Giáo trình Cơ kỹ thuật (Phần 1)

tính bền và tính cứng. 
9.5. Thế nào là một thanh chịu xoắn siêu tĩnh, trình bày phƣơng pháp giải. 
9.6. Trình bày cơng thức tính bền và chuyển vị cho lị xo hình trụ cĩ bƣớc 
ngắn chịu kéo – nén. 
10. Bài tập 
10.1 = 10cm, = 40 MN/m2, [ ] = 0,30/m, G = 
8.1010 N/m2 ? 
10.2. = 100 v/ph, = 30 MN/m2
 d/D 
= 0,6. 
10.3. -
 = 3000 N/cm2, [ ] = 0,50/m, G = 8.106 N/cm2. 
. 
- = 30 MN/m2, 
G = 8.104 MN/m2 
. 
90 
. 
A B
D
E
5cm
20cm 10cm
5000Nm 2000Nm 3000 Nm
10cm
CA
B C D
E
1000Nm
5000Nm 2000Nm
 1
0
c
m
 8
c
m
50cm 50cm 50cm 50cm
 Hình 6-12 Hình 6-13 
10.5. 
0 = 
D
d
? 
10.6. Khi thí nghiệm xoắn mẫu hình trụ cĩ đƣờng kính d = 25mm chịu mơmen 
xoắn 100Nm, ngƣời ta đo đƣợc gĩc quay giữa hai mặt cắt cĩ khoảng 
cách l = 200mm là 2.10-2 Radian. 
 Căn cứ vào các số liệu ở trên, xác định mơđun đàn hồi trƣợt của vật 
liệu. 
10.7. Vẽ biểu đồ mơmen xoắn và kiểm tra bền các thanh thép (Hình 6-14) nếu 
vật liệu thanh cĩ = 80N/mm2. 
BA
0,4m 0,6m
d
=
5
0
m=3kNm
BA
0,4m 0,6m
d
=
6
0
m1=2,5kNm m2=3,5kNm
0,3m
Hình 6-14 
10.8. = 6cm, vận 
tốc quay n = 150v/ph, vật liệu trục cĩ: = 2000 N/cm2, [ ] = 0,40/m, G 
= 8.106 N/cm2 (Hình 6-15). 
A
3kW4kW
15kW
8kW
P P
21
 Hình 6-15 Hình 6-16 
91 
10.9. Kiểm tra độ bền của một lị xo hình trụ, dây lị xo cĩ mặt cắt ngang là 
trịn, lực kéo tác dụng lên lị xo là P = 5kN. Đƣờng kính trung bình của 
lị xo D = 18cm. Đƣờng kính của dây làm lị xo d = 2cm. Số vịng làm 
việc của lị xo là n = 20, = 4.108 N/m2, G = 8.1010 N/m2. Tính độ giãn 
của lị xo. 
10.10. Phải nén trƣớc lị xo trong thiết bị an tồn một đoạn bằng bao nhiêu, 
nếu lị xo quấn bằng dây thép cĩ d = 4mm, D = 32mm, n = 6 để bảo 
đảm khi hai thanh kéo chịu lực P 200N, chúng vẫn luơn luơn tiếp xúc 
đƣợc với nhau trong quá trình làm việc, G = 8,2.104 N/mm2 
Tìm ứng suất lớn nhất trong lị xo khi ta lắp nĩ vào thiết bị (Hình 6-16). 
92 
BÀI 7. 
Mã bài: CKT7 
Mục tiêu thực hiện 
Học xong bài này học viên sẽ cĩ khả năng: 
 Mơ tả đƣợc các loại ứng suất trên mặt cắt ngang. 
 Tính tốn đƣợc điều kiện bền của dầm chịu uốn phẳng thuần tuý. 
 Tính tốn đƣợc độ võng và gĩc xoay. 
 Tính tốn dựa trên các số liệu của PTN thiết bị. 
Nội dung chính 
1.1. 
: 
). 
). 
Hình 7-1 
 . 
. 
. 
1.2. 
: 
 7-2a. 
 7-2b. 
93 
m mm mP P q
 a) b) 
Hình 7-2 
N 
 y
x. 
 x
y. 
-
, sơ đồ hình 7-3. 
P
P
P
Qy > 0 Qy < 0
P
Hình 7-3 
 đồ hình 7-4. 
m
Mx > 0 Mx < 0
m
m m 
Hình 7-4 
. 
: 
 Xác định phản lực liên kết. Nếu dầm cĩ liên kết ngàm một đầu cịn đầu kia 
94 
tự do thì khơng cần tìm phản lực liên kết tại ngàm mà chỉ cần cắt từ đầu tự 
do cắt vào và xét cân bằng phần khơng cĩ ngàm. 
 Chia dầm thành nhiều đoạn, sao cho trên mỗi đoạn nội lực biến thiên liên 
tục, tức là khơng cĩ sự thay đổi đột ngột. Muốn vậy cần lấy điểm đặt các 
lực tập trung, ngẫu lực, điểm đầu và cuối các tải trọng phân bố làm ranh 
giới phân chia các đoạn. 
 Viết biểu thức xác định lực cắt Qy và mơmen uốn Mx cho từng đoạn, xác 
định trị số Qy và Mx tại đầu và cuối đoạn. 
 Vẽ đồ thị Q và M . Lấy trục z 
song song với trục thanh làm chuẩn. 
 : 
7-5a, chiều dƣơng hƣớng lên 
trên, tức là các giá trị Q dƣơng đặt ở phía trên trục z và ngƣợc lại các giá trị Q 
âm đặt ở phía dƣới trục z. 
7-5b, trục M cĩ chiều 
dƣơng hƣớng xuống dƣới, tức là các giá trị M dƣơng đặt ở phía dƣới trục z 
nĩi cách khác biểu đồ M đƣợc vẽ trên các thớ bị căng của trục. 
Q +
z
M +
z
Hình 7-5 
7-1: 
(Hình 7-6) 
- ,B: 
BDC
m=10Nm
q=2N/m
1m 3 m 1m
A
P = 2N
1
z1
2
2
z2 z3
3
3
1 YA YB
Hình 7-6 
mA = P.1 - q.4.2 - m + YB.4 = 0 (1) 
mB = P.5 - YA.4 + q.4.3 - m = 0 (2) 
95 
(2) YA = 6N ;YB = 4N. 
Bài giải: 
- 
(Hình 7-7) 
 : 
 -
) 
 0 z1 1m 
Qy = -P – q.z1 = -2 - 2z1 
 (z1 = 0): Qy = -2N 
 (z1 = 1m): Qy = -4N 
 Mx = - P.z1– q.z1
2
1
z
2
11
2 zz 
N
2
4
Q
y
M
x
4
2
2m
2
6
4
Nm
Hình 7-7 
Ở đây Mx là hàm bậc 2 của z nên biểu đồ Mx là đƣờng parabơn bậc 2, do 
tải phân bố q hƣớng xuống nên bề lõm parabơn hƣớng lên. Để vẽ biểu đồ cần 
phải tính mơmen uốn ở hai mặt cắt đầu và cuối đoạn. 
Mặt cắt C (z1 = 0): Mx = 0 
Mặt cắt A (z1 = 1m): Mx = -3 Nm 
 AD: 
- ): 1m z2 4m 
Qy = -P – q.z2 + YA = 4 - 2z2 
(z2 = 1m): Qy = 2 N 
(z2 = 4m): Qy = 4 N 
Mx = -P.z2 – q.z2 641
2
2
2
22
2 zzzY
z
A 
Ở đây Mx cũng là hàm bậc 2 của z nên biểu đồ Mx là đƣờng parabơn bậc 
2, do tải phân bố q hƣớng xuống nên bề lõm parabơn cũng hƣớng lên. Nhƣng 
biểu đồ Qy trong đoạn này cắt đƣờng chuẩn, vì vậy để vẽ biểu đồ chính xác 
thì ngồi việc tính mơmen uốn ở hai mặt cắt đầu và cuối đoạn ta cần phải tìm 
trị số mơmen uốn cực trị trong đoạn này bằng cách cho biểu thức Qy = 0 để 
tìm toạ độ mặt cắt sau đĩ thế toạ độ mặt cắt này vào biểu thức Mx chúng ta sẽ 
cĩ MxCĐ. 
(z2 = 1m): Mx = -3 Nm. 
(z2 = 4m): Mx = -6 Nm 
: Qy = 4 - 2z2 = 0 z2 = 2m. 
96 
MxCĐ (z2 = 2m) = -2 Nm 
 : 
- ): 0 z3 1m 
Qy = - YB = -4N 
Mx = YB.z3 = 4.z3 
(z3 = 0): Mx = 0. 
(z3 = 1m): Mx = 4Nm 
Căn cứ vào các số liệu đã tính cho từng đoạn ta vẽ đƣợc biểu đồ lực cắt 
Qy và mơmen uốn Mx (Hình 7-7) 
t: 
. 
. 
. 
. 
a 
(Mx; My ) (Hình 7-8). 
z
y x
Mo
Lớp trung hòa
Đường trung hòa
Mo
Mx
Hình 7-8 
97 
(Hình 7-9) 
(Hình 7-9a). 
- : 
y
x
m m
x
yĐường trung hòa
a) b) 
Hình 7-9 
 cong. 
của dầm. 
, cho nên các ơ chữ nhật bây giờ 
vẫn cĩ các gĩc vuơng. 
: 
– . 
. 
. 
, ngh . 
98 
 z = y
J
M
x
x (7-1) 
Trong đĩ: Mx – là trị số đại số của mơmen uốn tại mặt cắt ngang chứa 
điểm cần tính ứng suất 
Jx: . 
y: . 
Nhƣ vậy z > 0 nếu điểm nằm ở vùng chịu kéo của mặt cắt; z < 0 nếu 
điểm nằm ở vùng chịu nén của mặt cắt. 
(7-1) cho chúng ta: tại mặt cắt ngang nhất định thì Mx và Jx khơng đổi, do 
đĩ z tỷ lệ bậc nhất với y. Tại đƣờng trung hồ (y = 0) thì z = 0, càng xa 
đƣờng trung hồ (y tăng dần) thì z lớn dần theo quy luật đƣờng thẳng và tại 
các thớ biên z lớn nhất. 
x
y
z
M
x
min
max
z
y
x
Trục trung hồ 
Hình 7-10 
Ở hai phía của đƣờng trung hồ z trái dấu nhau (Hình 7-10): đây chính 
là biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang. 
 : 
 zmax = k
x
xk
max
x
x
W
M
y
J
M
 (7-2) 
k
max
xk
x
y
J
W 
 k
max
y . 
 Wx:
)3. 
 : 
 zmin = n
x
xn
max
x
x
W
M
y
J
M
 (7-3) 
99 
n
max
xn
x
y
J
W 
 n
maxy . 
Nhận xét 
, 
: zmax = zmin 
Mơđun chống uốn của các mặt cắt ngang thƣờng gặp: 
 Hình 7-11 Hình 7-12 Hình 7-13 
 (Hình 7-11): 
Jx = 
12
3bh
 ; Wx = 
6
2bh
Jy = 
12
3hb
 ; Wy = 
6
2hb
 (Hình 7-12): 
 Jx = Jy = 
64
4D
 0,05D4. 
 Wx = Wy = 
32
3D
 0,1D3. 
 (Hình 7-13): 
: 
D
d
 Jx = Jy = 
64
4D
(1 - 4) 0,05D4(1 - 4) 
 Wx = Wy = 
32
3D
(1 - 4) 0,1D3(1 - 4) 
: 
x
y
b
h
D
x
y
D
d
y
x
100 
 : z max = 
x
x
W
M
 (7-4) 
 : zmax = k
x
x
W
M
 k (7-5) 
 zmin = n
x
x
W
M
 n (7-6) 
z max: 
. 
z max. 
 -
(7-6). 
: 
 k = n = 
. 
 : k n nên 
k
max
y 
n
max
y
. 
- - (7-6 ). 
 Wx 
xM 
 Mxmax Wx. 
7-2: 
C
7
5
1
2
5
50
150
x
z
y
Mx
Hình 7-14 
Trên mặt cắt ngang của dầm chữ T (Hình 7-14) chịu mơmen uốn Mx = 
7200Nm, vật liệu của dầm cĩ [ ]k = 20 MN/m
2, [ ]n = 30 MN/m
2. Kiểm tra bền 
cho dầm biết rằng Jx = 5312,5 cm
4. 
Bài giải: 
Chúng ta cĩ: 
101 
k
max
y = 75mm = 7,5.10
-2 m 
n
max
y = 125mm = 12,5.10
-2 m 
2
8
1057
1055312
.,
.,
y
J
W
k
max
xk
x
 = 708,3.10-6 m3 
2
8
10512
1055312
.,
.,
y
J
W
n
max
xn
x
 = 425.10-6 m3 
Do đĩ 
max = 6103708
7200
.,W
M
k
x
x
 = 10,17.10
6 N/m2 
= 10,17 MN/m2 < [ ]k = 20 MN/m
2 
min = 610425
7200
.W
M
n
x
x
 = 16,95.10
6 N/m2 
 = 16,95 MN/m2 < [ ]k = 30 MN/m
2 
Vậy dầm thoả bền. 
(Hình 7-1). 
, ứng suất này xét ở phần uốn thuần 
tuý phẳng. Cịn lực cắt Q sinh ra ứng suất tiếp 
. 
 Giống nhƣ uốn thuần tuý phẳng 
 z = y
J
M
x
x (7-7) 
4.3. 
theo cơng thức sau: 
C
x
C
xy
yzzy
b.J
S.Q
 (7-8) 
Qy . 
102 
Sx
y
. 
Jx . 
bC . 
Mặt cắt ngang hình chữ nhật: max = 
F
Q
y
2
3
 (7-9) 
Mặt cắt ngang hình trịn: max =
F
Q
y
3
4
 (7-10) 
Trong đĩ F là tiết diện mặt cắt ngang: hình chữ nhật: F = b.h; hình trịn F 
= 
4
2D
Theo cơng thức (7-8) chúng ta thấy nhữn
g gĩc 
với trục trung hồ. 
, những điểm nằm trên trục trung hồ (y = 0) cĩ 
ứng suất tiếp lớn nhất, những điểm nằm trên mép mặt cắt hình chữ nhật (y = 
2
h
) và hình trịn (y = 
2
D
) cĩ ứng suất tiếp bằng khơng (Hình 7-15): 
x
y
b
h
A
y
maxmax
zyzy
x
y
Hình 7-15 
-
: 
103 
 min
max
A
max
A
B
C
C
A
A
B
C
C
 Hình 7-16 
 ) chọn tại mặt cắt cĩ 
maxx
M
. 
: 
z max = 
x
x
W
M
: 
zmax = k
x
x
W
M
 k 
zmin = n
x
x
W
M
 n 
 ) chọn tại mặt cắt cĩ 
maxy
Q : 
ứng suất pháp z = 0, chỉ cĩ ứng suấ
: 
 : 
3): 
max = 
2
4): 
max [ ] = 
3
 : dùng thuyết bền Mohr 
x
M và yQ
tđ: 
 tđmax 
tđ 
104 
 3): 
tđ =
22 4
z
 4): 
tđ =
22 3
z
 ): 
n
k 
tđ =
22 4
2
1
2
1
zz 
 (Hình 7-17) 
xmax ymax. 
x y . 
 2
2
y
d
S
d.J
Q
x
x
y
A
 (7-11) 
) 
x
x
y
max
S
d.J
Q
 (7-12) 
d
b
x x
h
/2
t
y
y
1 1
11
A
y
h
/2
Hình 7-17 
(điểm số 1): 
 1 = t
h
J
M
x
x
2
 ; 
2
1
22
t
hd
S
d.J
Q
x
x
y
 (7-13) 
4.6. Ba bài tốn cơ bản 
 Bài tốn cơ bản 1: kiểm tra bền đã trình bày ở trên. 
 Bài tốn cơ bản 2: chọn kích thƣớc mặt cắt ngang: 
o Dựa vào phân tố chịu trạng thái ứng suất đơn ( zmax) để sơ bộ 
chọn kích thƣớc ban đầu cho dầm. 
o Tiến hành kiểm tra bền ở các phân tố khác nhƣ đã nĩi. Nếu điều 
kiện bền đối với các phân tố chịu trạng thái ứng suất khác khơng 
đạt thì ta thay đổi kích thƣớc mặt cắt. 
 Bài tốn cơ bản 3: định tải trọng cho phép. 
7-3: 
105 
 Xác định tải trọng cho phép [P] của dầm chịu lực theo sơ đồ hình 7-18a 
trong 2 trƣờng hợp: 
a) Dầm làm bằng thép chữ số 10 đặt đứng. 
b) Dầm làm bằng thép trịn cĩ đƣờng kính D = 10cm, a = 1m. 
Vật liệu của dầm cĩ: = 16 kN/cm2, 
 = 8 kN/cm2. 
YB
A D
P
B
P
C
a 2a a
YA
a) 
M
x kNm
Q
y
P
P
kN
Pa 
b) 
Hình 7-18 
Bài giải: 
Chọn đơn vị của tải trọng P là kN 
 Phản lực liên kết tại 2 gối: 
 mA = -P.a - P.3a + YB.4a = 0 (1) 
 mB = -YA.4a + P.3a + P.a = 0 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: YA = YB = P 
Biểu đồ nội lực Qy x đƣợc vẽ nhƣ hình 7-18b. 
 Mặt cắt nguy hiểm: 
Qy = P; Mx = P.a 
a) Dầm làm bằng thép chữ 
Thép số 10 cĩ: t = 0,72cm; d = 0,45cm; Jx = 198cm
4; Wx = 39,7cm
3; Sx = 
23cm3. 
Điều kiện bền ứng suất pháp cực đại: 
106 
zmax = 
x
maxx
W
M
x
W
a.P
 P 
2101
16739,
a
W
x = 6,35 kN 
Tạm chọn [P] = 6,35 kN 
 Với P đã chọn chúng ta kiểm tra bền lại các phân tố ở trạng thái ứng 
suất trƣợt thuần tuý và trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt. 
 Phân tố ở trạng thái ứng suất trƣợt thuần tuý: ở trục trung hồ của mặt cắt 
cĩ 
maxy
Q = P = 6,35 kN 
max = 
450198
23356
,
,
dJ
SQ
x
xmaxy = 1,64 kN/cm2 
max = 1,64 kN/cm
2 < = 8 kN/cm2: phân tố này thoả điều kiện bền. 
 Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: ở nơi tiếp giáp giữa lịng và 
đế tại mặt cắt cĩ: 
y
Q = P = 6,35 kN ; Mx = P.a = 6,35 x 100 = 635 kNcm. 
1 = t
h
J
M
x
x
2
= 7205
198
635
, = 13,73 kN/cm2 
1 = 
2
22
t
hd
S
dJ
Q
x
x
y
 = 
2
7205
2
450
23
450198
356
,
,
,
,
= 1,35 kN/cm2 
Theo thuyết bền 3: tđ =
222
1
2
1
351473134 ,, 
= 14 kN/cm2 < = 16 kN/cm2 
Vậy tải trọng [P] = 6,35 kN 
b) Thép trịn cĩ đƣờng kính D = 10cm 
Điều kiện bền ứng suất pháp cực đại: 
zmax = 310 D,
M
W
M
maxx
x
maxx 
 P
100
16101010
33 ,
a
D,
 = 16 kN 
Tạm chọn [P] = 16 kN 
Với P đã chọn chúng ta kiểm tra bền lại các phân tố ở trạng thái ứng suất 
trƣợt thuần tuý 
max = 2
10143
416
3
4
3
4
,F
Q
maxy 0,27 kN/cm2. 
107 
max = 0,27 kN/cm
2 < = 8 kN/cm2: phân tố này thoả điều kiện bền. 
Vậy tải trọng [P] = 16 kN 
. 
. 
Ví dụ 7-4: 
Cho dầm cĩ tiết diện trịn chịu 
lực theo sơ đồ hình vẽ 7-19a. Lực 
cắt Qy và mơmen uốn Mx Tại mặt cắt 
1-1 cách gối tựa A một đoạn z, với 0 
 z 
2
L
, lực cắt Qy và mơmen uốn 
Mx cĩ giá trị: 
 Qy = 
2
P
 Mx = z
P
2
biểu đồ nội lực (Hình 7-19b). 
Nhƣ vậy trị số ứng suất pháp 
lớn nhất trên mặt cắt đƣợc tính theo 
cơng thức: 
x
x
max
W
M
L/2 L/2
P
Q
y
M
x
P/2
P/2
4
PL
1
1
zP/2 P/2
Hình 7-19 
Hình 7-20 
Mơmen chống uốn của mặt cắt trịn Wx = 0,1D
3 
Vậy: 
310 D,
Pz
W
M
x
x
max
108 
Với điều kiện ứng suất cực đại trên mọi mặt cắt cùng đạt đến trị số ứng 
suất cho phép , nghĩa là max . Chúng ta tìm đƣợc luật biến thiên của 
đƣờng kính D theo biến số z nhƣ sau: 
3
10,
z.P
D (a) 
Nhƣ vậy hình dáng của thanh phải cĩ dạng đƣờng nét đứt nhƣ hình vẽ 7-
20. 
Chúng ta thấy tại hai đầu mút, mặt cắt cĩ diện tích bằng khơng, điều đĩ 
hồn tồn phù hợp với điều kiện biến thiên của mơmen uốn, vì tại đĩ mơmen 
uốn bằng khơng. Song nhƣ vậy khơng thỏa mãn điều kiện bền của lực cắt Qy. 
Thật vậy trên mọi mặt cắt của dầm chúng ta đều cĩ một trị số lực cắt Qy = 
2
P
và lực cắt đĩ sinh ra ứng suất tiếp lớn nhất max = 
F
Q
y
3
4
, vì thế diện tích mặt 
cắt cần phải đủ để chịu cắt. Do đĩ phải chọn đƣờng kính với điều kiện: 
 max =
F
Q
y
3
4
Nghĩa là đƣờng kính nhỏ nhất cũng phải là: 
D = D1 = 
3
8P
 (b) 
Vì điều kiện chế tạo, rất khĩ gia cơng để thanh cĩ thể cĩ hình dáng của 
đƣờng cong biểu diễn trong (a) nên trong thực tế ngƣời ta thƣờng làm các 
trục bậc nhƣ trên Hình 7-20. 
(Hình 7-21a). 
 O1 m, O2
O1O2 1 (Hình 7-
21b). 
1O2
. 
z
P
z
O1
O2
f
Đường đàn hồi
O1
O2
u
v
Hình 7-21 
109 
1O2 1
. 
1
. 
: y(z) v(z) 
: tg 
dz
dy
 = y’(z) 
: 
 . 
. 
: 
 y’’= -
x
x
EJ
M
 (7-14) 
EJx: . 
: y’(z) = 
dz
dy
= - Cdz
EJ
M
x
x (7-15) 
: y = DdzCdz
EJ
M
x
x (7-16) 
). 
: 
 (Hình 7-22a): 
: 
A = 0 ; yA = 0 
 -
: 
yA = 0 ; yB = 0 
A
C
A B
Hình 7-22 
110 
: ph
C
tr
C
ph
C
tr
C
;yy 
7-5: 
-
, cho EJx = const. 
 : 
 - : 
Mx(z) = -Pz 
P
z
z
1
1
L
A
B
y 
Hình 7-23 
: 
 y’’= -
x
x
EJ
M
=
x
EJ
Pz
 = C
EJ
Pz
dz
EJ
Pz
xx
2
2
 (1) 
 y = dzC
EJ
Pz
x
2
2
= DCz
EJ
Pz
x
6
3
 (2) 
: z = L ; = 0 ; y = 0. 
: C = 
x
EJ
PL
2
2
 ; D = 
xxx
EJ
PL
EJ
PL
EJ
PL
326
333
: 
y = 
xxx
EJ
PL
z
EJ
PL
EJ
Pz
326
323
 ; =
xx
EJ
PL
EJ
Pz
22
22
(z = 
0): 
ymax = fA = 
x
EJ
PL
3
3
 ; max = A = -
x
EJ
PL
2
2
fA 
. 
. 
 . 
111 
k
P

: 
Pk, Mk, Nk, Qk k
. 
k = 1. 
CQQ
GF
CNN
EF
CMM
EJ
kmkmkmkm
111
 (7-17) 
(Mm); (Nm); (Qm m, Nm, Qm. 
M k(C); N k(C); Q k M k, N k, Q k
m, Nm, Qm. 
: 
 (S) 
x1 x2 
C
x
1
x
2
h
L 
2
Lh
3
L
3
2L
C
x
1
x
2
h
L
Bậc 2
3
Lh
4
L
4
3L
C
x
1
x
2
h
L
Bậc 2
3
2Lh
8
3L
8
5L
C
x
1
x
2
L
Bậc 2
h
3
2Lh
2
L
2
L
112 
7-6: 
-
, cho EJ = const. 
: 
A B
C
L/2 L/2
Hình 7-24 
Viết biểu thức nội lực, vẽ biểu đồ nội lực M cho trạng thái “m” và trạng 
thái “k” (Hình 7-25) 
 xoay : 
Tạo trạng thái “k” nhƣ hình 7-25c 
Biểu đồ Mm và kM đƣợc biểu diễn nhƣ hình 7-25a, c (sơ đồ và biểu đồ 
trạng thái “k” cĩ thể vẽ chồng lên nhau). 
: 
 A = CMM
EJ
kmkm
1
 (Mm) = L
qL
83
2 2
k
M -
Mm: kM (C) = 
2
1
m kM hình 7-
25a, : 
Pk=1
Mk =1
L/41
Mk
Mm
“k”
“m”
8
2qL
Hình 7-25 
Ta đƣợc: 
 A = - 
x
EJ
1
L
qL
83
2 2
2
1
= -
x
EJ
qL
24
3
– k
). 
 : 
k kM 
tƣơng ứng hình 7-25b. 
k
M -
m B. 
113 
yC = CMM
EJ
kmkm
1
= 
x
EJ
1
283
2 2 LqL
48
5 L
+
x
EJ
1
283
2 2 LqL
48
5 L
= 
x
EJ
qL4
384
5
k
P

). 
7. Thí nghiệm đo chuyển vị thẳng và gĩc xoay trong dầm uốn ngang 
phẳng 
7.1. Mục đích thí nghiệm 
Đo độ võng và xác định gĩc xoay ở một số mặt cắt ngang của dầm chịu 
uốn ngang phẳng, so sánh với trị số tính theo lý thuyết để kiểm tra lại cơng 
thức. 
7.2. Cơ sở lý thuyết 
Xét một dầm cơng son nhƣ hình 7-26, EJ là độ cứng của dầm. 
Theo lý thuyết tính chuyển vị của dầm chịu uốn ta cĩ: 
EJ
PL
y B
B
3
3
 ; )LL(
EJ
PL
y
DB
D
D
3
6
2
 ; )LL(
EJ
PL
y
BC
B
C
3
6
2
 ; 
EJ
PL
B
B
2
2
AC B
P
yC
yB
D
yD
LD
LB
LC
Hình 7-26 
Ta cĩ thể dùng chuyển vị kế để đo trực tiếp các chuyển vị trên và so sánh 
với chuyển vị bằng lý thuyết. Ngồi ra vì đƣờng đàn hồi của dầm trong đoạn 
BC là bậc nhất nên cĩ thể định gián tiếp. 
BC
BC
B
LL
yy
7.3. Mẫu thí nghiệm 
 Mẫu thí nghiệm là một thanh thẳng cĩ tiết diện chữ nhật, tam giác, trịn 
hay hình dạng bất kỳ, một đầu to để kẹp chặt vào ngàm. 
 Bố trí mẫu thí nghiệm nhƣ hình vẽ 7-27 sau: 
114 
A
Ngàm
LD
DC B
P
LB
LC
Hình 7-27 
7.4. Dụng cụ thí nghiệm 
 Thƣớc kẹp 
 Thƣớc dây thép 
 Các chuyển vị kế và bộ gá 
7.5. Chuẩn bị thí nghiệm. 
 Đo kích thƣớc mẫu 
 Bố trí thí nghiệm nhƣ hình vẽ và đo các khoảng cách LB, LC, LD. . 
 Dự tính Pmax sao cho vật liệu cịn làm việc trong giai đoạn đàn hồi để chọn 
cấp tải trọng dùng. 
 Lập bảng ghi kết quả 
S 
T 
T 
Tải trọng Số đọc trên các chuyển vị kế Ghi 
chú P 
(Kg) 
P Tại C Tại B Tại D 
C C B D 
1 
2 
3 
. 
. 
. 
n 
n+1 
P1 
P2 
P3 
. 
. 
. 
Pn 
Pn+1 
 C1 
C2 
C3 
. 
. 
. 
Cn 
Cn+1 
C2- C1 
C3-C2 
B1 
B2 
B3 
. 
. 
. 
Bn 
Bn+1 
 D1 
D2 
D3 
. 
. 
. 
Dn 
Dn+1 
D2- D1 
D3-D2 
. 
. 
. 
7.6. Tiến hành thí nghiệm 
 Xem trọng lƣợng mĩc treo cân là P1, ghi các số đọc trên chuyển vị kế C1, 
115 
B1, D1 (hay điều chỉnh mặt đồng hồ để các số đọc nầy là 0). 
 Lần lƣợt tác dụng lực P2, P3 với mỗi lần gia tải P bằng hằng số, đọc các 
chuyển vị kế tƣơng ứng. 
 Kiểm sốt kết quả bằng sự tuyến tính giữa P và các số đọc P khơng đổi, 
thì C, B, D cũng khơng đổi. Nếu khơng đạt cần xem lại cách đặt 
chuyển vị kế hay cách bố trí thí nghiệm. 
7.7. Tính tốn kết quả 
 Tính trung bình hiệu số các số đọc trên các chuyển vị kế 
n
C
C
tb ; 
n
B
B
tb ; 
n
D
D
tb 
 Suy ra độ võng tại các vị trí trên dầm ứng với P = hằng số 
 Tính gĩc xoay tại B: 
BC
BC
B
LL
yy
 Vẽ đồ thị biểu diễn sự liên hệ của chuyển vị thẳng và gĩc xoay theo toạ độ 
mặt cắt z. 
7.8. Nhận xét kết quả thí nghiệm 
 Sự tuyến tính của các số đọc. 
 Sai số giữa kết quả thí nghiệm với kết quả lý thuyết. Tính % 
 Tìm nguyên nhân gây sai số (nếu cĩ). 
8. Câu hỏi ơn tập 
8.1. Thế nào là thanh chịu uốn phẳng, uốn thuần tuý phẳng và uốn ngang 
phẳng khác nhau nhƣ thế nào? 
8.2. Nội lực trên mặt cắt của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng. Trình bày cơng 
thức tính bền. 
8.3. Nội lực trên mặt cắt của dầm chịu uốn ngang phẳng. Trình bày cơng thức 
tính bền. 
8.4. Thế nào là dầm chống uốn đều? 
8.5. Tính độ võng và gĩc xoay của dầm chịu uốn phẳng bằng phƣơng pháp 
tích phân khơng định hạn. 
8.6. Trình bày cơng thức tính độ võng và gĩc xoay của dầm chịu uốn phẳng 
bằng phƣơng pháp . 
9. Bài tập 
9.1. (Hình 7-28) sau đây: 
116 
A BC D
1m 1m2m
P
2
= 200NP
1
 = 250N
A B
2m 1m1m
F = 200Nm = 700Nm
H.a H.b
C D
A BC D
20cm 10cm10cm
F = 80Nq= 60N/cm q = 5kN/m
m = 3kNm
1m 2m
A B
C
H.c H.d 
Hình 7-28 
9.2. 7-29, vật liệu dầm cĩ = 16 kN/cm2. 
. 
? 
9.3. 
- 
= 10MN/m2; = 2,2MN/m2. 
9.4. -
 = 10MN/m2. 
[q]. 
 số 20 đặt đứng thì [q] bằng bao nhiêu? 
A
8m
B
A
m = 60kNm m
B
T
6
m
q
q
 Hình 7-29 Hình 7-30 Hình 7-31 
117 
9.5. D - = 16 kN/cm2
 ? 
9.6. - : = 16 kN/cm2, = 10 kN/cm2
: 
=10cm, 
20 đặt đứng, bỏ qua kiểm tra bền cho điểm chịu ứng 
suất phức tạp. 
A
1m
B
P=12kN
A
a 2a a
D
2P
B
P
C
q=2kN/m
 Hình 7-32 Hình 7-33 
9.7. 
= 50mm; = 16 kN/cm2, = 10 kN/cm2
(Hình 7-34a, b) 
2m3m
P
P
A
B
C
A
P P
C B D
30cm60cm60cm
Hình 7-34 
) 
9.8. 7-35. 
EAB = EAC = 2x10
4 kN/cm2 
b) EAB = EAC = E; 
 FAB = FAC = F 
9.9. 
(Hình 7-
36), cho EJ = const. 
450
A
B
C
1m 0,8m
P = 35KN
300 30
0
P
A
a
C
B
Hình 7-35 
118 
9.10. 
(Hình 7-37), cho EJ = const. 
9.11. (Hình 7-38), 
cho EJ = const. 
P
1m2m
A
M
P
BA
1m2m
C
P
BA C
l/2 l/2
 Hình 7-36 Hình 7-37 Hình 7-38