Giáo trình Cơ sở viễn thông - Chương III: Các hệ tuyến tính - Phạm Văn Tấn

ĩng cơ bản của nĩ bị biến dạng - Lưu ý là r(t) cĩ 
thể được nhân bởi một hằng và bị dời (thời gian) mà khơng làm thay đổi dạng sĩng cơ bản, 
trường hợp này khơng xem là tín hiệu bị méo. 
Xem A.r (t - t0) là một phiên bản của r(t) - Trong đĩ A và t0 là những hằng thực bất 
kỳ. A khơng thể bằng zero. 
 F → Ar (t - t0) ↔ Ae- j2πf to R(f) (3.11) 
Ta xem đĩ như là Output của một hệ tuyến tính với input là r(t) và hàm hệ thống 
 H(f) = Ae- j2πf to (3.12) 
H(f) là hàm phức, được vẽ ở Hình 3.4 (xuất và pha). 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.5 
Hình 3.4: Những đặc tính của một hệ khơng méo. 
Lọc hạ thơng lý tưởng. 
Một lọc hạ thơng lý tưởng là một hệ tuyến tính, tác động giống như một lọc lý tưởng khơng 
méo. Những thành phần tần số lớn hơn tần số cắt của lọc đều bị chặn, khơng xuất hiện ở ngỏ ra. 
Tần số cắt là tần số cao nhất được đi qua mạch lọc, Ký hiệu là fm. 
Hàm hệ thống là: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<=
π−
m
m
ftj2
ff,0
ff,Ae
)f(H
0
Hàm chuyển của mạch hạ thơng lý tưởng được vẽ ở Hình 3.5. Nhớ là, vì h(t) thì thực, nên 
suất của H(f) thì chẳn và pha thì lẻ. (Hình 3.4) 
Hình 3.5: Đặc tính của lọc hạ thơng lý tưởng. 
)f(H
)f(Hph
fm -fm -fm fm 
A 
Đáp ứng xung` lực của lọc hạ thơng lý tưỏng cĩ được bằng cách tính biến đổi F ngược. 
 (3.13) df..eAe
f
f
)t(h ftj2ftj2
m
m 0 ππ−∫−=
)t(t
)t-(tfAsin2
=
o
om
−π
π
fm 
Hình 3.6: Đáp ứng xung lực của hạ thơng lý tưởng. 
Lọc dãy thơng lý tưởng: 
Lọc dãy thơng lý tưởng cho qua những tần số giữa hai tần số khác khơng, fL và fH. Nĩ tác 
động như một hệ khơng méo lý tưởng, tín hiệu ra khơng chứa những thành phần tần số nằm 
ngồi dãy thơng lọc. Hàm hệ thống của nĩ: 
 ⎪⎩
⎪⎨⎧ <<=
π−
khạcPháưn ,0
fff,Ae
)f(H HL
ftj2 0
 (3.14) 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.6 
Hình 3.7: Hàm hệ thống của lọc dãy thơng lý tưởng. 
Đáp ứng xung lực của lọc, cĩ thể tính bằng càch F -1 của H(f). (Khai triển từ đáp ứng xung 
lực của lọc hạ thơng và dùng định lý dời tần). Hàm hệ thống cĩ thể viết : 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
2
fffH
2
fffH)f(H HLLPHLLP (3.15) 
2
ff HL −
2
ff LH −-fH -fL fH fL 
Hình 3.8: Đặc tính của lọc dãy và hạ thơng. 
Nếu ta định nghĩa điểm giữa (midpoint) của dãy thơng (trung bình của fL và fH) 
là fav : 
2
fff HLav
+= 
Đáp ứng xung lực cho bởi: 
h(t) = hLP(t)ej2
πfavt + hLP(t) e-j2πfavt 
 = 2hLP(t)cos2πfavt= 2hLP(t)cos[π (fL + fH)t ] (3.16) 
Từ pt (3.13) ta cĩ : 
t
)tf(fAsin)t(h LHLP π
−π= (3.17) 
Kết hợp (3.16) và (3.17) thêm vào tính chất dời thời gian, ta tìm được đáp ứng xung lực 
của dãy thơng lý tưởng: ( )( )[ ] ( )( )[ ]
( )0
0HL0LH
tt
ttffcosttff2Asinh(t) −π
−+π−−π= (3.18) 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.7 
Hình 3.9: Đáp ứng của lọc dãy thơng lý tưởng 
Dạng sĩng của đáp ứng xung lực tương tự như của lọc hạ thơng. Khi 2 tần số giới hạn trở 
nên lớn so với hiệu số giữa chúng, đáp ứng xung lực giống đường chấm chấm (đáp ứng xung lực 
của lọc hạ thơng và ảnh qua gương của nĩ ). Điều đĩ xảy ra khi tần số của dãy lọc lớn hơn so với 
bề rộng của dãy thơng. Nhận xét này cĩ ý nghĩa khi ta khảo sát về sự biến điệu AM. 
Sự Méo Dạng: 
Méo tuyến tính cĩ thể gây ra những vấn đề trong các hệ thống truyền xung hoặc trong 
thơng tin số. Sự méo này được đặc trưng bởi thời gian lan tỏa (spreading) do hiệu ứng nhiều 
đường hoặc do đặc tính của kênh. 
H(f) = A(f)e-jθ(f) (3.19) 
 A(f): Thừa số biên độ ; θ(f): Thừa số pha. 
Sự méo dạng sinh ra từ hai thừa số phụ thuộc tần số ở phương trình (3.19). Nếu A(f) khơng 
là hằng, ta cĩ sự méo biên độ. Nếu θ(f) khơng tuyến tính với f, ta cĩ sự méo pha. 
Méo biên độ. 
Trước hết Giả sử θ(f) tuyến tính với f. 
Hàm chuyển cĩ dạng: 
 H(f) = A(f)e-j2πfto (3.20) 
Trong đĩ hằng số tỉ lệ của pha là t0 , vì nĩ biểu diễn cho thời trễ của kênh. 
Một cách tổng quát để phân tích biểu thức này với sự biến thiên của biên độ là khai triển 
A(f) thành chuổi Fonrier. 
∑∞== 0n Hn(f))f(H (3.21) 
Các hạng của tổng cĩ dạng 
 0ft2j
m
nn e.f
fncosa)f(H π−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ π= (3.22) 
Chúng ta cĩ thể liên kết với lọc Cosine, mà đặc tuyến biên độ cho sĩng Cosine trong dãy 
thơng như hình 3.10 (với n = 2). 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.8 
Hình 3.10: Lọc cosine 
Hàm hệ thống của lọc này là: 
0ft2j
m
e.f
f
2acosA)f(H π−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ π+= 
 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−π+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −π+= π− o
m
o
m
ft2j t
f
1fj2expt
f
1fj2expae.A 0 
Nếu input là r(t) vào lọc cosine bị giới hạn bởi băng tần thì Output là: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++−= o
m
o
m
0 tf
1tr
2
at
f
1tr
2
a)tt(r.A)t(s (3.23) 
Phương trình (3.23) cho thấy đáp ứng cĩ dạng của một phiên bản khơng méo của input 
cộng thêm 2 phiên bản bị dời thời gian (time - shifted) ( tiếng vang / đa lộ ) echoes/multipaths. 
Trở lại trường hợp lọc tổng quát, ta thấy Output của một hệ với sự méo biên độ là một tổng 
các input bị trễ. 
Vậy với: 
 ∑∞
=
π−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ π=
0n
ft2j
m
n
0e.
f
fncos a)f(H (3.24) 
Thì Output do một input r(t) là : 
 s(t)
a
2
r t n
2f
t r t n
2f
tn
n 0 m
o
m
o= + −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ + − −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=
∞∑ (3.25) 
Thí dụ: 
Xem lọc cĩ đặc tính tam giác như Hình 3.11. Giả sử pha thì tuyến tính, với độ dốc 
-2πt0. Tìm Output của mạch này khi input là 
t
t400sin)t(r π= 
Hình 3.11 
Giải : 
Khai triển H(f) thành chuổi F 
 ......
1000
f5cos
25
4
1000
f3cos
9
4
1000
fcos4r
2
1)f(H 222 +ππ+
π
π+
π
π+= 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.9 
r(t) bị giới hạn trong khoảng sao cho tất cả tần số đều qua mạch lọc. Điều này đúng vì R(f) 
= 0 tại các tần số trên 200/2π và mạch lọc cắt tại f = 1000/π. Nếu ta giữ 3 số hạng khác khơng 
đầu tiên thì Output sẽ là: s(t) = r(t) * h(t). 
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −π−π+−= oo2o t1000trt1000tr
2ttr
2
1)t(s 
+ − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ + + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
9
r t 3
1000
t r t 3
1000
t2 0 0π
π π 
Kết quả này được vẽ như hình 3.12 với to = 0,05 sec. 
Những đỉnh đánh dấu X là những đỉnh khơng méo của s(t). 
Hình 3.12 
Méo pha : 
Sự thay đổi pha từ trường hợp khơng méo (pha tuyến tính) cĩ thể được đặc trưng bằng sự 
thay đổi độ dốc của đặc tuyến pha và đặc tuyến của một đường từ gốc đến một điểm trên đường 
cong đặc tuyến. 
Ta định nghĩa Trễ nhĩm (Group delay hay trễ bao hình) và trễ pha (Phase delay) như sau: 
tgr (f) 
df
)f(dθ 
tph (f) 
θ
π
(f)
f2
 (3.26) 
Hình 3.13 : Trễ nhĩm và trễ pha. 
* Đối với một kênh Khơng méo lý tưởng, đặc tuyến pha là một đường thẳng. Vậy trễ 
nhĩm và trễ pha đều khơng đổi với mọi f. Thật vậy, cả hai sẽ bằng với thời trễ t0 của tín hiệu 
vào. 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.10 
V.CÁC LỌC THỰC TẾ: 
Bây giờ ta trình bày những mạch thực tế, xấp xỉ với các lọc dãy thơng và hạ thơng lý 
tưởng. Giả sử rằng H(f) tiến đến hàm hệ thống của một lọc lý tưởng - Một sự thay đổi nhỏ của 
H(f) cĩ thể đưa đến một sự thay đổi tương đối lớn của H(t). Ta cĩ thể khảo sát những hậu quả 
của sự thay đổi từ tính chất biên độ khơng đổi hoặc từ tính chất tuyến tính của pha của hàm hệ 
thống của lọc lý tưởng. 
Lọc hạ thơng: 
Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc hạ thơng là mạch chỉ chứa một thành phần 
tích trữ năng lượng. Thí dụ mạch RC như Hình 3.13 . Điều này đúng, vì khi tần số tăng, tụ xem 
như bị nối tắt. 
i(t)
Hình 3.13: Lọc hạ thơng RC 
Hàm chuyển: 
 H(f)
1/ j2 fC
R (1/ j2 fC)
1
1 j2 fRC
= + = +
π
π π (3.27) 
Suất và pha: 
2)fRC2(1
1)f(H π+= 
 θ (f) = - tan-1 (2πfRC) 
Nếu đặt RC = 1
2π , suất của hàm chuyển giảm đến 
1
2
 tại tần số 1 Hz. Ta gọi đĩ là tần 
số cắt 3 db của lọc. 
Hình 3. 14 chỉ suất và pha của mạch RC, so sánh với đường cong độ lợi của một lọc hạ 
thơng lý tưởng cĩ tần số cắt 1Hz. 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.11 
Hình 3.14: Các đặc tuyến của lọc RC 
Ta xem đáp ứng xung lực của 2 hệ thống. 
- Đối với lọc hạ thơng lý tưởng: 
t
)t(t2sin)t(h oπ
−π= (3.28) 
- Đối với mạch RC, với RC = 2π: 
h(t) = e - 2
π t (3.29) 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.12 
Hai đáp ứng này vẽ ở Hình 3.15. Ở đây, ta đã chọn tùy ý thời trễ của mạch hạ thơng lý 
tưởng là 10 sec để hình vẽ dễ phân biệt. 
Hình 3.15: So sánh các đáp ứng xung lực. 
Bây giờ hãy xem sĩng vuơng vào hai mạch lọc. Ta dùng một sĩng vuơng cĩ tần số cơ bản 
là 1/4Hz (bằng cách dùng số hạng đầu tiên khác zero của chuỗi Fourier), hình 3.16a. 
 Lọc hạ thơng lý tưởng với tần số cắt 1Hz chỉ cho qua hai số hạng đầu tiên khác Zero (đĩ 
là, tần số 1/4Hz và 3/4Hz). Trong khi đĩ, mạch RC (với sự giảm 3dB ở 1 Hz)làm méo đáng kể 
các thành phần này (Hình 3.16b). Khơng chỉ thế, nĩ cịn thu nhận năng lượng tín hiệu tại tần số 
cắt. 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.13 
Hình 3.16: So sánh đáp ứng của sĩng vuơng với 2 lọc. 
 Cĩ một vài loại mạch xấp xỉ với lọc hạ thơng lý tưởng. Mỗi loại biểu lộ những tính chất 
riêng. 
1. Lọc Butteworts làm mất sĩng dư trong dãy tần số đi qua và làm giảm các tần số 
khơng mong muốn ngồi dãy này. Nĩ được xem là loại lọc làm phẳng tối đa. 
2. Lọc Chebyshev giảm các tần số khơng mong muốn hiệu quả hơn lọc Butteworts, 
nhưng làm phẳng sĩng dư kém hơn. 
3. Các lọc cổ điển quan trọng khác gồm lọc Bessel, Papoulis, Gauss. 
 Ta chú ý đến lọc Butteworts: 
Biên độ của lọc hạ thơng lý tưởng cĩ thể tính xấp xỉ bởi hàm: 
n2n )f2(1
1)f(H π+= (3.30) 
 Hàm này được vẽ, với vài trị giá của n, như hình 3.17. Ta chỉ vẽ nữa dương của trục f, vì 
hàm chẳn. Chọn fm = 
1
2π cho hình vẽ. (Khi thiết kế cĩ thể chọn bất kỳ tần số cắt nào). Nhớ là 
khi n chọn lớn, đặc tuyến Butteworts sẽ tiến đến đặc tuyến của lọc hạ thơng lý tưởng. 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.14 
 Nếu h(t) thực (Vì là hệ thống vật lý ), phần thực của H(f) chẳn, trong khi phần ảo lẽ. Vậy 
: 
H(f) = H * (-f ) (3.31) 
và ⏐H (f)⏐2 = H(f)H*(f) (3.32) 
Từ đĩ, kết hợp với phương trình (3.30), đủ để thiết kế các lọc Butteworts. 
fm=1/2π
Hình 3.17: Hàm độ lợi Butteworts 
 Tương đương. Thiết kế một lọc Butteworts cấp 3 (n = 3) với tần số cắt fm = 
1
2π 
Giải: 
 Từ phương trình (3.30) ta cĩ: 
 6
2
)f2(1
1)f(H π+ 
Đổi nĩ về biến đổi laplace bằng cách đặt s = j2πf. Quan sát vị trí tương đối của các lực và 
zero của hàm: 
6
2
S1
1)s(H).s(H)s(H −=−= 
 Các lực của ⏐H(s)⏐2 là 6 nghiệm đơn vị. Chúng cách điều nhau quanh vịng trịn đơn vị. 
Ba cực kết hợp với H(S) ba nữa mặt phẳng trái. Ba cực kia với H(-S). Vậy H(S) được tính từ các 
lực của nĩ: 
1S2S2S
1
)PS)(PS)(PS(
1)S(H 23
321 +++
=−−−= (3.33) 
Hình 3.18: 6 nghiệm 
Nếu v (t) là đáp ứng và i(t) là nguồn, hàm hệ thống của phương trình (3.33) tương ứng với 
mạch của hình hình 3.19a. 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.15 
0.5uFi(t) 1 v(t)
(a)
1.5uF
4/3h
(b) 
Hình 3.19: Lọc Butteworts cấp 3 
Những mạch lọc cấp cao hơn sẽ được làm đầy đủ bằng cách dùng thêm mắt lọc. Linh kiện 
thêm vào là cuộn cảm nối tiếp, tụ song song. 
Lọc dãy thơng 
Mạch thụ động đơn giản nhất xấp xỉ với một lọc dãy thơng lý tưởng là mạch chứa hai 
thành phần tích trữ năng lượng. 
 Tương đương như mạch RLC vẽ ở hình 3.20: 
ơng RLC 
Nếu output lấy ngay qua LC đấu song song, thì mạch trên xấp xỉ với một lọc dãy thơng. 
Điều 
Hình 3.20: Lọc dãy th
này đúng, vì khi tần số tiến đến zero, cuộn cảm xem như bị nối tắt. Và khi tần số tiến đến 
∞, tụ xem như bị nối tắt. Như vậy đáp ứng của mạch tiến đến 0 ở cả hai đầu và cực đại ở giữa. 
fL2jRLC)f2(R
fL2j)f(H 2 π+π−
π= (3.34) 
uất: 
S
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.16 
1fC2
fL2
1R
1)f(H
2
2 +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
π
= 
Suất cực đại tại 2πf = 1
LC
. Điều này được xem như là tần số cộng hưởng lý tưởng 
của lọc. 
Hình 3.21 chỉ đặc tính của mạch RLC. Ở đĩ, ta chọn R= L= C= 1. 
Hình 3.21: Các đặc tính của lọc RLC 
 Đáp ứng xung lực của mạch RLC được cho bởi biến đổi ngược F - 1
h(t) = 1,15 e-
t/2 sin (1,15t) 
Nĩ được so sánh với đáp ứng xung lực của lọc dãy thơng lý tưởng (phương trình (3.18)) 
)tt(
)]tt)(ff(cos[)]tt)(ff(sin[A2)t(h
o
oLHoLH
−π
−+π−−π= 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.17 
Hình 3.22 : So sánh những đáp ứng xung lực. 
Hình 3.22 cho thấy đáp ứng xung lực của mạch RLC và của mạch dãy thơng lý tưởng. Ta 
chọn fH = 0,1Hz và fL = 0,25Hz là các điểm 3db nhớ là hệ số Q của mạch RLC thì rất thấp vì tỉ 
số của độ rộng kênh và tần số giữa gần bằng 1. 
VI.CÁC LỌC TÁC ĐỘNG: 
 Ở phần trên ta đã khảo sát vài mạch lọc thực tế đơn giản dùng cuộn cảm, tụ và điện trở. 
Những mạch lọc như vậy gọi là lọc thụ động, vì tất cả các thành phần ấy hoặc hấp thu hoặc tích 
trữ năng lượng. 
Một mạch lọc gọi là tác động nếu nĩ chứa các thành phần cịn lại của một mạch. Lọc tác 
động khơng hấp thu năng lượng tín hiệu mong muốn, như các lọc thụ động. Chúng cĩ nhiều khả 
năng được thiết kế đơn giản và các hàm chuyển cĩ thể thực hiện được (Trong khi các lọc thụ 
động, trong vài áp dụng, thí dụ lọc audio, cần đến rất nhiều cuộn cảm và tụ ). 
Bộ phận cơ bản xây dựng các lọc tác động là op.amp. Các tính chất của op.amp, việc phân 
tích và thiết kế các lọc tác động là phần rất quan trọng của điện tử học. Nhưng ở đây ta sẽ khơng 
lặp lại. Chỉ giới thiệu hai loại lọc tác động tiêu biểu. 
Hình 3.23: Op.amp với hồi tiếp 
Zin : Tổng trở vào 
Zf : Tổng trở hồi tiếp. 
Hai hình, hình 3.24 và hình 3.25 biểu diễn lọc hạ thơng tác động và lọc dãy thơng tác động 
dùng op.amp. 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.18 
Hình 3.24: Lọc hạ thơng tác động 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.19 
Hình 3.25: Lọc dãy thơng tác động 
VII.TÍCH CỦA THỜI GIAN VÀ KHỔ BĂNG. 
Vấn đề cần lưu tâm trong việc thiết kế một hệ thơng tin là khổ băng (band width, độ rộng 
băng ) của hệ thống. Khổ băng là khoảng tần số của hệ cĩ khả năng hoạt động. 
Khổ băng cĩ liên quan đến biến đổi f của hàm thời gian. Nĩ khơng thể xác định trực tiếp từ 
các số hạng của hàm, trừ khi ta dùng các biểu thức trực quan về sự thay đổi trị giá của hàm 
nhanh đến mức nào. 
Những đại lượng vật lý quan trọng trong việc thiết kế hệ thơng tin bao gồm thể tối thiểu 
của một xung và thời gian tối thiểu mà trong đĩ output của hệ cĩ thể nhảy từ một mức này đến 
một mức khác. Ta sẽ chứng tỏ 2 đại lượng này cĩ liên quan đến khổ băng. 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.20 
Bắt đầu từ một ví dụ và rồi tổng quát hĩa kết quả. 
Đáp ứng xung lực của một lọc hạ thơng lý tưởng: 
)tt(
)tt(f2sin)t(h
o
om
−π
−π= (3.35) 
Hình 3.26: Đặc tính của 
h(t)
lọc hạ thơng lý tưởng. 
Cĩ hai nhận xét: 
1- Bề rộng của vành lớn nhất của h(t) là 1/fm. Vậy nĩ tỉ lệ nghịch với khổ băng 
của tín hiệu. Thực vậy, vì khổ băng (Hiệu của tần số cao nhất và thấp nhất ) là fm , nên tích của 
độ rộng xung với khổ băng là 1. 
2 - Vì hàm nấc là tích phân của xung lực, nên đáp ứng của hàm nấc là tích phân 
của đáp ứng xung lực. Đáp ứng hàm nấc vẽ ở hình 3.27. 
Ta thấy rằng thời gian tăng (rise time) của đáp ứng này thì tỷ lệ nghịch với khổ băng 
của lọc. Thời gian tăng được định nghĩa là thời gian cần cho một tín hiệu đi từ trị giá đầu đến trị 
giá cuối dọc theo một đường dốc với hệ số gĩc khơng đổi bằng với độ dốc tối đa của hàm. 
Hình 3.27 : Đáp ứng nấc của lọc hạ thơng. 
Độ dốc tối đa của a(t) là trị tối đa của h(t) đạo hàm của nĩ. Trị này được cho là 2fm. Vậy 
thời gian tăng của đáp ứng nấc : 
m
r 2f
1t = (3.36). 
Vì khổ băng của lọc là fm , ta thấy tr và khổ băng tỉ lệ ngược và tích của chúng là 0.5. 
Mặc dù ta chỉ quan sát sự quan hệ ngược giữa thời gian tăng và khổ băng (hay độ rộng 
xung và khổ băng) đối với lọc hạ thơng lý tưởng, nhưng điều này cĩ thể áp dụng một cách tổng 
quát. Đĩ là, thời gian thì tỉ lệ ngược với khổ băng trong bất kỳ hệ thống nào. Tích của chúng là 
một hằng. 
Bây giờ ta áp dụng nhận xét ấy vào trường hợp đặc biệt của khổ băng và độ rộng xung 
(Khổ xung - Pucse Width). Giả sử rằng một hàm thời gian và biến đổi F của nĩ vẽ ở hình 
3.28. 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.21 
Ta định nghĩa khổ xung T là chiều rộng của một hình chữ nhật mà chiều cao của nĩ định 
tại s(0), và diện tích bằng với diện tích nằm dưới đường biểu diễn xung. Nhớ rằng nĩ khơng phải 
là một định nghĩa đầy đủ trừ khi s(0) là cực đại của dạng sĩng. 
Hình 3.28: Khổ xung và khổ băng. 
Tương tự, ta định nghĩa khổ băng BW, bằng cách dùng một xung trong phạm vi tần số 
(biến đổi F ) như hình 3.28b. Ta cĩ : 
T 
S(t)dt
S(o)
−∞
∞∫
BW 
S(f)dt
S(o)
−∞
∞∫
 (3.37) 
Tích của chúng : 
TBW
s(t)dt S(f)dt
s(o)S(o)
= −∞
∞
−∞
∞ ∫∫
 (3.38) 
 Dùng tích phân biến đổi F để tìm: 
∫∫ ∞∞−∞∞− =π == s(t)dtdts(t)e)0(S offtj2 (3.39) 
Biến đổi ngược để tìm: 
∫∫ ∞∞−∞∞− =π == S(t)dfdfS(f)e)0(s otftj2 (3.40) 
Thay thế (3.39), (3.40) vào (3.38) : 
TBW = 1 (3.41) 
 Tích của khổ xung và khổ băng bằng 1. Hai thơng số này thì tỉ lệ ngược. Điều này rất cĩ 
ý nghĩa trong hệ thơng tin số, ở đĩ nhịp truyền bit bị giới hạn bởi khổ băng của kênh. 
VIII.CƠNG SUẤT VÀ NĂNG LƯỢNG. 
Chủ đích đầu tiên của nhiều hệ thơng tin là làm tăng tín hiệu đồng thời nén nhiễu. Đặc biệt 
hơn, ta muốn làm giảm cơng suất nhiễu ở ngỏ ra của hệ mà khơng làm giảm cơng suất tín hiệu: 
Hệ làm tăng tỷ số S/N. 
Gọi Er là năng lượng của r(t): 
∫∞∞−= dt)t(rE 2r (3.42) 
Nếu r(t) là điện thế hoặc dịng điện ngang qua điện trở 1Ω, Er sẽ là năng lượng tiêu tán 
nhiệt (W/sec). 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.22 
Đối với những tín hiệu khơng bị giới hạn thời gian, Er thường là vơ hạn. Thí dụ, r(t) là một 
hằng khác zero. Trong trường hợp này, ta phân chia năng lượng với thời gian trung bình, gọi là 
cơng suất trung bình Pr . 
Pr dt)t(rT2
1lim)t(r
T
T
2
tav
2 ∫
−∞→
= (3.43) 
Ta đã chủ tâm chuyển bình phương ra ngồi dấu trị tuyệt đối để nhấn mạnh rằng cả hai vị 
trí điều cĩ cùng kết quả. 
Nếu Er hữu hạn, Pr là zero và nếu Pr khác zero, Er phải vơ hạn. 
Người ta chia tín hiệu thành 3 nhĩm dựa vào tính bị giới hạn của cơng xuất và năng lượng. 
- Nhĩm I: Pr = 0. Nhĩm này chứa những tín hiệu cĩ năng lượng hữu hạn. Phổ biến 
nhất là tín hiệu bị giới hạn thời gian. 
- Nhĩm II: 0 < Pr < ∞ . Nhĩm này chứa những tín hiệu cĩ cơng xuất hữu hạn. Phổ 
biến nhất là tín hiệu thời gian tuần hồn. 
- Nhĩm III: Pr → ∞ . Nhĩm này cĩ tính hịan chỉnh. Nhưng ta khơng gặp những tín 
hiệu cĩ cơng xuất vơ hạn trong thực tế. Vài tín hiệu, thú vị về mặt lý thuyết, thích nghi với nhĩm 
này, thí dụ như đồn xung lực tuần hồn. 
IX. PHÂN TÍCH PHỔ: 
Biến đổi F khơng hiện hữu trong đời sống thực tế. Nĩ là một cơng cụ tốn học để giúp 
phân tích hệ thống. 
Cĩ những giới hạn nghiêm ngặt khi ta cố gắng tìm biến đổi F của một hàm thời gian 
được dùng trong một hệ Analog. 
Giả sử r(t) là input của một lọc hạ thơng lý tưởng, cĩ hàm chuyển H(f) như hình 3.29. 
Biến đổi F cho bởi: 
⎩⎨
⎧ <<=
khạcpháưn ,0
fff,)f(R
)f(S HL 
 s(t) được cho bởi biến đổi ngược của S(f) 
Hình 3.29 
∫ ∫
−
−
ππ +=
H
L
L
H
f
f
f
f
ft2jft2j dfe)f(Rdfe)f(R)t(s (3.44) 
Nếu fH rất gần với fL (lọc dãy hẹp - narrwband filter), ta giả sử rằng xấp xỉ khơng đổi trên 
tồn khoảng của tích phân. Như vậy, nếu fav là tần số giữa của dãy lọc, ta cĩ: 
s(t) ≈ ( fH + fL )[R(fav) e j2πfavt + R(-fav) e -j2πfavt ] (3.45) 
Vì R(-fav) = R * (fav), ta cĩ: 
 [ ])f(Rtf2cos)f(R)ff()t(s avavavLH ∠+π+= (3.46) 
Cơ Sở Viễn Thơng Phạm Văn Tấn 
Trang III.23 
Suất của output thì tỉ lệ với suất của biến đổi F của input tính tại fav . Pha thì bị dời bởi 
pha của R(fav). 
Trong rất nhiều mạch phân tích phổ thực tế, lọc dãy thơng được quét ngang bởi một 
khoảng tần số, và suất của output thay đổi xấp xỉ với ⏐R(f)⏐. 
 Cĩ 3 nguồn sai số (error ). Thứ nhất, trong khi lọc dãy thơng thì hẹp, khổ băng của nĩ thì 
khác zero. Điều này ảnh hưởng đến độ phân giải output. Thứ hai, lọc thì khơng lý tưởng. Cuối 
cùng, khi tần số giữa lọc thay đổi với thời gian (khi nĩ bị quét), output khơng nhất thiết tiến đến 
trị đúng của nĩ (steady state). Thời gian tăng của lọc thì tỉ lệ nghịch với khổ băng của nĩ. Vậy, 
lọc càng hẹp, càng được quét chậm hơn.