Bài tập Giải tích toán học I (Dùng cho sinh viên các trường Đại học kỹ thuật)

77. 2ln
8
π
7.78. 
22 ba −
π
 7.79. α
π
sin2
7.80. 2
5
2
2
3
 7.81. n4 
7.87. Giải. Do giá trị hàm số ( )xf bằng nhau trên [ ]ba; đối xứng qua trung 
điểm 
2
ba +
 nên 
( ) ( )( ) ( )xbafaxbfxf −+=−−= 
 215
Nên ( ) ( )∫∫ −+==
b
a
b
a
dxxbaxfdxxxfI , đổi biến [ ]( )bax ;∈ 
uxba =−+ , 
dxdu −= , abu →: , cho ta 
( ) ( ) ( ) ( ) IduufbaduufubaI b
a
b
a
−+=−+= ∫∫ , hay 
( )∫+=
b
a
duufbaI
2
  
7.89. ( ) ( )αβ +−+ xfxf 
7.90. ( )( )signaa 21ln22 ++ 
7.92. 
21
2
ε
π
−
 7.93. 2200 
7.94. 
4
2π
 7.95. 
ab
π4
7.96. π22 
7.100. Giải. Lấy tích phân hai vế của đẳng thức 
( ) ( )xfTxf =+ , ta nhận đ−ợc 
( ) ( )∫∫ =+
x
x
x
x
dttfdtTtf
00
 hay ( ) ( )∫∫ =
+
+
x
x
Tx
Tx
dttfduuf
00
hay 
( ) ( ) ( )∫∫∫ =−
++ x
x
Tx
x
Tx
x
dttfdttfdttf
0
0
00
, tức là 
( ) ( ) ( )1CtFTxF =−+ , 
Trong đó ( )∫
+
=
Tx
x
dxxfC
0
0
Gọi ( ) ( ) ( )2baxxFx −−=ϕ , 
với 
T
Ca = 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) baxbTxaxFTxFxTx ++−+−−+=−+ ϕϕ 
 216 
0=−=−=
T
CTCaTC 
Nh− vậy ( )xϕ là hàm tuần hoàn chu kỳ T, từ (2) ta nhận đ−ợc biểu diễn 
( ) ( ) baxxxF ++= ϕ (đpcm)  
7.104. 2005 7.105. 221 ba
b
++ 
7.106. 
7
7a
7.107. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−−
4
ln
2
1
3
3 πttgtgtttg 
Giải. 
( )
∫
∫∫∫
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
=−==
t
ttt
xtg
xdtgxtg
dx
x
x
xtgdx
x
xtgdx
x
xtgtI
0
2
4
0
2
2
4
0
2
4
0
4
,
1
cos
12cos1cos22cos
Đặt ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∈→=
4
;00:, 4 πtttguutgx , ta có 
( ) ( )
tt
tttgtttg
tgt
tgttgtttg
u
dtduu
u
duutI
tgttgttgt
sincos
cossinln
2
1
31
1ln
2
1
3
1
1
1
33
0
2
0
2
0
2
4
−
++−−=−
++−−=
−++−=−= ∫∫∫
hay 
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++−−=
4
ln
2
1
3
3 πttgtgtttgtI 
do ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∈
4
;0 πt nên ( ) 0>tI , cho ta 
( )
3
3
34
ln
23 tgtttgtgtttgttg +=+>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + π , hay 
( )3
3
2
4
ln 2 +>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + ttgtgtttg π , tức là 
 217
( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +>⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + 332exp4 2ttgtgtttg π  
7.109. ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−− ∑
=
2ln1
2
1
1
n
k
kn
k
7.110. 2 7.111. 
b
aln 
7.112. 
12
125
 7.113. 12 − 
7.114. ( )
aa
a
a
a
ln
11 22 −−− 7.115. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
3
32 2 πa 
7.116. 
3
25
 7.117. 
3
2
2
−π 
7.118. 72ln
2
153
2
15 −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ arctgarctg 
7.119. 4 7.120. ( )211 2 ae a +− − 
7.121. 
3
1
2
−π 7.122. 
2ln
2ln1−
7.123. 
9
24
3
8arcsin66 −−π 7.124. 13ln62ln12 +− 
7.125. 
1. 
4
9
 2. 
4
9
7.126. 
a
yayay
y
yaa
ay 0220
2
0
0
2
0
2
0 arccos2
1
2
1ln +−+−+− 
7.128. 
2
3 2aπ
 7.129. 
8
3 2aπ
7.130. ( )
ab
ba
8
3
222 −π
 7.131. 
60
5a
7.132. 
15
8 5a
 7.133. 
( )
4
4 π−
 218 
7.134. 
3
4 2a
 7.135. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − π
π 4
2
2a 
7.136. ( )31322224 ϕϕπ −a 7.137. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ − 21
2 11
2 ϕϕ
a
7.138. ( )12 222
4
ϕϕ kk ee
k
R − 7.139. 
4
2aπ
7.140. 
2
3 2aπ
 7.141. 
2
2 22 ba +π 
7.142. 22a 7.143. 
3
33 π−
7.144. 
3
63322 −+πa 7.145. 
a
xab 0arcsin
2
7.146. 
2
2
BAC −
π
7.147. 
a
babarctg
ba
baab 4arcsin2 22
22
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−−ππ 
7.148. 22aπ 7.149. 2a 
7.150. 
28
2aπ
7.151. 222 ayx ≥+ 
7.152. 74 7.153. 
3
14
7.154. 
27
134
 7.155. 
3
25
7.156. 8,10 7.157. sha 
7.158. ash2 7.159. 
4
3ln4+ 
7.160. 3ln 7.161. ( )32ln + 
7.162. 
4
1+π
 7.163. 
2
1
 219
7.164. 1,0,,1 −≠∈+= nn
n
n Zα 
7.165. a6 7.166. ( )
ab
ba 334 −
7.167. a8 7.168. ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −12
2
1
2
3
0tch 
7.169. ( )11 02 −+ αϕαα ea 7.170. 02tsh 
7.171. ( ) ( )∫ ′+′′′21tt dttftf 7.172. 3
3π
7.173. a6 
7.174. 
1. 
33
4
 2. 8 
7.175. 
1. 0t 2. 0ln t 
7.176. 
9
16ay = 
7.177. aπ 7.178. ( )12211 ϕϕ kk eeka −+ 
7.179. a8 7.180. ( )328 − 
7.181. 
2
3 aπ
 7.182. 
3
16a
7.183. 
2
1ln1 200
2
00 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++ ϕϕϕϕ
a 
7.184. 
3
1558 −a 7.185. 0, >= ccer aϕ 
7.186. 
1. 8 2. ( ) aa ++12ln
2
 3. ( )
ba
aba +−+
434 
7.187. 0
22 tba + 7.188. ( ) ( )( )1122 23233 tttta +−+ 
 220 
7.189. 02sht 7.190. 10 
7.191. ( ) 11 2
22
12 ++−
b
a
k
kzz 
7.192. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+−
1
22
1
2
2 ln t
ttt 
7.193. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++ 200200 212ln2
121
2
tttta 
7.194. a9 7.195. 126 
7.196. 36 
7.197. 
6
432 −= πHRV 
z
x
y
H
D
C
B
A
O
x
R
-R
Hình 7.9 
Giải. (xem hình 7.9) Do tính đối xứng, gọi 1V là phần thể tích của vật với 
0,, ≥zyx , 
12VV = 
Gọi ( )xS là diện tích mặt cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox với 
0>x ; mặt cắt là hình chữ nhật ABCD. 
Với 1 cạnh H
R
xRH
R
xzADxRAB −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −==−= 1,22 
 221
( ) ( )xRxR
R
HxS −−=⇒ 22 cho ta 
( )∫ −−=
R
dxxRxR
R
HV
0
222 , 
Đổi biến 
2
0,sin π≤≤= ttRx 
Cho ta 
( ) ∫∫∫ ++=−= 2
0
22
2
0
2
2
0
22 coscos2
2
2cos12cossin12
πππ
ttdHRdttHRtdttHRV 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
3
1
4
2 2 πHR hay 
6
432 −= πHRV  
7.198. 2paπ 7.199. 
2
3aπ
7.200. 
7
3 2abπ
 7.201. 
4
2π
7.202. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
a
bShaba 2
22
2π
 7.203. 
2
3π
7.204. 3ln
2
π
 7.205. ( )38
2
a
+ππ
7.206. ( )2ln86−π 7.207. ( )
4
2−ππ
7.208. π20 7.209. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− 4
2ln2
5
2ln
6
2π 
7.210. 2
3
4 abπ 7.211. ( )ahh
a
b 3
3
2
2
2
+π 
7.212. ( )
6
3103 ππ −R
 7.213. 
24
4ln24353 −aπ 
7.214. 
2
2ln1615−π 7.215. 
3
2ln24173 −aπ 
7.216. 
21
154 22 −ππ 7.217. ( )2ln863 −aπ 
 222 
7.218. 
3
8 3aπ
7.220. 1−eπ 7.221. 2lnπ 
7.222. ( ) 228 π+n 7.223. ( )1sin1−π 
7.224. 
3
15503 ππ −a 
7.225. 
a. ( )
30
5ab −π
 b. 
( )( )
6
3abab −+π
7.226. 
a. 
2
2π
 b. 22π 
7.227. 
a. ( )
4
82 −ππ
 b. 
4
2π
7.228. 
a. ( )
8
2 3a+π
 b. 2ln3aπ 
7.229. 
a. ( )3ln27444 −π b. ( )
3
35274 ππ −
7.230. 
a. 
15
32 3pπ
 b. 
3
4 3pπ
7.231. 
a. ( )3ln924 +π b. ( ) 3ln13ln23 −π 
7.232. 
a. 
8
3
2
23 ππ + b. 
2
3π
7.233. 
a. 
3
4 2abπ
 b. 
3
4 2baπ
 223
7.234. 
a. 
105
32 2abπ
 b. 
105
32 2baπ
7.235. 
1. ππ 43 − 2. 2π 
7.236. 
28
3 2π
7.237. 
1. 3
15
272 pπ 2. 
4
45 3pπ
3. 
15
264 3pπ
7.239. 
3
2π
 7.240. 
21
4 3aπ
7.241. 322 aπ 7.242. 
3
8 3aπ
7.243. 
4
32aπ
 7.244. 
9
316 32aπ
7.245. 
4
32aπ
 7.246. abHπ2 
7.247. 
c
abH 2π
 7.248. abcπ
3
4
7.249. 
4
3aπ
 7.250. 
3
16abc
7.251. 
2
2ba
 7.252. 
3
98π
7.253. 
27
1102
3
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−π
 7.254. ( )( )21ln22 ++π 
7.255. 
3
56π
 7.256. ( )baa −π2 
 224 
7.257. 
5
128
2aπ
 7.258. π2,59 
7.259. ( )
6
3ln162ln95 +−−π 7.260. 
9
3ln920 +π 
7.261. 
( )
8
12ln7211 ++π 
7.262. 
1. 23 aπ 2. 
5
356
2aπ
7.263. 
1. 
5
1243 2 −aπ 2. 26 2aπ 
7.264. 
1. ( )224 2 −aπ 2. 224 aπ 
3. 28 aπ 
Đ 8. Tích phân suy rộng 
8.1. 2 8.2. Phân kỳ 
8.3. 3ln2 8.4. Phân kỳ 
8.5. ( )32ln
2
++π 8.6. 
4
9π
8.7. 
2ln
1
 8.8. Phân kỳ 
8.9 .Phân kỳ 8.10. 
2
3−
8.11. 4 8.12. Phân kỳ 
8.13. 12 −− e 8.14. Phân kỳ 
8.15. 
8
2π
 8.16. π2 
 225
8.17. 
2
1
 8.18. 
4
π
8.19. Phân kỳ 8.20. 23
1
e
8.21. Phân kỳ 8.22. Phân kỳ 
8.23. Phân kỳ 8.24. 
31
2π 
8.25. Phân kỳ 8.26. 1 
8.27. 
2ln
1
2 8.28. Phân kỳ 
8.29. Phân kỳ 8.30. π 
8.31.
178
265
 8.32. ( )12ln2 − 
8.33. 
2
π
 8.34. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
4
3arcsin
2
π
8.35. ( )12
2
−π 8.36. 2 nếu ab ≤ ; 
b
a2
 nếu ab ≥ 
8.37. 
( )
( )!!
!!1
n
n −
 nếu n lẻ; 
( )
( )2!!
!!1
n
n π−
nếu n chẵn 
8.38.
2
π
 8.39.
9
7
8.40.
( )
2
2lnπ−
 8.41.
( )
2
2ln2π−
8.42.
( )
n
n
4
1 1π−−
 8.43. 
2
π
8.44.
120
1
 8.45. 
6
π−
8.46. ( )2ln12 − 8.47. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
3
5
23
1
6
7ln arctgπ 
8.48. 
22
π
 8.49. 
3
2
8.50. 
9
3π
 8.51. 22 ba
b
+ 
 226 
8.52. n! 8.53. 
4
3π
8.54. 
33
2π 8.55. ( )
4
323
2
ln3 2 +− π 
8.56. 
18
3π 8.57. 0 
8.58. 
4
π 8.59. 
5
22 
8.60. 
7
10 8.61. ( )
2
ba +π 
8.62. 2 8.63. 1 
 8.64. 2 8.65. 1 
8.66. 
2
1
4
+π 8.67. 1
2
−π 
8.68. 24 8.69. 
5
π 
8.70. 
1
1
2
1
−
+
π
π
e
e 8.71. 23 aπ 
8.72. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
2
1
8
9 2 πa 8.73. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
2
22 πa 
8.74. π4 8.75. 
3
8 
8.76. 2 8.77. 
2
2 π+ 
8.85. Hội tụ 8.86. Hội tụ 
8.87. Phân kỳ 8.88. Phân kỳ 
8.89. Hội tụ 8.90. Hội tụ 
8.91. Phân kỳ 8.92. Hội tụ 
8.93. Hội tụ 8.94. Phân kỳ 
8.95. Hội tụ 8.96. Phân kỳ 
8.97. Hội tụ 8.98. Hội tụ 
8.99. Phân kỳ 8.100. Phân kỳ 
8.101. Hội tụ t−ơng đối 8.102. Phân kỳ 
 227
8.103. Hội tụ t−ơng đối 
8.104. Hội tụ tuyệt đối với 1≥α , t−ơng đối với 12 −≤<− α 
8.105. Hội tụ tuyệt đối với 0>α , t−ơng đối với 01 ≤<− α 
8.106. Hội tụ t−ơng đối 
8.107. Hội tụ t−ơng đối 
8.108. Hội tụ t−ơng đối 
8.109. Phân kỳ 
8.110. Hội tụ tuyệt đối với 2<α , t−ơng đối với 32 ≤≤α 
8.111. Hội tụ tuyệt đối với 1>α , t−ơng đối với 1
2
1 ≤≤α 
8.112. Hội tụ tuyệt đối với 12 −<<− α , t−ơng đối với 01 <≤− α 
Đ 9. Chuỗi số 
9.2. 1 9.3. 
18
1
9.4. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++
mm
1...
2
111 9.5. 
n
nS ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
5
1
2
1
2
1
;
2
1=S 
9.6. ( )1
1
3
1
4
1
4
3
−
−−+= n
n
nS ; 4
3=S 9.7. 
3
1
3
1
+−= nSn ; 3
1=S 
9.8. ( )( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++−= 21
1
2
1
2
1
nn
Sn ; 4
1=S 
9.9. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−= 14
11
4
1
n
Sn ; 4
1=S 
9.10. 
28
1;
17
1
4
1
7
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−= SnSn 
9.11. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+++−= 2
1
1
1
2
1
4
3
nn
Sn ; 4
3=S 
9.12. ( )( )( )( )43214
34
32
1
++++
+−
nnnn
n
; 
32
1=S 
9.13. ( )21
11 +−= nSn ; 1=S 
 228 
9.14. 
21
121 ++++−= nnSn ; 21−=S 
9.15. 
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
n
nSn 2
1ln ; 2ln−=S 
9.16. 3ln;
3
2ln −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += S
n
nSn 
9.17. ( ) 1;!2
11 =+−= SnSn 
9.18. 
4
;
1
π=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+= Sn
narctgSn 
9.20. 
36
5 9.21. 
36
1− 
9.22. 
90
1 9.23. 
28
31 
9.33. Hội tụ 9.34. Hội tụ 
9.35. Hội tụ 9.36. Phân kỳ 
9.37. Phân kỳ 9.38. Phân kỳ 
9.40. Hội tụ 9.41. Hội tụ 
9.42. Phân kỳ 9.43. Hội tụ 
9.44. Phân kỳ 9.45. Hội tụ 
9.46. Hội tụ 9.47. Hội tụ 
9.48. Phân kỳ 9.49. Phân kỳ 
9.50. Hội tụ 9.51. Hội tụ 
9.52. Phân kỳ 9.53. Hội tụ 
9.54. Hội tụ 9.55. Phân kỳ 
9.56. Hội tụ 9.57. Phân kỳ 
9.58. Hội tụ 9.59. Phân kỳ 
9.60. Hội tụ 
9.61. 
1. 
2
1>α 2.
2
1>α 3.
3
1−>α 
4.
3
1>α 5. 
3
2>α 
 229
9.62. Hội tụ 9.63. Hội tụ 
9.64. Hội tụ 9.65. Phân kỳ 
9.66. Phân kỳ 9.67. Hội tụ 
9.68. Hội tụ 
9.69. Hội tụ nếu 10 << a , phân kỳ nếu 1≥a 
9.70. Phân kỳ 9.71. Hội tụ 
9.72. Hội tụ 9.73. Hội tụ 
9.74. Hội tụ với mọi a 9.75. Hội tụ 
9.76. Phân kỳ 9.77. Hội tụ 
9.78. Hội tụ 9.79. Hội tụ 
9.80. Hội tụ 9.81. Hội tụ 
9.82. Phân kỳ 9.83. Phân kỳ 
9.84. Hội tụ 
9.85. Hội tụ với 2>α , phân kỳ với 2≤α 
9.95. Hội tụ t−ơng đối 9.96. Hội tụ tuyệt đối 
9.97. Hội tụ t−ơng đối 9.98. Hội tụ t−ơng đối 
9.99. Phân kỳ 9.100. Hội tụ t−ơng đối 
9.101. Hội tụ t−ơng đối 
9.102. 
a. 1>α b. 10 ≤<α 
9.103. 
a. Không b. Ν∈≠ kk,α 
9.104. 
a. 1>α b. 10 ≤<α 
9.105. 
a. 1>α b. 10 ≤<α 
9.106. 
a. 2>α b. 20 ≤<α 
Giải. 
a. Xét hội tụ tuyệt đối ∑∞
=1n
na , 
( )
( )
α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
n
nan 26.4.2
125.3.1
Κ
Κ
Theo dấu hiệu Raabe (nếu 0>na ( )N∈n và tồn tại 
 230 
q
a
an
n
n
n
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
+∞→
1lim
1
 thì với 1>q chuỗi ∑∞
=1n
na hội tụ, còn khi 1<q chuỗi 
phân kỳ) ta có 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − ∞→+∞→
1
12
22lim1lim
1
α
n
nn
a
an
nn
n
n
 ,1
212
12
1
1
12
11
lim >=+⋅+
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++=
∞→
α
α
n
n
n
n
n
tức 2>α 
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, 2<α chuỗi không hội tụ tuyệt đối với 2=α . 
Chuỗi 
( )
( )∑
∞
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
1
2
26.4.2
125.3.1
n n
n
Κ
Κ
 phân kỳ theo dấu hiệu Gauss (nếu 0>na ( )N∈n và 
δ
γβα ++ ++= 11 nna
a n
n
n , 
trong đó 0, >< δγ cn , thì 
a) Chuỗi ∑∞
=1n
na hội tụ nếu 1>α , phân kỳ nếu 1<α 
b) Khi 1=α và 1>β chuỗi hội tụ, còn 1=α , 1≤β chuỗi phân kỳ) 
b. Khi 0≤α rõ ràng chuỗi ( )∑∞
=
−−
1
11
n
n
n a phân kỳ vì không thoả mãn điều 
kiện cần ( )1≥na . 
Khi 0<α chuỗi ( )∑∞
=
−−
1
11
n
n
n a hội tụ theo dấu hiệu Leibniz 
( )
( )n
nan 26.4.2
125.3.1
Κ
Κ −= đơn điệu giảm: 1+> nn aa ; 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
nk
an 2
11
2
11
4
11
2
11 ΚΚ có 
∑
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
n
k
n k
a
1 2
11lnln có 
nn 2
1~
2
11ln −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − (khi ∞→n ) 
nên −∞→naln tức là 0↓na (khi ∞→n ) 
 231
Cùng với phần a) ta có miền hội tụ tuyệt đối 2>α , hội tụ t−ơng đối 
với 20 ≤<α  
Đ 10. Chuỗi hàm, d∙y hàm 
10.1. 0)( =xf 10.2.
3
)(
2xxf = 
10.3. xxf =)( 10.4. 0)( =xf 
10.5. 2
1)(
x
xf = 
10.12. Hội tụ đều đến 0 10.13. Hội tụ đều đến 0 
10.14. Hội tụ đều đến xxf =)( 10.15. Hội tụ đều đến tgx 
10.16. Hội tụ đều trên R 
10.17. Không hội tụ dều đến 0)( =xf 
10.18. Không hội tụ dều đến 0)( =xf 
10.19. Không hội tụ dều đến xxf ln)( = 
10.20. Hội tụ tuyệt đối với 1>x 
10.21. Hội tụ tuyệt đối Rx∈∀ 
10.22. Hội tụ t−ơng đối với 62 << x 
10.23. Hội tụ t−ơng đối với 0>x 
10.24. Hội tụ t−ơng đối Ζ∈≤− kkx ,
4
ππ 
10.25. Hội tụ tuyệt đối 
2
7
2
1 <<− x 
10.26. Hội tụ t−ơng đối 3<x 10.27. Hội tụ với Ζ∈= kkx , 
10.28. Hội tụ t−ơng đối Rx∈∀ 10.29. Hội tụ tuyệt đối Rx∈∀ 
10.30. Hội tụ tuyệt đối 0≥∀x 10.31. Hội tụ đều 
10.32. Hội tụ đều 10.33. Hội tụ đều 
10.34. Hội tụ đều 10.35. Hội tụ đều 
10.36. Hội tụ đều 10.37. Hội tụ đều 
10.38. Hội tụ đều 10.39. Hội tụ đều 
 232 
10.40. Hội tụ đều 10.41. Hội tụ đều 
10.42. Hội tụ đều 10.43. Hội tụ đều 
10.44. Hội tụ đều 10.45. Không hội tụ đều 
10.46. Không hội tụ đều 10.47. Không hội tụ đều 
10.48. Hội tụ đều 10.49. Hội tụ đều 
10.50. Hội tụ đều 10.51. Hội tụ đều 
10.52. Không hội tụ đều 10.53. Hội tụ đều 
10.61. 
4
3
 10.62. 
2
π
10.64. 1=R 10.65. 2=R 
10.66. 3e 10.67. ∞=R 
10.68. 1=R 10.69. eR = 
10.70. 
e
R 1= 10.71. 2eR = 
10.72. 9=R 
10.73. 2;0;20;1 ==<<= xxxR hội tụ tuyệt đối 
10.74. ;
2
1
2
7;
2
3 −<<−= xR Khi 
2
1,
2
7 −=−= xx Phân kỳ 
10.75. 1,11;1 =<<−= xxR hội tụ t−ơng đối, 1−=x phân kỳ 
10.76. 2,42;3 −=<<−= xxR hội tụ t−ơng đối, 4=x phân kỳ 
10.77. 0,2,02;1 =−=<<−= xxxR hội tụ tuyệt đối 
10.78. 1,11;1 =<<−= xxR phân kỳ, 1−=x hội tụ t−ơng đối 
10.79. 2,0,20;1 ==<<= xxxR phân kỳ 
10.80. ,
3
2
3
4;
3
1 −<<−= xR 2 mút phân kỳ 
10.81. Rx −= hội tụ tuyệt đối nếu ba < t−ơng đối nếu ba ≥ 
 Rx = hội tụ tuyệt đối nếu ba < , phân kỳ nếu ba ≥ 
10.82. 1;11;1 −=<<−= xxR hội tụ tuyệt đối nếu 0≥a và phân kỳ nếu 
1;0 =< xa hội tụ tuyệt đối nếu 0≥a , t−ơng đối nếu 01 <<− a 
10.83. 0;0 == xR 
10.84. 33 exe <<− 
10.85. 0>x 
 233
10.86. 
2
11 >−x 
10.87. Ζ∈+<<+ kkxk ;
3
2
3
ππππ 
10.88. Ζ∈<− kkx ;
4
ππ 
10.93. 
( ) ( )
( ) 2,12!!22
!!32
2
1
2
2ln
2
2
2
1
12
=−−
−−++ ∑∞
= −
−
R
n
x
n
nxx
n
n
n
n
10.94. 
( )
( ) ( ) 21,12!!2 !!1222 1 2444
12
42 =−+
−++− ∑∞
=
+++ Rxx
n
x
n
nxx
n
nn
n
10.95. 
( )
( ) 1,12
1
1
2
1
=−
−∑∞
=
−
Rx
nnn
n
n
10.96. ( ) ( )( ) 1,!!122
!!321
6
5
2
121
3
=+
−−+++ ∑∞
=
+− Rx
nn
nxx
n
n
n
n 
10.97. ( ) ( )∑∞
=
+ =+−
0
2 1,11
n
nn Rxn 
10.98. 
( ) ( ) 1,
4
1121
0
=−+−∑∞
=
Rxn n
n
n
10.99. 
( ) 1,
54
11
2
0
1 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+∑∞
=
+ R
x n
n
n
n
10.100. 
3
2,
3
2
2
3
2
3ln
1
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+∑∞
=
R
n
xn
n
nn
10.101. ( ) ( ) ∞=+
−− +
∞
=
+∑ Rxn nn
n
n ,
!122
151 22
0
12
10.102. ( ) ( )( ) ∞=+ −− +
∞
=
+∑ Rxn nn
nn
,
!124
1331 12
1
21
10.103. ( )( )( ) 1,121
0
1 =−−∑∞
=
+− Rx
n
nn 
10.104. ( ) ( ) ( ) ( ) 3,3911
0
22 =−+−∑∞
=
+− Rxn
n
nnn 
 234 
10.105. 
( ) ( ) ( )∑∞
=
+ =−
−−+
1
2
13 2,52!
!!121
2
1
n
n
n
n
Rx
n
n
10.106 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
∞=
+
+−++−+++ ∑ ∑∞
=
∞
=
++−
R
n
xx
n
x
n n
nnn
n
nn
,
!12
1212sin1
!2
212cos1
2
2cos1
1 0
222
12
12
10.107. 
( ) ( )∑∞
=
−
=+−
1
2
1
1,11
n
n
n
Rx
n
10.108. ( )( )( )∑∞
=
−−− =−−−+
1
1 2,223116ln
n
nnnn Rx
n
10.109. ( ) 1,
12
1
4 0
12
1 =+−+∑
∞
=
++ R
n
x
n
n
nπ 
10.110. ( ) 1,
12
12
0
12
1 =+−+∑
∞
=
++ R
n
xarctg
n
n
n 
10.111. 
( ) 1,
12
12
0
12 =+
−∑∞
=
+ Rx
nn
n
n
10.112. 
( )
( ) ∞=+
−∑∞
=
+ Rx
nnn
n
n
,
12!
1
0
12 
10.113. ( ) 1,12
2
0
2
12
=+∑
∞
=
+
R
n
x
n
n
10.114. ( )( ) ( ) 1,14!!2
!!12
1
14
=+
−+∑∞
=
+
R
n
x
n
nx
n
n
10.115. 0, >xx 10.116. 0,1 >x
x
10.117. ( ) 11,1
1ln ≤≤−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− xx 10.118. ( ) 1,21 2
2
<− x
x
10.119. ( )( ) 1,1
3
3 <−
− x
x
xx
 10.120. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++ 1
24
2
2 xxe
x
10.121. 1,
1
1ln
2
1 <−
+ x
x
x 10.122. ( ) 1,1ln 2 <−− xx 
 235
10.123. ( ) 1,1
1
3 <−
+ x
x
x 
10.124. ( ) 2221 xex+ 
Giải. ( ) ( )∑∞
=
+=
0
2
!
12
n
n
n
xnxf có miền hội tụ R (dấu hiệu D’alembert) với 
mọi R∈x , 
( ) ( ) 2
0
2
0
12
0 !!
x
n
n
n
nx
xe
n
xx
n
xdttf === ∑∑∫ ∞
=
∞
=
+
Từ đây, lấy đạo hàm hai vế của 
( ) 2
0
x
x
xedttf =∫ , ta có 
( ) ( ) 2221 xexxf +=  
10.125. 2e 10.126. 23e 
10.127. 
2
3 
10.128. 
2
π 
Giải. Ta sử dụng phân tích 
( )
( ) 1,!!2
!!121
1
1
1
2
2
<−+=
− ∑
∞
=
xx
n
n
x n
n 
(mà có thể dễ dàng dẫn ra từ phân tích của ( ) ( )αxxf += 1 trong Đ10.I.e) 
Từ ( ) ( )( )∑
∞
=
+
+
−+=
1
12
12!!2
!!121
n
n
n
x
n
nxS , 1<x , 
Ta có ( ) ( )( ) ( )111
1
!!2
!!12
21
2 −
−
=−=′ ∑∞
= x
x
n
nxS
n
n 
Lấy tích phân 2 vế hệ thức 
( ) 1
1
1
2
−
−
=′
x
xS ta có 
( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ −−=−=′
x xx
dt
t
dtSxSdttS
0 0
2
0 1
0 hay vì ( ) 10 =S , 
 236 
ta nhận đ−ợc ( ) ( )21arcsin +−= xxxS 
Khi 1=x , ( ) ( )( )∑
∞
= +
−+=
1 12
1
!!2
!!1211
n nn
nS chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Gauss 
(xem bài 9.106). Theo dấu hiệu Abel về hội tụ chuỗi luỹ thừa thì tổng S cần tìm 
( ) ( ) ( )1arcsinlimlim1
0101
+−=== −→−→ xxxSSS xx 
2
11
2
ππ =+−=  
10.129. 2ln
3
2
9
8 − 10.130. 
18
32ln
3
1 π+ 
10.131. 2ln2
6
33 −− π 10.132. 3ln
2
3
6
33 −− π 
10.133. 0,946 10.134. 0,608 
10.135. 1,057 10.136. 0,783 
Đ 11. Chuỗi Fourier 
11.1. 
 1. x2cos
2
1
2
1 − 2. xx 3cos
4
1cos
4
3 − 
 3. xx 4cos
8
12cos
2
1
8
3 −− 
11.2. ( ) 0;,sin12
1
1 ππ <<−−= ∑∞
=
+ x
n
nxx
n
n 
11.3. ( ) ( )
2
1;0,
12
12sin2
2
1
0
ππ <<+
++= ∑∞
=
x
n
xnxf
n
11.4. ( )( ) ππππ
π ;,
12
12cos4
2 0
2 ≤≤−+
+−= ∑∞
=
x
n
xnx
n
11.5. ( ) ( )( ) ( )
2
;,sin1cos11
4 1
2
ππππ
π ≤≤−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−−−= ∑∞
=
x
n
nx
n
nxxf
n
nn 
11.6. ( ) ( )( ) ( )
2
5;,sin1cos115
4
5
1
2
ππππ
π ≤≤−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−−−= ∑∞
=
x
n
nx
n
nxxf
n
nn 
 237
11.7. ( )( )∑
∞
= −
−−
1
22 12
12cos4
2
1
n n
xnπ
π 
11.8. ( )∑∞
=
+−+
1
2
1
2 cos14
3
2
n
n
nx
n
π 
11.9. ( )∑∞
=
+
−
−+−
2
2
1
cos
1
12cos
2
11
n
n
nx
n
x 
11.10. ( )( )∑
∞
= −
−−
1
212
12cos4
2 n n
xn
π
π
11.11. 
1. ( )∑∞
=
−+
1
2
2 cos14
3 n
n
n
nxπ
2. ( ) ( )( )∑∞
=
+ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−−
1
3
2
1 sin11212
n
n
n nx
nn
π
π 
3. ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
1
2
2 sincos4
3
4
n n
nx
n
nx ππ
;
8
;
12
;
6
2
3
2
21
πππ === SSS 
11.13. 
1. ( )
( )
( ) ( )∑
∞
=
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−+−− 1 2
12cos
12
141
12
12
n
n
xn
nn π 
2. 
( )
( ) ( ) ( )∑
∞
=
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−+−
−
1
32 12sin12
8
12
12
n
n
xn
nn π 
11.14. ( )
32
;
3
;
4
;
12
12sin
321
1
πππ ===−
−∑∞
=
SSS
n
xn
n
11.15. ( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−+∑
∞
=
−
1
2
1
14
2cos1
2
14
n
n
n
nx
π 
 238 
 239
Tài liệu tham khảo 
1. Берман Г.И. - Сборник задач по курсу математического анализа - 
Наука - Москва 1969. 
2. Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому 
анализу - Наука - Москва 1969. 
3. Демидович Б.П. - Задачи и упражнения по математическому анализу, 
для втузоб - Наука - Москва 1978. 
4. Кудрявцев л.д. и д.р. - Сборник задач по математическому анализу 
(интегралы, ряды) - Наука - Москва 1986. 
5. Jean-Marie Monier - Giải tớch 1, 2 - NXB Giỏo dục - Hà Nội 2002.