d k u k du
3) ( . ) .d u v vdu udv 
24) .
u vdu udvd
v v
    Ví dụ 2.2. Tính
3) ( )xa d x e
3) ( )xb d x e
3
) x
xc d
e
   
06/10/2017
4
III. Ứng dụng của vi phân:
19
Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là
Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),điểm x0 và số gia đủ nhỏ.
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ). ( )
( ) ( ).
      
  
f x x f x f x x o x
f x f x x
x
Ví dụ 2.3. Tính gần đúng giá trị của
3 2,0001.
20
§3. Đạo hàm và vi phâncấp cao
I. Đạo hàm cấp cao:
21
Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấpmột thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)là
Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là
y
 ( ) ( )y f x f x    
( ) ( ) ( 1)( ) ( )n n ny f x f x     
Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấpba, cấp bốn, cấp n của hàm số , .kxy e k const 
22
Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u vàv có đạo hàm đến cấp n. Khi đó
( ) ( ) ( )
0
( . ) nn k k n knku v C u v



Ví dụ 3.4. Tính của hàm số
2 2 .xy x e
(20)y
Ví dụ 3.2. Cho hàm số Chứngminh sin .y x x2( sin ) 0.    xy y x xyVí dụ 3.3. Cho hàm số . Chứngminh
22 y x x3 1 0.  y y
II. Vi phân cấp cao:
23
Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đếncấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là 1 ( )n n n nd y d d y y dx 
Ví dụ 3.5. Cho Tính3(2 3) . y x 3 .d y
III. Quy tắc L’Hospital:
24
Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi tronglân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếui) hay
và tồn tại
thì
0 0
lim ( ) lim ( ) 0x x x xf x g x  
0 0
lim ( ) lim ( )x x x xf x g x   
0
( )lim ( )x x
f x
g x

0 0
( ) ( )lim lim( ) ( )x x x x
f x f x
g x g x 
 
06/10/2017
5
25
Chú ý 1.2. Khi tính giới hạn hàm số, quy tắcL’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định
 Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospitalnhiều lần.
0
0 hoặc .

IV. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:
26
Dạng 00
Ví dụ 3.6. Tính các giới hạn sau
0
sin) limx xc x
2
3 22
5 6)lim 2x
x xa x x x
   
2
20
2 4)lim 9 3x
xb x
 
 
30
1)lim xx ed x

30
sin)limx x xe x

2 20
ln(cos )) lim arctan 2x
xf x x 
27
Dạng 
Ví dụ 3.7. Tính các giới hạn sau
2
2
3 2) lim 1x
x xa x

2) lim 3xx
x xb e

2
3
ln) limx xc x 2) lim 1x
xd x 
28
Dạng 0.
Ta đưa về dạng 00 hoặc .
1
1
. (0. ) g
f
f
f g g
  
Ví dụ 3.8. Tính các giới hạn sau
0) lim .lnxa x x 2
) lim .tan2xb x x


   
Chú ý:
29
Dạng  
Ta đưa về dạng 00 hoặc .

1
1
1 1.
ff g
ff g g g
f g g f
                  
Chú ý:
30
Ví dụ 3.9. Tính các giới hạn sau
2) lim ( )xxb e x 1 1 1)lim ln 1xa x x    
0
1 1 1)lim t an2 sinxc x x x    
06/10/2017
6
31
Dạng 0 00 , , 1
Giới hạn có dạng , trong đó  
0
( )lim ( ) g xx x f x ( ) 0f x trong lân cận của x0.Xem lại phương pháp giải ở Chương 1. 
Ví dụ 3.10. Tính các giới hạn sau
0) lim xxa x
tan
0
1) lim xxb x    
V. Một số bài toán trong kinh tế:
32
5.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất:
Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm.GọiP: đơn giá.QD = QD(P): hàm cầu.Q = Q(P): hàm sản lượng.C = C(Q): hàm tổng chi phí.R = P.Q: doanh thu.: lợi nhuận (trước thuế).R C  
33
Ta có thể thiết lập các bài toán tối ưu trong kinh tế màthực chất là tìm GTLN, GTNN của hàm số một biếnsố. Chẳng hạn:
-Tìm mức P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa.lập hàm R(P) hoặc R(Q).-Tìm mức Q để chi phí C đạt tối thiểu.lập hàm C(Q).-Tìm mức Q để lợi nhuận đạt tối đa.lập hàm Chú ý 5.1:Doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm ( ).DQ Q P 


 ( ).Q
34
Ví dụ 3.11: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sảnphẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá của 1đơn vị sản phẩm trên thị trường là P = 130 đơn vị tiền.Tổng chi phí để doanh nghiệp sản xuất ra Q đơn vị sảnphẩm (Q > 1) là đơn vị tiền.Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuậntối đa.
3 21 10 203   C Q Q Q
Ví dụ 3.12: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền mộtloại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD =300-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàmchi phí sản xuất của doanh nghiệp là
Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuậntối đa.
3 219 333 10.   C Q Q Q
35
5.2. Bài toán thuế doanh thu:
Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm.Gọit: mức thuế doanh thu trên một đơn vị sản phẩm.T=t.Q: tổng số thuế doanh thu.: lợi nhuận sau thuế.Hãy tìm mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổngsố thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất.
t R C T   
Phương pháp:Bước 1: Viết hàm lợi nhuận sau thuếBước 2: Tìm mức sản lượng Q(t) để đạt GTLN.Bước 3: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mứcthuế t để T đạt GTLN.
( ), 0.t Q Q 
t
36
Ví dụ 3.13: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền mộtloại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD =800-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàmchi phí sản xuất của doanh nghiệp là
Các nhà làm thuế sẽ áp mức thuế doanh thu t trên mộtđơn vị sản phẩm là bao nhiêu để tổng số thuế thu đượctừ doanh nghiệp là lớn nhất?
2 200 100.  C Q Q
Bước 4: Kiểm tra sự phù hợp bằng cách với t tìm được, tatính T, Q, R, C, , P. Nếu tất cả các kết quả đều > 0 thìkết quả t tìm được là phù hợp.t
06/10/2017
7
37
5.3. Bài toán thuế nhập khẩu:
Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặthàng. GọiQS = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa.QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa.P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa.Q: lượng hàng doanh nghiệp nhập về từ thị trường quốctế. số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp phảichi ra để mua ở thị trường quốc tế = giá bán ở thị trườngquốc tế + chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế).t: mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm
:P
0 P t P
38
P: giá bán một đơn vị hàng của doanh nghiệp ra thịtrường nội địa sau khi nhập hàng.
Hãy tìm mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị hàng đểtổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp làlớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng nhập khẩu củadoanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thịtrường quốc tế).
0  P t P P
Phương pháp:Bước 1 (Tìm P0): Trước khi nhập khẩu, các nhà sảnxuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng
.S DQ Q 
39
Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là
t R C T   
. . . .PQ P Q t Q  Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để đạt GTLN.Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuết để T đạt GTLN.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).S D D SQ Q P Q P Q Q P Q P P P Q      
( )t QBước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế hoặc ):Sau khi nhập hàng, thị trường nội địa có lượng cung làQ + QS (P). Khi đó:
( )t P
t
Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện
0  P t P P
40
Ví dụ 3.14: Một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩumột mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa,nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và cácnhà sản xuất cung cấp được QS = -200+P đơn vị. Đểmua mặt hàng này ở thị trường quốc tế thì doanhnghiệp phải chi ra một số tiền là 1600 đơn vị tiền chomỗi đơn vị hàng (chưa tính thuế). Hãy xác định mứcthuế nhập khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng sốthuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất ?
41
5.4. Bài toán thuế xuất khẩu:
Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặthàng. GọiQS = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa.QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa.P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa.Q: lượng hàng doanh nghiệp thu mua từ thị trường nộiđịa.số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp thuđược khi bán mặt hàng ở thị trường quốc tế (giá bán mộtđơn vị hàng trên thị trường quốc tế của doanh nghiệp trừđi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế)).t: mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm
:P
0 P t P
42
P: giá mua một đơn vị hàng từ thị trường nội địa đểxuất khẩu.
Hãy tìm mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sảnphẩm để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanhnghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩucủa doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thịtrường quốc tế).
0   P P P t
Phương pháp:Bước 1 (Tìm P0): Trước khi doanh nghiệp mua hàng,các nhà sản xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụhết hàng .S DQ Q 
06/10/2017
8
43
Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là
t R C T   
. . . .PQ P Q t Q  Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để đạt GTLN.Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuết để T đạt GTLN.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).D S S DQ Q P Q P Q Q P Q P P P Q      
( )t QBước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế hoặc ):Khi doanh nghiệp mua hàng, thị trường nội địa cólượng cầu là Q + QD . Khi đó:
( )t P
t
Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện
0   P P P t
44
Ví dụ 3.15: Một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩumột mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa,nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và cácnhà sản xuất cung cấp được QS = -200+P đơn vị. Nếuxuất mặt hàng này ra nước ngoài thì doanh nghiệp sẽthu về 3200 đơn vị tiền cho mỗi đơn vị hàng (trừ chiphí xuất khẩu nhưng chưa trừ thuế). Hãy xác định mứcthuế xuất khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng sốthuế xuất khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất?
9 
BẢNG 2. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP 
STT Đạo hàm Đạo hàm của hàm hợp, với u=u(x) 1 ( ) 0C   ( )C const 2 1( ) .x x    1( ) . .u u u    ( )const  
3 21 1x x
      2
1 u
u u
      
4 1( ) 2x x  ( ) 2
uu u
  
5 ( ) .ln , ( : x xa a a a hằng > 0) ( ) .(ln ).u ua a a u  
6 ( )x xe e  ( ) .u ue e u  
7 1(log ) , (0 1).ln   a x ax a (log ) .lna uu u a
  
8 1(ln )x x  (ln ) uu u
  
9 (sin ) cosx x  (sin ) (cos ).u u u  
10 (cos ) sinx x   (cos ) (sin ).u u u   
11 221(tan ) 1 tancosx xx    22(tan ) (1 tan ).cosuu u uu
    
12 221(cot ) (1 cot )sinx xx
     22(cot ) (1 cot ).sinuu u uu
     
13 21(arcsin ) 1x x   2(arcsin ) 1
uu u
   
14 21(arccos ) 1x x
   2(arccos ) 1
uu u
   
15 21(arc tan ) 1x x   2(arc tan ) 1 uu u
   
16 21(arccot ) 1x x
   2(arccot ) 1 uu u
  