Giáo trình Cơ thủy khí ứng dụng - Chương III: Động học chất lỏng

 1
Chương III. 
ðỘNG HỌC CHẤT LỎNG 
 ðộng học chất lỏng nghiên cứu tính chất chung của sự chuyển động của mơi 
trường chất lỏng, khơng tính đến nguyên nhân gây ra chuyển động. 
I. HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ðỘNG HỌC CHẤT LỎNG 
1. Phương pháp Lagrange 
Khảo sát chuyển động của mọi hạt lỏng một cách riêng biệt; nghĩa là quan 
tâm đến các đại lượng cơ học gắn với từng chất điểm theo thời gian. 
Vị trí của hạt lỏng: Xác định bởi: 
 ( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
, , ,
, , , , , , ,
, , ,
x x x y z t
r r r t r x y z t y y x y z t
z z x y z t
 =

= ≡ ≡ =
 =

 
 
 

 (3.1) 
với ( )0 0 0 0, ,r x y z=


 là vector vị trí của hạt lỏng ở thời điểm ban đầu t=0. (3.1) là 
phương trình chuyển động của hạt lỏng (luật chuyển động). 
 ðặc trưng động học 
Vận tốc :
x
y
z
x
u
t
y
u u
t
z
u
t
∂ = ∂

∂ =
∂
∂
= ∂


 (1.2a) 
Gia tốc 
2
2
2
2
2
2
:
x
y
z
x
W
t
y
W W
t
z
W
t
 ∂
= ∂
∂
=
∂
 ∂
= ∂


 (3.2b) 
Các tham số ( )0 0 0 0, ,r x y z=


, t gọi là các biến Lagrange. 
2. Phương pháp Euler 
Quan tâm đến thơng số động học của các phần tử chất lỏng cùng qua một 
điểm nào đĩ trong miền chuyển động. 
Trong một hệ tọa độ xác định, chuyển động của chất lỏng được mơ tả bằng 
vận tốc của các phần tử chất lỏng tại mỗi vị trí khơng gian theo thời gian. 
 2
 ( )
( )
( )
( )
, , ,
, , , , , ,
, , ,
x x
y y
z z
u u x y z t
u u x y z t u u x y z t
u u x y z t
 =
= ≡ =
 =

 

 (3.3a) 
 Gia tốc 
du
W
dt
=




 (3.3b) 
hay 
 ( )x y z
u u u u u
W u u u u u
t x y z t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + ≡ + ∇
∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 
 
 
 




 

Các tham số x, y, z, t gọi là các biến số Euler. 
II. PHÂN TÍCH CHUYỂN ðỘNG CỦA HẠT LỎNG 
1. Phân tích 
Vận tốc chuyển động của một hạt lỏng bất kỳ coi như là tổng hình học của 
ba vận tốc: vận tốc tịnh tiến, vận tốc quay tương đối quanh trục tức thời đi qua 
điểm cực và vận tốc biến dạng. 
0M M bd
u u uω ρ= + ∧ +


 
 

 (3.4) 
với 
1
2
1
2
1
2
yz
x
x z
y
y x
z
uu
y z
u u
rot u
z x
u u
x y
ω
ω ω
ω
∂ ∂
= − ∂ ∂ 
∂ ∂ = = − ∂ ∂ 
∂ ∂
= − ∂ ∂ 

 

 (3.5) 
 3
Vận tốc biến dạng :
bdx xx xy xz
bd bdy yx yy yz
bdz zx zy zz
u dx dy dz
u u dx dy dz
u dx dy dz
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
 = + +

= + +
 = + +


 (3.6) 
với ; ;yx z
xx yy zz
uu u
x y z
ε ε ε
∂∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
 là các suất biến dạng dài 
và 
1
2
1
2
1
2
yz
zy yz
xz
xz zx
yx
xy yx
uu
y z
uu
x z
uu
y x
ε ε
ε ε
ε ε
∂ ∂
= = + ∂ ∂ 
∂∂ = = + ∂ ∂ 
∂ ∂
= = + ∂ ∂ 
 là các suất biến dạng gĩc. 
2. Phân loại chuyển động của chất lỏng 
Một dịng chảy được gọi là xác định về mặt động học nếu ta xác định được trường 
vận tốc ( )
( )
( )
( )
, , ,
, , , , , ,
, , ,
x x
y y
z z
u u x y z t
u u x y z t u u x y z t
u u x y z t
 =

= ≡ =
 =

 

. 
- Chuyển động dừng (yên định): 0
u
t
∂
=
∂


. 
- Chuyển động khơng dừng: 0
u
t
∂
≠
∂


. 
- Chuyển động xốy: 0rot uΩ = ≠


- Chuyển động khơng xốy: 0rotuΩ = =


Chuyển động khơng xốy cịn gọi là chuyển động cĩ thế, nghĩa là tồn tại hàm thế 
vận tốc sao cho: u gradϕ=


III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM THƯỜNG DÙNG 
1. Quỹ đạo: Là đường đi của một phần tử chất lỏng trong khơng gian theo thời 
gian. 
Phương trình quỹ đạo: 
x y z
dx dy dz
t
u u u
= = = (3.7) 
 4
2. ðường dịng (Lưu tuyến). 
a. ðường dịng: Là đường cong trong trường dịng chảy, ở thời điểm t bất 
kỳ, tiếp xúc với với vector vận tốc tại mọi điểm của nĩ. 
Phương trình đường dịng: 
x y z
dx dy dz
u u u
= = (3.8) 
Chú ý. 
- Tại mỗi điểm trong khơng gian, ở mỗi vị trí chỉ cĩ một đường dịng đi qua, 
nghĩa là các đường dịng khơng cắt nhau. 
- Ta phải phân biệt đường dịng với quỹ đạo. Quỹ đạo đặc trưng cho sự biến 
thiến vị trí của các phần tử chất lỏng theo thời gian, cịn đường dịng biểu 
thị phương của các phần tử chất lỏng tại mỗi thời điểm. Trong chuyển động 
dừng, đường dịng trùng với quỹ đạo. 
b. Ống dịng: Là một mặt, trong trường dịng chảy, tạo bởi các đường dịng đi 
qua tất cả các điểm trên một đường cong kín. 
c. Dịng nguyên tố: Tập hợp tất cả các đường dịng đi qua các điểm trên một vi 
phân diện tích nhỏ dA. 
d. Dịng chảy: tập hợp các dịng nguyên tố đi qua một diện tích hữu hạn. 
3 Mặt cắt ướt. 
Mặt cắt thẳng gĩc với tất cả các đường dịng. 
Ký hiệu diện tích mặt cắt ướt: S. 
 5
4. Chu vi ướt ( χ ). 
Là phần chu vi của mặt cắt ướt tiếp xúc với thành rắn. 
5. Bán kính thủy lực (R) là tỷ số giữa diện tích mặt cắt ướt với chu vi ướt. 
S
R
χ
= (3.9) 
6. Lưu lượng thể tích: 
Là thể tích chất lỏng đi qua mặt cắt ướt tính trên một đơn vị thời gian 
 = ∫∫ n
S
Q u dS (m3/s, l/s) (3.10) 
7. Lưu tốc: 
Vận tốc trung bình theo mặt cắt ướt 
1
= ∫∫tb n
S
V u dS
S
 (3.11) 
vậy .
tb
Q V S= (3.12) 
IV. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC 
 Chất lỏng chuyển động một cách liên tục, nghĩa là trong mơi trường chất 
lỏng chuyển động khơng hình thành những vùng khơng gian trống khơng khơng 
chứa chất lỏng. Tính chất liên tục này của chất lỏng được biểu thị bởi phương 
trình tốn học gọi là phương trình liên tục. 
Phương trình liên tục là một dạng của định luật bảo tồn khối lượng: Khối 
lượng m của hệ cơ lập khơng thay đổi trong suốt quá trình chuyển động: 
 0
dm
dt
= 
- Phương trình liên tục dạng vi phân: 
 ( ) 0V
t
ρ
ρ
∂
+∇ ⋅ =
∂


 (3.13) 
 6
- Dạng tạo độ Descartes 
 ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂x y z
u u u const
t x y z
 (3.14) 
- Trường hợp chất lỏng khơng nén được constρ = , phương trình liên tục trở thành 
 0 0
∂∂ ∂
∇ ⋅ = ⇔ + + =
∂ ∂ ∂

 yx z
uu u
u
x y z
 (3.15) 
- Trong ống dịng hữu hạn phương trình liên tục là Q const= , lưu lượng qua các 
mặt cắt như nhau trong ống dịng hữu hạn. 
1 2 1 1 2 2Q Q u S u S= ⇔ = 
Ví dụ: 
1. Chuyển động của một chất lưu khơng nén được xác định bởi: 
; 2 ; 5
x y z
u x u y u z= − = = − 
a. Chuyển động cĩ thực hay khơng? 
b. Xác định phương trình đường dịng đi qua điểm A(2,1,1). 
2. Nước chảy qua ống rẽ như hình vẽ trên. ðoạn AB cĩ đường kính 
1 50d mm= , đoạn BC cĩ 2 75d mm= , vận tốc trung bình 2 2 /V m s= . ðoạn ống 
CD cĩ 3 1.5 /V m s= đoạn ống CE cĩ 4 30d mm= . Biết rằng lưu lượng dịng 
chảy trong CD bằng hai lần lưu lượng dịng chảy trong đoạn CE. Tìm lưu 
lượng và vận tốc trung bình trong từng đoạn ống và d3 của đoạn ống CD.