Giáo trình Cơ thủy khí ứng dụng - Chương V: Động lực học chất lỏng thực

 1 
Chương V. 
ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG THỰC 
1. PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES 
Chất lưu thực chuyển động luơn cĩ ma sát, tức là luơn tính đến ảnh hưởng 
của nhớt. Khi đĩ, lực mặt tác dụng lên phần tử chất lưu gồm áp lực và lực nhớt 
theo phương tiếp tuyến (lực ma sát). Ứng suất tiếp của chất lỏng xác định qua 
cơng thức Newton I 
du
dn
τ µ= (a) 
Dạng vertor của phương trình chuyển động – Phương trình Navier - Stokes 
 ( )1
3
du
F grad p grad divu u
dt
ν
ν
ρ
= − + + ∆





 

 (5.1) 
trong đĩ 
µ
ν
ρ
= – Hệ số nhớt động học của chất lỏng 
2 2 2
2
2 2 2x y z
∂ ∂ ∂
∆ ≡ ∇ = + +
∂ ∂ ∂
 – Tốn tử Laplace. 
Dạng hình chiếu của phương trình Navier – Stokes. 
( )
( )
( )
1
3
1
3
1
3
x
x x
y
y y
z
z z
divudu p
F u
dt x x
du divup
F u
dt y y
divudu p
F u
dt z z
ν
ν
ρ
ν
ν
ρ
ν
ν
ρ
∂∂
= − + + ∆
∂ ∂
∂∂
= − + + ∆
∂ ∂
∂∂
= − + + ∆
∂ ∂






 (5.2a) 
hay 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1
3
1
3
1
3
yx x x x xz
x
y y y y yx z
y
yxz z
z
udu u u u up u
F
dt x x x y z x y z
du u u u uup u
F
dt y y x y z x y z
uudu p u
F
dt z z x y z
ν
ν
ρ
ν
ν
ρ
ν
ν
ρ
∂   ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= − + + + + + +  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= − + + + + + +    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
2 2
2 2 2
z z zu u u
x y z
 ∂ ∂
+ + ∂ ∂ ∂ 
 (5.2b) 
ðối với chất lưu khơng nén được 


div u = 0 , phương trình chuyển động 
trở thành 
 2 
1du
F grad p u
dt
ν
ρ
= − + ∆






 (5.3) 
2. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI 
2.1 ðối với đường dịng của chất lỏng thực 
Trường hợp chất lỏng khơng nén được, chuyển động dừng dưới tác dụng của lực 
khối cĩ thế là trọng lực. 
Chất lỏng thực cĩ tính nhớt và khi nĩ chuyển động sinh ra ma sát trong làm cản 
trở chuyển động do đĩ cĩ sự tổn thất một phần năng lượng. Vì vậy, 
2
2
u p
z const
g γ
+ + ≠ , mà giảm dọc theo chiều dịng chảy, nghĩa là: 
2 2
1 1 2 2
1 22 2
u p u p
z z
g gγ γ
+ + > + + 
Ký hiệu 12h là tổn hao năng lượng của 1 đơn vị trọng lượng chất lỏng trên một 
đơn vị đường dịng từ vị trí “1” đến vị trí “2”, thì phương trình Bernulli trên một 
đường dịng bất kỳ của chất lỏng thực chuyển động dừng dưới tác dụng của trọng 
lực: 
2 2
1 1 2 2
1 2 122 2
u p u p
z z h
g gγ γ
+ + = + + + (5.4) 
2.2 Ý nghĩa thủy lực của phương trình Bernulli 
- Z là độ cao trọng tâm mặt cắt ướt nguyên tố đối với mặt chuẩn được gọi là 
độ cao hình học hoặc cột nước vị trí 
- 
p
γ
 cột nước áp suất 
- 
2
2
u
g
 cột nước lưu tốc 
- 
2
2
v p
z
g
α
γ
+ + cột nước tổng – đường năng 
2.3 ðộ dốc thủy lực và độ dốc đo áp của dịng nguyên tố 
ðộ dốc thủy lực là tỉ số hạ thấp của đường tổng cột nước, tức đường năng, đối 
với độ dài của đoạn dịng nguyên tố trên đĩ thực hiện dộ hạ thấp, ký hiệu J’: 
2
' 12
2
v p
d z
g dHdH
J
dl dl dl
α
γ
 
+ + 
 = − = − = 
ðộ dốc đo áp là tỷ số hạ thấp xuống hoặc lên cao của đường đo áp đối với độ dài 
của dịng nguyên tố trên đĩ thực hiện sự hạ thấp hoặc lên cao. 
'
p
p
d z
J
dl
γ
 
+ 
 = ± 
 3 
2.4 Phương trình Bernulli cho tồn dịng chất lỏng thực chảy ổn định 
Dịng chảy đổi dần là dịng chảy ổn định, các đường dịng gần là đường thẳng 
song song. 
Mặt cắt ướt của dịng đổi dần được coi là mặt phẳng. Dịng đổi dần lực quán tính 
khơng đáng kể, lực tác dụng chỉ là trọng lực, do đĩ áp suất thủy động khơng cĩ 
thành phần tiếp tuyến trên các mặt cắt ướt, sự phân bố áp suất thủy động hồn 
tồn giống sự phân bố áp suất thủy tĩnh. Do đĩ: 
p
z const
γ
+ = trên cùng một mặt cắt ướt (5.5) 
Giả thiết tồn dịng chảy thực là dịng chảy ổn định gồm vơ số dịng nguyên tố. 
Trên tồn dịng chảy tại hai mặt cắt 1-1 và 2-2 cĩ diện tích 1ω và 2ω . Ta lấy một 
dịng nguyên tố tùy ý, viết phương trình Bernulli của dịng nguyên tố chất lỏng 
thực. 
2 2
1 1 2 2
1 2 122 2
u p u p
z z h
g gγ γ
+ + = + + + 
 4 
Gọi dQ – lưu lượng dịng nguyên tố. dQγ - trọng lượng tương ứng. Nhân các số 
hạng của phương trình trên với dQγ , sau đĩ tích phân trên tồn mặt cắt 1ω và 
2ω : 
1 1 2 2 2
2 2
'1 1 2 2
1 22 2 w
p u p u
z dQ dQ z dQ dQ h dQ
g gω ω ω ω ω
γ γ γ γ γ
γ γ
   
+ + = + + +   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
Ta lần lượt giải quyết ba số hạng tích phân sau: 
2
'; ;
2 w
up
z dQ dQ h dQ
gω ω ω
γ γ γ
γ
 
+ 
 
∫ ∫ ∫ 
- Tích phân thứ nhất: .
p p p
z dQ z dQ Q z
ω ω
γ γ γ
γ γ γ
     
+ = + = +     
     
∫ ∫ 
- Tích phân thứ hai: 
2
.
2
u
dQ
gω
γ∫ 
Gọi v là lưu tốc trung bình. Khi đĩ vận tốc tại mỗi phần tử lưu chất: 
u v u= ± ∆ . Cĩ dQ udω= 
⇒ 
( ) ( ) ( )
32
2 33. 3
2 2 2
v uu
dQ d v v u u d
g g gω ω ω
γ
γ γ ω ω
± ∆  = = ± ∆ ± ∆ ∫ ∫ ∫ 
Cĩ ( )3u∆ là vơ cùng nhỏ bậc cao, nên: ( )3 0u d
ω
ω ± ∆ = ∫ 
Cuối cùng ta được: 
( )22
3
2
3
1
2 2
u d
u
dQ v
g g v
ω
ω
ω
γ
γ ω
ω
 ∆
 
= + 
 
 
∫
∫ 
ðặt 
( )2
2
3
1
u d
v
ω
ω
α
ω
∆
= +
∫
. Ta cĩ: 
2 2
3.
2 2 2
u v
dQ v Q
g g gω
γ α
γ α ω γ= =∫ 
α gọi là hệ số sửa chữa động năng, cịn gọi là hệ số Coriolit. Thường α lấy khoảng 1,05 
đến 1,10. 
- Tích phân thứ ba: 
Gọi hw là tổn thất năng lượng trung bình: 
' .w wh dQ Qhγ γ=∫ 
Căn cứ vào kết qủa của ba tích phân trên, ta được 
2 2
1 1 1 1 2 2
1 22 2 w
p v p v
Q z Q Q z Q Qh
g g
α α
γ γ γ γ γ
γ γ
   
+ + = + + +   
   
⇒ 
2 2
1 1 1 2 2 2
1 22 2 w
v p v p
z z h
g g
α α
γ γ
+ + = + + + (5.6) 
Phương trình Bernulli của tồn dịng chảy ổn định của chất lỏng thực. 
 5 
3. PHƯƠNG PHÁP ðỒNG DẠNG – TIÊU CHUẨN ðỒNG DẠNG THỦY 
ðỘNG HỌC. 
1. Khái niệm 
Hai hiện tượng vật lý được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng được mơ 
tả bởi một phương trình hiện tượng (nếu cĩ). Khi xác định một đại lượng trong 
hiện tượng này thì cĩ thể xác định đại lượng tương ứng trong hiện tượng kia theo 
một quy luật xác định. 
Hay nĩi cách khác, các hiện tượng cùng bản chất vật lý gọi là đồng dạng 
với nhau nếu như tất cả các đại lượng đặc trưng của chúng đồng dạng, tức là: tạ 
các điểm tương ứng, trong các thời điểm tương ứng, tất cả các đại lượng cĩ 
hướng phải đồng dạng hình học, tất cả các đại lượng vơ hướng phải tỷ lệ với 
nhau. 
2. Phương pháp đồng dạng 
Quá trình và hiện tượng vật lý cĩ thể mơ tả bằng những phương trình tốn học. 
Gọi: 
- a là một đại lượng đặc trưng cho tính chất cơ học nào đĩ của chất lỏng tại 
điểm khảo sát. 
- ta là đại lượng a cho dịng thực tế. 
- ma là đại lượng a cho dịng mơ hình. 
- m
t
a
a
a
= là tỷ số đồng dạng của đại lượng a. 
Trong cơ học chất lỏng (chất lưu nĩi chung), khái niệm đồng dạng bao gồm 3 nội 
dung: 
a. ðồng dạng về hình học 
Hai hệ thống chất lỏng gọi là đồng dạng hình học với nhau nếu các kích thước 
tương ứng của chúng tỷ lệ với nhau. 
- Tỷ số đồng dạng độ dài: m m m
t t t
x y z
x y z
λ = = = 
- Tỷ số đồng dạng diện tích: m
t
S
S
S
= 
b. ðồng dạng động học 
- ðồng dạng động học nếu quỹ đạo chuyển động của các phần tử chất lỏng 
tương ứng của chúng đồng dạng hình học với nhau. 
- Giá trị vận tốc và gia tốc tại các điểm tương ứng tại các thời điểm tương 
ứng tỷ lệ với nhau: 
Tỷ số đồng dạng vận tốc 
 ymm xm zm
t xt yt zt
uu u u
u
u u u u
= = = = 
Tỷ số đồng dạng thời gian 
 m
t
t
t
t
= 
 6 
Nĩi cách khác, đồng dạng động học là đồng dạng hình học của tam giác tạo bởi 
các vector vận tốc (gia tốc) tại các điểm tương ứng. 
c. ðồng dạng động lực học 
Hai hệ thống chất lưu gọi là đồng dạng động lực học với nhau nếu: 
- tại các điểm tương ứng cĩ những lực cùng loại tác dụng 
- tỷ lệ giá trị của các lực cùng loại tác dụng tại các điểm tương ứng là 
như nhau trong tồn bộ thể tích hệ thống, 
- lực tác dụng lên hệ thống thực định hướng thế nào thì tương ứng ở 
mơ hình cũng phải định dướng như vậy. 
Một số tỷ số đồng dạng 
- Tỷ số đồng dạng áp suất 
 m
t
p
p
p
= 
- Tỷ số đồng dạng lực khối 
 * m
t
F
F
F
=





 
- Tỷ số đồng dạng khối lượng riêng 
 m
t
ρ
ρ
ρ
= 
- Tỷ số đồng dạng nhớt động lực 
 m
t
ν
ν
ν
= 
3. Các tiêu chuẩn đồng dạng động lực học 
• Số Froude 
2u
Fr
gL
= - tỷ số lực quán tính và trọng lực (khi chỉ cĩ trọng 
lượng tác dụng). 
• Reynolds Re
uL
ν
= - tỷ lệ giữa lực quán tính và lực ma sát (khi chỉ cĩ lực 
ma sát tác dụng). 
• Euler 
2
p
Eu
uρ
= - tỷ lệ giữa áp lực và lực quán tính. 
• Strukhan 
L
Str
uT
= - tỷ lệ lực quán tính cục bộ, trong đĩ L đại lượng đặc 
trưng cho độ dài của dịng. 
• Số Weber 
2Lu
W
ρ
σ
= với σ là hệ số lực căng mặt ngồi. 
• Số Mach 
u
M
a
= , với 
p
a K
ρ
= là vận tốc âm, K là chỉ số đoản nhiệt. 
 7 
ðiều kiện cần cho hai dịng chất lỏng khơng nén được thực tế và mơ hình 
đồng dạng thủy lực là số Struhan, Froude, Euler, Reynolds bằng nhau tương 
ứng. 
ðối với chất lỏng nén được thì hệ số Euler của chất lỏng là 
2
2 2 2
1 1 1p a
Eu
V K V K Mρ
= = = 
Trong đĩ: 
p
a K
ρ
= - vận tốc âm 
p
V
C
K
C
= - là chỉ số đoản nhiệt 
V
M
a
= - số Mach 
ðiều kiện cần cho hai dịng chất lỏng nén được thực tế và mơ hình đồng dạng 
thủy lực là số Struhan, Froude, Euler, Reynolds, Mach bằng nhau tương ứng. 
Khi cĩ tính đến lực căng mặt ngồi thì tính đến hệ số Weber. 
Ví dụ 1. Dịng nước (ν=0,01cm2/s) chảy trong ống được nghiên cứu bằng mơ 
hình tỷ lệ 1/10. Mơ hình dùng khơng khí ở nhiệt độ và áp suất bình thường 
(ν=0,15cm2/s). Tìm tỷ số vận tốc. (HD: cĩ hệ số nhớt ν - ma sát – dùng tiêu 
chuẩn Reynolds) 
Ví dụ 2. Máy thủy lực được đặc trưng bởi: đường kính bánh xe cơng tắc D. cột 
áp H, tốc độ quay n, lưu lượng QTìm tỷ số của tốc độ quay, lưu lượng của hai 
máy thủy lực đồng dạng động lực học. Biết hai máy đều hoạt động trong mơi 
trường trọng lực như nhau. (HD: lực tác dụng chỉ là trọng lực – dùng tiêu chuẩn 
Froude)