Giáo trình Cơ học lý thuyết - Phần: Tĩnh học

tuyến, f là hệ số tỷ lệ còn gọi là hệ số ma sát 
trượt, đó là một hư số. 
Như vậy lực ma sát trượt cực đại tỷ lệ với phản lực pháp tuyến. 
3. Hệ số ma sát trượt f chỉ phụ thuộc vào bản chất các vật ( gỗ, sắt, gạch, ...) và 
trạng thái bề mặt vật tiếp xúc ( trơn, nhám, ướt...) mà không phụ thuộc vào diện tích 
tiếp xúc. 
Hệ số f được xác định bằng thực nghiệm. Sau đây là vài giá trị của f. 
Gỗ trên gỗ : f = 0,4÷0,7 
Thép trên thép : f = 0,15÷0,25 
Đá trên đá : f = 0,6÷0,7 
Cuối cùng ta có : NfF .0 ≤≤ 
Khi vật A trượt, ta có hệ số ma sát trượt động fđ. Hệ số fđ còn phụ thuộc vận tốc 
chuyển động của vật, nhưng thường lấy ≈ f. 
Chương III Ma sát Trang45 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
2.2 Góc ma sát và nón ma sát : 
 Trên đây, khi giải các bài toán tĩnh học ta bỏ qua ma sát, giả thuyết các mặt liên 
kết nhẵn, nên chỉ có phản lực pháp tuyến ở mặt liên kết đó. Khi có ma sát trượt, 
ngoài phản lực pháp tuyến N
G
 còn thêm lực ma sát trượt F
G
, khi đạt đến trạng thái 
giới hạn F = Fmax, hợp hai thành phần phản lực N
G
 và msF
G
 ta được phản lực toàn 
phần : 
maxmax FNR
GGG += 
Lực maxR
G
làm với phản lực pháp tuyến N
G
 một φ, φ được gọi là góc ma sát trượt. 
Theo hình 62, ta có : 
fN =
N
f
N
F
tg == .maxϕ
ftg =
 ϕ
Như vậy, tang góc ma sát bằng hệ số ma sát 
trượt. 
Khi vật cân bằng thì nên phản lực 
toàn phần 
maxFF ≤
FNR
GGG += nằm trong góc ma sát. 
Nếu cho vật di chuyển theo mọi hướng trên mặt liên kết B thì phản lực maxR
G
 sẽ 
quét nên hình nón, gọi đó là nón ma sát. Với mọi hướng góc ma sát không đổi thì ta 
được nón ma sát tròn xoay. 
N
G
maxF
G
maxR
G
Hình 62 
φ 
2.3 Bài toán cân bằng khi có ma sát : 
Cũng như mọi bài toán tĩnh học, bài toán 
cân bằng khi có ma sát trượt thì hệ lực tác 
dụng lên vật phải thoả mãn điều kiện cân 
bằng. 
Ngoài ra, lực ma sát trượt cần phải thoả 
mãn điều kiện giới hạn của nó, nghĩa là : 
NfF .0 ≤≤ 
hoặc ϕα ≤ 
( R
G
 phải nằm trong nón ma sát ) 
Chương III Ma sát Trang46 
R
G
α φ
Hình 63 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
 Khi F = Fmax = f.N thì vật vẫn còn cân bằng, trạng thái cân bằng này gọi là cân 
bằng giới hạn. 
 Còn đối với mọi giá trị khác của NfF .≤ vật vẫn cân bằng, nên bài toán ma sát 
không phải một mà nhiều vị trí cân bằng tạo thành một miền cân bằng. 
Vì vậy để giải bài toán cân bằng khi có ma sát, 
ta thường khảo sát véctơ ở trạng thái cân bằng 
giới hạn, từ đó suy ra miền cân bằng của bài 
toán. 
Ví dụ : Trên mặt phẳng OB có thể quay quanh 
O, ta đặt vật nặng A trọng lượng P. Hệ số ma 
sát trượt giữa vật nặng và mặt OD là f. Tìm 
góc α bao nhiêu để vật A bặt đầu trượt (hình 64) 
Bài giải:
 Ta khảo sát vật A cân bằng, dưới tác dụng của pháp ến N
G
trọng lượng P
G
, 
lực ma sát F
G
 ( F
G
hướng lên vì vật A có xu hướng trượt xuố
( P
G
, N
G
, F
G
) ~ 0 
Hình 64 
α 
B 
O
y 
P
G
N
G
F
G
 Lập các phương trình cân bằng : 
fNF
PNY
PFX
=
=−=
=−=
∑∑ 0cos
0sin
α
α
 Giải các phương trình trên ta tìm được : tgα = f. 
 Khi vật A ở trạng thái cân bằng giới hạn thì tgα = tgφ 
 Như vậy khi góc α bằng góc ma sát vật sẽ trượt. Đây 
góc ma sát φ và từ đó suy ra hệ số ma 
sát f. 
Ví dụ 2: Cho một hệ như hình vẽ. Để 
giữ vật Q không rơi xuống cần tác 
dụng lực P nhỏ nhất bao nhiêu ? Cho 
biết hệ số ma sát trượt giữa má hãm 
và bánh xe là f. Bỏ qua bề dày má 
hãm Q. 
Hình 6
a
A
Chương III Ma sát tuyng). Vì vật cân bằng : 
(1)
(2)
(3)
hay α = φ. 
cũng là thí nghiệm để tím 
5 
b C 
B
R
Q
G
O r 
 Trang47 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
Bài giải:
Hình 66 
OR
GmsF
G CN
G
Q
G
Ta chia bài toán này ra hai bước : 
Bước I: Ta khảo sát bánh xe và trục O ở trạng thái cân 
bằng giới hạn, nghĩa là : 
F = Fmax = fN 
Ở bánh xe và trục O gắn chặt với nhau. Hệ lực tác dụng 
lên vật là (Q ,
G
msCO FNR
GGG
,, )~0 
Trong đó OR
G
 là phản lực ở trục O, CN
G
 là phản lực pháp 
tuyến của má hãm áp lên bánh xe. msF
G
 là lực ma sát trượt 
do má hãm đặt lên bánh xe (hình 66) 
Ta lập phương trình mômen đối với O: 
0..)( =+−=∑ RFrQFm msO G 
và điều kiện của lực ma sát là : 
CN '
G
minP
G
AR
G
msF '
G
Hình 67 
A B 
Fms = f.NC
 Từ điều kiện (1) và (2) ta suy ra : 
fR
rQNC = . 
Bước 2: Xét cân bằng đòn AB với các lực tác dụng : ( min,',', FFNR msCA
GGGG
)~0 trong đó 
CN '
G
 và msF '
G
 là nội lực của hệ nên khi tách ra ta vẽ ngược chiều với CN
G
msF
G
 tác dụng 
lên bánh x. Vì xét cân bằng giới hạn nên lực P = Pmin , nếu P>Pmin thì NC càng lớn và 
tời càng cân bằng, nếu P<Pmin thì NC sẽ nhỏ không đủ sức giữ vật Q và tời O quay. Ta 
lập điều kiện cân bằng là phương trình mômen đối với A. 
∑ =+−= 0)(')( minPbaaNPm CA G 
Từ đó suy ra : minPa
baNC
+= 
Ta biết NC = NC nên : fR
rQP
a
ba =+ min và fRba
raQP
)(min += 
Vậy muốn tời cân bằng thì : 
fRba
raQP
)(min +≥ 
Chương III Ma sát Trang48 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
§3. MA SÁT LĂN 
Ma sát lăn là hiện tượng chuyển 
động lăn hay có xu hướng lăn của vật 
này trên mặt vật khác. 
Có một con lăn đặt trên mặt vật liên 
kết B có xu hướng lăn về phía bên phải 
thì tại điểm liên kết ngoài phản lực pháp 
tuyến N
G
, lực ma sát trượt F
G
 còn xuất hiện một ngẫu lực N cản chuyển động lăn gọi 
là ngẫu lực ma sát lăn. 
3.1 Các định luật và ma sát lăn : 
Qua thực nghiệm ta thấy : 
- Ngẫu lực ma sát lăn có chiều ngược với chiều vật có hướng lăn. 
N
G
F
G
Hình 68 
M 
- Ngẫu lực ma sát lăn có mômen biến thiên và có giới hạn là Mmax (Mmax ngẫu lực 
ma sát lăn cực đại) : max0 MM ≤≤
- Mômen ngẫu lực ma sát lăn cực đại tỷ lệ phản lực pháp tuyến N. 
Mmax = kN 
Hệ số tỷ lệ k gọi là hệ số ma sát lăn, có thứ nguyên dài được xác định bằng thực 
nghiệm. Hệ số k cũng phụ thuộc vào bản chất vật liệu và bề mặt tiếp xúc. 
Sau đây là vài con số cề trị số của k : 
- Gỗ trên gỗ : k = 0,05 0,08 cm 
,001 
cm
hật vậy, khi đặt con lăn trên mặt 
liê
÷
- Thép trên thép : k = 0,005 cm 
- Thép tôi trên thép tôi : k = 0
T
n kết B (hình 69) và kéo với lực T
G
bé, con lăn vẫn cân bằng, nghĩa là ở bề mặt liên kết B ngoài phản lực N 
G
, F
G
 còn 
xuất hiện ngẫu lực M để cân b g với ngẫu lực ( Qằn
G
, F
G
) gây ra chuyển động lăn. 
N
G
T
G
F
G
Hình 69 
R 
C 
P
G
M 
M = R.T 
Tiếp tục tăng T thì con lăn vẫn cân n khi T = T1 con lăn bặt đầu lăn, 
nghĩa là M Mmax . Nguyên nhân chủ yếu có ma sát lăn là do vật liệu có biến 
bằng cho đế
≤
Chương III Ma sát Trang49 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
 Trang50 
dạ
t
ng nên giữa con lăn và mặt liên kết tiếp 
xúc nhau mộ miến quanh điểm B. Phản 
lực liên kết tác dụng lên con lăn là một 
hệ lực khi thu về một điểm được một lực 
R
G
 có hai thành phần là M
G
 và R
G
, còn 
ngẫu lực M chính là ngẫu lực ma sát lăn 
(Hình 70) 
 Bài toán cân bằng khi có ma sát lăn : 
Khi tác
3.
 dụng lên con l n mộ c 
2
ă t lự T
G
, thì con lăn có xu hướng lăn và cũng có xu 
hướng trượt. Do đó, ở mặt liên kết ngoài phản lực pháp tuyến N
G
, có lực ma sát 
trượt F
G
 và ngẫu lực ma sát lăn M. 
Vì vậy điều kiện vật cân bằng là hệ lực tác dụng lên vật phải th ả mãn điều kiện 
cân bằ g của hệ lực nói chung, ng
o
n oài ra lực ma sát trượt và ngẫu lực ma sát phải 
thoả mãn điều kiện giới hạn của nó là : 
M ≤ Mmax = kN (1) 
F ≤ Fmax = fN (2) 
Nếu một trong hai điều kiệ mãn thì sẽ phát sinh ra chuyển 
động tương ứng. Cả hai điều ki ật sẽ vừa lăn vừa 
trượ
 dễ lăn hơn dễ trượt, nên trong kỹ thuật cần đơn giản ma sát thì có thể 
thay
n trên không thoả
ện (1) và (2) không thoả mãn thì v
t. 
Trong thực tế ma sát lăn thường nhỏ hơn ma sát trượt rất nhiều. Vì vậy đối với 
con lăn thì
 ma sát trượt bằng ma sát lăn. Ví dụ thay bạc trong các ổ đỡ trục bằng các vòng 
bi, hay khi kéo một dầm cầu người ta đặt trên các con lăn... 
Ví dụ 3 : Một hình trụ bán kính R, trọng lượng P đặt trên mặt phẳng nghiêng α. 
Tìm góc α để con lăn sẽ lăn đều. Cho 
hệ số ma sát lăn k = 0,005 cm. 
Bài giải:
Ta khảo sát hình trụ cân bằng. Hệ lực 
tác ình trụdụng lên h ( P
G
, N
G
, F
G
,M) ~ 0 
với 
α 
N
G
y 
M 
P
G
F
G
x 
Hình 71 
R
G
M 
Hình 70 
B
Chương III Ma sát 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
F ≤ fN 
M ≤ kN 
Lập điều kiện cân bằng, ta có các phư sau : 
B
≤
≤
=−=
=−=
∑ ∑
ơng trình 
kNM
fNF
RPMFm
PNY
FPX =−=∑
0sin..)(
0cos
α
αG 
Từ (2) : N = Pcosα. 
c : tgα ≤ f 
0sinα
Từ (1) và (4) ta tìm đượ
Từ (3) và (5) ta được : tgα ≤ 
R
k 
Thường 
R
k rất bé so với f. Do đó để con lăn cân bằng thì : tgα ≤ 
R
k 
Khi tgα = 
R
k thì con lăn sẽ bắt đầu lăn (nếu chỉ tăng tgα lên một ít thôi). Khi đó con 
u
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
lăn đều. Nế tiếp tục tăng α cho đến khi tgα ≥ f thì còn lăn vừa lăn vừa trượt. 
Chương III Ma sát Trang51 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
CHƯƠNG IV 
TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN 
Để xác định trọng tâm của vật rắn trước nhất ta làm quen khái niệm tâm của hệ lực 
song song. 
§1. TÂM HỆ LỰC SONG SONG - TRỌNG TÂM CỦA 
VẬT RẮN 
1.1 Tâm hệ lực song song : 
 Giả sử cho hệ lực song song cùng chiều nFFF
GGG
,....,, 21 đặt tại A1, A2, ..., An (hình 
72). Hệ này có hợp lực R
G
 cùng chiều các lực thành phần và trị số : 
∑= kFR
',....,'2
 Nếu bây giờ ta xoay các lực của hệ 
quanh các điểm đặt của chúng theo cùng 
chiều và cùng một góc, ta được một hệ lực 
mới F ,'1 nFF
GGG
 song song cùng chiều 
và cùng trị số với nhau nhưng khác chiều 
hệ lực cũ. Hợp lực 'R
G
 của ệ lực này rõ 
ràng có trị số bằng R và đường tác dụng 
sẽ khác đi. Song ta cần chứng minh rằng 
đường tác dụng của hợp lực 
 h
R
G
 hay 'R
G
 đều 
a điểm C cố định nào đó. Điểm C này được gọi là qu tâm hệ lực song song đã cho
 Thật vậy, bắt đầu ta hợp hai lực song song với 21 , FF
GG
 được hợp lực 211 FFR
GGG += 
đặt tại C1. Ta nhận thấy khi quay 1F
G
 quanh A1, 2F
G
quanh A2 thì 1R
G
 quay quanh C1 
cùng chiều quay và cùng một góc ới các lực đó Điểm Cv . 1 nằm trên A1A2 và thoả 
mãn bất đẳng thức F1.A1C1 = F2.A2C2 (theo điều kiện cân bằng của đòn ở đây ta coi 
A1A2 là đòn, điểm C1 là điểm tựa hay trục quay của đòn). Vì khi quay 21 , FF
GG
 cùng 
một góc và cùng chiều thì đoạn A1A2 và đẳng thức trên không đổi. Tiếp t p lực 
321312 FFFFRR
ục hợ
GGGGGG ++=+= bao giờ cũng đi qua C2 nằm trên đoạn thẳng C1A3...và 
Hình 72 
O 
R
G'RG
3F
G
1F
G
C
1'F
G
C1
2F
G
A3
3'F
G
A1 
A2
2'F
G
z 
y 
x 
Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 52 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
tiếp tục làm như vậy cho đến lực nF
G
, thì hợp lực R
G
 của hệ lực song song này luôn 
đi qua điểm C không đổi đối với các điểm A1, A2, ..., An nằm trên vật. 
 Ta gọi toạ độ điểm A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2),...., AC(xC,yC,zC) rồi quay các lực 
nFFF
GGG
,....,, 21 quanh điểm đặt của chúng sao cho song song với trục z thành hệ lực 
nFFF
GGG
,....,, 21 . 
 Áp dụng định lý VARIGNON đối với trục y ta có : 
∑= )()( kyy FmRm GG (a) 
 Theo hình vẽ (vì R’ = R) Oy xRRm .)'( =
G
Tương tự : ,..... 111 .)'( xFFmy =
G
Thay vào đẳng thức (a) ta được : 
nnO xFxFxFxR ....... 2211 +++= 
Hay : 
R
xF
R
xFxFxFx kknnc
∑=+++= ...... 2211 
Tương tự : 
R
yF
R
yFyFyF
y kknnc
∑=+++= ...... 2211 
R
zF
R
zFzFzF
z kknnc
∑=+++= ...... 2211 
Trong đó : ∑= kFR (4.1) 
Áp dụng công thức này ta tìm trọng tâm vật rắn. 
1.2 Trọng tâm vật rắn : 
Các vật đặt gần quả đất đều chịu lực hút quả đất hướng thẳng đứng từ trên 
xuống gọi là trọng lực. Đối với vật có kích thước khá bé so với đường kính quả đất 
thì có thể xem trọng lực các phân tố của vật như các lực song song và có giá trị 
không đổi với từng phân tố khi ta xoay vật. Trong truờng hợp như vậy gọi là trường 
hợp trọng lực đồng nhất. Giả sử ta có một vật rắn. Chia vật thành n phân tố chịu các 
lực nPPP
GGG
,...,, 21 tác dụng. Hợp các lực này ta được lực P
G
. Đó chính là trọng lượng 
của vật, được tính theo công thức : 
∑
=
=
n
k
kPP
1
 (4.2) 
Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 53 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
Dù vật quay thế nào các lực kP
G
 vẫn 
giữ nguyên điểm đặt trên vật và song 
song với nhau. 
Vì thế hợp lực P
G
 của chúng luôn đi 
qua điểm C cố định trên vật. C là tâm 
các lực song song kP
G
 cũng là điểm đặt 
của trọng lực P
G
 còn gọi là trọng tâm của 
vật (Hình 73). 
Vậy trọng tâm của vật là một điểm 
cố định trên vật mà trọng luợng của vật luôn luôn đặt tại điểm đó. 
y 
x 
Hình 73 
z 
A2 
A1
An 
1F
G
nF
G
P
G
2F
G
C
Theo công thức (4.1) ta suy ra công thức xác định trọng tâm của vật là : 
P
zP
z
P
yP
y
P
xP
x
kk
C
kk
C
kk
C
∑
∑
∑
=
=
=
.
.
.
 (4.3) 
Trong đó xk, yk, zk là toạ độ điểm đặt của lực Pk của phân tố thứ k (k = 1,2,..n) 
§2. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM 
CỦA VẬT ĐỒNG CHẤT ĐỐI XỨNG, VẬT PHỨC TẠP 
(VẬT GHÉP, VẬT KHUYẾT ) 
2.1 Toạ độ trọng tâm các vật đồng chất: 
 Nếu các vật đồng chất là một khối thì trọng lượng Pk của phân tố nào cũng tỷ lệ 
với thể tích của nó Pk = γ.Vk. Trọng lượng P của vật tỷ lệ thể tích của vật V1, nghĩa 
là P = γ.V (γ là trọng lượng riêng của vật ). Theo công thức (4.3) công thức xác định 
trọng tâm của vật là : 
V
zV
z
V
yV
V
xV
x
kk
C
kk
C
kk
C
∑
∑y
∑
=
=
=
.
.
.
 (4.4) 
Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 54 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
Tương tự vật là bản phẳng mỏng đồng chất thì toạ độ trọng tâm của bản là : 
S
yS
y
S
xkS
x
kk
C
k
C
∑
∑
=
=
.
.
 (4.5) 
Sk diện tích phân tố k của bản, S là diện tích của bản. Cũng vậy, toạ độ trọng 
tâm của đường cong đồng chất sẽ là : 
l
zl
z
l
yl
y
l
xl
x
kk
C
kk
C
kk
C
∑
∑
∑
=
=
=
.
.
.
 (4.6) 
lk chiều dài phân tố k, l chiều dài của đường cong. 
2.2 Các phương pháp xác định trọng tâm của vật đồng chất : 
1. Phương pháp đối xứng :
Định lý : Nếu vật đồng chất có mặt phẳng 
đối xứng, một trục hoặc tâm đối xứng thì trọng 
tâm của vật nằm trên mặt phẳng đối xứng, trục 
hoặc tâm đối xứng ấy. 
Thật vậy, ta chia vật thành những cặp phần 
tử đối xứng bằng nhau qua mặt phẳng (Hình 74). 
Hợp các trọng lực của từng cặp lại, ta được 
một hệ lực song song có điểm đặt nằm trên mặt 
phẳng. Trọng lực P của vật là hợp lực các lực 
này cũng nằm trên mặt phẳng đối xứng của vật. 
kP'
kP ''k
P 
π 
Hình 74 
Với trục đối xứng và tâm đối xứng ta cũng chứng minh như vậy. 
2. Phương pháp phân chia (vật ghép) :
Một vật có thể chia ra một số hữu hạn phần tử mà vị trí trọng tâm từng phần tử 
đó ta có thể xác định dễ dàng thì trọng tâm của vật có thể xác định theo công thức 
trên. 
Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 55 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
Ví dụ 1: Cho một bản đồng chất có 
kích thước như hình 75. Hãy xác định 
trọng tâm của bản. 
Bài giải :
Ta dựng hệ trục Oxy và chia hình trên 
thành ba phần. Tính tọa độ trọng tâm của 
mỗi phần và diện tích của chúng. 
 1 2 3 
xk -1 1 4 
yk 1 4 7 
Sk 4 16 8 
Diện tích của bản là : 
S = S1 + S2 + S3 = 4+ 16 +8 
S = 28 cm2. 
Thay các giá trị số trên vào công thức (4.5) ta được 
cm
S
SySySyy
cm
S
SxSxSxx
C
C
7
31
28
56644
14
22
28
32164
332211
332211
=++=++=
=++−=++=
3. Phương pháp bù trừ (vật khuyết ): 
Phương pháp này là trường hợp riêng 
của phương pháp phân chia được sử dụng 
cho vật có lỗ khuyết, khi phân biệt trọng 
tâm của vật không có lỗ khuyết và bản thân 
lỗ khuyết. 
Ví dụ : Xác định trọng tâm của bản 
tròn bán kính R, có lỗ khuyết bán kính r 
(Hình 76). Khoảng cách C1C2 = a. 
C1 C2 C
R
r x 
y
Hình 76
Hình 75
y
2cm
6cm
2cm
2cm 4cm
C1 
2cm
C2 C3 
Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 56 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
Bài giải:
Trọng tâm của hình khuyết này là nằm trên trục đối xứng C1C2. Ta dựng hệ trục 
C1xy. Để tìm xC ta bù thêm diện tích bản tròn thành kín (phần I) rồi trừ diện tích 
bằng diện tích lỗ khuyết (phần II). Diện tích phần II (lỗ khuyết) lấy dấu âm. Khi đó, 
ta có : 
)(
,
,0
22
21
2
22
2
11
rRSSS
rSax
RSx
C
C
−=+=
−==
==
π
π
π
Thay các giá trị đó vào công thức (4.5) ta tìm được : 
0
)( 22
2
2211
=
−
−=+=
C
CC
C
y
rR
ar
S
SxSxx 
Như vậy, trọng tâm O của hình khuyết nằm bên trái C1 một đoạn bằng )( 22
2
rR
ar
− . 
4. Phương pháp thực nghiệm : 
Ngoài các phương pháp trên, người ta còn dùng phương pháp thực nghiệm như 
treo hoặc cân vật để tìm trọng tâm của vật có hình dạng phức tạp: 
Ví dụ : Để tìm trọng tâm của máy bay người ta lần lượt đặt các bánh xe lên bàn 
cân tìm được M1 và M2. Lập 
phương trình như sau: 
a.N2 = (b-a).N1 
Suy ra : 
21
1.
NN
Nba += 
Hoặc ta dùng dây treo vật cần 
tìm trọng tâm thì phương của dây treo là phương của trọng lực. Ta cho vài ba điểm 
trên vật thì giao điểm các phương đó là trọng tâm của vật. 
1N 2N
a
b
B
A
C
P
Hình 77
Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 57 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
§3. CÔNG THỨC TÍNH TRỌNG TÂM CỦA VÀI 
VẬT ĐỒNG CHẤT ĐƠN GIẢN 
Xét cung tròn AB bán kính, góc 
ở tâm = 2. Theo tính chất đối 
xứng trọng tâm của cung tròn sẽ n
trên trục x (hình 78). Tính toạ độ 
trọng tâm theo công thức sau : 
BOA ˆ
ằm 
∫=∆= →∆
)(
0
.1lim
L
kk
lkC
x
LL
lxx dl 
Trong đó L là chiều dài cung 
AB. Để lấy tích phân trên cung AB 
ta lấy phân tố MM’ có chiều dài dl = 
Rdφ với góc định vị φ. Toạ độ x của 
phân tố là : 
Hình 78
dl 
B
A
M’
M
α 
φ 
dφ 
H
x
O
y
x
ϕcosRx = 
Chiều dài của cung AB là : L = 2R.α 
Từ đó ta có : 
∫∫
−
==
α
α
ϕϕα dR
Rxdl
L
x
L
C .cos2
1 2
)(
α
αsinRxC = 
Như vậy trọng tâm của cung tròn nằm trên trục đối xứng của nó và cách điểm Q của 
cung một đoạn bằng : 
α
αsinRxC = 
Trong đó α tính bằng radian. 
Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 58 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
3.2 Trọng tâm tam giác : 
Dựng các đường thẳng song song cới cạnh đáy BD, chia tam giác ra thành 
nhiều dãi hẹp (hình 79) 
Rõ ràng trọng tâm của mỗi dãi sẽ 
nằm trên trung tuyến AE của tam giác. 
Vì vậy trọng tâm của tam giác sẽ nằm 
trên trung tuyến này. Ta cũng làm như 
vậy đối với hai trung tuyến kia. Từ đó 
suy ra, trọng tâm tam giác sẽ nằm trên 
giao điểm của ba đường trung tuyến 
của nó, nghĩa là : 
AECE
3
1= (4.7) 
3.3 Trọng tâm hình quạt : 
Cho một hình quạt bán kính R, góc ở tâm 
. Từ điểm O, ta vẽ các bán kính 
chia hình quạt ra thành n hình quạt nhỏ. Khi n 
tăng lên vô hạn thì các hình quạt nhỏ xem 
như những tam giác mà nó có trọng tâm trên 
cung DE có bán kính 
α2ˆ =BOA
R
3
2 . 
Trọng tâm hình quạt trùng với trọng tâm 
của cung tròn DE. Theo công thức (4.6) thì 
trọng tâm hình quạt sẽ là : 
Hình 80
R
3
2
D
αO C
x
B
α
C
E
Hình 79
MI
CB
A
α
αsin
3
2 RxC = (4.8) 
3.4 Trọng tâm của chóp : 
Cho khối chóp tam giác EABD. Để xác định trọng tâm C của khối ta dựng các 
mặt phẳng song song với đáy ABD, chia khối chóp ra n phân tố. Khi tăng n lên vô 
hạn ta coi mỗi phân tố đó là một tam giác phẳng. Trọng tâm các tam giác này nằm 
trên đường thẳng EC1 (C1 trọng tâm đáy ABD). Vì vậy trọng tâm của khối sẽ nằm 
trên EC1. 
Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 59 
GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 
Cũng tương tự, ta thấy trọng tâm 
của khối cũng nằm trên AC2 (C2 là 
trọng tâm mặt BDE). Vì vậy, trọng 
tâm của khối sẽ là giao điểm C của các 
EC1 và AC2. 
Bây giờ ta xác định điểm C vì 
C1C2 và AE chia các cạnh của góc 
EKˆA thành các đoạn tỷ lệ, nên chúng 
song song nhau. Tam giác C1C2C đồng 
dạng tam giác EAC. Ngoài ra 
AKKC
3
1
1 = nên AKCC 3
1
21 = . Từ đó 
ta tìm ra được : 
Hình 81 
K C1
C2 
C
B
D 
E
A
3
1211 ==
AE
CC
CE
CC 
do đó : ECCECC
4
1
3
1
1 == 
Kết quả này cũng đúng cho cả khối chóp đa giác và khối nón. 
Để tìm trọng tâm của một số vật đồng chất khác ta có thể tra cứu trong các sách 
cẩm nang kỹ thuật. 
Chương IV Trọng tâm của vật rắn Trang 60