Bài tập Trường điện tử - Chương 2: Trường điện tĩnh - Lê Minh Cường

Problem_ch2 1
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
(ÑS: )
r2
0
E aR i
r
r R
r R
→
→

a
aR
r
r R
r R
ϕ

Theá ñieän cuûa tröôøng ñieän tónh phaân boá trong heä caàu : 
(bieát a, R = const) 
Tìm vectô cöôøng ñoä tröôøng ñieän ?
2.1:
(ÑS: )6a cos
0
r R
r R
ε φρ 
3
a(3R-2r).r.cos
aR cos
r
r R
r R
φ
ϕ φ

Theá ñieän cuûa tröôøng ñieän tónh phaân boá 
trong heä truï (bieát a, b, R = const) : 
Tìm maät ñoä ñieän tích khoái töï do ? 
(bieát ε = const)
2.2:
Problem_ch2 2
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
(ÑS: Q = -ε0l2(3ad2 + 2bd) = 5.10-9 (C) )
Giöõa 2 ñieän cöïc phaúng hình vuoâng , caïnh l = 0,1 m, caùch nhau d = 5 mm, laø moâi 
tröôøng coù ε = ε0 toàn taïi theá ñieän : ϕ = ax3 + bx2 + cx vôùi : a = -6,28.108 (V/m3), b = -
9,24.105 (V/m2), c = -12.102 (V/m). Boû qua hieäu öùng meùp, tìm ñieän tích toaøn phaàn 
cuûa khoâng gian giöõa 2 ñieän cöïc ?
2.4:
(ÑS: 1 V )
E i i ix y zyz zx xy
→ → → →= + +
Tìm hieäu theá ñieän giöõa 2 ñieåm A(0, 22,7, 99) vaø B(1, 1, 1) bieát cöôøng ñoä tröôøng 
ñieän coù daïng : 
2.3:
Baèng 2 caùch : 
a) Xaùc ñònh bieåu thöùc cuûa theá ñieän ? 
b) Choïn ñöôøng thích hôïp töø A ñeán B cho vieäc tính tích phaân ñöôøng ?
Problem_ch2 3
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
Tìm ϕ vaø taïi P(z,0,0) , bieát ñóa troøn tích 
ñieän vôùi maät ñoä maët σ ? (bieát ε = ε0 trong toaøn 
khoâng gian)
E
→
2.6:
(ÑS:
)
2 2
02
a z zσϕ ε  = + − 
2 2
0
zE i 1 i
2
z z
d
dz a z
ϕ σ
ε
→ → → = − = − + 
2.5:Tìm ϕ vaø taïi P(x0,0,0) do ñoaïn daây chieàu daøi a, mang 
ñieän vôùi maät ñoä daøi λ taïo ra ? (bieát ε = ε0 )
E
→
(ÑS: )0
0 0
ln
4
x
x a
λϕ πε= − 0 0 0; E i4 ( ) x
a
x x a
λ
πε
→ →= −
Problem_ch2 4
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
2.7: Maët phaúng roäng voâ haïn tích ñieän vôùi maät ñoä maët σ = 
const , bieát ε = ε0 , tìm UMO vaø UNO ? 
(ÑS: )
02
MO NO
aU U σε= = −
Maët caàu daãn , baùn kính R, mang ñieän tích Q. Bieát ε = ε0
trong toaøn khoâng gian, tìm vectô cöôøng ñoä tröôøng ñieän vaø 
theá ñieän trong vaø ngoaøi voû caàu baèng hai caùch :
a) Duøng luaät Gauss ?
b) Duøng phöông trình Poisson-Laplace ? (Löu yù xaùc ñònh 
ñuû caùc phöông trình ñieàu kieän bieân , xem lyù thuyeát 2.4)
2.8:
(ÑS: )0
0
4
4
Q r R
r
Q r R
R
πεϕ
πε
 >=  <
2
0
i
4; E
0
r
Q r R
r
r R
πε
→
→  >=  <
Problem_ch2 5
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
Quaû caàu daãn, bkính a, theá ñieän 3U0, ñaët ñoàng 
taâm vôùi voû caàu daãn , bkính 2a vaø 3a, theá ñieän U0. 
Bieát ε = ε0 trong toaøn khoâng gian. Choïn ϕ∞ = 0, 
xaùc ñònh theá ñieän caùc mieàn : 
a) Mieàn r < a : 
b) Mieàn a < r < 2a : 
c) Mieàn 2a < r < 3a : 
d) Mieàn r > 3a : 
2.9:
(ÑS: a) 3U0
b) U0(4a/r – 1)
c) U0
d) 3U0/r )
Problem_ch2 6
Ñieän tích phaân boá khoái : ρ = r/(4π) (C/m3) trong hình truï (ε = 4ε0 ) , baùn kính a = 
0,5 (cm), naèm trong khoâng khí . Choïn theá ñieän baèng 0 treân truïc hình truï. 
a) Tìm vectô cöôøng ñoä tröôøng ñieän vaø theá ñieän trong & ngoaøi hình truï ? 
b) Vò trí maët ñaúng theá coù ϕ = -2 (V) ? 
2.10:
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
(ÑS: a) 
b) Maët ñaúng theá laø maët truï : r = 2 mm )
9
3
375ln 31,25 ( )
; 10 ( )
4
a
r r a
r r a
ϕ
 − >= − <9 2
375 i ( )
E
0,75.10 i ( )
r
r
r a
r
r r a
→
→
→
 >=  <
(ÑS:
)
4
20 0
2
0 0
5
2 6 12
dx Ux x U
d d
ρ ρϕ ε ε
  = − − + − +     
; E i x
d
dx
ϕ→ →= −
2.11 : Tuï phaúng, hieäu theá U, moâi tröôøng giöõa 2 coát tuï coù ε = ε0 vaø coù 
ñieän tích töï do phaân boá theo qui luaät : ρ = ρ0(1 – x2/d2) . Giaû
söû theá ñieän chæ phuï thuoäc toïa ñoä x, xaùc ñònh ϕ(x) vaø vectô 
cöôøng ñoä tröôøng ñieän giöõa 2 coát tuï ?
Problem_ch2 7
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
Giöõa 2 ñieän cöïc truï ñoàng truïc (ñieän cöïc trong coù baùn 
kính a vaø theá ñieän U ,ñieän cöïc ngoaøi coù baùn kính b vaø 
noái ñaát) laø moâi tröôøng coù ε = ε0 vaø coù ñieän tích töï do 
phaân boá khoái vôùi maät ñoä : ρ = ρ0 = const . Giaû söû theá
ñieän chæ phuï thuoäc r, tìm theá ñieän ϕ(r) vaø vectô cöôøng 
ñoä tröôøng ñieän giöõa 2 ñieän cöïc ?
2.12 :
(ÑS:
)
2
0
0
Cln D
4
r rρϕ ε= − + +
0
0
CE i i
2
r r
rd
dr r
ρϕ
ε
→ → → = − = −  
( )2 20
0
U a -b
4C aln
b
ρ
ε
 +  = ( )
2
2 20 0
0 0
b ln b; D U a -b
4 ln a b 4
ρ ρ
ε ε
 = − +  
Problem_ch2 8
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
Giöõa 2 ñieän cöïc phaúng , caùch nhau d, laø moâi tröôøng coù 
ε = ε0 vaø coù ñieän tích töï do phaân boá khoái theo qui luaät : ρ = ρ0.(d - x)/d , trong ñoù ρ0 = const . Hai ñieän cöïc ñaët 
döôùi hieäu theá ñieän U. Tìm:
a) Phaân boá theá ñieän vaø cöôøng ñoä tröôøng ñieän ? 
b) Maät ñoä maët ñieän tích töï do treân beà maët moãi ñieän 
cöïc ?
2.13 :
(ÑS: a) 
b)
)
3 2
0 0
0 0
.
6 2 3
dx x U x U
d d
ρ ρϕ ε ε
  = − + − + +     
2
0 0
0 02 3
x
dx UE x
d d
ρ ρ
ε ε
 = − + −  
0 0
0 3x
U d
d
ε ρσ = = −
0 0
6x d
U d
d
ε ρσ = = − −
Problem_ch2 9
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
2.15 : Caùp ñoàng truïc, bkính loõi laø a vaø voû laø b , daøi L, ñieän moâi lyù töôûng coù : ε = k/r , k 
= const . Loõi caùp coù theá ñieän U vaø voû noái ñaát. Xaùc ñònh vectô cöôøng ñoä tröôøng 
ñieän trong caùch ñieän vaø ñieän dung treân ñôn vò daøi cuûa caùp ?
(ÑS: b) 
1
1
1
1
2
2
3
( )
2
; ( )
2
( ) 0
R
R
R
R
R
λσ π
λσ π
σ
 = = − =
1
1D i
2
r
r
λ
π
→ →=
2D 0
→ =
(ÑS: ) 2;
( )
kC
b a
π= −E i( ) r
U
b a
→ →= −
Daây daãn truï raát daøi, baùn kính R1, mang ñieän ñeàu maät ñoä λ1. OÁng truï daãn (baùn kính R2 & R3) khoâng mang ñieän 
tích. Tìm ( mieàn R1 R3) vaø maät 
ñoä ñieän tích maët σ(R1) , σ(R2) , σ(R3) trong caùc tröôøng 
hôïp :
a) OÁng truï caùch ñieän vôùi daây daãn truï?
b) OÁng truï noái ñaát ?
c) OÁng truï noái vôùi daây daãn truï?
1D
→
2.14 :
2D
→
Problem_ch2 10
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
Tuï ñieän caàu , baùn kính coát trong laø a, coát ngoaøi laø b, 
giöõa 2 coát laø 2 lôùp ñieän moâi lyù töôûng coù ε1, ε2 = const . 
Theá coát trong laø U, coát ngoaøi baèng 0. Tìm:
2.17:
a) Caûm öùng ñieän , cöôøng ñoä tröôøng ñieän , theá ñieän 
trong moãi mieàn ?
b) Ñieän dung cuûa tuï ?
(ÑS: a)
b) ) 
1 2 r 2
abU 1E =E =E =
(b-a) r
1 22 ab( + )C=
(b-a)
π ε ε
1 2
aU b; = = 1
(b-a) r
ϕ ϕ  −  
Tuï ñieän truï, daøi L, bkính coát trong laø a , coù theá ñieän U , vaø ngoaøi laø b , ñöôïc noái 
ñaát. Ñieän moâi lyù töôûng coù : ε = kε0/r , k = const. Xaùc ñònh : 
a) Vectô cöôøng ñoä tröôøng ñieän vaø vectô phaân cöïc ñieän trong ñieän moâi ? 
b) Ñieän dung C0 (ñieän dung treân ñôn vò daøi ) ?
c) σlk treân beà maët ñieän moâi (tieáp xuùc coát tuï trong vaø coát tuï ngoaøi) ? 
2.16 :
(ÑS: a) b)
c) ) 
02
( )
kC
b a
π ε= −0E i ; P 1 i( ) ( )r r
UU k
b a r b a
ε→ → → → = = − − − 
0 0( ) 1 ; ( ) 1
( ) ( )lk lk
U Uk kr a r b
a b a b b a
ε εσ σ   = = − = = −   − −   
Problem_ch2 11
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
Tuï ñieän phaúng , dieän tích baûn cöïc laø S, hieäu theá U, giöõa 
2 baûn cöïc laø ñieän moâi lyù töôûng coù :
2.18:
Tìm:
a) Caûm öùng ñieän , cöôøng ñoä tröôøng ñieän , theá ñieän trong
moãi mieàn ?
b) Ñieän dung cuûa tuï ?
c) Maät ñoä ñieän tích lieân keát maët treân maët x = d1 ?
0 1
0
1
0 x d
d d x d
x
ε
ε ε

< <
= < <
(ÑS: a)
b) 
c) ) 
0
1 2 2 2
1 1
2ε dUD =D =D=
d +2dd -d
DSC=
U
1
lk
d=D 1
d
σ  −  
Problem_ch2 12
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
Tuï ñieän truï daøi ℓ , baùn kính coát trong laø a, ngoaøi laø c, ñaët 
döôùi hieäu theá U = const, coát ngoaøi noái ñaát , giöõa 2 coát tuï 
laø ñieän moâi lyù töôûng coù :
2.19:
Tìm:
a) Caûm öùng ñieän , cöôøng ñoä tröôøng ñieän , theá ñieän trong
moãi mieàn ?
b) Ñieän dung cuûa tuï ?
c) Maät ñoä ñieän tích lieân keát khoái trong töøng mieàn ?
0
0
b
r a r b
b r c
εε ε

< <=
< <
(ÑS: a)
b) 
c) 
) 
0
1 2 r
ε U 1D =D =D = .
b-a c+ln
b b
r   
rD .2 r.C=
U
π A
r
lk1
D=
b
ρ
lk2 =0ρ
Problem_ch2 13
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
Tuï ñieän truï , chieàu daøi laø L , baùn kính coát trong laø a , ngoaøi laø b , ñaët döôùi hieäu 
theá U = const, coát ngoaøi noái ñaát , giöõa 2 coát tuï laø ñieän moâi lyù töôûng coù ñoä 
thaåm ñieän ε = kr , vôùi r = baùn kính höôùng truïc , k = const, vaø cöôøng ñoää tröôøng 
ñieän choïc thuûng laø Ect. Xaùc ñònh :
2.20 :
a) Vectô caûm öùng ñieän , vectô cöôøng ñoä tröôøng ñieän trong ñieän moâi ?
b) Ñieän dung cuûa tuï ?
c) Ñieän aùp choïc thuûng Uct cuûa tuï ?
(ÑS: a)
b) 
c) ) 
2D i ; E i( ) ( )
r r
kUab Uab
b a r b a r
→ → → →= =− −
2 kLab=
b a
C π −
ct ct
aU =E a 1
b
 −  
Problem_ch2 14
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
2.21 :Tuï phaúng, hieäu theá U, giöõa 2 coát tuï laø ñieän moâi lyù töôûng coù : 
ε = 2ε0d/(2d - x) . Xaùc ñònh vectô cöôøng ñoä tröôøng ñieän vaø
ñieän dung cuûa tuï ?
(ÑS: ) ( )22E 2 i3 x
U d x
d
→ →= − 04 S; =
3d
C ε
2.22 : Ñieän tích phaân boá ñeàu trong moät quaû caàu baùn kính a, taâm ôû goùc toïa ñoä vôùi 
maät ñoä ñieän tích khoái ρ0 . Tính naêng löôïng tröôøng ñieän gaây ra bôûi ñieän tích 
khoái naøy ?
(ÑS: ) 
2 5
0
E
0
4 aW =
15
πρ
ε
Problem_ch2 15
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
(Caùc baøi toaùn duøng aûnh ñieän)
Hai truïc mang ñieän vôùi maät ñoä daøi ± λ, naèm trong 
khoâng khí, caùch maët phaúng daãn voâ haïn nhö hình veõ, 
tìm maät ñoä maët ñieän tích töï do σ taïi ñieåm M coù toïa 
ñoä x treân maët phaúng daãn ?
2.23 :
2 2 2 2
h h+d
h +x (h+d) +xM
λσ π
 = −  (ÑS: )
(HD: duøng aûnh ñieän : 
E sin sin sin siny E E E Eλ λ λ λα β β α− −=− + + −
2 2 2 2 2 2 2 2
E
( ) ( )
y
h d h h h dE E E E
x h d x h x h x h d
λ λ λ λ− −
+ += − + + −+ + + + + +
0
Khi E
2 rλ
λ
πε=
0M y yD Eσ ε⇒ = =
Problem_ch2 16
BAØI TẬP CHƯƠNG 2
(ÑS: a)
b) 
c)
) 
1
2
1 1 2
1 1 2 1
( )= .E =
2 (2 h ) ( ) 4y
F
hλ
λ ε ε λλ λ π ε ε ε π ε
−= +
1 2
P
1 1 2 1 1
( )= ln ln
2 ( ) 2
h h
r r
λ ε ε λϕ πε ε ε πε
−+ +
0 1 2
1 2 1 0 1 2 0 2 2
1 1 2
( )( ) ( )
( )lk y y y y
hP P E E
r
ε ε ελσ ε ε ε ε π ε ε ε
−= − + = − − + − = +
1 1
1
1 1
1 ( ) 1. . .
2 2 2y
h h hE
r r r r r r
λ λ λ λ
π π ε π ε
− = − =  
2
2
2
1; .
2y
hE
r r
λ
π ε
−=
2 2 2( )r x h= +
Truïc mang ñieän vôùi maät ñoä daøi λ (H 2.24) , tìm :
a) Löïc taùc duïng leân ñôn vò daøi daây daãn ?
b) Theá ñieän ϕ(x,y) taïi P ? (bieát ϕ(truïc z (x = 0,y = 0)) = 0) .
c) Maät ñoä σlk taïi x treân maët phaân caùch ?
2.24 :