Giáo trình Olympic sinh viên môn đại số - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Chứng minh rằng
∞∫
−∞
e−x
T Axdx = (
√
pi)n|A|−1/2,
Bài tập 4.5. Chứng minh rằng nếu hạng của một ma trận đối xứng (Hermitian) bằng r
thì nó có r định thức con chính khác 0.
Bài tập 4.6. Cho S là một ma trận đối xứng khả nghịch cấp n có tất cả các phần tử đều
dương. Hỏi phần tử lớn nhất khác 0 có thể của ma trận S−1 bằng bao nhiêu?
2. Ma trận phản xứng 47
§2. MA TRẬN PHẢN XỨNG
2.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.8. Ma trận thực A được gọi là phản xứng nếu AT = −A.
Chú ý rằng ma trận phản xứng cấp n lẻ có định thức bằng 0.
Định lý 4.9. Nếu A là một ma trận phản xứng thì A2 là một ma trận đối xứng, xác định
không dương.
Hệ quả 4.10. Các trị riêng khác 0 của ma trận phản xứng là thuần ảo.
Định lý 4.11. Điều kiện xT Ax = 0 thỏa mãn với mọi x khi vào chỉ khi A là một ma trận
phản xứng.
Bổ đề 4.12. Hạng của một ma trận phản xứng là một số chẵn.
Định nghĩa 4.13. Toán tử tuyến tính A trên không gian Euclidean được gọi là phản xứng
nếu ma trận của nó trong một cơ sở trực chuẩn nào đó là phản xứng.
Định lý 4.14. Đặt Λi =
(
0 −λi
λi 0
)
. Với mọi toán tử tuyến tính phản xứng A, tồn tại một
cơ sở trực chuẩn sao cho ma trận của nó trong cơ sở trực chuẩn đó có dạng
diag(Λ1, Λ2, . . . , Λk, 0, . . . , 0).
2.2 Bài tập
Bài tập 4.7. Chứng minh rằng nếu A là một ma trận phản xứng thì I + A là một ma trận
khả nghịch.
Bài tập 4.8. Cho A là một ma trận phản xứng, khả nghịch. Chứng minh rằng A−1 cũng
là một ma trận phản xứng.
Bài tập 4.9. Chứng minh rằng mọi nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận AB, ở đó
A và B là các ma trận phản xứng cấp 2n, đều có bội lớn hơn 1.
48 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§3. MA TRẬN TRỰC GIAO - PHÉP BIẾN ĐỔI CAYLEY
3.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.15. Ma trận thực A được gọi là trực giao, nếu AAT = I.
Nhận xét rằng nếu A là một ma trận trực giao, thì các hàng (và các cột) của nó là một hệ
trực chuẩn. Hơn nữa, ma trận A trực giao khi và chỉ khi (Ax, Ay) = (x, y) với mọi x, y.
Nếu A là một ma trận trực giao, thì nó cũng là một ma trận unita, do đó các trị riêng
của nó có giá trị tuyệt đối bằng 1.
Các trị riêng của ma trận trực giao nằm trên vòng tròn đơn vị có tâm là gốc tọa độ, các
trị riêng của ma trận phản xứng nằm trên trục ảo. Trong giải tích phức, phép biến đổi
f (z) = 1−z1+z biến vòng tròn đơn vị thành trục ảo và f ( f (z)) = z, vì thế, chúng ta hy vọng
rằng phép biến đổi
f (A) = (I − A)(I + A)−1
sẽ biến một ma trận trực giao thành ma trận phản xứng. Phép biến đổi này được gọi là
phép biến đổi Cayley. Đặt A# = (I − A)(I + A)−1, dễ dàng thấy rằng (A#)# = A.
Định lý 4.16. Phép biến đổi Cayley biến mọi ma trận phản xứng thành ma trận trực giao
và biến mọi ma trận trực giao A với |A + I| 6= 0 thành ma trận phản xứng.
Định lý 4.17 (Hsu, 1953). Với mọi ma trận vuông A, tồn tại ma trận J = diag(±1, . . . ,±1)
sao cho |A + J| 6= 0.
3.2 Bài tập
Bài tập 4.10. Chứng minh rằng nếu p(λ) là đa thức đặc trưng của một ma trận trực giao
vuông cấp n thì
λn p(λ−1) = ±p(λ).
Bài tập 4.11. Chứng minh rằng mọi ma trận unita cấp 2 với định thức bằng 1 đều có
dạng
(
u v
−v¯ u¯
)
, ở đó |u|2 + |v|2 = 1.
Bài tập 4.12. Cho A là một ma trận trực giao vuông cấp 3 và có định thức bằng 1. Chứng
minh rằng
a) (tr A)2 − tr(A)2 = 2 tr A.
b) (∑
i
aii − 1)2 + ∑
i<j
(aij − aji)2 = 4.
3. Ma trận trực giao - Phép biến đổi Cayley 49
Bài tập 4.13. Cho J là một ma trận khả nghịch. Ma trận A được gọi là J- trực giao nếu
AT JA = J và J-phản xứng nếu AT J = −JA. Chứng minh rằng phép biến đổi Cayley biến
một ma trận J- trực giao thành một ma trận J- phản xứng và ngược lại.
Bài tập 4.14 (Djokovíc, 1971). Giả sử tất cả các giá trị tuyệt đối của các trị riêng của
ma trận A bằng 1 và |Ax| ≤ |x| với mọi x. Chứng minh rằng A là một toán tử unita.
Bài tập 4.15 (Zassenhaus, 1961). Một toán tử unita U biến véctơ khác không x thành
véctơ Ux trực giao với x. Chứng minh rằng mọi cung của vòng tròn đơn vị chứa tất cả các
trị riêng của U có độ dài không nhỏ hơn pi.
50 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§4. MA TRẬN CHUẨN TẮC
4.1 Các định nghĩa và tính chất
Toán tử tuyến tính A trên C được gọi là chuẩn tắc, nếu A∗A = AA∗. Ma trận của một
toán tử chuẩn tắc trong một cơ sở trực chuẩn được gọi là ma trận chuẩn tắc. Hiển nhiên
nếu A là ma trận chuẩn tắc thì A∗A = AA∗.
Định lý 4.18. Các điều kiện sau là tương đương:
1. A là ma trận chuẩn tắc,
2. A = B + iC, ở đó B, C là các ma trận Hermitian giao hoán,
3. A = UΛU∗, ở đó U là ma trận unita và Λ là ma trận đường chéo.
4.
n
∑
i=1
|λ2i | =
n
∑
i,j=1
|a2ij|, ở đó λ1, . . . , λn là các trị riêng của A.
Định lý 4.19. Nếu A là một ma trận chuẩn tắc, thì KerA∗ = KerA và Im A∗ = Im A.
Hệ quả 4.20. Nếu A là một ma trận chuẩn tắc, thì
V = KerA +⊕(KerA)⊥ = KerA⊕ Im A
Định lý 4.21. Ma trận A là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi véctơ riêng của A cũng là véctơ
riêng của A∗.
Định lý 4.22. Nếu ma trận A là chuẩn tắc, thì A∗ có thể biểu diễn dưới dạng như là một
đa thức của A.
Hệ quả 4.23. Nếu A và B là các ma trận chuẩn tắc và AB = BA thì A∗B = BA∗ và
AB∗ = B∗A, nói riêng AB cũng là một ma trận chuẩn tắc.
4.2 Bài tập
Bài tập 4.16. Cho A là một ma trận chuẩn tắc. Chứng ming rằng tồn tại ma trận chuẩn
tắc B sao cho A = B2.
Bài tập 4.17. Cho A và B là các toán tử chuẩn tắc sao cho Im A ⊥ Im B. Chứng minh rằng
A + B là một toán tử chuẩn tắc.
Bài tập 4.18. Chứng minh rằng ma trận A là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu A∗ = AU, ở đó U
là ma trận unita.
4. Ma trận chuẩn tắc 51
Bài tập 4.19. Chứng minh rằng nếu A là một toán tử chuẩn tắc và A = SU là biểu diễn
trong tọa độ cực của nó thì SU = US.
Bài tập 4.20. Cho A, B và AB là các ma trận chuẩn tắc. Chứng minh rằng BA cũng là
một ma trận chuẩn tắc.
52 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§5. MA TRẬN LUỸ LINH
5.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.24. Ma trận A vuông cấp n được gọi là luỹ linh nếu tồn tại số nguyên k sao
cho Ak = 0. Nếu có thêm Ak−1 6= 0 thì k được gọi là bậc lũy linh của ma trận A.
Định lý 4.25. Bậc luỹ linh của một ma trận lũy linh bằng cấp cao nhất của các khối
Jordan của nó.
Định lý 4.26. Cho A là ma trận luỹ linh, vuông cấp n. Khi đó An = 0.
Định lý 4.27. Đa thức đặc trưng của một ma trận vuông cấp n lũy linh bằng λn.
Định lý 4.28. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng A lũy linh khi và chỉ
khi tr(Ap) = 0 với mọi p = 1, 2, . . . , n.
Định lý 4.29. Cho A : V → V là một toán tử tuyến tính và W là một không gian con bất
biến của V. Đặt A1 : W → W và A2 : V/W → V/W là các toán tử cảm sinh bởi toán tử A.
Chứng minh rằng nếu A1 và A2 là lũy linh thì A cũng là lũy linh.
5.2 Bài tập
Bài tập 4.21. A là ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu tất cả giá trị riêng của A đều bằng 0.
Bài tập 4.22. Chứng minh rằng nếu A là ma trận lũy linh thì I − A là ma trận khả
nghịch.
Chứng minh. Ta có
I = I − Ak = (I − A)(I + A + A2 + . . . + Ak−1)
Bài tập 4.23. Chứngminh rằng với mọi ma trận vuông A luôn có thể phân tích A = B+C
với C là một ma trận lũy linh và B là ma trận chéo hóa được và BC = CB.
Bài tập 4.24. Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn B là ma trận lũy linh
và AB = BA. Chứng minh rằng det(A + B) = det A
Bài tập 4.25. Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A2008 = I; B2009 = 0 và
AB + 4A + 2009B = 0. Chứng minh rằng (A + B) là ma trận không suy biến.
5. Ma trận luỹ linh 53
Bài tập 4.26. (2000) Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 =
0; B2000 = 0 và AB = BA. Chứng minh rằng (A + B + I) khả nghịch.
Chứng minh. Nhận xét rằng (A + B)3999 = 0 nên (A + B) là ma trận luỹ linh, suy ra điều
phải chứng minh.
Bài tập 4.27. Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A1999 = I; B2000 = I và
AB = BA. Chứng minh rằng (A + B + I) khả nghịch.
Chứng minh. Giả sử (A + B + I) suy biến. Khi đó tồn tại vecto X khác 0 sao cho (A + B +
I)X = 0. Hay (A+ I)X = −BX suy ra (A+ I)1999X = −B1999X = −X, suy ra ((A+ I)1999 +
I)X = 0. Theo gỉa thiết (A2000 − I)x = 0.
Ta sẽ chứng minh hai đa thức (x + 1)1999 + 1 và x2000 − 1 là nguyên tố cùng nhau. Thậy
vậy, giả sử chúng có nghiệm chung là z. Khi đó (z + 1)1999 = −1 và z2000 = 1. Từ đó suy ra
môđun của z và (z + 1) đều là 1. Do đó, arg z = ± 2pi3 và
z2000 = cos
±4000pi
3
+ sin
±4000pi
3
= cos
±4pi
3
+ sin
±4pi
3
6= 1
Vậy tồn tại các đa thức P(x) và Q(x) để P(x)[(x + 1)1999 + 1] + Q(x)(x2000 − 1) = 1
Từ đó suy ra [P(A)[(A + 1)1999 + 1] + Q(A)(A2000− I)]X = X hay X = 0, mâu thuẫn với
việc chọn X. Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài tập 4.28. (IMC) Cho hai ma trận vuông cấp n, A và B. Giả sử tồn tại (n + 1) số
t1, t2, . . . , tn phân biệt sao cho các ma trận Ci = A + tiB là các ma trận lỹ linh với mọi
i = 1, ..., n + 1. Chứng minh rằng A và B cũng là các ma trận lũy linh
Bài tập 4.29. Tìm các ma trận A, B sao cho λA + µB là luỹ linh với mọi λ, µ nhưng không
tồn tại ma trận P sao cho P−1AP và P−1BP là các ma trận tam giác.
54 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§6. TOÁN TỬ CHIẾU - MA TRẬN LŨY ĐẲNG
6.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.30. Toán tử P được gọi là toán tử chiếu (hay luỹ đẳng) nếu P2 = P.
Định lý 4.31. Tồn tại một cơ sở của không gian sao cho ma trận của toán tử chiếu có dạng
diag(1, . . . , 1, 0, . . . , 0).
Hệ quả 4.32. Có một tương ứng 1-1 giữa toán tử chiếu và phân tích V = W1 ⊕W2 của
không gian V. Nói rõ hơn, với mỗi phân tích V = W1 ⊕W2, tồn tại toán tử chiếu P thỏa
mãn P(w1 + w2) = w1; và ngược lại, với mỗi toán tử chiếu P có một phân tích tương ứng
V = Im P⊕KerP.
Toán tử P khi đó có thể được gọi là toán tử chiếu lên W1 theo hướng W2.
Hệ quả 4.33. Nếu P là toán tử chiếu thì rank P = tr P.
Hệ quả 4.34. Nếu P là toán tử chiếu thì I − P cũng là một toán tử chiếu, hơn nữa Ker(I −
P) = Im P và Im(I − P) = KerP.
Định lý 4.35. Toán tử chiếu P là Hermitian nếu và chỉ nếu Im P ⊥ KerP.
Định lý 4.36. Toán tử chiếu P là Hermitian nếu và chỉ nếu |Px| ≤ x với mọi x.
Các toán tử chiếu Hermitian P và Q được gọi là trực giao nếu Im P ⊥ Im Q, nghĩa là
PQ = QP = 0.
Định lý 4.37. Cho P1, . . . , Pn là các toán tử chiếu Hermitian. Khi đó toán tử P = P1 + . . .+
Pn là toán tử chiếu nếu và chỉ nếu PiPj = 0 với mọi i 6= j.
Định lý 4.38 (Djokovíc, 1971). Cho V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk, ở đó Vi 6= 0 với mọi i = 1, . . . , k.
Đặt Pi : V → Vi là các phép chiếu trực giao và A = P1 + . . . + Pk. Khi đó 0 ≤ |A| ≤ 1, và
|A| = 1 nếu và chỉ nếu Vi ⊥ Vj với mọi i 6= j.
6.2 Bài tập
Bài tập 4.30. Cho P là một toán tử chiếu và V = Im P ⊕ KerP. Chứng minh rằng nếu
Im P ⊥ KerP thì Pv là hình chiếu trực giao của v lên Im P.
Bài tập 4.31. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng các điều kiện sau là
tương đương
6. Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng 55
a. A là ma trận lũy đẳng.
b. Cn = Im A + KerA với Ax = x với mọi x ∈ Im A.
c. KerA = Im(I − A)
d. rank(A) + rank(I − A) = n
e. Im(A) ∩ Im(I − A) = {0}
Bài tập 4.32. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng A là lũy đẳng khi và
chỉ khi rank(A) = tr(A) và rank(I − A) = tr(I − A).
Bài tập 4.33. Cho P1 và P2 là các toán tử chiếu. Chứng minh rằng
1. P1 + P2 là toán tử chiếu khi và chỉ khi P1P2 = P2P1 = 0.
2. P1 − P2 là toán tử chiếu khi và chỉ khi P1P2 = P2P1 = P2.
Bài tập 4.34 (Định lý ergodic). Cho A là ma trận unita. Chứng minh rằng
lim
n→∞
1
n
n−1
∑
i=0
Aix = Px,
ở đó P là một phép chiếu Hermitian lên Ker(A− I).
Bài tập 4.35. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng nếu AB = A và
BA = B thì A, B là các ma trận lũy đẳng.
Bài tập 4.36. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n, lũy đẳng. Tìm điều kiện cần và đủ
để (A + B) là ma trận lũy đẳng.
Bài tập 4.37. Cho A là ma trận lũy đẳng. Chứng minh rằng (A + I)k = I + (2k − 1)A với
mọi k ∈ N.
Bài tập 4.38. (OL) Cho A, B là các ma trận cùng cấp, lũy đẳng và AB + BA = 0. Tính
det(A− B).
Bài tập 4.39. Cho A, B là các ma trận cùng cấp, lũy đẳng và I− (A+ B) khả nghịch. CMR
tr(A) = tr(B).
Bài tập 4.40. Cho A1, A2, . . . , Ak là các toán tử tuyến tính trên không gian véctơ n chiều
V sao cho A1 + A2 + . . . + Ak = I. Chứng minh rằng nếu các điều kiện sau là tương đương
1. A1, . . . , Ak là các toán tử chiếu.
56 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
2. Ai Aj = 0 với mọi i 6= j.
3. rank A1 + . . . + rank Ak = n.
Bài tập 4.41. Cho A1, A2, . . . , Ak là các ma trận lũy đẳng. Chứng minh rằng nếu A1 +
A2 + . . . + Ak = I thì Ai Aj = 0 với mọi i 6= j.
7. Ma trận đối hợp 57
§7. MA TRẬN ĐỐI HỢP
Định nghĩa 4.39. Toán tử tuyến tính (hoặc ma trận) A được gọi là đối hợp nếu A2 = I.
Dễ dàng kiểm chứng rằng P là ma trận lũy đẳng nếu và chỉ nếu 2P− I là ma trận đối hợp.
Định lý 4.40. Tồn tại một cơ sở của không gian sao cho ma trận của toán tử đối hợp có
dạng diag(±1, . . . ,±1).
Chú ý 4.41. Nếu A là toán tử đối hợp thì V = Ker(A + I)⊕Ker(A− I).
Định lý 4.42 (Djokovíc, 1967). Ma trận A có thể biểu diễn được dưới dạng tích của 2 ma
trận đối hợp nếu và chỉ nếu các ma trận A và A−1 là đồng dạng.
Hệ quả 4.43. Nếu B là một ma trận khả nghịch sao cho XT BX = B thì X có thể biểu diễn
được dưới dạng tích của 2 ma trận đối hợp. Nói riêng, mọi ma trận trực giao đều có thể
biểu diễn được dưới dạng tích của 2 ma trận đối hợp.
Bài tập 4.42. Chứng minh rằng A là ma trận đối hợp nếu và chỉ nếu 12(I + A) là ma trận
lũy đẳng.
58 Chương 4. Các ma trận có dạng đặc biệt
§8. MA TRẬN HOÁN VỊ (HAY CÒN GỌI LÀ MA TRẬN GIAO
HOÁN)
8.1 Định nghĩa
Định nghĩa 4.44. Ma trận hoán vị là ma trận có dạng C =


c0 c1 c2 . . . cn−1
cn−1 c0 c1 . . . cn−2
cn−2 cn−1 c0 . . . cn−3
... ... ... . . . ...
c1 c2 c3 . . . c0


Ma trận P =


0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
... ... ... . . . ...
0 0 0
. . . 1
1 0 0 . . . 0


được gọi là ma trận hoán vị cơ sở.
8.2 Bài tập
Bài tập 4.43. Chứng minh rằng Pn = I; PT = P−1. Tìm các giá trị riêng của P.
Bài tập 4.44. Cho f (x) = c0 + c1x + ... + cn−1xn−1. Chứng minh rằng
a. C = f (P)
b. Các giá trị riêng của C là f (ωk), k = 0, 1, ..., n− 1. với ω là căn bậc n của 1.
c. det C =
n−1
∏
i=0
f (ωi)
Bài tập 4.45. Cho A, B là các ma trận hoán vị. Chứng minh rằng A và B giao hoán và AB
cũng là một ma trận hoán vị.
Bài tập 4.46. Cho A là một ma trận hoán vị. Chứng minh rằng rank(Ak) = rank(A) với
mọi k.
CHƯƠNG5
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN
§1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHO MA TRẬN ĐỐI XỨNG VÀ
HERMITIAN
1.1 Các định lý cơ bản
Định nghĩa 5.1. Cho A, B là các ma trận Hermitian. Ta viết A > B (tương ứng A ≥ B)
nếu A− B là ma trận xác định dương (tương ứng xác định không âm).
Định lý 5.2. Nếu A > B > 0 thì A−1 < B−1.
Định lý 5.3. Nếu A > 0 thì A + A−1 ≥ 2I.
Định lý 5.4. Nếu A là ma trận thực và A > 0 thì
(A−1x, x) = max
y
(2(x, y)− (Ay, y)).
Định lý 5.5. Cho A =
(
A1 B
B∗ A2
)
> 0. Khi đó det A ≤ det A1 det A2.
Hệ quả 5.6 (Bất đẳng thức Hadamard). Nếu A = (aij) là ma trận xác định dương, thì
det A ≤ a11a22 . . . ann và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A là ma trận đường chéo.
Hệ quả 5.7. Nếu X là một ma trận bất kì, thì
|det X| ≤ ∑
i
|x1i|2 . . . |xni|2.
59
60 Chương 5. Các bất đẳng thức ma trận
Định lý 5.8. Cho A =
(
A1 B
B∗ A2
)
> 0 là ma trận xác định dương, ở đó B là một ma trận
vuông. Khi đó |det B|2 ≤ det A1 det A2.
Định lý 5.9. Cho αi > 0, ∑ αi = 1 và Ai > 0. Khi đó
|α1A1 + . . . + αk Ak| ≥ |A1|α1 . . . |Ak|αk .
Định lý 5.10. Cho λi là các số phức bất kì và Ai ≥ 0. Khi đó
|det(λ1 A1 + . . . + λk Ak)| ≤ det(|λ1|A1 + . . . + |λk|Ak).
Định lý 5.11. Cho A và B là các ma trận thực xác định dương, và A1, B1 là các ma trận
thu được từ ma trận A, B tương ứng bằng cách xóa đi các hàng đầu tiên và cột đầu tiên
của nó. Khi đó |A + B|
|A1 + B1| ≥
|A|
|A1| +
|B|
|B1|
1.2 Bài tập
Bài tập 5.1. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n > 1, ở đó A > 0 và B ≥ 0. Chứng
minh rằng |A + B| ≥ |A|+ |B| và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B = 0.
Bài tập 5.2. Cho A và B là các ma trận Hermitian và A > 0. Chứng minh rằng det A ≤
|det(A + iB)| và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B = 0.
Bài tập 5.3. Cho Ak và Bk là các ma trận con cấp k ở phía trên, góc trái của các ma trận
xác định dương A và B sao cho A > B. Chứng minh rằng
|Ak| > |Bk|.
Bài tập 5.4. Cho A và B là các ma trận thực đối xứng và A ≥ 0. Chứng minh rằng nếu
C = A + iB là ma trận không khả nghịch, thì Cx = 0 với x là một véctơ thực khác 0 nào
đó.
Bài tập 5.5. Cho A là ma trận vuông cấp n và A > 0. Chứng minh rằng
|A|1/n = min 1
n
tr(AB),
ở đó giá trị nhỏ nhất được lấy trên tất cả các ma trận B xác định dương có định thức bằng
1.
Bài tập 5.6. Cho A là ma trận thực đối xứng xác định dương. Chứng minh rằng
det


0 x1 . . . xn
x1
...
xn
A

 ≤ 0
2. Các bất đẳng thức cho trị riêng 61
§2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHO TRỊ RIÊNG
2.1 Các bất đẳng thức cơ bản
Định lý 5.12 (Bất đẳng thức Schur). Cho λ1, . . . , λn là các trị riêng của ma trận A =
(aij)
n
1 . Khi đó
n
∑
i=1
|λi|2 ≤
n
∑
i,j=1
|aij|2,
và dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu A là một ma trận chuẩn tắc.
Định lý 5.13. Cho λ1, . . . , λn là các trị riêng của ma trận A = B + iC, ở đó B và C là các
ma trận Hermitian. Khi đó
n
∑
i=1
|Re λi|2 ≤
n
∑
i,j=1
|bij|2 và
n
∑
i=1
| Im λi|2 ≤
n
∑
i,j=1
|cij|2.
Định lý 5.14 (H. Weyl). Cho A và B là các ma trận Hermitian, C = A + B. Cho các trị
riêng của các ma trận trên được xếp theo thứ tự tăng dần lần lượt là α1 ≤ . . . ≤ αn,
β1 ≤ . . . ≤ βn, γ1 ≤ . . . ≤ γn. Khi đó
a) γi ≥ αj + βi−j+1 với i ≥ j,
b) γi ≤ αj + βi−j+n với i ≤ j.
Định lý 5.15. Cho A =
(
B C
C∗ D
)
là một ma trận Hermitian. Giả sử các trị riêng của A
và B được xếp theo thứ tự tăng dần sau: α1 ≤ . . . ≤ αn, β1 ≤ . . . ≤ βm. Khi đó
αi ≤ β j ≤ αi+n−m.
Định lý 5.16. Cho A và B là các phép chiếu Hermitian, nghĩa là A2 = A và B2 = B. Khi
đó các trị riêng của AB là thực và nằm trong khoảng [0, 1].
Định nghĩa 5.17. Các giá trị σi =
√
µi, ở đó µi là các trị riêng của ma trận A∗A, được gọi
là các giá trị kì dị của ma trận A.
Chú ý 5.18. Nếu A là một ma trận Hermitian xác định không âm thì các giá trị kì dị của
A và các trị riêng của A là trùng nhau. Nếu A = SU là phân tích trong tọa độ cực của
A, thì các giá trị kì dị của A trùng với các trị riêng của ma trận S. Với ma trận S, tồn tại
một ma trận unita V sao cho S = VΛV∗, ở đó Λ là ma trận đường chéo. Do đó, mọi ma
trận A có thể được biểu diễn dưới dạng A = VΛW, ở đó V và W là các ma trận unita và
Λ = diag(σ1, . . . , σn).
62 Chương 5. Các bất đẳng thức ma trận
Định lý 5.19. Cho σ1, . . . , σn là các giá trị kì dị của ma trận A, ở đó σ1 ≥ . . . ≥ σn, và đặt
λ1, . . . , λn là các trị riêng của ma trận A, với |λ1| ≥ . . . ≥ |λn|. Khi đó
|λ1 . . . λm| ≤ σ1 . . . σm với m ≤ n.
Định lý 5.20. Cho σ1 ≥ . . . ≥ σn là các giá trị kì dị của ma trận A và đặt τ1 ≥ . . . ≥ τn là
các giá trị kì dị của ma trận B. Khi đó
| tr(AB)| ≤
n
∑
i=1
σiτi.
2.2 Bài tập
Bài tập 5.7 (Gershgorin discs). Chứng minh rằng mọi trị riêng của ma trận (aij)n1 nằm
trong một trong các đĩa sau |akk − z| ≤ ρk, ở đó ρk = ∑
i 6=j
|akj|.
Bài tập 5.8. Chứng minh rằng nếu U là một ma trận unita và S ≥ 0, thì | tr(US)| ≤ tr S.
Bài tập 5.9. Chứng minh rằng nếu A và B là các ma trận xác định không âm, thì
| tr(AB)| ≤ tr A. tr B.
Bài tập 5.10. Cho A và B là các ma trận Hermitian. Chứng minh rằng
tr(AB)2 ≤ tr(A2B2).
Bài tập 5.11 (Cullen, 1965). Chứng minh rằng lim
k→∞
Ak = 0 nếu và chỉ nếu một trong các
điều kiện sau được thỏa mãn:
a) giá trị tuyệt đối của các trị riêng của A nhỏ hơn 1;
b) tồn tại một ma trận xác định dương H sao cho H − A∗HA > 0.
Giá trị kì dị
Bài tập 5.12. Chứng minh rằng nếu tất cả các giá trị kì dị của ma trận A là bằng nhau,
thì A = λU, ở đó U là một ma trân unita.
Bài tập 5.13. Chứng minh rằng nếu các giá trị kì dị của ma trận A bằng σ1, . . . , σn, thì
các giá trị kì dị của ma trận adj A bằng Πi 6=1σi, . . . , Πi 6=nσi.
Bài tập 5.14. Cho σ1, . . . , σn là các giá trị kì dị của ma trận A. Chứng minh rằng các trị
riêng của ma trận
(
0 A
A∗ 0
)
bằng σ1, . . . , σ, − σ1, . . . , σn.
CHƯƠNG6
ĐA THỨC
63