Bài giảng Xác suất thông kê - Biến ngẫu nhiên - Nguyễn Ngọc Phụng

Bieán ngaãu nhieân
XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Nguyeãn Ngoïc Phuïng
-
Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
ÑT: 0989 969 057
E-mail: phungngoc.nguyen@gmail.com
phungvl@yahoo.com
10-10-2010
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Bieán ngaãu nhieân
Ñònh nghóa
Bieán ngaãu nhieân laø moät pheùpï töông öùng moãi phaàn töû ω cuûa Ω vôùi moät
soá thöïc.
Taäp giaù trò cuûa X ñöôïc kí hieäu laø X(Ω)
Ví duï:
1 Tung moät con xuùc xaéc, goïi X laø soá chaám cuûa con xuùc xaéc. Ta coù
X(Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
2 Tung hai con xuùc xaéc, goïi X laø toång soá chaám cuûa hai con xuùc xaéc. Ta
coù X(Ω) = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Phaân loaïi bieán ngaãu nhieân
Döïa vaøo taäp giaù trò cuûa bieán ngaãu nhieân, ta chia bieán ngaãu nhieân laøm 2
loaïi:
Ñònh nghóa (Bieán ngaãu nhieân rôøi raïc)
Bieán ngaãu nhieân maø taäp giaù trò cuûa noù laø moät taäp höõu haïn hoaëc voâ haïn
ñeám ñöôïc, ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân rôøi raïc.
X laø bnn rôøi raïc ⇔ X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn} hoaëc
X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn, . . .}.
Ñònh nghóa (Bieán ngaãu nhieân lieân tuïc)
Bieán ngaãu nhieân maø taäp giaù trò cuûa noù laø moät taäp voâ haïn khoâng ñeám
ñöôïc, ñöôïc goïi laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Phaân loaïi bieán ngaãu nhieân
Ví duïï:
1 Tung 3 con xuùc xaéc caân ñoái. Goïi X laø toång soá chaám cuûa 3 con xuùc
xaéc. Ta coù X(Ω) = {3..18}.
2 Moät ngöôøi neùm boùng vaøo roå töø vò trí caùch roå 5m ñeán khi naøo vaøo roå
thì ghi nhaän laïi soá laàn neùm boùng cuûa mình (X). Ta coù X(Ω) = N∗.
3 Ño möïc nöôùc bieån ôû moät khu vöïc cho thaáy noù chæ dao ñoäng töø 1m
ñeán 1,2m so vôùi moät moác coá ñònh. Goïi X laø möïc nöôùc bieån (m) ôû
khu vöïc ñoù taïi moät thôøi ñieåm ngaãu nhieân. Khi ñoù X(Ω) = [1; 1, 2].
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc
Ñònh nghóa
Phaân phoái xaùc suaát cuûa X coøn ñöôïc goïi laø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa
X, cho bieát khaû naêng X nhaän moãi giaù trò trong X(Ω) töông öùng.
X x1 x2 · · · xn · · ·
P p1 p2 · · · pn · · ·
vôùi P(X = xi) = pi
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc
Tính chaát (1) ∑
i
pi = p1 + · · ·+ pn + · · · = 1.
Tính chaát (2)
P(a ≤ X < b) =
∑
a≤xi<b
pi, xi ∈ X(Ω).
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc
Ví duï:
1 Moät hoäp saûn phaåm coù 6 chính phaåm vaø 4 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân
töø hoäp ra 2 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Goïi X laø soá pheá phaåm laáy ñöôïc.
a) Tìm phaân phoái xaùc suaát cuûa X.
b) Tính P(1 ≤ X ≤ 2).
2 Moät ngöôøi neùm boùng töø vò trí caùch roå 5m cho ñeán khi neùm vaøo roå
thì döøng. Bieát raèng caùc laàn neùm ñoäc laäp vôùi nhau vaø khaû naêng neùm
boùng vaøo roå ôû moãi laàn neùm laø 0,3. Goïi X laø soá laàn ngöôøi ñoù ñaõ neùm.
a) Tìm phaân phoái xaùc suaát cuûa X.
b) Tính xaùc suaát ngöôøi ñoù phaûi neùm ít nhaát 3 laàn.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Bieán ngaãu nhieân
Phaân phoái xaùc suaát
(Tröôøng hôïp lieân tuïc)
Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc X ñöôïc ñaëc tröng bôûi
haøm maät ñoä xaùc suaát f(x) coù caùc tính chaát sau:
f(x) ≥ 0,∀x ∈ R
+∞∫
−∞
f(x)dx = 1.
P(a ≤ X ≤ b) =
b∫
a
f(x)dx.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Bieán ngaãu nhieân lieân tuïc
Phaân phoái xaùc suaát
Ví duï:
Cho bieán ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát:
f(x) =
{
0 , x /∈ [0; 1]
cx , x ∈ [0; 1]
a) Xaùc ñònh c.
b) Tìm P(−1 ≤ X ≤ 12 ).
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Bieán ngaãu nhieân
Haøm phaân phoái xaùc suaát
Ñònh nghóa (Haøm phaân phoái xaùc suaát)
Haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân X, kí hieäu laø FX(x) hay
F(x), laø haøm ñöôïc xaùc ñònh bôûi:
F(x) = P(X < x), x ∈ R
Haøm phaân phoái xaùc suaát cho bieát khaû naêng X nhaän giaù trò beân traùi x.
Neáu X laø bnnrr thì
F(x) =
∑
xi<x
P(X = xi) =
∑
xi<x
pi.
Neáu X laø bnnlt thì F(x) =
x∫
−∞
f(t)dt.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Bieán ngaãu nhieân
Haøm phaân phoái xaùc suaát
Ví duï:
1 Cho bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X coù baûng phaân phoái xaùc suaát nhö sau:
X 0 1 2
P 0, 2 0, 5 0, 3
a) Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X.
b) Veõ ñoà thò cuûa haøm phaân phoái xaùc suaát vöøa tìm ñöôïc.
2 Bieán ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä xaùc suaát laø:
f(x) =
{
2x , x ∈ [0; 1]
0 , x /∈ [0; 1] . Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Bieán ngaãu nhieân Phaân phoái xaùc suaát
Bieán ngaãu nhieân
Haøm phaân phoái xaùc suaát
Tính chaát (1)
X laø bnn lieân tuïc ⇔ F(x) lieân tuïc treân R.
Tính chaát (2)
F(−∞) = 0,F(+∞) = 1.
Tính chaát (3)
P(a ≤ X < b) = P(X < b)− P(X < a) = F(b)− F(a).
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ