Giáo trình Cơ sở tự động học - Chương VI: Tính ổn định của hệ thống - Phạm Văn Tấn

 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.1 
Chương VI: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ 
THỐNG 
• ĐẠI CƯƠNG. 
• ĐỊNH NGHĨA TÍNH ỔN ĐỊNH. 
• KHAI TRIỂN PHÂN BỐ TỪNG PHẦN. 
• MẶC PHẲNG PHỨC VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG. 
• CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ 
THỐNG. 
• TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ROUTH. 
• TIÊU CHUẨN HURWITZ. 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.2 
I. ĐẠI CƯƠNG. 
Có nhiều đặc tính được dùng trong thiết kế hệ thống tự kiểm. Nhưng yêu cầu 
quan trọng nhất, đó là hệ thống có ổn định theo thời gian hay không? 
Nói chung, tính ổn định được dùng để phân biệt hai loại hệ thống: Hữu dụng và vô 
dụng. Trên quan điểm thực tế, ta xem một hệ thống ổn định thì hữu dụng, trong khi một 
hệ thống bất ổn thì vô dụng. 
Đối với nhiều hệ thống khác nhau: tuyến tính, phi tuyến, không đổi theo thời gian 
và thay đổi theo thời gian, tính ổn định có thể được định nghĩa theo nhiều hình thức 
khác nhau. Trong chương này, ta sẽ chỉ xét tính ổn định của những hệ tuyến tính, không 
đổi theo thời gian. 
Một cách trực giác, tính ổn định của một hệ là khả năng quay trở về trạng thái 
ban đầu sau khi đã lệch khỏi trạng thái này, khi tác động của các nguồn kích thích từ 
bên ngoài(hay các nhiểu) chấm dứt. 
II. ĐỊNH NGHĨA TÍNH ỔN ĐỊNH 
Một hệ thống là ổn định nếu đáp ứng xung lực giảm tới zero khi thời gian tiến tới vô 
cực. 
 * Thí dụ 6.1: cho đáp ứng xung lực của vài hệ điều khiển sau đây. Trong mỗi trướng hợp, 
hãy xác định tính ổn định của hệ thống. 
a) g(t) = e-t. 
b) g(t) = t.e-t. 
c) g(t) = 1. 
d) g(t) = e-t.sin3t. 
e) g(t) = sinωt. 
g(t) 
1.0 
0.5 
0 
1 2 3 4 t 
e-t
a) 
g(t) 
1.0 
0.5 
0 
1 2 3 4 t 
te-t
b) 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.3 
g(t) 
1.0 
0.5 
0 
1 2 3 4 t 
c) 
g(t) 
1.0 
0 
2 4 t 
sinωt 
e) 
-1.0 
g(t) 
1.0 e-tsinωt 
0 
π π/3 
-1.0 
d) 
t 2π/3 
Hình .6_1. 
Theo định nghĩa, hệ thống: 
a) ổn định. 
b) ổn định. 
c) bất ổn. 
d) ổn định. 
e) bất ổn. 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.4 
III. KHAI TRIỂN PHÂN BỐ TỪNG PHẦN (Parial 
Fraction expansion) 
Có thể tìm đáp ứng xung lực của một hệ thống bằng cách lấy biến đổi laplace ngược 
hàm chuyễn của hệ. 
Và để không phải dùng đến tích phân biến đổi laplace ngược. 
 ∫
∞+
∞−π
=
jc
jc
st dtesF
j2
1tf )()( 
 ta có thể dùng phương pháp khai triển phân số từng phần 
Xem hàm chuyển G(s) = C(s)/ R(s). (6.1) 
Trong đó, C(s) và R(s) là những đa thức theo s. Giả sữ R(s) có bậc lớn hơn C(s). Đa 
thức R(s) gọi là đa thức đặc trưng và có thể viết: 
R(s) = sn + a1sn-1 +....+an-1s +an. (6.2) 
Trong đó, a1,...an là những hệ số thực. 
Những nghiệm của phương trình đặc trưng R(s) = 0 có thể là thực, hay những cặp phức 
liên hợp đơn hay đa cấp (có lũy thừa hay không). 
Ta xem trường hợp những nghiệm này thực và đơn cấp, phương trình (6.1) có thể được 
viết: 
 )ss)...(ss)(ss(
)s(C
)s(R
)s(C)s(G
n21 +++
== (6.3) 
Trong đó, -s1, -s2,....-sn là những nghiệm của phương trình đặc trưng zero của R(s) hay 
là những cực của G(s). 
n21 ss
ks
ss
ks
ss
kssG n21 ++++++= ....)( (6.4) 
Những hệ số Ksi (i=1, 2, 3,...n) được xác định bằng cách nhóm 2 vế của (6.3) hoặc (6.4) 
cho (s+si) rồi đặt s = -si.
Thí dụ, để tìm hệ số Ks1, ta nhóm cả hai vế (6.3) cho (s+s1) và đặt s = -s1. 
)ss)....(ss)(ss(
)s(C
)s(R
)s(C)ss(K
1n1312
1
1SS
11S −−−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
−=
 (6.5) 
* thí dụ 6.2: xem hàm chuyển của một hệ thống. 
)3s)(2s)(1s(
3s5)s(G +++
+= (6.6). 
Hãy tìm đáp ứng xung lực của hệ. 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.5 
 Trước hết, ta áp dụng kỹ thuật khai triển phân số từng phần. 
3s
K
2s
K
1s
K)s(G 321 +++++=
−−− (6.7) 
các hệ số K-1, K-2, K-3 được xác định như sau: 
[ ] 1
)31)(21(
3)1(5)s(G)1s(K 1S1 −=+−+−
+−=+= −=− 
[ ] 7
)32)(12(
3)2(5)s(G)2s(K 2S2 =+−+−
+−=+= −=− 
[ ] 6
)23)(13(
3)3(5)s(G)3s(K 3S3 −=+−+−
+−=+= −=− 
Vậy (6.7) trở thành: 
3s
6
2s
7
1s
1)s(G +
−++++
−= (6.8). 
Bây giờ ta có thể dùng bảng biến đổi để tính đáp ứng xung lực của hệ thống. 
g(t) =L-1[G(s)]. 
g(t) = -L-1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+1
1
s +7L
-1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+ 2
1
s -6L
-1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+ 3
1
s (6.9) 
g(t) = -e-t + 7e-2t -6e-3t. (6.10) 
* Thí dụ 6.3: bài toán tương tự như trên, với hàm chuyển như sau: 
)4)(2)(1(
199)(
2
+++
++=
sss
sssG (6.11) 
)4(6
1
)2(2
5
)1(3
11)( +−+−+= ssssG (6.12) 
g(t) =
3
11 e-t -
2
5 e-2t -
6
1 e-4t. (6.13) 
 * Thí dụ 6.4: 
)2()1(
1)( 2 ++= sssG 
Khai triển phân số từng phần: 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.6 
2)1(1
)( 212
1211
+++++= s
K
s
K
s
KsG 
[ ] 1
2
1)()1(
1
1
2
11 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=+= −=−= SS sds
dsGs
ds
dK 
 [ ] 1)()1( 1212 =+= −=SsGsK 
 [ ] 1)()2( 221 =+= −=SsGsK 
2
1
)1(
1
1
1)( 2 +++++−=⇒ ssssG 
Biến đổi Laplace ngược : g(t) = - e-t + t e-t + e-2t. 
IV. MẶT PHẴNG PHỨC VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ 
THỐNG 
1. Hàm chuyễn là một hàm hữu tỷ, bao gồm tỷ số của những đa thức theo biến số 
phức s. 
( )
( )∏
∏
∑
∑
=
−
=
=
+
+
== n
1i
i
m
1i
i
n
0i
i
i
m
0i
i
m
i
m
ps
zsm
sa
s
b
bb
)s(G (6.14) 
Trong đó các (s+zi ) là những thừa số của đa thức tử và ( s+pi ) là những thừa số của 
đa thức mẫu. 
a) Những giá trị của s làm cho trị tuyệt đối của |G(s)| bằng zero thì gọi là các zero của 
G(s). 
b) Những giá trị của s làm cho trị tuyệt đối của |G(s)| tiến tới vô cực thì gọi là các cực 
(pole) của G(s). 
 * Thí dụ 6.5 : Xem một hệ thống có hàm chuyễn 
685
422)( 23
2
+++
−−=
sss
sssG 
Có thể viết lại: 
)1)(1)(3(
)2)(1(2)(
jsjss
sssG −++++
−+= (6.16) 
 G(s) có các zero tại s = -1 và s = 2 
 G(s) có các cực tại s = -3 ; s = -1-j và s = -1+j 
Cực và zero là những số phức, được xác định bởi hai biến số s = + j. Một để biểu diễn 
phần thực và một để biểu diễn phần ảo cho số phức. 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.7 
Một cực hay một zero có thể được biểu diễn trong tọa độ vuông góc. Trục hoành chỉ 
trục thực và trục tung chỉ trục ảo. Mặt phẳng xác địnhbởi hệ trục này gọi là mặt phẳng phức 
hoặc mặt phẳng s. 
 -3 -2 -1 0 1 2 
3
j 
-
j
jω 
σ 
H.6-2 
Nữa mặt phẵng mà trong đó σ < 0 gọi là nữa trái của mặt phẵng s. và nữa kia trong đó σ 
> 0 gọi là nữa phải của mặt phẵng s. 
Vị trí của một cực trong mặt phẳng s được kí hiệu bằng dấu (X) và vị trí một zero bằng 
dấu (o). 
2. Ở trên ta thấy đáp ứng xung lực của một hệ thống tuyến tính không thay đổi theo thới gian 
thì gồm tổng các hàm expo theo thời gian, mà các số mũ của chúng là nghiệm của phương 
trình đặc trưng. 
Vậy để đảm bảo hàm xung lực giãm theo hàm expo theo thời gian thì các nghiệm của 
phương trình đặc trưng phải có phần thực âm. 
Nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống cũng là cực của hàm chuyễn. 
Vậy có thể kết luận rằng, điều kiện cần để một hệ ổn định là các cực của hàm chuyển 
phải nằm ở nữa trái của mặt phẵng s. 
Trục ảo, bao gồm gốc tọa độ, thì thuộc về vùng bất ổn. 
 jω 
σ 
Vùng ổn định
Vùng ổn định
Vùng bất ổn 
Vùng bất ổn 
H.6-3 
* Thí dụ 6.5 : 
 Xem một hệ thống có hàm chuyễn mà các cực ở tại -1 và -5 và các zero ở tại 1 và -2 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.8 
j 
 -5 -2 -1 
H.6-4 
Các cực đều nằm nữa trái mặt phẵng s. vậy hệ thống ổn định. Mặc dù có một zero nằm ở 
nữa phải, nhưng đều đó không tác động lên tính ổn định của hệ thống. 
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÍNH ỔN ĐỊNH 
CỦA HỆ THỐNG 
 Ta đã thấy tính ổn định của một hệ tự kiểm tuyến tính không đổi theo thời gian có thể 
xét bằng cách khảo sát đáp ứng xung lực, hoặc tìm vị trí các nghiệm của phương trình đặc 
trưng trong mặt phẳng s. Nhưng các tiêu chuẩn ấy thường là khó thực hiện trong thực tế. Thí 
dụ, đáp ứng xung lực có được bằng cách lấy biến đổi Laplace ngược của hàm chuyễn, nhưng 
không phải lúc nào cũng đơn giãn. Còn việc tìm nghiệm của phương trình bậc cao chỉ có thể 
nhờ vào máy tính. 
Vì vậy, trong thực tế phân giãi tính ổn định cho hệ thống, người ta có thể dùng phương 
pháp sau đây mà không cần đến việc giãi các phương trình đặc trưng. 
1. Tiêu chuẩn ROUTH và HURWITZ : là một phương pháp đại số, cho dữ kiện về tính 
ổn định tuyệt đối của một hệ tuyến tính không đổi theo thời gian. Các tiêu chuẩn này sẽ thử 
đễ chỉ có bao nhiêu nghiệm của phương trình đặc trưng nằm ở nữa trái, nữa phải và trên trục 
ảo. 
2. Đồ hình quĩ tích nghiệm số (Root Locus Plot): trình bày một đồ hình của quĩ tích các 
nghiệm của phương trình đặc trưng khi một thông số nào đó của hệ thống bị thay đổi. Khi 
quĩ tích nghiệm số nằm trên nữa phải mặt phẳng s, hệ thống vòng kính bị bất ổn. 
3. Tiêu chuẩn NYQUIST : là một phương pháp bán - đồ - họa 
(Semi graphical), cho dữ kiện trên sự khác biệt giữa số cực và zero của hàm chuyễn vòng 
kín bằng cách quan sát hình trạng của đồ hình NYQUIST. Phương pháp này cần biết vị trí 
tương đối của các zero. 
4. Sơ đồ Bode : sơ đồ Bode của hàm chuyễn vòng kín G(s) H(s) có thể được dùng để xác 
định tính ổn định của hệ vòng kín. Tuy nhiên, chỉ có thể dùng khi G(s) H(s) không có các 
cực và zero trong nữa phải mặt phẳng s. 
5. Tiêu chuẩn LYAPUNOV : là phương pháp xác định tính ổn định của hệ phi tuyến, 
nhưng vẫn có thể áp dụng cho các hệ tuyến tính. Sự ổn định của hệ được xác định bằng 
cách kiểm tra các tính chất của hàm Lyapunov. 
VI. TIÊU CHẨN ỔN ĐỊNH ROUTH 
 Tiêu chuẩn Routh có thể xác định tính ổn định của hệ mà phương trình đặc trưng đến 
bậc n. 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.9 
 ansn + an-1sn-1 + .. + a1s + a0 = 0 
 Tiêu chuẩn này được áp dụng bằng cách dùng bảng Routh định nghĩa như sau : 
 sn anan-2 an-4   
 sn-1 an-1 an-3 an-5   
 . b1 b2 b3   
 . c1 c2 c3   
 . . . .   
Trong đó an , an-1 ,  , a0 là các hệ số của phương trình đặc trưng, và : 
vv
b
baab
c
b
baab
c
vv
a
aaaa
b
a
aaaa
b
1
31n5n1
2
1
21n3n1
1
1n
5nn4n1n
2
1n
3nn2n1n
1
........
.......
−−−−
−
−−−
−
−−−
−≡−≡
−≡−≡
Bảng được tiếp tục theo chiều ngang chiều dọc cho đến khi được toàn zero. 
Tấc cả nghiệm của phương trĩnh đặc trưng có phần thực âm nếu và chỉ nếu các phần tử ở 
cột thứ nhất của bảng Routh có cùng dấu (không đổi dấu). Nói cách khác số nghiệm có phần 
thực dương bằng với số lần đổi dấu. 
 * Thí dụ 6 -6 : Hệ thống có phương trình đặc trưng 
 s3 + 6s2 + 12s + 8 = 0 
Xét tính ổn định 
Bảng Routh : 
 s3 1 12 0 
 s2 6 8 0 
 s1 6
64
 0 
 s0 8 
vì không có đổi dấu ở cột thứ nhất, nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều 
có phần thực âm. Vậy hệ ổn định. 
 * Thí dụ 6 -7 : Phương trình đặc trưng của một hệ thống là : 
 s3 + 3s2 + 3s + 1 + k = 0 
Hãy xác định điều kiện để hệ ổn định 
Bảng Routh : 
 s3 1 3 0 
 s2 3 1+k 0 
 s1 3
k8 −
 0 
 s0 1+k 
Để hệ ổn định, cần có sự không đổi dấu ở cột 1. Vậy các điều kiện là : 
 8-k > 0 và 1+k > 0 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.10 
vậy phương trình đặc trưng có các nghiệm với phần thực âm nếu : 
 -1 < k < 8 
 * Thí dụ 6 -8 : Lập bảng Routh và xác định số nghiệm có phần thực dương của phương trình 
đặc trưng 
 2s3 + 4s2 + 4s + 12 = 0 
Bảng Routh : 
 s3 2 4 0 Hàng s2 được chia 4 trước khi 
 s2 1 3 0 tính hàng s1. Hàng s1 được chia 
 s1 -1 0 2 trước khi tính hàng s0 
 s0 3 
Vì có hai lần đổi dấu ở cột 1, nên phương trình trên có hai nghiệm có phần thực dương. 
 * Thí dụ 6 -9 : Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng : 
 s4 + s3 - s - 1 = 0 
Bảng Routh : 
 s4 1 0 -1 0 
 s3 1 -1 0 0 
 s2 1 -1 0 
 s1 0 0 
 s0 -1 
Hệ số ở hàng s0 được tính bằng cách thay 0 ở hàng s1 bằng ε, rồi tính hệ số của hàng s0 như 
sau : 
 1
0)1( −=ε
−−ε
Cần phương cách này khi có một zero ở cột một. Vì có một lần đổi dấu ở cột một, nên 
phương trình đặc trưng có một nghiệm có phần thực dương. Do đó, hệ thống không ổn định. 
VII. TIÊU CHUẨN HURWITZ 
 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz là phương pháp khác để xác định tất cả nghiệm của 
phương trình đặc trưng có phần thực âm hay không . Tiêu chuẩn này được áp dụng thông qua 
việc sử dụng các định thức tạo bởi những hệ số của phương trình đặc trưng. 
 Giả sử hệ số thứ nhất, an dương. Các định thức Ai với i = 1, 2, .... , n-1 được tạo ra 
như là các định thức con (minor determinant) của định thức : 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.11 
Các định thức con được lập nên như sau : 
 an-1 an-3 ..... 0  0 
 an an-2 ... 0  0 
 0 an-1 an-3 
.. 0 
 An = 
 0 an an-2 an- 4 .. 
0 
  . 
an-5 . 
 0 
 a0 nếu n lẻ 
 a1 nếu n chẳn 
 a1 nếu n lẻ 
 a0 nếu n chẳn 
2
1n4n
2
3nn
5n1nn3n2n1n
3n1n
4n2nn
5n3n1n
3
3nn2n1n
2nn
3n1n
2
1n1
aaaa
aaaaaa
aa0
aaa
aaa
aaaa
aa
aa
a
−−−
−−−−−
−−
−−
−−−
−−−
−
−−
−
−−
+=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=Δ
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Δ
=Δ
 Và tăng dần đến ∆n
Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu và chỉ nếu ∆i > 0 
với i = 1 , 2 ,  , n. 
* Thí dụ 6 -10: Với n = 3 
 3
2
0012
02
13
02
3 aaaaa
aa0
0aa
0aa
−==Δ
 3012
13
02
2 aaaaaa
aa −==Δ 
 21 a=Δ 
 Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.12 
 a2 > 0 , a2 a1 – a0 a3 > 0 
 a2 a1 a0 – a02 a3 > 0 
 * Thí dụ 6 -11 : Xét sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng 
 s3 + 8s2 + 14s + 24 = 0 
 Lập các định thức Hurwitz 
 02488
2480
0141
0248
3 >×==Δ 
 088
141
248
2 >==Δ 
 081 >=Δ
 Các định thức đều lớn hơn không, các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần 
thực âm, nên hệ thống ổn định. 
 * Thí dụ 6 –12 : Với khoãng giá trị nào của k thì hệ thống sau đây ổn định : 
 s2 + ks + ( 2k – 1 ) = 0 
 )1K2(k
1k21
0k
2 −=−=Δ 
 k1 =Δ 
k (2k -1) > 0 
 k > 0 
Để hệ ổn định, cần có : 
Vậy 
2
1k > 
* Thí dụ 6 – 13 : 
Một hệ thống thiết kế đạt yêu cầu khi mạch khuếch đại của nó có độ lợi k = 2 . Hãy xác 
định xem độ lợi này có thể thay đổi bao nhiêu trước khi hệ thống trở nên bất ổn, nếu phương 
trình đặc trưng của hệ là : 
 s3+ s2 (4+k) + 6s + 16 + 8k = 0 
• Thay các tham số của phương trình đã cho vào điều kiện Hurwitz tổng quát ở thí dụ 6 
–10. Ta được những điều kiện để hệ ổn định : 
 4 + k > 0 , (4+k)6 – (16+8k) > 0 
 (4+k) 6 (16+8k) – (16 + 8k)2 > 0 
Giã sử độ lợi k không thể âm, nên điều kiện thứ nhất thỏa. 
Điều kiện thứ nhì và thứ ba thỏa nếu k < 4 
Vậy với một độ lợi thiết kế có giá trị là 2, hệ thống có thể tăng độ lợi lên gấp đôi trước 
khi nó trở nên bất ổn. 
Độ lợi cũng có thể giãm xuống không mà không gây ra sự mất ổn định. 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.13 
BÀI TẬP CHƯƠNG VI 
VI. 1 Xem nghiệm của phương trình đặc trưng của vài hệ thống điều khiển dưới đây. Hãy 
xác định trong mỗi trường hợp sự ổn định của hệ. (ổn định, ổn định lề, hay bất ổn) 
a) –1 ,-2 f) 2 , -1 , -3 
b) –1 , +1 g) -6 , -4 , 7 
c) –3 , +2 h) -2 + 3j , -2 – 3j , -2 
d) –1 + j , -1 – j i) -j , j , -1 , 1 
e) –2 +j , -2 – j 
f) 2 , -1 , -3 
VI. 2 Môt hệ thống có các cực ở –1 , -5 và các zero ở 1, -2 . Hệ thống ổn định không? 
VI. 3 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng : 
 (s + 1) (s + 2) (s - 3) = 0 
VI. 4 Phương trình của một mạch tích phân được viết bởi : 
 dy/dt = x 
 Xác định tính ổn định của mạch tích phân. 
VI. 5 Tìm đáp ứng xung lực của hệ thống có hàm chuyễn : 
 )2s)(1s(
2s2s)s(G
2
++
++= 
 Xét tính ổn định của hệ dựa vào định nghĩa. 
VI. 6 Khai triển G(s) thành phân số từng phần. Rồi tìm đáp ứng xung lực và xét tính ổn 
định. 
 a) )2s)(1s(s
)2ss()s(G
2
++
−+−= 
 b) )4s)(2s)(1s(s
19s9s)s(G
2
+++
++= 
VI. 7 Dùng kỹ thuật biến đổi laplace, tìm đáp ứng xung lực của hệ thống diễn tả bởi phương 
trình vi phân : 
 xdt
dy
dt
yd
3
3
=+ ĐS : y(t) = 1 – cost 
VI. 8 Xác định tất cả các cực và zero của : 
 345
2
s30s7s
26s
)s(G −−
−= ĐS : s3 (s+3)(s-10) 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.14 
VI. 9 Với mổi đa thức đặc trưng sau đây, xác định tính ổn định của hệ thống. 
a) 2s4 +8s3 + 10s2 + 10s + 20 = 0 
b) s3 + 7s2 + 7s + 46 = 0 
c) s5 + 6s4 + 10s2 + 5s + 24 = 0 
d) s3 - 2s2 + 4s + 6 = 0 
e) s4 +8s3 + 24s2 + 32s + 16 = 0 
f) s6 + 4s4 + 8s2 + 16 = 0 ĐS : b , f : ổn định 
VI.10 với giá trị nào của k làm cho hệ thống ổn định, nếu đa thức đặc trưng là : 
 s3+ (4+k) s2+ 6s + 12 = 0 ĐS : k > 2 
VI. 11 có bao nhiêu nghiệm có phần thực dương, trong số các đa thức sau đây : 
a) s3 + s2 - s + 1 
b) s4 +2s3 + 2s2 + 2s + 1 
c) s3 + s2 – 2 
d) s4 - s2 - 2s + 2 
e) s3 + s2 + s + 6 ĐS : a(2) , b(0) , c(1) , d(2) , e(2) 
VI. 12 Với giá trị dương nào của k làm cho đa thức : 
 s4 +8s3 + 24s2 + 32s + k = 0 
Có các nghiệm với phần thực là zero? Đó là những nghiệm nào? 
 ĐS : k = 80 , s = ± j2 
VI. 13 Hệ thống có phương trình đặc trưung sau đây thì ổnh định? 
 s4 +3s3 + 6s2 + 9s + 12 = 0 
VI. 14 Xác định hàm chuyễn và tìm điều kiện để mạch sau đây ổn định. 
 ĐS : 
2211111222
2
2211
i
0
CRCR
1s)
CR
1
CR
1
CR
1(s
)
CR
1s)(
CR
1s(
)s(v
)s(v
++++
++
= 
R 2
C 2
R 1
C 1
vi
+ + 
- 
i 
- 
VI. 15 Xác định hàm chuyễn và tìm điều kiện để mạch sau đây ổn định. 
 Cơ Sở Tự Động Học Phạm Văn Tấn 
Chương VI Tính Ổn Định Của Hệ Thống Trang VI.15 
v0
R1
C2
R2
C1
+ + 
- - 
vi i2 i1 
 ĐS : 1s)CRCRCR(sCCRR
1
)s(v
)s(v
222111
2
2121i
0
++++= 
 (Dùng bảng Routh) 
 VI.16 Xác định những điều kiện Hurwith cho sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc 
trưng cấp 4. Giả sử a4 > 0 
 a4 s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0 = 0 
 ĐS : a3 > 0 , a3 a2 – a4 a1 > 0 , a3 a2a1 – a0 a32 – a4 a12 > 0 
 a3 (a2a1a0 – a3 a02 ) – a0 a12 a4 > 0 
*****************