Giáo trình môn Toán - Thống kê toán C1

i (Internal Rate of Return -IRR) – Tỉ suất hoàn vốn nội 
bộ 
IRR là chỉ tiêu đo lường tỷ suất sinh lợi mà bản thân dự án tạo ra. 
Ý nghĩa của IRR 
i) Về khả năng sinh lời IRR biểu thị tỉ lệ sinh lời lớn nhất mà bản thân dự án đạt được , 
phụ thuôc vào đặc điểm phát sinh dòng lợi ích và dòng chi phí trong tòan bộ thời gian 
thực hiên dự án. 
ii) Về khả năng thanh toán: IRR biểu thị mức lãi vay cao nhất mà dự án khả năng 
thanh toán. 
Ứng dụng 
-IRR là chỉ tiêu hiệu quả tài chính quan trọng nhất của dự án 
- IRR là chỉ tiêu bắt buộc trong thẩm định dự án 
n n 1/ n
r r P r PS P 1 1 1 r ?
100 100 S 100 S
−
     
= + ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =     
     
r: được gọi là IRR. 
Nhận xét: IRR là tỉ lệ khấu trừ được sử dụng trong tính toán nguồn vốn để quy giá trị 
thuần của dòng tiền hiện tại của một dự án cụ thể về 0. Hiểu một cách chung nhất, tỉ lệ 
hoàn vốn nội bộ càng cao thì khả năng thực thi dự án là càng cao. IRR còn được sử 
dụng để đo lường, sắp xếp các dự án có triển vọng theo thứ tự, từ đó khiến cho công ty 
có thể dễ dàng hơn trong việc cân nhắc nên thực hiện dự án nào. Nếu giả định rằng tất 
cả các yếu tố khác của các dự án là như nhau thì dự án nào có tỉ suất hoàn vốn nội bộ 
cao nhất thì dự án đó có thể được ưu tiên thực hiện đầu tiên. IRR đôi khi còn được gọi 
là tỉ suất hoàn vốn kinh tế ERR (economic rate of return). 
Ý nghĩa: Kế hoạch được xem là có lãi nếu IRR lớn hơn lãi suất hiện thời của thị trường 
(market rate). 
Ví dụ 103. Giả sử bạn đầu tư 1000$ cho một dự án kinh doanh mà chắc chắn sẽ được 
hoàn trả lại $2000 trong thời gian 5 năm. Dựa vào 2 cách tính 
a) NPV 
b) IRR 
hãy đưa ra quyết định chính xác có nên đầu tư với lãi suất thị trường là 10% ghép lãi 
theo năm. 
Giải. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
51 
a) Với cách tính NPV ta có S =2 000, t =5, r =10%. Áp dụng công thức tính giá trị hiện 
tại ta có 
n
5 5rP S 1 2000(1 10%) 2000*(1.1) 1241.84
100
−
− −
 
= + = + = = 
 
Vậy giá trị NPV =P-$1000=241.84 
b) Với cách tính IRR ta áp dụng công thức 
n
rS P 1
100
 
= + 
 
 với S= 2000, P= 1000, t=5 
suy ra 
5
5
1/ 5
r2000 1000 1
100
r1 2
100
r1 2
100
r 1.25 1.25 1 0.25
100
 
= + 
 
 
⇔ + = 
 
 
⇔ + = 
 
⇔ = = − =
Vậy IRR =25%. 
Với cả 2 cách tính chúng ta đều thấy rằng nhà đầu tư đều thu lợi 
Vấn đề: Câu hỏi đặt ra là nếu lãi suất là 15% thì nhà đầu tư có quyết định đầu tư 
không. Câu trả lời là với cách tính NPV chúng ta phải lặp lại tất cả các bước tính rồi 
mới quyết định là NPV dương hay âm. Nhưng với cách tính IRR thì ta chỉ việc so sánh 
với 25% và thấy rằng nó vẫn còn nhỏ hơn IRR nên suy ra được nhà đầu tư vẫn còn thu 
lợi. 
Vấn đề: Trong việc tính toán phân bổ nguồn vốn có rất nhiều cách khác nhau để đánh 
giá một dự án. Mỗi cách thức đều có những ưu nhược điểm riêng. IRR là một chỉ số 
thường xuyên được sử dụng. Nhưng vì chỉ sử dụng một tỉ lệ chiết khấu duy nhất trong 
việc tính toán IRR nên sẽ có nhiều tình huống ảnh hưởng tới IRR. Nếu một nhà đầu tư 
tiến hành định giá hai dự án, cả hai đều sử dụng chung một tỉ suất chiết khấu, cùng 
dòng tiền ước tính, cùng chịu rủi ro như nhau và thời gian thực hiện ngắn, IRR có thể 
là một chỉ số hiệu quả. Nhưng vấn đề là ở chỗ tỉ suất chiết khấu luôn thay đổi theo 
thời gian. Ví dụ sử dụng lãi suất trái phiếu kho bạc làm tỉ suất chiết khấu. Mức lãi suất 
này có thể thay đổi từ 1% đến 20% trong vòng 20 năm, do đó dẫn đến sai lệch trong 
tính toán. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
52 
Ví dụ 104. Giả sử nhà đầu tư có hai dự án A và B cần phải chọn lựa. Dự án A yêu cầu 
số vốn đầu tư là 1000$ và sẽ thu được lợi nhuân là 1200$ trong vòng 4 năm. Dự án B 
yêu cầu là 30000 $ và sẽ thu được lợi nhuận là 35 000$ cũng sau 4 năm. Bạn sẽ chọn 
lựa dự án nào nếu mức lãi suất thị trường là 3% ghép lãi theo năm?. 
Giải. 
Với cách tính NPV ta có 
Đối với dự án A: NPV =1200(1.03)-4 – 1000=66.18 
Đối với dự án B: NPV =35000(1.03)-4 – 30 000=1097.15 
Nhận xét: Với NPV như trên cả hai dự án đều thích hợp để đầu tư. Hơn nữa, dự án B 
được chú ý nhiều hơn vì lợi nhuận mang lại cao hơn. Ta có thể xem xét đề nghị này 
bằng cách xem xét một giả thiết sau. Giả sử chúng ta có thể đầu tư 30 000$. Lúc này 
với dự án A ta có thể bỏ ra 1000$ để thu được 1200$ sau 4 năm. Số tiền còn lại là 29 
000$ sẽ được dùng để đầu tư cho dự án B với mức lãi suất là 3% để thu được lợi 
nhuận sau 4 năm là 29 000(1.03)-4= 32 639.76$ 
Vậy tổng lợi nhuận thu được sau 4 năm là 1 200 + 32 639.76=33 839.76$ 
Trong khi chỉ với mức đầu tư 30000$ cho toàn dự án B chúng ta có thể thu được lợi 
nhuận là 35 000$ và như vậy 35 000 -33 839.76= 1160.24$ 
Do đó lựa chọn dự án B là thích hợp nhất do đó có thể áp dụng NPV. 
Tuy nhiên điều này sẽ trái ngược khi tiến hành với IRR. 
Đối với dự án A 
( )
4
A
4
A
1/ 4A
A
r1200 1000 1
100
r1 1.2
100
r1 1.2 1.047 r 4.7%
100
 
= + 
 
 
⇔ + = 
 
⇔ + = = ⇒ =
Đối với dự án B 
4
B
B
r35000 30000 1 r 3.9%
100
 
= + ⇒ = 
 
Với tỷ lệ lợi nhuận nội tại như trên thì A là tốt hơn nhưng rõ ràng là chọn B sẽ thích 
hợp hơn. 
9.4 Giá trị hiện tại của dòng tiền phân bố đều (Present value of an Annuity): 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
53 
Ví dụ 105. Tìm giá tri hiện tại của dòng tiền phân bố đều ( giá trị hiện tại của dòng tiền 
trả hằng năm) sao cho lợi nhuận nhận được là 10000$ mỗi năm tính trong vòng 10 
năm, giả sử mức lãi suất là 7% ghép lãi theo năm. 
Giải. 
Để nhận được lợi nhuận là 10 000$ sau năm đầu tiên thì số tiền phải đầu tư là 
t
1rP S 1 ,S 10000, r 7%, t 1 P 10000(10.7) 9345.79$
100
−
−
 
= + = = = ⇒ = = 
 
Để nhận được lợi nhuận là 10 000$ sau năm thứ hai thì số tiền phải đầu tư là 
t
2rP S 1 ,S 10000, r 7%, t 2 P 10000(10.7) 8734.39$
100
−
−
 
= + = = = ⇒ = = 
 
Vậy sau t năm số tiền phải đầu tư tương ứng 10 000(1.07)-t 
Trong 10 năm thì số tiền phải đầu tư hay gọi là tổng giá trị hiện tại của dòng tiền phân 
bố đều là 
1 2 1010000(1.07) 10000(1.07) ... 10000(1.07)− − −+ + + . Đây là một dãy cấp số nhân. Áp dụng 
công thức 
nr 1
a
r 1
 −
 
− 
. Trong trường hợp này a=10 000(10.7)-1, r=1.07-1 và n =10. Vậy 
giá trị hiện tại của dòng tiền phân bố đều theo năm là 
10
1
1
1.07 110000(1.07) 70235.82
1.07 1
−
−
−
 −
= 
− 
Vấn đề: Một vấn đề mà có lẽ sẽ phù hợp hơn với thực tế chúng ta thường gặp đó là 
không phải lúc nào NPV cũng là giống nhau trong mỗi năm. Các NPV sẽ có các giá trị 
riêng lẻ theo từng năm. Lúc này sự lựa chọn thực hiện dự án đầu tư nào của công ty 
cũng sẽ không còn chỉ phụ thuộc vào một NPV mà sự phụ thuộc đó là vào nhiều NPV 
nữa. Vậy họ sẽ làm thế nào để đưa ra quyết định cuối cùng là sẽ chọn dự án đầu tư 
nào. Câu trả lời sẽ được xuất hiện trong ví dụ sau. 
Ví dụ 106. Một công ty quyết định đầu tư 20 000$ cho một trong hai dự án Avà B. Giá 
trị tương lai (lợi nhuận) được cho theo bảng số liệu sau 
 Lợi nhuận 
Thời điểm kết thúc của năm Dự án A Dự án B 
1 6000 10000 
2 3000 6000 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
54 
3 10000 9000 
4 8000 1000 
Tổng cộng 27000 26000 
Lãi suất là 11% ghép lãi theo năm. 
Giá trị hiện tại (P) của từng năm được tính tương ứng với giá trị tương lai(Lợi nhuận) 
theo công thức 
P= S(1.11)-t 
Ta có bảng lợi nhuận chiết khấu P là 
 Lợi nhuận chiết khấu 
Thời điểm kết thúc của năm Dự án A Dự án B 
1 5405.41 9000.01 
2 2434.87 4869.73 
3 7311.91 6580.72 
4 5269.85 658.73 
Tổng cộng 20422.04 21109.19 
Vậy NPV của Dự án A là 20 422.67-20000=422.67 
Vậy NPV của Dự án B là 21 109.19-20000=1109.19 
Dự án B sẽ được chọn vì NPV của nó tốt hơn. 
Vấn đề: Lúc này ta sẽ xem xét trường hợp của IRR cũng với những gì đã xảy ra cho 
NPV thì ta nhận xét rằng quá trình đó không phải là dễ dàng hay nói chính xác là khó 
để mà tính toán đúng giá trị mong muốn. 
Ví dụ 107. 
1) Tính toán IRR của một dự án mà yêu cầu vốn đầu tư ban đầu là 20 000$ và lần lượt 
có doanh thu là 8000 trong năm thứ nhất và 15 000 trong năm thứ 2 
2) Tính toán IRR của một dự án mà yêu cầu vốn đầu tư là 5000 và lần lượt có doanh 
thu là 1000, 2000, 3000 ở thời điểm kết thúc năm thứ 1, 2 và 3. 
Giải. 
Áp dụng công thức 
n n
r rS P 1 P S 1
100 100
−
   
= + ⇒ = +   
   
Giá trị hiên tại của 8000$ trong năm thứ nhất là 
1
r8000 1
100
−
 
+ 
 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
55 
Giá trị hiên tại của 12000$ trong năm thứ hai là 
2
r12000 1
100
−
 
+ 
 
Tổng của các giá trị hiện tại trong năm thứ 1 và thứ 2 phải bằng tổng vốn đầu tư ban 
đầu là 20 000$.Hiểu theo nghĩa khác thì IRR là giá trị của r thỏa mãn phương trình 
1 2
2
r r20000 8000 1 12000 1
100 100
r r20000 1 8000 1 15000
100 100
− −
   
= + + +   
   
   
⇔ + = + +   
   
Ta biết 
2 2r r r r r1 1 1 1
100 100 100 50 10000
    
+ = + + = + +    
    
2 220000 400r 2r 8000 80r 15000 2r 320r 3000 0+ + = + + ⇔ + − = 
Giải phương trình này ta được r =8.9% và r =-168.9%. Vậy ta có IRR là 8.9% 
Câu 2 giải tương tự 
II. Ứng dụng của Đạo hàm trong Kinh tế 
1. Hàm biên tế ( Đại lượng biên tế) 
Đại lượng biên tế của y=f(x) tại xo là lượng thay đổi của đại lượng y khi đại lượng x 
tăng lên một đơn vị, kí hiệu là Mxy(xo) hoặc My(xo). 
Nhận xét: 
i) Doanh thu biên là tỉ lệ thay đổi của doanh thu ứng với sự thay đổi một đơn vị sản 
phẩm ( nói cách khác là lượng doanh thu gia tăng khi bán được thêm một đơn vị sản 
phẩm Q) ở mức sản lượng là Q, kí hiệu là TR’(Q), MR(Q), MR, và được tính tóan như 
sau: 
dTRMR
dQ= với TR = P.Q 
ii) Chi phí biên là tỉ lệ thay đổi của chi phí ứng với sản lượng tăng thêm một đơn vị 
sản phẩm ( nói cách khác là lượng chi phí gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vị sản 
phẩm Q) ở mức sản lượng là Q, kí hiệu là TC’(Q), MC(Q), MC, và được tính tóan như 
sau: 
dTCMC
dQ= 
iii) Lợi nhuận biên, kí hiệu là '(Q)pi , 'pi , MP(Q), và được tính tóan như sau: 
'(Q) TR '(Q) TC'(Q) MR MCpi = − = − 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
56 
Ví dụ 108. Bộ phận nghiên cứu thị trường của Công ty sản xuất radio xác định phương 
trình của đường cầu như sau: 
Q = 10000 – 1000P (Số lượng sản phẩm là Q ở mức giá P$) 
hay P =10− Q/1000 
Với Q là số lượng máy radio được tiêu thụ hàng tuần ở mức giá P$/mỗi radio. 
Bộ phận tài chánh của Công ty ước tính phương trình tổng chi phí như sau: 
TC(Q) = 7000 + 2Q 
Hãy tìm TC’(Q), TR(Q), TR’(Q), pi (Q) và pi ’(Q). 
Giải. 
+ Chi phí: 
Tổng chi phí: TC(Q) = 7000 + 2Q 
Chi phí biên tế: TC’(Q)=MC(Q) = 2. Nhận xét TC’(Q) >0. Vậy TC(Q) đồng biến với 
Q 
+ Doanh thu 
Tổng doanh thu 
TR(Q) = PQ =
2Q Q10 Q 10Q
1000 1000
 
− = − 
 
Doanh thu biên 
 MR(Q) = 10 – Q/500 
 MR(2000)=6 
 MR(5000) =0 
Nhận xét: Ở mức Q =2000 nếu Q tăng 1 đơn vị thì TR(Q) tăng 6$ị. Suy ra TR dần đến 
max. 
+ Lợi nhuận 
Tổng lợi nhuận 
2Q(Q) TR(Q) TC(Q) 8Q 7000
1000
pi = − = − + − 
Lợi nhuận biên 
Q
'(Q) 8
500
'(4000) 0
(Q) max '(1000) 6$
'(6000) 4
pi = − +
pi =
⇒ pi → pi =
pi = −
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
57 
+ Điểm hòa vốn. Khi TR(Q) = TC(Q) hay (Q)pi =0 
2. Hệ số co giãn tức thời 
Hệ số co giãn tức thời của đại lượng y theo đại lượng x tại xo là độ biến đổi tương đối 
của y khi x thay đổi tương đối 1%. Kí hiệu hệ số co giãn tức thời là yx 0(x )ε . 
Nhận xét: 
* Độ co giãn của cầu là tỉ lệ giữa phần trăm thay đổi của lượng cầu và phần trăm thay 
đổi của giá. 
DE = % thay đổi lượng cầu / % thay đổi về giá = 
% Q
% P
∆
∆
Vậy Độ co giãn tức thời của cầu là 
D
p
*f '(p)
f (p)ε = 
Ví dụ 109. Cho phương trình đường cầu x = f(p) = 500(20 - p) 
a/ Tìm phương trình của độ co giãn cầu tức thời Dε . 
b/ Tìm Dε tại p = 4$, P = 16$ và p = 10$. Giải thích ý nghĩa. 
Giải. 
D
D
p p
a) *f '(p) *( 500)
f (p) 500(20 p)
p
20 p
ε = = −
−
−
ε =
−
Vì D
0
p 20
p 0
ε < ⇒ ≤
 ≥
D
D
D
b) (4) .025
(16) 4
(10) 1
ε = −
ε = −
ε = −
Ở mức giá p = 4 nếu giá p tăng 1% thì lượng sản phẩm giảm 0.25% 
Ở mức giá p = 6 nếu giá p tăng 1% thì lượng sản phẩm giảm 4% 
Ở mức giá p = 10 nếu giá p tăng 1% thì lượng sản phẩm giảm 1% 
Kết luận: Cho phương trình cầu: x = f(p). Độ giãn tức thời của cầu là: 
D D
p( 1) *f '(p) và 0
f (p)ε = − ε ≤ 
 + Nếu D1 0− ≤ ε ≤ Cầu không (hoặc ít) co giãn ( theo giá) 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
58 
 + Nếu Dε < -1 Cầu co giãn theo giá 
 + Nếu Dε = -1 Cầu có độ co giãn đơn vị 
Ví dụ 110. Tìm độ co giãn của cầu khi giá là 12 và hàm cầu là p=60-3q 
Ví dụ 111. Tìm độ co giãn của cầu khi số lượng sản phẩm là 8 và hàm cầu là 
q =60- 2p0.5 
3. Tối ưu hóa các hàm kinh tế 
a) Toán học 
Định lý 1 ( điều kiện cần) 
Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại xo và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(xo)=0 
Định lý 2.1 ( điều kiện đủ thứ nhất) 
Cho f xác định tại xo và khả vị trong lân cận của xo. Khi qua xo 
i) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại xo 
ii) Nếu f’’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại xo 
iii) Nếu f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại xo. 
Định lý 2.1 ( điều kiện đủ thứ hai) 
Cho 
i) f khả vi đến cấp (n-1) trong lân cận của xo 
ii) tồn tại fn(xo) 
iii) f’(xo)=f’’(xo)==fn-1(xo)=0, n of (x ) 0≠ 
Khi đó 
a) Nếu n lẻ, f(x) không đạt cực trị tại xo 
b) Nếu n chẵn và fn(xo) >0 thì f(x) đạt cực tiểu tại xo 
b) Nếu n chẵn và fn(xo) <0 thì f(x) đạt cực đại tại xo 
Bài toán 1:( Tìm sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa) 
Giả thiết: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm với hàm cầu là 
DQ D(P)= 
QD: lượng hàng cầu 
P: giá bán 
Và hàm tổng chi phí là 
TC=TC(Q) 
Q là tổng sản lượng sản xuất trong một đơn vị thời gian 
Kết luận: Tìm mức sản lượng Q để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
59 
Lược đồ giải: 
D
1
Q Q D(P)
P D (Q) P(Q)−
= =
⇒ = =
Tổng doanh thu của xí nghiệp 
TR(Q)=P(Q)*Q 
Lợi nhuận của xí nghiệp 
max(Q) TR(Q) TC(Q) (Q)
'(Q) TR '(Q) TC'(Q) 0
MR(Q) MC(Q) 0
*MR(Q) MC(Q)
pi = − ⇒ pi
⇔ pi = − =
⇔ − =
=
Bài toán 2: (Bài toán đánh thuế doanh thu) 
Giả thiết: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm với hàm cầu là 
DQ D(P)= 
Và hàm tổng chi phí là 
TC=TC(Q) 
Kết luận: Tìm mức thuế trên 1 đơn vị sản phẩm để nhà nước thu được của xí nghiệp 
nhiều thuế nhất 
Lược đồ giải: 
D
1
Q Q D(P)
P D (Q) P(Q)−
= =
⇒ = =
Tổng doanh thu của xí nghiệp 
TR(Q)=P(Q)*Q 
Thuế của xí nghiệp phải trả 
T=Q*t 
Lợi nhuận của xí nghiệp 
(Q) TR(Q) TC(Q) Tpi = − − 
Để max(Q)pi thì ta sẽ tìm được một mức sản lượng Q phụ thuộc vào t: Q(t) 
Với mức sản lượng để max(Q)pi ta có thể tìm được T=Q(t)*t. 
Nhận xét: Q(t) là một hàm giảm theo t và mức thuế xác định trên rất cao. Với mức 
thuế như vậy nên xí nghiệp sẽ sản xuất cầm chừng , không tận dụng hết khả năng sản 
xuất của họ. Do đó sẽ dẫn đến thất nghiệp,.. Vì lý do đó nhà nước thường định ở mức 
thuế nhập khẩu thấp hơn để khuyến khích sản xuất. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
60 
Bài toán 3: (Đinh mức thuế nhập khẩu) 
Giả thiết: Cho hàm cung và hàm cầu về 1 loại sản phẩm cho thị trường nội địa 
S DQ S(P) và Q D(P)= = 
Giá bán sản phẩm trên thị trường quốc tế với chi phí nhập khẩu( chưa kể thuế) là 
0P P< ( tại điểm cân bằng của thị trường nội địa). Một công ty được độc quyền nhập 
loại hàng trên và khối lượng nhập khẩu không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường 
quốc tế. 
Kết luận: Tìm t để mức thuế trên 1 sản phẩm thu được của công ty là nhiều nhất 
Lược đồ giải: 
Gọi t là mức thuế nhập khẩu ( t >0 và 0P t P+ < ) 
Gọi P là giá bán của công ty suy ra 0P P t P P− + < < 
Lượng hàng nhập về tương ứng với P sẽ là Q sao cho 
Q + S(P) = D(P) Q=D(P)-S(P)⇔ 
Lợi nhuận của xí nghiệp 
[ ] [ ] [ ]
[ ]
(P) TR(P) TC(P) T
P D(P) S(P) D(P) S(P) P D(P) S(P) t
(P P t) D(P) S(P)
pi = − −
= − − − − −
= − − −
Đây là hàm theo giá P. Vậy P tìm được để max(P)pi là một hàm phụ thuộc t 
Với mức giá P(t) này ta có sẽ tìm được T = t*[D(P(t) – S(P(t))] 
Bài toán 4: (Đinh mức thuế xuất khẩu) (SGK) 
Ví dụ 112. Hàm sản xuất trong một thời gian ngắn của công ty là Q = 6L2 – 0.2L3, ở 
đây L biểu thị số lượng công nhân. 
a) Xác định số lượng công nhân cần thiết để hàm sản xuất đạt giá trị max và vẽ đồ thị 
của hàm sản xuất này 
b) Xác định số lượng công nhân cần thiết để hàm sản xuất trung bình max. Tính MPL 
và APL ở giá trị L max. Bạn có nhận xét gì về MPL và APL?. 
Giải: 
a/ Q = 6L2 – 0.2L3
ta có 2dQ 12L 0.6L 0 L 0or L=20
dL
= − = ⇔ = 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
61 
2
2
d Q 12 1.2L
dL
= − . Khi L =0 thì 
2
2
d Q 12 0
dL
= > . Vậy hàm sản xuất có giá trị cực tiểu tại 
L=0 giá trị của hàm sản xuất lúc này là Q =0 
Khi L =20 thì 
2
2
d Q 12 0
dL
= − < . Vậy hàm sản xuất đạt cực đại tại L =20, giá trị của hàm 
sản xuất lúc này là Qmax= 800. 
b/ Hàm sản xuất trung bình L
QAP
L
= . Vậy hàm sản xuất 
2 3
L
6L 0.2LAP
L
−
= 
APL(max)=45. Mà ta có MPL= 12L – 0.6L2 , khi L =15 MPL= 45 
Kết luận: MPL= APL 
Ví dụ 113. Hàm cung của một mặt hàng có dạng như sau 
P + Q =30 
Và hàm chi phí là TC = ½ Q2 6Q +7 
a/ Tìm sản lượng sản xuất ra để tổng doanh thu TR là max 
b/ Tìm sản lượng sản xuất để lợi nhuận là cực đại. Tính MR và MC ở giá trị Q. Bạn có 
nhận xét điều gì?. 
Giải: 
a/ TR =PQ suy ra TR = (30 –Q)Q =30Q – Q2 . TRmax khi Q =15 
b/ TR TCpi = − . Từ câu a ta có TR= 30Q – Q2, TC = ½ Q2 6Q +7. Suy ra 
3 Q 24Q 7
2
pi = − + − . 
Kết luận: MR = MC. 
Ví dụ 114. Giá xây dựng cao ốc văn phòng gồm x tầng được chia làm 3 thành phần 
sau: 
a/ $10 triệu USD cho tiền mua đất 
b/ 1
4
 triệu USD $ mỗi tầng 
c/ chi phí thiết kế cho mỗi tầng là 10 000x $. 
Hỏi có bao nhiêu tầng trong tòa nhà này sẽ được xây dựng để chi phí trung bình cho 
mỗi tầng là min?. 
Giải: 
Chi phí 10 triệu USD để xây dựng mỗi tầng là cố định 
Mỗi tầng có giá là 250000 $. Vậy nếu xây dựng x tầng thì số tiền sẽ là 250000x. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 
62 
Chi phí mỗi tầng phải là 10000x$. Vậy nếu xây dựng x tầng thì số tiền là 10000x2.. 
Tổng chi phí TC =10 000 000 + 250 000x+ 10 000x2. 
Chi phí trung bình cho mỗi tầng là AC = TC
x
. 
Ta ra được kết quả là chỉ nên thiết kế 32 tầng thôi. 
Ví dụ 115. Cho hàm cung và hàm cầu như sau 
P = QS + 8 
P = -3QD + 80 
Chính phủ quyết định đánh thuế là t$ cho mỗi đơn vị sản phẩm. Tìm t để tổng doanh 
thu về thuế của chính phủ là max giả sử rằng điều kiện cân bằng của thị trường là xảy 
ra trong thị trường. 
Giải: 
P – t = QS + 8 
P = -3QD + 80 
Thị trường cân bằng khi cung và cầu gặp nhau Q =18 - 1 t
4
Tổng doanh thu về thuế của chính phủ là T =tQ = t (18 - 1 t
4
) 
Tính ra được t =36$ 
Ví dụ 116. Hàm sản xuất trong một thời gian ngắn được cho bởi 
Q = L2e-0.01L 
Tìm giá trị của L mà hàm sản xuất trung bình max. 
Ví dụ 117. Một công ty ước lượng tổng doanh thu từ việc bán Q sản phẩm được cho 
bởi TR= ln(1 + 1000Q2 ) 
Tính toán doanh thu biên khi Q =10. 
Ví dụ 118. Tìm lợi nhuận cực đại với hàm tổng chi phí là 
2 31TC 4 97q 8.5q q
3
= + − + 
Và hàm tổng doanh thu là 
2TR 58q 0.5q= − 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -