Các độ đo thông tin tương hỗ đa biến có điều kiện

nh giá các độ đo này với phương pháp sử dụng
hệ số tương quan và hệ số tương quan bộ phận trong việc phát hiện mối quan hệ giữa hai
biến. Phần 3 giới thiệu các đề xuất mở rộng độ đo thông tin tương hỗ và thông tin tương hỗ
có điều kiện trong trường hợp đa biến. Một số ví dụ được trình bày trong phần này nhằm
kiểm chứng khả năng phát hiện các quan hệ đa biến là trực tiếp hay gián tiếp của thông tin
tương hỗ có điều kiện. Cuối cùng là một ứng dụng các độ đo chúng tôi đề xuất trong việc
phát hiện quan hệ gián tiếp trong mạng trao đổi chất ở người.
2. THÔNG TIN TƯƠNG HỖ CỦA HAI BIẾN, THÔNG TIN TƯƠNG HỖ
CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA HAI BIẾN
2.1. Thông tin tương hỗ của hai biến
Thông tin tương hỗ (MI) của hai biến ngẫu nhiên X và Y là độ đo trong Lý thuyết thông
tin phản ánh quan hệ giữa chúng. Khi X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, MI được định
CÁC ĐỘ ĐO THÔNG TIN TƯƠNG HỖ ĐA BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN 119
nghĩa như sau [2]:
MI(X,Y ) =
∑
x∈X
∑
y∈Y
p(x, y) log
p(x, y)
p(x).p(y)
(2.1)
Trong đó, p(x) và p(y) lần lượt là hàm phân phối biên duyên của X và của Y ; p(x, y) là
hàm phân phối xác suất đồng thời của hai biến X và Y .
Khi các biến X và Y là liên tục, phép tính tổng trong công thức trên được thay bởi phép
tính tích phân trên miền giá trị của X và Y .
Chúng ta có thể biểu diễn thông tin tương hỗ qua entropy như sau:
MI(X,Y ) = H(X) +H(Y )−H(X,Y ) (2.2)
Trong đó, H(X), H(Y ) và H(X,Y ) lần lượt là entropy của biến X, biến Y và (X,Y ).
Thông tin tương hỗ đã được xác nhận là độ đo hữu ích trong việc phát hiện sự tồn tại
quan hệ giữa hai biến [8, 10, 11]. Tuy nhiên, độ đo này không thể phân biệt được đó là quan
hệ trực tiếp giữa hai biến hay là quan hệ gián tiếp thông qua một hoặc nhiều biến trung
gian. Ở đây, hai biến được gọi là có quan hệ trực tiếp nếu chúng cùng tham gia vào một sự
kiện (phản ứng hoặc cơ chế điều hòa gien) và gọi là có quan hệ gián tiếp nếu chúng quan hệ
với nhau thông qua một hoặc một dãy biến trung gian.
2.2. Thông tin tương hỗ có điều kiện của hai biến
Khi các biến X và Y không trực tiếp quan hệ với nhau nhưng có mối quan hệ gián tiếp
thông qua biến thứ ba, MI sẽ phát hiện sự tồn tại quan hệ giữa X và Y . Nếu quan sát thêm
được biến Z, ta có thể biết thêm thông tin về mối quan hệ này. Bằng cách lấy trung bình
thông tin tương hỗ của hai biến X và Y trên biến Z, ta có thể biết được X và Y có quan
hệ gián tiếp thông qua Z (ký hiệu, X ↔ Z ↔ Y ) hay không. Độ đo trung bình thông tin
tương hỗ của hai biến trên biến thứ ba được gọi là thông tin tương hỗ có điều kiện (CMI)
và được định nghĩa như sau:
MI(X,Y | Z) =
∑
z∈Z
p(z)
∑
x∈X
∑
y∈Y
p(x, y | z) log p(x, y | z)
p(x | z).p(y | z) (2.3)
=
∑
z∈Z
p(z)MI(X,Y | Z = z) (2.4)
Trong đó, p(x | z) là hàm phân phối xác suất của biến X với điều kiện Z; p(x, y | z) là
hàm phân phối xác suất đồng thời của hai biến X và Y với điều kiện Z.
MI của hai biến có thể tăng lên hoặc giảm đi khi có sự xuất hiện của biến thứ ba. Trong
khi MI(X,Y | Z) đo mức độ tương hỗ trung bình giữa hai biến X và Y trên các giá trị của
Z thì MI(X,Y ) đo mức độ tương hỗ trên không gian dữ liệu của hai biến X và Y . Có thể
MI(X,Y ) lớn nhưng MI(X,Y | Z) nhỏ vì khi quan sát trên hai biến X và Y ta chỉ nhìn
được hình chiếu của dữ liệu trên không gian hai chiều X và Y . Nhưng khi quan sát cả ba
biến X,Y, Z, mối quan hệ giữa X và Y có sự chi phối của Z, khi đó ta có thể biết được sự
phụ thuộc gián tiếp X ↔ Z ↔ Y .
Ví dụ 2.1. Lặp 10 lần quá trình sinh ba biến rời rạc X,Y, Z theo xích Markov X → Z → Y .
Cụ thể, trong ví dụ này, chúng tôi sử dụng Matlab để sinh ba biến theo qui tắc sau: Z =
120 NGUYỄN QUỲNH DIỆP1, PHẠM THỌ HOÀN1, HỒ TÚ BẢO2
X + noise1 và Y = Z + noise2. Kết quả tính toán các giá trị MI và CMI được trình bày
trong Bảng 1.
Bảng 1. Quan hệ gián tiếp X ↔ Z ↔ Y với dữ liệu rời rạc
n MI(X,Y) MI(Y,Z) MI(Z,X) MI(Y,Z|X) MI(Z,X|Y) MI(X,Y|Z)
1 0.7179 0.8678 0.8022 0.1505 0.0850 0.0007
2 0.4602 0.6628 0.6636 0.2085 0.2093 0.0059
3 0.5031 0.6391 0.7599 0.1389 0.2598 0.0030
4 0.5626 0.7552 0.7132 0.1957 0.1536 0.0030
5 0.4400 0.7116 0.5954 0.2779 0.1618 0.0063
6 0.5395 0.6766 0.7622 0.1401 0.2257 0.0031
7 0.6343 0.6845 0.9256 0.0518 0.2929 0.0016
8 0.5460 0.7706 0.6640 0.2275 0.1209 0.0029
9 0.5695 0.7574 0.7261 0.1909 0.1596 0.0030
10 0.5811 0.7261 0.6758 0.1658 0.1154 0.0027
Quan sát các giá trị trong cột MI(X,Y | Z) của Bảng 1, ta thấy chúng rất nhỏ so với
các giá trị CMI khác. Hơn nữa, sự chênh lệch giữa MI(X,Y ) và MI(X,Y | Z) rất lớn so
với các cặp (Y, Z) và (Z,X). Trong trường hợp ba biến X,Y, Z là liên tục, ta cũng có kết
quả tương tự như trường hợp rời rạc (xem Bảng 2).
Bảng 2. Quan hệ gián tiếp X ↔ Z ↔ Y với dữ liệu liên tục
n MI(X,Y) MI(Y,Z) MI(Z,X) MI(Y,Z|X) MI(Z,X|Y) MI(X,Y|Z)
1 1.1160 1.2275 1.6746 0.1168 0.5639 0.0053
2 1.0465 1.2705 1.5215 0.2240 0.4751 0.0000
3 1.1301 1.3662 1.6871 0.2395 0.5603 0.0033
4 1.0948 1.2949 1.4992 0.2034 0.4076 0.0032
5 1.1314 1.2995 1.6412 0.1693 0.5111 0.0013
6 1.0682 1.3292 1.6274 0.2687 0.5669 0.0077
7 0.9284 1.0772 1.6978 0.1531 0.7737 0.0043
8 1.1725 1.3710 1.6396 0.1993 0.4679 0.0008
9 1.1974 1.4622 1.7728 0.2740 0.5846 0.0092
10 1.0436 1.1358 1.6151 0.0998 0.5791 0.0075
2.3. Ứng dụng thông tin tương hỗ có điều kiện của hai biến để phát hiện tương
tác gián tiếp
Trong một nghiên cứu trước đây [14], Zhang và cộng sự đã đề xuất thuật toán Path
Consistency (PC) để phát hiện quan hệ giữa hai biến. Trong thuật toán đó, tác giả dùng MI
của hai biến để phát hiện quan hệ giữa chúng, sau đó sử dụng CMI để loại bỏ quan hệ gián
CÁC ĐỘ ĐO THÔNG TIN TƯƠNG HỖ ĐA BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN 121
tiếp. Tuy nhiên, thuật toán PC chỉ xét đến trường hợp MI(X,Y ) lớn hơn ngưỡng nào đó,
còn trường hợp MI(X,Y ) nhỏ hơn ngưỡng thì tác giả coi như giữa X và Y không tồn tại
quan hệ. Như vậy, phương pháp PC có thể đã bỏ sót các quan hệ gián tiếp X ↔ Z ↔ Y .
Ngoài việc sử dụng cặp MI và CMI để tìm các tương tác thực sự giữa các biến và loại
bỏ các tương tác gián tiếp như trong bài báo trên, một ý tưởng tương tự đó là dùng hệ số
tương quan và hệ số tương quan bộ phận để phát hiện tương tác giữa các biến [7]. Trong
nghiên cứu này, tác giả đã sử dụng hệ số tương quan để phát hiện các tương tác giữa hai
biến và dùng hệ số tương quan bộ phận (tức là hệ số tương quan giữa hai biến sau khi loại
bỏ tương quan gián tiếp thông qua một biến thứ ba) để phát hiện tương quan giữa hai biến
có là gián tiếp không. Nhược điểm của phương pháp này là hệ số tương quan và hệ số tương
quan bộ phận chỉ có thể phát hiện được các kiểu quan hệ tuyến tính [4]. Chẳng hạn, khi hai
biến có quan hệ phi tuyến, y = x2, thì hệ số tương quan giữa chúng bằng 0. Như vậy, hệ số
tương quan không thể phát hiện được sự phụ thuộc phi tuyến, trong khi thông tin tương hỗ
lại làm được điều này.
3. THÔNG TIN TƯƠNG HỖ ĐA BIẾN, THÔNG TIN TƯƠNG HỖ ĐA
BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN
3.1. Thông tin tương hỗ đa biến
Trong trường hợp đa biến, ngoài mối quan hệ tương tác giữa hai biến, còn có thêm mối
quan hệ đồng thời giữa ba biến (gọi là quan hệ tổng hợp) và mối quan hệ giữa một biến với
cặp hai biến còn lại (gọi là quan hệ bộ phận). Từ các phân tích đó, chúng tôi đã đề xuất
công thức MI tổng quát trong trường hợp đa biến như sau [11]:
Định nghĩa 3.1. Thông tin tương hỗ của n biến {X1, . . . , Xn} với phân hoạch {D1, . . . , Dk}
được định nghĩa:
MI{D1,...,Dk}(X1, . . . , Xn) = H(D1) + . . .+H(Dk)−H(X1, . . . , Xn) (3.5)
trong đó, {X1, . . . , Xn} = D1 ⊕ . . .⊕Dk.
Trong trường hợp ba biến, chúng ta có các độ đo thông tin tương hỗ như sau:
MI(X,Y, Z) = TC(X,Y, Z) = H(X) +H(Y ) +H(Z)−H(X,Y, Z) (3.6)
MI(X, [Y,Z]) = H(X) +H(Y,Z)−H(X,Y, Z) (3.7)
MI(Y, [Z,X]) = H(Y ) +H(Z,X)−H(X,Y, Z) (3.8)
MI(Z, [X,Y ]) = H(Z) +H(X,Y )−H(X,Y, Z) (3.9)
Tuy nhiên, như phân tích trong phần 2.2, độ đo thông tin tương hỗ đa biến không thể
cho ta biết mối quan hệ giữa các biến là quan hệ trực tiếp hay gián tiếp thông qua các biến
trung gian. Vì vậy, trong phần tiếp theo, chúng tôi đề xuất các công thức mở rộng thông tin
tương hỗ có điều kiện trong trường hợp đa biến.
122 NGUYỄN QUỲNH DIỆP1, PHẠM THỌ HOÀN1, HỒ TÚ BẢO2
3.2. Thông tin tương hỗ đa biến có điều kiện
Từ định nghĩa CMI trong trường hợp hai biến, chúng tôi đề xuất một mở rộng của độ
đo CMI là độ đo thông tin tương hỗ đa biến có điều kiện như sau:
Định nghĩa 3.2. Thông tin tương hỗ có điều kiện của n biến {X1, . . . , Xn} với phân hoạch
{D1, . . . , Dk} trên điều kiện C được định nghĩa:
MI{D1,...,Dk}(X1, . . . , Xn | C) = H(D1 | C) + . . .+H(Dk | C)−
− H(X1, . . . , Xn | C) (3.10)
trong đó, {X1, . . . , Xn} = D1 ⊕ . . .⊕Dk.
Trong trường hợp ba biến X,Y, Z, ta có các phân hoạch sau:
a. D1 = {X}, D2 = {Y }, D3 = {Z}
b. D1 = {X}, D2 = {Y,Z}
c. D1 = {Y }, D2 = {Z,X}
d. D1 = {Z}, D2 = {X,Y }
Do đó, tương ứng với 4 kiểu phân hoạch trên, theo công thức (3.10) ta có các độ đo thông
tin tương hỗ có điều kiện của ba biến X,Y, Z trên biến thứ tư T như sau:
• Thông tin tương hỗ tổng hợp của ba biến X,Y, Z trên điều kiện T
MI(X,Y, Z | T ) = H(X | T ) +H(Y | T ) +H(Z | T )−H(X,Y, Z | T ) (3.11)
• Thông tin tương hỗ bộ phận giữa một biến với cặp hai biến trên điều kiện T
MI(X, [Y,Z] | T ) = H(X | T ) +H(Y, Z | T )−H(X,Y, Z | T ) (3.12)
MI(Y, [Z,X] | T ) = H(Y | T ) +H(Z,X | T )−H(X,Y, Z | T ) (3.13)
MI(Z, [X,Y ] | T ) = H(Z | T ) +H(X,Y | T )−H(X,Y, Z | T ) (3.14)
Giống như CMI của hai biến, các CMI đa biến cũng có khả năng phát hiện các tương
tác đa biến gián tiếp.
Ví dụ 3.1. Trong ví dụ này, chúng tôi sử dụng Matlab lặp 10 lần quá trình sinh bốn biến
X,Y, Z, T theo qui tắc sau: hai biến liên tục Y, Z độc lập; biến T phụ thuộc vào Y và Z, giả
sử T = Y + Z + noise3; biến X phụ thuộc vào biến T , giả sử X = T + noise4. Sau khi tính
toán các giá trị CMI trên tất cả các biến điều kiện, ta có kết quả được trình bày trong Bảng
3. Cột MI(Y,Z) cho ta thấy hai biến Y và Z độc lập. Giá trị trong cột MI(X, [Y,Z]|T ) rất
nhỏ so với các giá trị CMI trên các điều kiện biến X,Y, Z. Như phân tích trong Ví dụ 2.1,
điều đó có nghĩa rằng, giữa X và (Y, Z) có mối quan hệ gián tiếp thông qua biến T (kiểu
X ↔ T ↔ [Y, Z]).
Như vậy, dựa vào thông tin tương hỗ đa biến và thông tin tương hỗ đa biến có điều kiện,
không những chúng ta có thể biết được mối quan hệ tồn tại giữa các biến mà còn có thể biết
được mối quan hệ đó là quan hệ trực tiếp hay gián tiếp.
CÁC ĐỘ ĐO THÔNG TIN TƯƠNG HỖ ĐA BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN 123
Bảng 3. Quan hệ gián tiếp X ↔ T ↔ [Y,Z] với dữ liệu liên tục
n MI(Y,Z) MI(T,[Y,Z]) MI(X,[Y,Z]) MI(T,[Y,Z]|X) MI(X,[Y,Z]|T)
1 0.0019 2.6680 1.4355 1.2326 0.0001
2 0.0002 2.6469 1.5718 1.0890 0.0138
3 0.0020 2.6661 1.4642 1.2159 0.0140
4 0.0040 2.7685 1.5094 1.2775 0.0184
5 0.0012 2.6481 1.6885 0.9748 0.0152
6 0.0003 2.6646 1.3962 1.2699 0.0015
7 0.0020 2.7581 1.4426 1.3253 0.0097
8 0.0054 2.5400 1.2922 1.2746 0.0269
9 0.0051 2.6122 1.4902 1.1236 0.0017
10 0.0002 2.7149 1.6008 1.1272 0.0130
3.3. Ước lượng entropy, MI và CMI
Từ các công thức tính MI và CMI, ta thấy các độ đo này được định lượng dựa trên
entropy, entropy được định lượng dựa trên hàm mật độ. Nếu dữ liệu là rời rạc, ta có thể dễ
dàng ước lượng hàm mật độ dựa trên thống kê tần suất. Trong trường hợp dữ liệu liên tục,
bài toán trở nên khó khăn hơn. Các phương pháp ước lượng được chia thành hai loại [6, 12]:
ước lượng tham số (Bayesian, Maximum Likelihood, Edgeworth,. . . ) và ước lượng phi tham
số (Histogram, B-spline, Kernel density, k-nearest neighbours,. . . ). Đối với các phương pháp
tham số, tư tưởng chính của phương pháp này là giả định hàm mật độ thuộc một họ hàm
nhất định với một tập các tham số kèm theo. Mục đích của phương pháp là tìm các giá trị
thích hợp cho các tham số để phù hợp với dữ liệu đầu vào. Trong khi đó, phương pháp phi
tham số lại không cần giả định hàm mật độ phải thuộc một họ hàm nhất định. Hiện nay,
các phương pháp ước lượng phi tham số được sử dụng rộng rãi vì phương pháp này mang
tính tự nhiên hơn. Thật khó để biết trước dữ liệu có phân bố thuộc dạng nào trong khi ta
đang cần ước lượng phân bố đó.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng phương pháp ước lượng entropy, MI và CMI
theo phân bố xác suất Gaussian được mô tả trong [1]:
P (Xi) =
1
N
N∑
j=1
1
(2pi)n/2 | C |n/2 exp
(− 1
2
(Xj −Xi)TC−1(Xj −Xi)
)
(3.15)
Trong đó, C là ma trận hiệp phương sai của biến X; N là số lượng mẫu; n là số lượng
biến trong C.
Với ước lượng xác suất trong công thức (3.15), ta có entropy được biểu diễn như sau [14]:
H(X) = log
[
(2pie)n/2 | C |1/2 ] = 1
2
log(2pie)n | C | (3.16)
Do đó, MI và CMI cũng được ước lượng như sau:
MI(X,Y ) =
1
2
log
| C(X) | . | C(Y ) |
| C(X,Y ) | (3.17)
124 NGUYỄN QUỲNH DIỆP1, PHẠM THỌ HOÀN1, HỒ TÚ BẢO2
MI(X,Y | Z) = 1
2
log
| C(X,Z) | . | C(Y,Z) |
| C(Z) | . | C(X,Y, Z) | (3.18)
Tương tự, các công thức chúng tôi đề xuất (3.6)-(3.9) và (3.11)-(3.14) cũng được biểu
diễn như sau:
MI(X,Y, Z) =
1
2
log
| C(X) | . | C(Y ) | . | C(Z) |
| C(X,Y, Z) | (3.19)
MI(X, [Y,Z]) =
1
2
log
| C(X) | . | C(Y, Z) |
| C(X, [Y,Z]) | (3.20)
MI(X,Y, Z | T ) = 1
2
log
| C(X,T ) | . | C(Y, T ) | . | C(Z, T ) |
| C(T ) |2 . | C(X,Y, Z) | (3.21)
MI(X, [Y, Z] | T ) = 1
2
log
| C(X,T ) | . | C([Y,Z], T ) |
| C(T ) | . | C(X, [Y,Z], T ) | (3.22)
3.4. Ứng dụng thông tin tương hỗ đa biến có điều kiện để phát hiện tương tác
gián tiếp
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một ứng dụng của các độ đo đề xuất trong việc
phát hiện các quan hệ tương tác gián tiếp. Chúng tôi áp dụng phương pháp đề xuất lên dữ liệu
trao đổi chất in silico về sự chuyển hóa trong tế bào hồng cầu RBC [5, 9]. Đây là dữ liệu biểu
diễn dưới dạng một ma trận 1000× 39 mô tả nồng độ của 39 chất chuyển hóa tại 1000 điểm
thời gian. Dữ liệu này được tải về tại địa chỉ ∼ilya/wiki/index.php/RBC
_Metabolic_Network. Mô hình RBC bao gồm 39 chất chuyển hóa và 44 phản ứng.
Chúng tôi đã lập trình trên Matlab, sử dụng các công thức ước lượng đã trình bày trong
phần 3.3 để tính toán các giá trị MI. Sau khi đã phát hiện được mối quan hệ tương tác giữa
các cặp bốn chất nhờ vào độ đo MI đa biến đã đề xuất, chúng tôi sử dụng độ đo CMI đa
biến để phát hiện mối quan hệ tương tác gián tiếp giữa chúng.
Chẳng hạn, với cặp bốn biến có giá trị thông tin tương hỗ lớn là (4,5,6,13) tương ứng
với các chất (DHAP,GAP,DPG13, NADH) liên quan đến hai phản ứng tpi và gapdh;
(15,18,19,20) tương ứng với các chất (GO6P,RU5P,R5P,X5P ) liên quan đến phản ứng
gl6pdh, ru5pi và xu5pe, ta có các giá trị CMI được trình bày trong Bảng 4.
Bảng 4. Phát hiện các tương tác gián tiếp sử dụng CMI đề xuất
Cặp (4,5,6,13) Cặp (15,18,19,20)
MI(4,[6,13]|5)=0.01 MI(15,[19,20]|18)=0.006
MI(6,[13,4]|5)=0.10 MI(19,[20,15]|18)=0.018
MI(13,[4,6]|5)=0.11 MI(20,[15,19]|18)=0.034
MI(4,[5,13]|6)=6.52 MI(18,[19,20]|15)=4.952
MI(4,[5,6]|13)=6.93 MI(18,[20,15]|19)=1.143
Quan sát các giá trị trong Bảng 4, ta có nhận xét: giá trị MI(4, [6, 13]|5) nhỏ nhất, điều
đó có nghĩa là giữa (DHAP,GAP,DPG13, NADH) có mối quan hệ tương tác gián tiếp kiểu
CÁC ĐỘ ĐO THÔNG TIN TƯƠNG HỖ ĐA BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN 125
DHAP ↔ GAP ↔ [DPG13, NADH]. Tương tự, giữa (GO6P,RU5P,R5P,X5P ) có mối
quan hệ gián tiếp GO6P ↔ RU5P ↔ [R5P,X5P ]. Đối chiếu với mô hình RBC đã cho trong
[5], ta thấy các quan hệ vừa tìm được hoàn toàn trùng khớp với các phản ứng được mô tả
trong Hình 3.1(a) và Hình 3.1(b) của mô hình RBC.
Hình 3.1. Mô hìnhRBC tương ứng với: (a) phản ứng tpi và gapdh. (b) phản ứng gl6pdh, ru5pi
và xu5pe. Trong đó, hình elip biểu diễn các chất, hình chữ nhật biểu diễn các phản ứng.
4. KẾT LUẬN
Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã đề xuất các độ đo thông tin tương hỗ đa biến có điều
kiện. Bằng các ví dụ minh họa, chúng tôi đã chỉ ra rằng các độ đo thông tin tương hỗ đa
biến có điều kiện là hữu ích trong việc xác định quan hệ đa biến gián tiếp thông qua biến
trung gian. Khi số biến tăng lên, các loại quan hệ giữa các biến cũng đa dạng, việc xác định
các loại quan hệ đa biến là gián tiếp thông qua các biến khác là vấn đề hết sức phức tạp.
Cũng trong nghiên cứu này, chúng tôi đã áp dụng độ đo thông tin tương hỗ đa biến có
điều kiện trên dữ liệu trao đổi chất về sự chuyển hóa trong tế bào hồng cầu của người. Kết
quả cho thấy, độ đo mà chúng tôi đề xuất có khả năng phát hiện chính xác các quan hệ
tương tác gián tiếp mà các phương pháp trước đây có thể đã bỏ sót. Tuy nhiên, trong nghiên
cứu này, chúng tôi mới chỉ kiểm chứng mối liên hệ giữa độ đo thông tin tương hỗ đa biến có
điều kiện với tương tác gián tiếp chứ chưa chứng minh chặt chẽ về mặt mặt toán học là độ
đo này có thể phát hiện tương tác gián tiếp. Đây là vấn đề chúng tôi sẽ còn tiếp tục nghiên
cứu.
LỜI CẢM ƠN
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED),
mã số đề tài 102.01-2001.05.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. K. Basso, A. Margolin, G. Stolovitzky, U. Klein, R. Dalla-Favera and A. Califano, "Reverse
engineering of regulatory networks in human B cells", Nature Genetics, 37 (2005), 382-390.
[2]. T. Cover and J. Thomas, "Elements of Information Theory", Molecular Systems Biology,
Wiley-Interscience, A John Wiley & Sons, Inc., Publication, (2006).
126 NGUYỄN QUỲNH DIỆP1, PHẠM THỌ HOÀN1, HỒ TÚ BẢO2
[3]. R. Fano, "A Statistical Theory of Communication", MIT Press, Cambridge, Massachussets,
1961.
[4]. F. He, R. Balling and A.P. Zeng, "Reverse engineering and verification of gene networks: Prin-
ciples, assumptions, and limitations of present method and future perspectives", Journal of
Biotechnology, 144 (2009), 190-203.
[5]. K.J. Kauffman, J.D. Pajerowski, N. Jamshidi, B.O. Palsson and J.S. Edwards, "Description and
Analysis of Metabolic Connectivity and Dynamics in the Human Red Blood Cell", Biophysical,
83 (2002), 646-662.
[6]. Liam Paninski, "Estimation of Entropy and Mutual Information", Neural Computation, 15
(2003), 1191–1253.
[7]. P.M. Magwene and J. Kim, "Estimating genomic coexpression networks using first-order condi-
tional independence", Genome Biololy, 5:R100 (2004), DOI:10.1186/gb-2004-5-12-r100.
[8]. P. Meyer, F. Lafitte and G. Bontempi, "A R/Bioconducto Package for Inferring Large
Transcriptional Networks Using Mutual Information", BMC Bioinformatics, 9 (2008),
DOI:10.1186/1471-2105-9-461.
[9]. I. Nemenman, G.S. Escola, W.S. Hlavacek, P.J. Unkefer, C.J. Unkefer and M.E. Wall, "Re-
construction of Metabolic Networks from High-throughput Metabolite Profiling Data: in sil-
ico Analysis of Red Blood Cell Metabolism", Ann N. Y. Acad Sci., 1115 (2007), 102-115,
DOI:10.1196/annals.1407.013.
[10]. Q.D. Nguyen, T.H. Pham, T.B. Ho, V.H. Nguyen and D.H. Tran, "Reconstruction of Triple-wise
Relationships in Biological Networks from Profiling Data", The 9th International Conference
on Computing and Information Technology-IC2IT , Thailand, May.09-10, 2013, 205-215,
DOI:10.1007/978-3-642-37371-8_24.
[11]. T.H. Pham, T.B. Ho, Q.D. Nguyen, D.H. Tran and V.H. Nguyen, "Multivariate Mutual Infor-
mation Measures for Discovering Biological Networks", The 9th IEEE - RIVF International
Conference on Computing and Comunication Technologies Research, Ho Chi Minh city,
Vietnam, Feb.27-Mar.01, 2012, 103-108, DOI:10.1109/rivf.2012.6169834.
[12]. A.F. Villaverde, J. Ross and J.R. Banga, "Reverse Engineering Cellular Networks with Infor-
mation Theoretic Methods", Cells, 2 (2013), 306-329, DOI:10.3390/cells2020306.
[13]. K. Wang, M. Saito, B. Bisikirska, M. Alvarez, W. Lim, P. Rajbhandari, Q. Shen, I. Nemenman,
K. Basso, A. Margolin, U. Klein, R. Favera and A. Califano, "Genome-wide identification of post-
translational modulators of transcription factor activity in human B cells", Nat. Biotechnol, 27
(2009), 829-839.
[14]. X. Zhang, X. Zhao, K. He, L. Lu, Y. Cao, J. Liu, J.K. Hao, Z.P. Liu and L. Chan, "Inferring
gene regulatory networks from gene expression data by path consistency algorithm based on
conditional mutual information", Bioinformatics, 28 (2012), 98-104.
Ngày nhận bàu 01 - 10 - 2013
Nhận lại sau sửa ngày 12 - 03 - 2014