Giáo trình Lý thuyết thế trong địa vất lý (Phần 1)

 y, z) lieân tuïc cuøng vôùi ñaïo haøm 
baäc hai trong theå tích τ vaø treân caû maët σ giôùi haïn theå tích τ. 
 Ta haõy xeùt ñaúng thöùc sau : 
2
2
x
VU
x
V
x
U
x
VU
x
i
i
iii
i ∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂ (2.1) 
 Chuyeån veá , roài laáy tích phaân theo x ta coù : 
22 2
11 1
2
2
xx x
i i i i
i i
xx x
U V V Vdx U U dx
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂
= −
∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫
 (2.2) 
 Laáy tích phaân theo hai bieán soá coøn laïi ta coù : 
dxdydz
x
VUdydz
x
VUdxdydz
x
V
x
U y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
i
i
x
x
i
i
i
x
x
y
y
z
z
i ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂ 2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
22
1
2
1
2
1
2
1
 (2.3) 
 41
 Tích phaân ñaàu vaø cuoái laø caùc tích phaân khoái, coøn tích phaân ôû giöõa laø tích 
phaân maët trong phaïm vi dieän tích Σ treân maët phaúng zoy. Dieän tích nguyeân toá treân 
maët naøy laø dydz ( H.14 ). 
Giaû söû moät ñöôøng thaúng song song vôùi x caét maët σ khoâng quaù 2 laàn. Nhö 
vaäy moät ñöôøng thaúng xuaát phaùt töø toïa ñoä y, z ôû maët Σ,	seõ coù 2 giao ñieåm vôùi maët σ 
taïi toïa ñoä x1 vaø x2. ÖÙùng vôùi dieän tích nguyeân toá dydz treân maët Σ,	seõ coù 2 dieän tích 
nguyeân toá dσ1 vaø dσ2 treân maët σ do hình laêng truï coù ñaùy dydz caét ra : 
 dydz = -dσ1 cos (n1, x) = dσ2 cos (n2, x) (2.4) 
 Daáu tröø ôû ñaây do goùc (n1, x) nhoïn, coøn goùc (n2, x) tuø. Thay caän x1 vaø x2 
trong tích phaân maët ta coù : 
dydz
x
VUdydz
x
VUdydz
x
VU
xx
y
y
z
z
y
y
z
z
i
i
xx
i
i
y
y
z
z
x
x
i
i
1
2
1
2
1
2
1
2
12
2
1
2
1
2
1
=
=
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ 





∂
∂
−





∂
∂
=
∂
∂
Söû duïng (2.4) ta coù : 
( ) ( ) 1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
,cos.,cos. σσ dxn
x
VUdxn
x
VU
y
y xx
z
z
i
i
y
y xx
z
z
i
i ∫ ∫∫ ∫
==






∂
∂
+





∂
∂
= 
Hai tích phaân treân coù theå hôïp nhaát laïi, chung cho toaøn dieän tích σ : 
 = σ
σ
dxn
x
V
U ii ),cos(∫∫ ∂
∂ (2.5) 
 Nhö theá toùm laïi : 
∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
τ σ τ
τστ d
x
VUdxn
x
VUd
x
V
x
U i
i
i
i
ii
2
2
),cos(
Töông töï, ta coù theå vieát ñaúng thöùc treân ñaây cho y vaø z. Sau ñoù coäng laïi töøng 
veá cuûa 3 ñaúng thöùc vôùi nhau roài chuyeån veá ta coù: 
( ) ( ) ( ) σ
ττ
σ
ττ
dzn
z
V
yn
y
V
xn
x
VU
d
z
V
y
V
x
VUd
z
V
z
U
y
V
y
U
x
V
x
U
iii
i
iii
i
iiiiii
∫∫
∫∫∫∫∫∫






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
,cos,cos,cos
2
2
2
2
2
2
 42
 Nhö (1.23), ta vieát bieåu thöùc trong tích phaân choùt nhö sau : 
),cos(),cos(),cos( zn
z
V
yn
y
V
xn
x
V
dn
dV iiii
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= (2.7) 
Nhôø (2.7), ta coù sau cuøng : 
σττ
σττ
d
dn
dVUd
z
V
y
V
x
VUd
z
V
z
U
y
V
y
U
x
V
x
U i
i
iii
i
iiiiii ∫∫∫∫∫∫∫∫ =





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
 Kyù hieäu : ( ),i i i i i i i iU V U V U V D U V
x x y y z z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫=∇+
τ τ σ
σττ d
dn
dV
UdVUdVUD iiiiii ),( (2-8) 
Ñaây laø coâng thöùc Green thöù nhaát cho khoâng gian trong. Coâng thöùc cho pheùp 
chuyeån töø tích phaân khoái sang tích phaân maët. Ñieåm naøy raát quan troïng veà maët öùng 
duïng trong thöïc teá, bôûi vì thöôøng chuùng ta chæ bieát haøm theá ôû treân beà maët cuûa vaät. 
Trong (2.8) baây giôø cho Vi = Ui , ta coù : 
 ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫=∇+
τ τ σ
σττ d
dn
dU
UdUUdUUD iiiiii ),( (2-9) 
Tích phaân ñaàu coù yù nghóa quan troïng trong lyù thuyeát theá, coù teân goïi laø tích 
phaân Dirichlet, kyù hieäu laø I : 
22 2
( , ) i i ii i
U U UI D U U d d
x y zτ
τ τ
  ∂ ∂ ∂   
= = + +     ∂ ∂ ∂      
∫∫∫ ∫∫∫ 
Taát caû caùc thaønh phaàn trong I ñeàu döông hoaëc baèng 0 neáu taát caû ba soá haïng 
ñeàu cuøng baèng 0. Ñieàu ñoù coù nghóa Ui = const taïi moïi ñieåm thuoäc τ. Nhö vaäy I ≥ 0. 
 Ta coù tröôøng hôïp toång quaùt töø (2.9) khi boû tích phaân I ra : 
 (2.10) 
d U iU d U U di i id nσ τ
σ τ≥ ∆∫∫ ∫∫∫ 
 43
 Khi Ui = const, I =0, thì (2.10) laáy daáu baèng. Giaûn öôùc cho Ui ta coù : 
 (2.11) 
 Neáu Ui≠ const, hoaùn vò Ui cho Vi trong (2.8) ta coù : 
 ( , )
dUiV U d D V U d V di i i i i dnτ τ σ
τ τ σ∆ + =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (2.12) 
Tröø ñi (2.12) cho (2.8) ta coù: 
 (2.13) 
Coâng thöùc (2.13) laø coâng thöùc Green thöù hai cho khoâng gian trong. 
Baây giôø ta ruùt ra coâng thöùc Green cho khoâng gian ngoaøi. Giaû söû Ue vaø Ve laø 
hai haøm lieân tuïc ngoaøi maët σ , coù ñaïo haøm baäc hai giôùi noäi ngoaøi σ . Ngoaøi ra theâm 
moät ñieàu kieän boå sung nöõa laø chuùng phaûi chính qui ôû voâ cöïc. Töùc laø thoûa maõn ñieàu 
kieän (1.73), (1.74) vaø (1.75). Döïng moät quaû caàu S baùn kính R bao goïn ngoaøi maët 
σ . 
R 
n 
τ' 
σ 
n’ 
τ 
 H.15 
dUiU d di dnτ σ
τ σ∆ =∫∫∫ ∫∫ 
dV dUi iU V V U d U V di i i i i idn dnτ σ
τ σ
 
 ∆ − ∆ = −  
 
∫∫∫ ∫∫ 
 44
 Ta haõy aùp duïng coâng thöùc Green thöù nhaát (2.8) cho mieàn ,τ ’ giôùi haïn bôûi 2 
maët σ vaø S (laø khoâng gian ngoaøi nhöng baây giôø trôû thaønh khoâng gian trong) : 
 [ ]
,
,
,
( , ) e ee e e e e e
dV dVU V D U V d U d U dS
dn dnσ στ
τ σ∆ + = +∫∫∫ ∫∫ ∫∫ 
Dieän tích nguyeân toá treân maët caàu 2 sindS R d dθ θ λ= , do ñoù bieåu thöùc trong 
tích phaân choùt coù theå vieát laø : 
 2 sine ee e
dV dVU dS U R d d
dn dR
θ θ λ= 
(treân maët caàu dn dR= ). Do tính chính qui ôû voâ cöïc neân khi R→∞ ta coù : 
 lim Ue = 0 
 R→∞ 
 Coøn : lim R2 const
dR
dVe
= 
 R→∞ 
 Keát quaû, khi R → ∞ , tích phaân theo S baèng 0. Coøn laïi : 
[ ]
,
,( , ) ee e e e e
dVU V D U V d U d
dnστ
τ σ∆ + = −∫∫∫ ∫∫ (2.14) 
Daáu tröø do ñaïo haøm nay bieåu dieãn qua pheùp tuyeán ngoaøi n cuûa σ ( )nn rr ′−= 
Hoaùn vò eU cho eV roài tröø ñi vôùi (2.14) ta coù coâng thöùc Green thöù 2 cho 
khoâng gian ngoaøi : 
 [ ]
,
, e e
e e e e e e
dV dUU V V U d U V d
dn dnστ
τ σ
 ∆ − ∆ = − −  ∫∫∫ ∫∫
 (2.15) 
Tröôøng hôïp hai haøm U vaø V ñeàu laø haøm ñieàu hoøa, thì ta coù moät coâng thöùc 
Green thöù hai chung ñoàng thôøi cho khoâng gian ngoaøi vaø trong : 
 0=





−∫∫
σ
σd
dn
dUV
dn
dVU (2.15a) 
 45
 §.2. Coâng thöùc Green cho haøm 
r
1
 . 
 Aùp duïng coâng thöùc Green thöù hai cho haøm 1iU
r
= trong ñoù r laø khoaûng 
caùch giöõa ñieåm chaïy M(x,y,z) vaø moät ñieåm cho tröôùc naøo ñoù P(x1,y1,z1). 
 Toïa ñoä quan saùt coi nhö tham soá. Khoaûng caùch r ñöôïc bieåu dieãn qua toïa ñoä 
Decartes : 
 ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1
1 1
rx x y y z z
=
− + − + −
 (2.16) 
 Aùp duïng coâng thöùc Green thöù hai cho khoâng gian trong (2.13), ta coù : 
1 1 1 1i
i i i
dV dV V d V d
r r r dn dn rτ σ
τ σ
      ∆ − ∆ = −      
      
∫∫∫ ∫∫ (2.17) 
 a/ Ñieåm P ôû ngoaøi theå tích τ . 
 Vì P ôû ngoaøi theå tích τ neân trong theå tích τ vaø treân beà maët σ luoân r ≠ 0. 
iU lieân tuïc taïi moïi ñieåm M trong τ vaø treân σ . 
Haøm soá 1iU
r
= laø haøm ñieàu hoøa trong τ neân : ∆ 





r
1
 = 0. 
Coâng thöùc Green (2.17) coù daïng : 
 0111 =











−+∆− ∫∫∫∫∫ στ
στ
d
rdn
dV
dn
dV
r
dV
r
i
i
i 
 (2.18) 
 b/ Ñieåm P ôû trong theå tích τ . 
 Haøm 1
r
seõ bò giaùn ñoaïn khi M truøng vôùi P, vì theá aùp duïng coâng thöùc Green 
(2.16) khoâng ñöôïc. 
Boïc ñieåm P baèng moät quaû caàu S, baùn kính r. Theå tích coøn laïi laø τ’ ñöôïc giôùi 
haïn bôûi σ vaø S. Ta coù theå aùp duïng coâng thöùc Green (2.18) cho theå tích τ’: 
 dS
r
1
'dn
dVdS
'dn
dV
r
1d
r
1
dn
dV
dn
dV
r
1dV
r
1
s
i
i
s
i
i
i
'






−+σ











−=τ∆ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫
στ
 46
Cho baùn kính r cuûa quûa caàu S tieán tôùi 0, thì τ’ → τ, ta coù tích phaân khối theo 
τ là 1 iV d
rτ
τ∆∫∫∫ . Vì 
1 d
r
τ trong tích phaân laø ñaïi löôïng tyû leä vôùi r, neân khi 0r → thì 
01 →τd
r
laân caän taâm P. Nhöng tích phaân theo toaøn theå tích τ thì giôùi noäi. 
ÔÛ tích phaân 
,
1 i
S
dV dS
r dn∫∫ , töông töï r
ddrdS
r
λθθsin1 2
= cuõng tieán tôùi 0 khi 
0r → . Nhöng quaû caàu S → 0 neân tích phaân naøy tieán tôùi 0. 
Tích phaân choùt theo S, do söï lieân tuïc cuûa iV khi quaû caàu 0S → , neân seõ tieán 
tôùi keát quaû : 
 ,2
1
cos( , ) 4 ( )i i i
S
V r n dS V V p
r
pi= Ω =∫∫ 
Chuù yù : n’ laø phaùp tuyeán trong cuûa quûa caàu, neân cos(r,n’) > 0, do ñoù, ôû ñaây 
tích phaân Gauss Ω > 0 vaø baèng 4π. 
Keát quaû laø : 
 )p(V4d
r
1
dn
dV
dn
dV
r
1dV
r
1
ii
i
i pi=σ











−+τ∆− ∫∫∫∫∫
στ
 (2.19) 
c/ Ñieåm P ôû treân maët σ. 
Ta coù tích phaân Gauss ( ) 2P piΩ = , do ñoù : 
 )p(V2d
r
1
dn
dV
dn
dV
r
1dV
r
1
ii
i
i pi=σ











−+τ∆− ∫∫∫∫∫
στ
 (2.20) 
 Caùc veá phaûi cuûa hai coâng thöùc Green treân cho thaáy ta coù theå xaùc ñònh giaù 
trò V(P) taïi ñieåm P baát kyø trong maët σ vaø treân σ , neáu bieát iV∆ trong τ , giaù trò iV 
vaø idV
dn
 taïi moïi ñieåm treân maët σ . 
Veá traùi cuûa (2.20) chính laø toång cuûa ba loaïi theá maø : 
1
iV d
rτ
τ∆∫∫∫ coù theå xem nhö theá khoái V vôùi maät ñoä iV∆ 
1 idV d
r dnσ
σ
 
 
 
∫∫ coù theå xem nhö theá lôùp ñôn V1vôùi maät ñoä 
idV
dn 
1
i
dV d
dn rσ
σ
 
 
 
∫∫ laø theá lôùp keùp W vôùi maät ñoä baèng iV . 
 47
 Toùm laïi : V1(p) – W(p) – V(p) = 





σ
σpi
σpi
ngoaøi
 treân
trong
0
)(2
 )(4
pV
pV
i
i
 (2.21)
 Trường hợp V(p) là hàm ñiều hòa, công thức (2.18), (2.19) và (2.20) trở thành : 
0d
r
1
dn
dV
dn
dV
r
1
=σ











−∫ ∫ ∫
σ
 P ôû ngoaøi σ (2.21a) 
V4d
r
1
dn
dV
dn
dV
r
1
pi=σ











−∫ ∫ ∫
σ
 P ôû trong σ (2.21b) 
V2d
r
1
dn
dV
dn
dV
r
1
pi=σ











−∫ ∫ ∫
σ
 P treân σ (2.21c) 
 §.3. Haøm ñieàu hoøa vaø caùc tính chaát. 
 Haøm ñieàu hoøa cuûa toïa ñoä khoâng gian x, y, z laø haøm lieân tuïc trong theå tích 
τ naøo ñoù cuøng vôùi ñaïo haøm baäc 1, baäc 2 vaø thoûa maõn phöông trình Laplace taïi 
moïi ñieåm trong theå tích τ . Ví duï veà haøm ñieàu hoøa laø caùc ña thöùc baäc n cuûa toïa ñoä 
x,y,z. Giaû söû V laø haøm ñieàu hoøa, coâng thöùc (2.11) cho ta : 
 (2.22) 
 Ñaúng thöùc naøy raát quan troïng, noù coù nghóa ñaïo haøm treân maët σ khoâng phaân 
boá tuøy yù maø phaûi theo ñieàu kieän coâng thöùc (2.22). Qua ñaây ta thaáy ñaïo haøm theo 
phaùp tuyeán khoâng phaûi luoân luoân giöõ nguyeân moät daáu maø bieán ñoåi aâm, döông. Haõy 
xeùt moät soá tính chaát cuûa haøm ñieàu hoøa. 
1. Ñònh lyù veà ñaúng trò : Haøm ñieàu hoøa coù giaù trò khoâng ñoåi V = const taïi 
moïi ñieåm treân maët σ , thì noù cuõng coù giaù trò khoâng ñoåi aáy trong toaøn mieàn τ . 
CM : Ñeå chöùng minh, chuùng ta söû duïng coâng thöùc (2.9) keát hôïp vôùi (2.22) 
ñeå coù coâng thöùc cho Vi ñieàu hoøa nhö sau : 
 ( )( , ) ii i i dVD V V d V k ddnτ στ σ= −∫∫∫ ∫∫ (2.23) 
k : haèng soá tuøy yù. 
 Neáu treân maët σ :Vi = k, thì tích phaân Dirichlet cuûa Vi baèng khoâng. Ñieàu naøy 
coù nghóa Vi = const trong toaøn mieàn τ. Nhöng theo ñieàu kieän cho tröôùc Vi = k treân 
0=∫∫ σ
σ
d
dn
dV i
 48
maët σ maø theo ñieàu kieän lieân tuïc thì Vi = k luoân taïi moïi ñieåm trong τ . Ta ñaõ 
chöùng minh xong const = k. 
Döïa treân tính chaát naøy ta suy ra laø neáu lôùp ñôn phaân boá ñuùng treân maët ñaúng 
theá, thì löïc taùc duïng cuûa noù ñoái vôùi 1 ñieåm beân trong lôùp baèng khoâng. Chuùng ta ñaõ 
töøng xeùt tröôøng hôïp lôùp ñôn coù daïng caàu, maët ñaúng theá cuõng chính laø maët caàu vaø 
nhö ta thaáy, beân trong lôùp caàu löïc taùc duïng baèng khoâng. 
Tính chaát treân coøn ñuùng vôùi lôùp ñôn coù daïng baát ky,ø mieãn sao lôùp ñôn truøng 
vôùi maët ñaúng theá. Bôûi vì phía trong lôùp ñôn, theá cuûa noù thoûa maõn phöông trình 
Laplace ( ñieàu hoøa ), treân maët lôùp ñôn theá khoâng ñoåi, thì theo ñònh lyù 1, theá cuõng 
laø haèng ôû beân trong lôùp ñôn, ñaïo haøm 0
i
dV
dn
 
= 
 
, löïc baèng khoâng. 
2. Ñònh lyù veà ñôn trò : Khoâng theå cuøng toàn taïi hai haøm ñieàu hoøa khaùc nhau V 
vaø V’ beân trong maët σ maø coù cuøng moät taäp hôïp caùc giaù trò V treân maët σ . 
CM : Duøng phöông phaùp phaûn chöùng: Giaû söû toàn taïi hai haøm nhö vaäy thì 
hieäu cuûa chuùng V – V’ cuõng seõ laø haøm ñieàu hoøa trong σ , vaø treân σ thì baèng 
khoâng. Nhöng theo ñònh lyù 1, thì hieäu cuûa chuùng cuõng coù giaù trò baèng 0 trong toaøn 
mieànτ . Vaäy thì V = V’ beân trong σ. 
 Ñònh lyù coøn coù theå phaùt bieåu caùch khaùc : Neáu toàn taïi moät haøm ñieàu hoøa coù 
taäp hôïp giaù trò V treân maët σ thì ñaây laø haøm duy nhaát. 
 3. Ñònh lyù veà trung bình : Giaù trò cuûa haøm ñieàu hoøa taïi moät ñieåm P baát kyø 
beân trong theå tích τ, baèng giaù trò trung bình tích phaân treân maët caàu coù taâm laø P vaø 
naèm goïn beân trong theå tíchτ . 
 2
1( )
4
i
ii
V d
V p V d
Rd pi
∑
∑
∑
∑
= = ∑
∑
∫∫
∫∫
∫∫
R: baùn kính maët caàu. 
CM : Vì Vi laø haøm ñieàu hoøa, cho neân coâng thöùc (2.19) chæ coøn laïi tích phaân 
maët. Giaû söû maët σ laø maët caàu ∑ ôû ñaây : 
1 1 4 ( )i i i
dV dd V d V p
r dn dn r
pi
∑ ∑
 
∑− ∑ = 
 
∫∫ ∫∫ (2.24) 
 49
 Vì P laø taâm maët caàu cho neân r = R - baùn kính maët caàu, vaø 
dR
d
dn
d
= , ta coù : 
 22
111
RdR
dr
rrdn
d
Rr
−=−=





=∑
 (2.25) 
 Coøn tích phaân thöù nhaát trieät tieâu theo (2.22) vì: 
1 1 0i idV dVd d
r dn R dn∑ ∑
∑ = ∑ =∫∫ ∫∫ (2.26) 
Keát quaû : 2
1 4 ( )i iV d V pR pi
∑
∑ =∫∫ , hay : 
 4. Ñònh lyù veà cöïc trò : Haøm Vi ñieàu hoøa trong mieàn τ khoâng theå ñaït giaù trò 
cöïc ñaïi vaø cuïc tieåu taïi moïi ñieåm trong τ , maø chæ ñaït treân maët σ giôùi haïn theå tíchτ . 
 CM : Giaû söû P laø ñieåm trong. Giaû söû Vi ñaït giaù trò cöïc ñaïi trong τ . Taïi P, do 
Vi coù tính lieân tuïc neân ta coù theå döïng moät maët caàu ∑ taâm P vaø baùn kính R naèm 
goïn beân trong τ . Nhö theá maâu thuaãn vôùi ñònh lyù veà giaù trò trung bình : 
 2
1( )
4
iiV p V dRpi ∑
= ∑∫∫ 
 Vaäy haøm ñieàu hoøa Vi khoâng theå ñaët giaù trò cöïc ñaïi beân trong τ . Töông töï 
nhö theá, ta coù theå chöùng minh trong tröôøng hôïp cöïc tieåu. 
§.4. Coâng thöùc Green cơ bản. 
 Theá khoái laø haøm ñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi, nhöng ôû khoâng gian trong 
chöa khoái löôïng, noù thoûa phöông trình Poisson. Giaû söû mieàn τ chöùa ñaày khoái 
löôïng vôùi maät ñoä δ ñöôïc giôùi haïn bôûi maët σ . 
 Aùp duïng ba coâng thöùc Green (2.18) (2.19) vaø (2.20) cho tröôøng hôïp naøy. 
Taïi caùc ñieåm naèm trong τ theá khoái V seõ thoûa maõn phöông trình Possion : 
 4V fpi δ∆ = − 
∫∫
∑
∑dV
R
pV ii 24
1)(
pi
 50
 Do ñoù trong 3 coâng thöùc Green treân ñaây, tích phaân khoái coù chöùa V∆ laø : 
1 4 4 ( )dVd f V p
r rτ τ
τ
τ pi δ pi− ∆ = =∫∫∫ ∫∫∫ 
 Nhôø ñoù, caùc coâng thöùc Green (2.18), (2.19) vaø (2.20) nay coù daïng : 
1 1 4 ( )dV dV d V p
r dn dn rσ
σ pi
  
− = −  
  
∫∫ P ôû ngoaøi (2.27) 
1 1 0dV dV d
r dn dn rσ
σ
  
− =  
  
∫∫ P ôû trong (2.28) 
1 1 2 ( )dV dV d V p
r dn dn rσ
σ pi
  
− = −  
  
∫∫ P treân σ (2.29) 
Coâng thöùc Green (2.27) hay ôû choã noù cho pheùp xaùc ñònh theá beân ngoaøi cuûa 
vaät khoâng phuï thuoäc vaøo maät ñoä δ . Ngoaøi ra, qua coâng thöùc treân, ta thaáy theá khoái 
V cuûa vaät coù theå bieåu dieãn qua hai theá: 
Theá lôùp ñôn vôùi maät ñoä 
1
4
dV
dnpi
 vaø theá lôùp keùp vôùi maät ñoä 
1
4
V
pi
 treân σ . 
Qua (2.28) ta thaáy theá beân trong vaät khoâng theå xaùc ñònh qua tích phaân maët. 
 §5. Coâng thöùc Green bieán ñoåi theo Molodensky. 
 Söû duïng tích phaân Gauss, oâng M.S Molodensky ñaõ bieán ñoåi coâng thöùc 
Green (2.27) ñeå noù aùp duïng ñuùng cho caû tröôøng hôïp ñieåm quan saùt ôû beân ngoaøi laãn 
treân maët σ baèng caùch ñöa hieäu (V - V ) thay cho V trong (2.27). 
V laø haèng soá, baèng giaù trò cuûa theá V taïi ñieåm P treân maët σ . 
Coâng thöùc (2.27) nay coù daïng : 
 ( )1 1 1( ) 4 dV dV p V V dr dn dn rσ σpi
  
= − − −   
  
∫∫ (2.30) 
Chuùng ta haõy kieåm chöùng raèng coâng thöùc treân ñaây thoûa maõn hai tröôøng hôïp 
: ñieåm quan saùt P ôû ngoaøi vaø ôû treân maët σ . 
 51
 a/ Khi ñieåm P ôû ngoaøi σ, thì trong (2.30), tích phaân ñaõ ñöa vaøo laø : 
1 1 0d dV d V d
dn r dn rσ σ
σ σ   = =   
   
∫∫ ∫∫ 
 Do tích phaân Gauss baèng 0, khi ñieåm quan saùt P ôû ngoaøi maët σ . Coâng thöùc 
(2.30) trôû thaønh coâng thöùc (2.27). 
 b/ Khi ñieåm P ôû treân σ, tích phaân Gauss : 
1 2d d
dn rσ
σ pi Ω = = − 
 
∫∫ 
 Cho neân ta coù : 
1 2dV d V
dn rσ
σ pi
 
= − 
 
∫∫ 
Vaø coâng thöùc (2.30) seõ trôû thaønh coâng thöùc (2.29) cho tröôøng hôïp P treân σ. 
§6. Caùc haèng soá Stokes. 
Chuùng ta haõy quay veà coâng thöùc Green thöù hai (2.13). Trong ñoù, nay chuùng 
ta coi Vi laø theá khoái V cuûa khoái löôïng chöùa ñaày trong theå tích τ giôùi haïn bôûi maët 
σ . Maät ñoä khoái löôïng noùi treân kyù hieäu laø δ . Coøn Ui laø haøm tuøy yù ñieàu hoøa trong 
τ . Khi ñoù : 0iU∆ = , coøn 4V fpi δ∆ = − . 
Ta coù : 
 4 ii i
dUdVf U d U V d
dn dnτ σ
pi δ τ σ − = −  ∫∫∫ ∫∫ (2.31) 
Caùc tích phaân iI U d
τ
δ τ= ∫∫∫ goïi laø caùc haèng soá Stokes. Caùc haèng soá naøy coù 
tính chaát hay ôû choã ta coù theå xaùc ñònh chuùng maø khoâng caàn phaûi bieát söï phaân boá 
khoái löôïng ra sao. 
Qua coâng thöùc (2.31) ta thaáy muoán xaùc ñònh chuùng, ta caàn phaûi bieát maët σ 
giôùi haïn vaät cho tröôùc, giaù trò V vaø ñaïo haøm treân beà maët 
dV
dn . 
Ta haõy giaûi thích yù nghóa vaät lyù cuûa moät soá haèng soá Stokes. 
 Cho Ui =1 khi ñoù : 0I d M
τ
δ τ= =∫∫∫ - khoái löôïng cuûa vaät. 
 52
Thay 0I M= vaø Ui=1 vaøo coâng thöùc (2.31) ta coù : 
 (2.32) 
 Bieåu thöùc treân goïi laø coâng thöùc Gauss. Noù cho thaáy raèng khoái löôïng coù theå 
xaùc ñònh ñöôïc maø khoâng caàn phaûi bieát maät ñoä. 
 Ñeå xaùc ñònh khoái löôïng caàn phaûi bieát daïng maët σ vaø giaù trò ñaïo haøm theo 
phaùp tuyeán cuûa haøm V treân σ . 
 Cho haøm Ui laàn löôït baèng ξ, η, ζ toïa ñoä ñieåm chaïy trong I, ta nhaän ñöôïc caùc 
haèng soá Stockes baäc 1 : 
 1I d
τ
δξ τ= ∫∫∫ , 1I d
τ
δη τ= ∫∫∫ , 1I d
τ
δζ τ= ∫∫∫ (2.33) 
 Lieân heä vôùi coâng thöùc xaùc ñònh toïa ñoä khoái taâm trong cô hoïc : 
 0
1 d
M τ
ξ δξ τ= ∫∫∫ ; 0 1 dM τ
η δη τ= ∫∫∫ ; 0
1 d
M τ
ζ δζ τ= ∫∫∫ 
Ta thaáy haèng soá Stokes baäc 1 xaùc ñònh toïa ñoä khoái taâm. 
 Baây giôø cho Ui baèng ηζ , ξη , ξζ vaø 2 2iU ξ η= − , 
2 2
2
2i
U ξ ηζ += − 
Ta seõ coù caùc haèng soá Stokes baäc hai sau ñaây : 
2I d
τ
δηζ τ= ∫∫∫ , 2I d
τ
δξη τ= ∫∫∫ , 2I d
τ
δξζ τ= ∫∫∫ 
2 2
2
2 2
I d
τ
ξ ηδ ζ τ += − 
 
∫∫∫ (2.34) 
( )2 22I d
τ
δ ξ η τ= −∫∫∫ 
 Trong cô hoïc, 3 tích phaân ñaàu chính laø moâmen quaùn tính ly taâm cuûa vaät. 
Baây giôø ñeå giaûi thích yù nghóa hai tích phaân coøn laïi, ta haõy choïn heä toïa ñoä 
xyz vôùi truïc z truøng vôùi truïc cöïc Traùi ñaát, coøn x vaø y naèm trong maët phaúng xích 
ñaïo. 
Trong cô hoïc, moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc cöïc Traùi ñaát baèng : 
 ( )2 2C d
τ
δ ξ η τ= +∫∫∫ 
4 dVfM d
dnσ
pi σ− = ∫∫ 
 53
 Coøn moâmen quaùn tính ñoái vôùi truïc ñi qua xích ñaïo laø : 
( ) τζηδ
τ
dA ∫∫∫ +=
22
( ) τξζδ
τ
dB ∫∫∫ +=
22 
 Nhôø caùc bieåu thöùc cuûa A, B vaø C treân ñaây, ta coù theå vieát laïi : 
 ( )2 22 2 2 22 22 2 2
A BI d d C
τ τ
ξ η δδ ζ τ ζ ξ η τ + += − = − − = − 
 
∫∫∫ ∫∫∫ 
( )2 22I d B A
τ
δ ξ η τ= − = −∫∫∫ 
Vaäy, toùm laïi caùc haèng soá Stokes coù theå xem nhö laø caùc ñaïi löôïng xaùc ñònh 
khoái löôïng cuûa vaät theå, toïa ñoä khoái taâm vaø hieäu caùc moâmen quaùn tính. Nhieäm 
vuïxaùc ñònh caùc haèng soá Stokes laø moät trong nhöõng nhieäm vuï quan troïng cuûa traéc 
ñòa vuõ truï.