Giáo trình Cơ sở tự động học - Chương IV: Trạng thái của hệ thống - Phạm Văn Tấn

Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.1 
Chương IV: TRẠNG THÁI CỦA HỆ THỐNG 
• ĐẠI CƯƠNG. 
• PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH OUTPUT. 
• SỰ BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG 
THÁI. 
• VÀI VÍ DỤ. 
• ĐỒ HÌNH TRẠNG THÁI. 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.2 
I. ĐẠI CƯƠNG. 
Trong các chương trước, ta đã khảo sát vài phương pháp thơng dụng để phân giải các hệ 
tự kiểm. Phép biến đổi Laplace đã được dùng để chuyển các phương trình vi phân mơ tả hệ 
thống thành các phương trình đại số theo biến phức S. Dùng phương trình đại số này ta cĩ thể 
tìm được hàm chuyển mơ tả tương quan nhân quả giữa ngõ vào và ngõ ra. 
Tuy nhiên, việc phân giải hệ thống trong miền tần số, với biến phức, dù là kỹ thuật rất 
thơng dụng trong tự động học, nhưng cĩ rất nhiều giới hạn. Sự bất lợi lớn nhất, đĩ là các điều 
kiện đầu bị bỏ qua. Hơn nữa, phương pháp ấy chỉ được áp dụng cho các hệ tuyến tính, khơng 
đổi theo thời gian. Và nĩ đặc biệt bị giới hạn khi dùng để phân giải các hệ đa biến. 
Ngày nay, với sự phát triển của máy tính, các điều khiển thường được phân giải trong 
miền thời gian. Và vì vậy, cần thiết phải cĩ một phương pháp khác để đặc trưng hĩa cho hệ 
thống. 
Phương pháp mới, là sự dùng”biến số trạng thái” (state variable) để đặc trưng cho hệ 
thống. Một hệ thống cĩ thể được phân giải và thiết kế dựa vào một tập hợp các phương trình 
vi phân cấp một sẽ tiện lợi hơn so với một phương trình độc nhất cấp cao. Vấn đề sẽ được 
đơn giản hĩa rất nhiều và thật tiện lợi nếu dùng máy tính để giải. 
Giả sử một tập hợp các biến x1(t), x2(t)...xn(t) được chọn để mơ tả trạng thái động của 
hệ thống tại bất kỳ thời điểm cho sẳn t=t0 nào, các biến này mơ tả hồn tồn trạng thái quá 
khứ ( past history ) của hệ cho đến thời điểm t0. Nghĩa là các biến x1(t0), x2(t0) . . . xn(t0), xác 
định trạng thái đầu của hệ tại t=t0. Vậy khi cĩ những tín hiệu vào tại t >= t0 được chỉ rõ, thì 
trạng thái tương lai của hệ thống sẽ hồn tồn được xác định . 
Vậy, một cách vật lý, biến trạng thái của một hệ tuyến tính cĩ thể được định nghĩa như 
là một tập hợp nhỏ nhất các biến x1(t),x2(t),... xn(t), sao cho sự hiểu biết các biến này tại thời 
điểm t0 bất kỳ nào cộng thêm dữ kiện về sự kích thích (excitation) ở ngõ vào được áp dụng 
theo sau, thì đủ để xác định trạng thái của hệ tại bất kỳ thời điểm t >=t0 nào. 
x1(t), x2(t),... 
xn(t) 
r1(t) 
r2(t) 
rp(t) 
c1(t) 
c2(t) 
cq(t) M M 
Hình 4_1
x1(t),x2(t) . . . xn(t)là các biến trạng thái . 
r1(t),r2(t) . . . rp(t) là các tín hiệu vào. 
c1(t),c2(t) . . . cq(t) là các tín hiệu ra. 
Cái ngắt điện, cĩ lẽ là một thí dụ đơn giản nhất về biến trạng thái. Ngắt điện cĩ thể ở vị 
trí hoặc ON hoặc OFF, vậy trạng thái của nĩ cĩ thể là một trong hai trị giá khả hữu đĩ. Nên, 
nếu ta biết trạng thái hiện tại (vị trí) của ngắt điện tại t0 và nếu cĩ một tín hiệu đặt ở ngõ vào, 
ta sẽ cĩ thể xác định được trị giá tương lai trạng thái của nĩ. 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.3 
II. PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG 
TRÌNH OUTPUT. 
Xem lại sơ đồ khối hình H.4_1, diễn tả một hệ thống tuyến tính với p input và q output. 
Ta giả sử hệ thống được đặt trưng bởi tập hợp sau đây của n phương trình vi phân cấp 1, gọi 
là những phương trình trạng thái. 
 ( ) [ ](t)r,(t), ... r(t),(t), rx,(t), ... x(t),x nfix p121 2idt t d = (4.1) 
 (i=1,2,  ,n) 
Trong đĩ : )t(
1
x , )t(
2
x ,  , )t(
n
x là các biến trạng thái 
 )t(
1
r ., )t(
2
r ,  , )t(pr là các input 
 : hàm tuyến tính thứ i. if
Các output của hệ thống liên hệ với các biến trạng thái và các input qua biểu thức sau. 
 ( ) [ ](t)r,(t), ... r(t),r(t), x,(t), ... x(t),xtC nkk g p121 2 = (4.2) 
 (k =1,2,  ,q) 
 kg : hàm tuyến tính thứ k . 
 Phương trình (4.2) gọi là phương trình output của hệ. Phương trình trạng thái và 
phương trình output gọi chung là các phương trình động của hệ. 
Thí dụ, xem một hệ tuyến tính với một input và một output được mơ tả bởi phương trình 
vi phân : 
 )t()t(Cdt
)t(dc3
dt
)t(cd2
dt
)t(cd r22
2
3
3
 =+++ (4.3) 
 : output ; )(tC )(tr : input. 
• Hàm chuyển mơ tả hệ thống dễ dàng cĩ được bằng cách lấy biến đổi Laplace ở hai vế, 
với giả sử các điều kiện đầu bằng 0. 
( )
( ) 1S3S2S
2
SR
SC
23 +++= (4.4) 
• Ta sẽ chứng tõ rằng hệ thống cịn cĩ thể mơ tả bởi một tập hợp các phương trình 
động như sau : 
 Trước nhất, ta định nghĩa các biến trạng thái 
 ( ) ( )tCtx1 = (4.5) phương trình output 
 ( ) ( ) ( )tCtxtx 12 && == (4.6) 
 ( ) ( ) ( )tCtt 23 xx && == (4.7 ) 
Phương trình trạng 
thái 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.4 
 Trong đĩ 
dt
dx
x 1
1
=& và 
dt
dx
x 2
2
=& . 
dt
dcC =& 
Phương trình 4.3 được sắp xếp lại sau cho đạo hàm bậc cao nhất ở vế trái: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t2tt3t2tC rccc +−−−= &&&&&& (4.8) 
Bây giờ phương trình 4.6 và 4.7, thay thế các hệ thức định nghĩa của biến trạng thái vào 
4.8 . Ta sẽ cĩ những phương trình trạng thái: 
 (4.9a) ( ) ( )txtx
21
=&
 (4.9b) ( ) ( )txtx
32
=&
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tr2tx2tx3txtx
3213
+−−−=& (4.9c) 
Chỉ cĩ phương trình (4.9c) là tương đương phương trình ban đầu (4.3). cịn hai phương 
trình kia chỉ là phương trình định nghĩa biến trạng thái. 
Trong trường hợp này, output c(t) cũng được định nghĩa như là biến trạng thái x1(t), 
(khơng phải luơn luơn như vậy). Vậy phương trình (4.5) là phương trình output. 
Tổng quát hơn, nếu áp dụng phương phương pháp mơ tả ở trên, thì phương trình vi phân 
cấp n: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttc... radt
dca
dt
da
dt
d
n
t
1n1n
tc1n
1n
tn =++++ −−
−c (4.10) 
Sẽ được trình bày bởi các phương trình trạng thái sau : 
 ( 4.11) 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trtxatxatxatxnatx
 txtx
txtx
txtx
111n221n1n
n1n
32
21
+−−−−−=
=
=
=
−−
−
L&
&
MM
&
&
Và phương trình output giản dị là : 
 ( ) ( )tx
1
tC = (4.12) 
Phương pháp định nghĩa các biến trạng thái được mơ tả ở trên khơng thích hợp khi vế 
phải của (4.10) cĩ chứa những đạo hàm của r(t). 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.5 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) trb
dt
tdrb 
dt
trdb
dt
trdbtca
dt
tdca
dt
tcda
dt
tcd
n1n
1n
1n
1n
n
0n1n1n
1n
1n
n
++
++=++++
−
−
−
−−
−
L
LL
(4.13) 
 Trong trường hợp này, những hệ thức của các biến trạng thái cũng phải chứa r(t). 
Các biến trạng thái được định nghĩa như sau: 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) n),2,3,(k thtt
 thtt
tbtct
rxx
rxx
rx
kk
12
01
1k
1
L
MM
&
&
=−=
−=
−=
−
 (4.14) 
Với các giá trị ở đĩ : 
( ) ( )( )
( ) 
4.15 
k11k222k11k0kkk
21120333
110222
0111
hahahahababh
hahababh
hababh
babh
−−−−−−=
−−−=
−−=
−=
−−− L
MM
Dùng (14) và (15) ta đưa phương trình vi phân cấp n(4.13) vào n phương trình trạng thái 
sau đây dưới dạng bình thường : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trhtxatxatxatxatx
trhtxtx
trhtxtx
trhtxtx
nnnnnn
nnn
+−−−−−=
+=
+=
+=
−−
−−
112211
11
232
121
4.16 
L&
&
&
&
MM 
 Phương trình output, cĩ được từ biểu thức thứ nhất của(4.14): 
 ( ) ( ) trbtx
01
tC +=)( (4.17) 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.6 
III. SỰ BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN CỦA PHƯƠNG 
TRÌNH TRẠNG THÁI . 
Những phương trình trạng thái của một hệ thống động cĩ thể được viết dưới dạng ma 
trận, để sử dụng ma trận để trình bày trong các hệ phức tạp làm cho các phương trình cĩ dạng 
cơ đơng hơn. Phương trình (4.1) viết dưới dạng ma trận thì đơn giản sau: 
 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )4.18 ttt,tft BRAXRXX +==& 
Trong đĩ X(t) là ma trận cột biểu diễn các biến số trạng thái gọi là các véctơ trạng thái. 
R(t) là ma trận cột, biểu diễn input gọi là các véctơ input. 
( )
( )
( )
( )
 ⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
t
t
t
t
n
2
1
x
x
x
MX và ( )
( )
( )
( )
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
t
t
t
t
p
2
1
r
r
r
MR (4.19) 
A là ma trận vuơng n x n : 
 (4.20) 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
nn2n1n
n22221
n111
aaa
aaa
aaa n1
L
LLLLLLLL
L
L
A
B là ma trận n x p (vì cĩ p input r ) 
 (4.21) 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
np2n1n
p22221
p11211
bbb
bbb
bbb
LL
LL
LL
LLLLLLL
B
Tương tự như vậy, q phương trình trong (4.2) cũng cĩ thê được trình bày bằng một ma 
trận duy nhất 
 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ttttXt ERDXRC g +=+= (4.22) 
Trong đĩ D là ma trận q x n và E là ma trận q x p. 
Thí dụ, các phương trình trạng thái của phương trình (4.11) được viết dưới dạng ma 
trận: 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.7 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )tr
1
0
0
t
t
t
aaa
100000
001000
000100
000010
t
t
t
1x
n
1
1
x
x
x
nnnx
x
x
n
11
2
1
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
M
M
M
M
M
M
LLLLLL
LL
LLLLLLLLL
LL
LL
LL
M
M
M
&
&
&
1 x n 1 x n n x n 
 (4.23) 
Khi so sánh phương trình (4.23) với phương trình (4.18), các ma trận A và B sẽ được 
đồng nhất dễ dàng. Trường hợp này, phương trình output (4.22) là một phương trình vơ 
hướng. 
 (4.24) [ 0001 L=D ]
]
]
Và E = 0 (ma trận khơng ( 4.25 ) 
Tương tự các ma trận A, B,C,D đối với phương trình (4.13) sẽ là 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
− 11 aaa
100000
001000
000100
000010
nn 
LLLLLL
LL
LLLLLLLLL
LL
LL
LL
A (4.26) 
 (4.27) 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
nh
h
h
2
1
MB
 (4.28 ) [ 0001 L=D
 (4.29) [ 0b=E
IV. VÀI THÍ DỤ. 
Thí dụ 4.1: 
 Xem một hệ thống tuyến tính, cĩ hàm chuyển cho bởi: 
 ( ) ( )( ) 2S9S8S
5
SR
SCSG 23 +++== (4.30) 
Phương trình vi phân tương ứng diển tả hệ thống là: 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.8 
 r5c2dt
dc
92dt
c2d
83dt
c3d =+++ (4.31) 
Các biến số trạng thái được định nghĩa: 
 (4.32) 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) r5x8x9x2x
xx
xx
cx
3213
32
21
1
t
tt
tt
tt
+−− −=
=
=
=
&
&
&
Do đĩ hệ thống cĩ thể được diễn tả bằng ma trận: 
 BRAXX +=& (4.33) 
và C = DX + ER (4.34) 
Với 
 ; 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
892
100
010
A
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
500
000
000
B
 ; ; 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
r
0
0
R
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
x
x
x
X
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
x
x
x
&
&
&
&X
 ; E = 0 [ 001=D ]
Thí dụ 4.2: 
 Xem một hệ thống điều khiển như H.4.2. Hàm chuyển vịng kín của hệ là: 
( )1
2
+SS 
+R(S) 
- 
C(S) 
( )
( ) 2SS
2
SR
SC
2 ++= (4.35) 
Hình 4.2 
 Phương trình vi phân tương ứng 
 r2c2dt
dc
2dt
c2d =++ (4.36) 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.9 
 Các biến trạng thái: 
 cx1 =
 (4.37) 21 xx =&
 rxxx 2
212
2 +−−=& 
Vậy hệ thống cĩ thể diển tả bằng hệ thống véctơ: 
 rBAXX +=& (4.38) 
 C = DX+Er 
Trong đĩ : 
 ; ; ; ; ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−= 12
10
A ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
0
B ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
x
x
X ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
x
x
&
&&X
 [ 01=D ]
Thí dụ 4.3 : 
 Xem một mạch RLC như H. 4.3 
Cnguon dong r(t)
L
R v0
vc 
ic 
il 
Trạng thái của hệ cĩ thể mơ tả bởi tập hợp các biến trạng thái 
 x1 = vc(t) ( 4.39) 
 x2 = iL(t) ( 4.40) 
Đối với mạch RLC thụ động, số các biến số trạng thái cần thiết thì bằng với số các bộ 
phận tích trữ năng lượng độc lập. Các định luật Kirchhoff cho: 
 Li)t(rdt
cdvcci −== (4.41) 
 CL
L vRi
dt
diL +−= (4.42) 
Output của hệ : v0 = RiL (4.43) 
Viết lại(4.41) và (4.42) như là tập hợp các phương trình vi phân cấp 1: 
 )t(rC
1x
C
1
dt
dv
x 2
c
1 +−==
•
 (4.44) 
 212 xL
Rx
L
1x −=• (4.45) 
Tín hiệu ra c(t) = v0 = Rx2 (4.46) 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.10 
Dùng các phương trình (4.44), (4.45), (4.46) và các điều kiện đầu của mạch x1(t0), x2(t0) 
ta cĩ thể xác định trạng thái tương lai của mạch và tín hiệu ra của nĩ. 
Dưới dạng véctơ, trạng thái của hệ được trình bày: 
BrAXX +=• 
ErDXC += 
Trong đĩ: 
L
R
L
1
C
10
−
−
=A ; ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
0
C
1
B ; [ ]R0=D 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
x
x
X ; ; E=0 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
2
.
1
.
x
x.X
 Lưu ý là các biến trạng thái của hệ thống khơng phải là duy nhất. Tùy theo cách chọn 
lựa, cĩ thể cĩ những tập hợp khác của các biến trạng thái. 
V. ĐỒ HÌNH TRẠNG THÁI . 
 Đồ hình truyền tín hiệu mà ta đã nĩi ở chương 3 chỉ áp dụng cho các phương trình đại 
số. Ở đây, ta sẽ đưa vào các phương pháp đồ hình trạng thái, như là một sự mở rộng cho đồ 
hình truyền tín hiệu để mơ tả các phương trình trạng thái ,và các phương trình vi phân. Ý 
nghĩa quan trọng của đồ hình trạng thái là nĩ tạo được một sự liên hệ kín giữa phương trình 
trạng thái, sự mơ phỏng trên máy tính và hàm chuyển. 
 Một đồ hình trạng thái được xây dựng theo tất cả các qui tắc của đồ hình truyền tín 
hiệu. Nhưng đồ hình trạng thái cĩ thể được dùng để giải các hệ tuyến tính hoặc bằng giải tích 
hoặc bằng máy tính. 
 Trở lại mạch RLC ở ví dụ 4.3. Để diễn tả đồng lúc 3 phương trình (4.44) (4.45), 
(4.46), ta cĩ thể dùng giãn đồ hình trạng thái như hình H.4_4 sau đây : 
 1/C 1/S 1/L 1/S R 
 r .1x x1 
.
2x x2 v0 
-R/L 
-1/C 
H.4_4 
 Ở đĩ, 1/s chỉ một sự lấy tích phân. 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.11 
Dùng cơng thức Mason về độ lợi tổng quát, ta cĩ hàm chuyển: 
LC/1S)L/R(S
LC/R
)LCS/1()LS/R(1
LCS/R
)S(R
)S(V
22
2
0
++=++= (4.48) 
 Nhưng rủi thay, hầu hết các mạch điện, các hệ thống điện cơ hay những hệ điều khiển 
đều khơng đơn giản như mạch RLC trên đây, và thường khĩ xác định một tập hợp các phương 
trình vi phân cấp 1 diển tả hệ thống.Vì vậy, để đơn giản hơn ,ta thường chuyển hĩa kiểu mẩu 
trạng thái từ hàm chuyển. 
Một cách tổng quát một hệ được mơ tả bằng hàm chuyển như sau: 
01
1n
1n
n
01
1m
1m
m
aSa...SaS
bSb...SbS
)S(R
)S(C)S(G ++++
++++== −
−
−
−
 (4.49) 
Ở đĩ n>=m và mọi hệ số a đều thực dương. Nếu nhân tử và mẫu cho S-n ta được: 
n
0
)1n(
1
1
1n
n
0
)1n(
1
)1mn(
1m
)mn(
SaSa...Sa1
SbSb...SbS)S(G −−−−
−
−−−+−−
−
−−
++++
++++= (4.50) 
Cơng thức Mason quen thuộc giúp ta thừa nhận dễ dàng rằng tử số là tổng độ lợi trực 
tiếp, và mẫu số là tổng độ lợi vịng hồi tiếp. 
Ta viết lại cơng thức Mason. 
Δ
Δ∑
== i ii
p
R(S)
C(S)T (4.51) 
Nếu tất cả các vịng hồi tiếp đều chạm nhau và tất cả các đường trực tiếp đều chạm vịng 
hồi tiếp thì (4.51) thu lại 
 tiếp hồivòng các lợi độ ổng
tiếp trực đường các lợi độ Tổng
T1−=−= ∑
∑
j
j1
i
i
P1
P
T (4.52) 
 Thí dụ 4.4 : 
• Trước hết xem hàm chuyển của hệ thống cấp 4: 
01
2
2
3
3
4
0
asasasas
b
)s(R
)s(C)s(G ++++== (4.53) 
4
0
3
1
2
2
1
3
4
0
sasasasa1
sb
)s(R
)s(C)s(G ++++== −−−
−
Vì hệ thống cấp 4, ta sẽ định nghĩa 4 biến trạng thái (x1,x2,x3,x4). Gợi ý từ cơng thức 
Mason, ta cĩ thể tháy rằng mẫu số của (4.53) cĩ thể được xem như là 1 cộng với độ lợi vịng, 
và tử số của hàm chuyển thì bằng với đơ lợi đường trực tiếp của đồ hình. 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.12 
Đồ hình trạng thái phải dùng số lần lấy tích phân bằng với cấp số của hệ thống. Vậy cần 
lấy tích phân 4 lần. 
H.4-5 
• • 
1/S 
X4 • X4 X3• X2• X1 • X3
3
X2 X1
• • 
1/S 
• • 
1/S 
• • 
1/S 
• 
R(s) 
•
C(s)
Ghép các nút lại. Nhớ rằng 
Ta cĩ đồ hình trạng thái của (4.53) x1 = x2 , 
• x2 = x3 , • x3 = x4 •
R(s) 
X4 • X3• X2• X1•
 x4 x3 x2 
 1 1/S 1/S 1/S 1/S 
C(s)
- a3 
- a2 
- a1 
- a0 
b0x1
H.4_6 
Thí dụ 4.5 : 
• Bây giờ ta xem hàm chuyển cấp 4 khi tử số là một đa thức theo S: 
01
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3)(
asasasas
bsbsbsbsG ++++
+++= (4.54) 
 4
0
3
1
2
2
1
3
4
0
3
1
2
2
1
3
1
)(
sasasasa
sbsbsbsbsG ++++
+++= −−−
−−−−
 (4.55) 
Tử số của G(s) là tổng độ lợi các đường trực tiếp trong cơng thức Mason. Đồ hình trạng 
thái (ĐHTT) vẽ ở hình H.4_7. Trong đĩ độ lợi các đường trực tiếp là b3/s; b2/s2; b1/s3 và b0/s4. 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.13 
H.4_7 
Từ ĐHTT, ta suy ra một tập hợp phương trình vi phân cấp 1, diễn tả trạng thái của hệ: 
 (4.56) 
Ngồi ra, phương trình output là 
 C(t) = b0 x1 + b1 x2 + b2 x3 + b3 x4 (4.57) 
Từ đo, dưới dạng ma trận, ta cĩ: 
 rBAXX +=• 
)(
1
0
0
0
1000
0100
0010
4
3
2
1
3210
3
2
1
tr
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
dt
d
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
 (4.58) 
và output là: 
 rEXDC( +=)t (4.59) 
x1 = x2 • 
x2 = x3 • 
x3 = x4 • 
x4 = - a0x1 - a1x2 - a2x3 - a3x4 + r • 
R(s) X4 • X3• X2• X1•
 x4 x3 x2 
 1 1/S 1/S 1/S 1/S 0 
C(s)
- a3 
- a2 
- a1 
- a 
 b
0
 b3 
b2 
b1 
x1
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chươ hái của hệ thống Trang IV.14 
 (4.60) [
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
3210
x
x
x
x
bbbb)t(C ]
• Lưu ý: Để diễn tả phương trình (4.54), ĐHTT vẽ ở hìmh H.4_7 khơng phải là duy 
nhất. Ta hãy xem hình H.4_8. 
ng IV: Trạng t
 H.4_8a 
R(s) 
X4 • X3• X2• X1•
 - a0 
 - a1 
 - a
 - a
` b0 1/S 1/S 1/S 1/S 
2 
 b3 b2 
 b1 
3 
 1x1 C(s)
 H.4_8b 
Từ ĐHTT ở hình H.4_8a, ta cĩ một tập hợp phương trình trạng thái : 
 ( )tx)t(C 1=
 (4.61) 
Để viết phương trình (4.61a), ta hãy tham khảo hình H.4_8b. Giữa hai nút và , ta 
thêm một nút mới x2. Các phương trình khác cũng làm tương tự. 
Đồ hình H.4_8a trình bày cùng một hàm chuyển như đồ hình H.4_7. Nhưng các biến 
trạng thái của mỗi đồ hình thì khơng giống nhau. 
 Thí dụ 4.6 : 
• Ta hãy xem một hệ thống điều khiển như hình H.4_9 cĩ thể dùng ĐHTT để xác 
định trạng thái của hệ. 
• •1/S 1 
1 x•x2 • 2 
(t) = - a x + x + b r • 
1 • 
X
x1• (t) = - a3 x1 + x2 + b3 r 
x2 2 1 3 2 
x3(t) = - a1 x1 + x4 + b1 r • 
x4(t) = - a0 x1 + b0 r • 
 x x• 2
)4s)(2s(s
)3s)(1s(2)s(G ++
+ += R(s) C(s) + - 
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.15 
H.4_9 
Hàm chuyền vịng kín của hệ : 
 6s16s8s
6s8s2
)s(R
)s(C
23
2
+++
++= (4.64) 
Nhân tử và mẩu với s-3 : 
 321
321
s6s16s81
s6s8s2
R
C
−−−
−−−
+++
++= (4.47) 
Đồ hình ,trạng thái cho bởi hình H.4_10 
H.4_10 
Từ đồ hình suy ra các phương trình trạng thái. 
 (4.66) 
Và phương trình output : 
 C(t) = 6x1 + 8x2 + 2x3 (4.67) 
Dưới dạng ma trận : 
 (4.68) )(
1
0
0
8166
100
010
tr
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=• XX
Và 
R(s) 
X3 • X2• X1•
 1 S S S 6 - 1 - 1 - 1 
 x -8 3 x2 
8 
2 
 C(s) 
-16 
-6 
x1 = x2 • 
x2 = x3 • 
3 = - 6x1 - 16x2 - 8x3 + r • x
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.16 
[ XC 286)( =t ] (4.69) 
 Với 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
x
x
x
X
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
•
•
•
•
3
2
1
x
x
x
X