Giáo trình Toán kinh tế (Phần 1)

 ta gặp trong làng bị bệnh bạch tạng là đàn ông 
là xác suất có điều kiện của B1 khi biến cố A đã xảy ra . 
Theo công thức Bayes thì ta có : 
1 1
1
P(B )P(A | B )
P(B |A) = 
P(A)
1
.0.06
3 0.89
0.0224
 
--------------------o0o------------------------ 
Bài 5 : Công thức Becnuli . 
1. Sự độc lập các biến cố , sự độc lập các phép thử . 
Định nghĩa : 
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu : 
P(AB) = P(A) . P(B) . 
Định lí : 
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi hoặc P(A\B ) = P(A) hoặc 
 P(B\A) = P(B) . 
Định lí : 
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi hoặc A , B là độc lập , hoặc A , B là 
độc lập 
 2. Dãy n biến cố độc lập . 
Định nghĩa : Dãy n biến cố A1, A2 , ... An được gọi là độc lập nếu ta lấy ra 
một dãy con các biến cố bất kì từ n biến cố trên thì xác suất của tích các biến cố 
con đó bằng tích các xác suất của từng biến cố . 
- Nếu dãy các biến cố thoả mãn định nghĩa trên thì dãy đó được gọi là độc 
lập trong toàn thể . 
- Nếu từng đôi một trong dãy đó mà độc lập với nhau thì dãy đó được gọi là 
độc lập từng đôi . 
Ta suy ra : Dãy n biến cố A1, A2 , ... An được gọi là độc lập trong toàn thể 
thì nó độc lập từng đôi , nhưng ngược lạ thì nói chung không đúng . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 40
Ví dụ : 
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất . Gọi A là biến cố “ con xúc xắc 
thứ nhất xuất hiện mặt trên có số chấm là chẵn “. Gọi B là biến cố “con xúc xắc 
thứ hai xuất hiện mặt trên có số chấm là số lẻ “ . Gọi C là biến cố “ cả hai con 
xúc xắc xuất hiện mặt trên có số chấm là chẵn hoặc lẻ “ 
Xét xem ba biến cố A, B, C có độc lập từng đôI hay không ? có độc lập 
trong toàn thể hay không ? 
Giải . 
Theo giả thiết ta có : P(A) = P(B) = 0.5 =P(C) . 
Bởi vì C = AB AB . Hai 
con xúc xắc gieo độc lập ( không phụ thuộc vào nhau) 
Do đó : P(C) = P(AB AB ) = P(A).P(B) P(A).P(B) = 
= 0,5 . 0,5 + 0,5 . 0,5 = 0,5 . 
Và P(AB) = P(A) . P(B) = 0,5 . 0,5 = 0,25. 
Và P(AC) = P[A(AB AB)] P(AB ) P(AB) 0     
Nên P(AC) = P(A) . P( B ) = 0,5 . 0,5 = 0,25. 
Và P(BC) = P[B(AB AB)] P(AB ) P(AB) 0     
Nên P(BC) = P( A ) . P(B) = 0,5 . 0,5 = 0,25 . 
Từ các kết quả trên ta kết luận : ba biến cố A, B, C, là độc lập từng đôi. 
Mặt khác A B C =  do đó P(ABC) = 0 và P(A) . P(B) . P(C) = (0,5)3 khác 
P(ABC) 
Điều đo chứng tỏ A, B, C không độc lập trong toàn thể . 
3. Dãy các phép thử độc lập . 
Định nghĩa : 
Dãy n phép thử G1, G2 , ..., Gn trong mỗi phép thử Gi tơương ứng với không 
gian biến cố sơ cấp  i gồm r biến cố sơ cấp Ai i= 1... r .được gọi là độc lập nếu : 
1 2 n 1 2 n
1 2 n 1 2 n
i i i i i iP(A A ...A ) P(A )P(A )...P(A ) 
Trong đó 
1
1
iA là một biến cố bất kì trong r biến cố Ai tương ứng với phép thử 
Gi . 
n
n
iA là một biến cố bất kì trong r biến cố Ai tương ứng với phép thử Gn . 
Ví dụ về dãy phép thử độc lập : 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 41
+, Bắn 20 viên đạn độc lập vào một mục tiêu . 
Mỗi lần bắn 1 viên , được xem như tiến hành một phép thử . Không gian 
biến cố sơ cấp tương ứng với mỗi phép thử là  = {trúng đích (biến cố A ) , 
không trúng đích (biến cố A )}. 20 lần bắn độc lập là 20 phép thử độc lập . 
+, Gieo 10 lần con xúc xắc cân đối và đồng chất .được xem như tiến hành 10 
phép thử độc lập . Không gian biến cố sơ cấp tương ứng là ={ E1 , ... E6 }. 
4. Công thức xác suất nhị thức ( công thức Becnuli). 
Định nghĩa : Dãy n phép thử G1, G2 , ..., Gn được gọi là dãy n phép thử 
Beclluli nếu thoả mãn các điều kiện sau : 
a, Dãy n phép thử đó là độc lập . 
b, Trong mỗi phép thử Gi tương ứng với không gian biến cố sơ cấp  = 
{ A,A } 
c, Xác suất của biến cố A là P(A) không thay đổi trong mọi phép thử. Đặt 
P(A)=p 
Bài toán : 
Tìm xác suất để trong dãy n phép thử Beclluli biến cố A xuất hiện đúng k lần 
Giải . 
xét tích của n biến cố dạng : AA...AAA...A trong tích này có k biến cố A và 
n - k biến cố A 
Vì dãy n phép thử độc lập nên : 
P(AA...AAA...A) = P(A)k P( A )n – k = pk . (1 - p)n – k với k = 1,2, ... n 
Ta thấy rằng: Biến cố “Trong dãy n phép thử Becnuli , biến cố A xuất hiện 
đúng k lần “ bằng tổng của Ckn 
 các biến cố xung khắc từng đôi một dạng 
AA...AAA...A mà mỗi phần tử của tổng này đều có xác suất là : 
pk .(1- p)n - k 
 Nếu kí hiệu xác suất của biến cố này là Pn(k) thì ta có : 
Pn(k) = 
k k n k
nC p (1 p)
 , k = 0,1,2 ... ,n . 
công thức này gọi là công thức xác suất nhị thức . 
Nếu đặt q = 1-p thì ta có : 
k k n k
n nP (k) C p q
 . 
Ví dụ : 
Gieo ngẫu nhiên 20 lần một đồng tiền cân đối và đồng chất . Tìm xác suất để 
a, Có đúng 1 lần xuất hiện mặt sấp . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 42
b, Có ít nhất 2 lần xuất hiện mặt sấp . 
Giải . 
a, Xem việc gieo 20 lần một đồng tiền can đối và ssồng chất là tiến hành dãy 
20 phép thử Becnuli, xác suất xuất hiện mặt sấp (biến cố A ) luôn luôn bằng 0,5 
trong một lần gieo . 
Theo công thức xác suất nhị thức ta có : 
k k n k
n nP (k) C p q
 
ở đây n = 20 , k =1 . Vậy : 
1 1 19
20 20 18
5
P (1) C (0,5) (1 0,5)
2
   . 
b, ta phảI tính xác suất của biến cố (k2 ) k là số xuất hiện biến cố A trong 
dãy n phép thử Becnuli . 
ta có P(k2) = 1- P(k < 2) = 1- P20(0) - P20(1) . 
0 0 20 0 1 1 20 1
20 20
20 18
20
1 1 1 1
1 C ( ) (1 ) C ( ) (1 )
2 2 2 2
1 5
1
20 2
21
1
2
     
  
 
Ví dụ : Một bà mẹ sinh hai con ( mỗi lần sinh một con ) . Giả sử xác suất 
sinh con trai là 0,51 . Tìm xác suất để trong người con đó : 
a, Có đúng 1 con trai . 
b, Có 2 con trai . 
Giải 
Trong thống kê người ta chứng minh được rằng : Các lần sinh là độc lập và 
xác suất sinh con trai là 0,51 trong mọi lần sinh . Theo công thức xác suất nhị 
thức ta có : xác suất để 2 lần sinh có k con trai là : 
k k 2 k
2 2P (k) C (0,51) (1 0,51)
  
a, với k = 1 ta có : 
1 1 2 1
2 2P (1) C (0,51) (1 0,51) 0,4998.
   
b, với k = 0 ta có : 
0 0 2 0
2 2P (0) C (0,51) (1 0,51) 0,2401
   
c, với k = 2 ta có : 
2 2 2 2
2 2P (2) C (0,51) (1 0,51) 0, 2601
   . 
Qua ví dụ trên ta thấy trong só nhưng gia đình coá 2 con thì số gia đình có 1 
trai và 1 gái là đông hơn cả . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 43
Ví dụ : 
Gieo 100 hạt đậu tương . Xác suất nảy mần của mỗi hạt là 0,9 . Tính xác suất 
để trong 100 hạt : 
a, Có đúng 80 hạt nảy mầm . 
b, Có ít nhất 1 hạt nảy mầm . 
c, Có nhiều nhất 98 hạt nảy mầm . 
Giải . 
Gieo ngẫu nhiên 100 hạt đậu tương đương với thực hiện 100 phép thử 
Becnuli và P(A) = 0,9 ( A là biến cố hạt đậu nảy mầm ). 
Theo công thức xác suất nhị thức ta có : 
k k 100 k
100 100P (k) C (0,9) (1 0,9)
  
a, Có đúng 80 hạt nảy mầm : k = 80 . Nên 
k 80 100 80
100 100P (80) C (0,9) (1 0,9)
  
b, Gọi k là số hạt nảy mầm trong 100 hạt . Ta cần tính xác suất P(k1) 
ta có : 
P(k1) = 1- p(k = 0 ) 
0 0 100 0
100
100
1 C (0,9) (0,1)
1 0,1
 
 
c, Gọi k là số hạt nảy mầm trong 100 hạt . Ta cần tính xác suất P(k98). 
Mà P(k  98) = 1- P (k > 98) 
99 99 100 99 100 100 100 100
100 100
99
1 C (0,9) (0,1) C (0,9) (0,1)
1 0,9
   
 
Ví dụ : 
Một lô hàng chứa tấn nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm p = 0,02 . Cần lấy 
một mẫu với cỡ bằng bao nhiêu , sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm 
trong mẫu đó không bé hơn R = 0,95. 
Giải . 
Gọi A là biến cố “ trong mẫu có ít nhất một phế phẩm “ . 
Gọi n là cỡ mẫu phải tìm . Đặt q = 1 - p . 
Ta có : P(A) =1- P( A ) = 1- 
0 0 n n
nC p q 1 q R 0,95    . 
Từ đó ta suy ra (0,98)n  0,05. 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 44
ln 0,05
n
ln 0,98
 
Ta khảo sát sự biến thiên của xác suất Pn(k) khi cố định n cho k biến thiên từ 
0 đến n . 
Muốn vậy ta xét tỉ số : 
k 1 k 1 n k 1
n n
k k n k
n n
P (k 1) C p q (n k)p
P (k) C p q (k 1)q
   

 
 

* Xét trường hợp tỉ số này lớn hơn hoặc bằng 1. Ta suy ra 
(n k)p
1
(k 1)q



. 
Ta rút ra (n- k )≥ kq + q hay k ≤ np - q . 
Vậy khi k tăng từ 0 tới np - q thì xác suất Pn(k) tăng . 
* , Xét trường hợp tỉ số này nhỏ hơn hoặc bằng 1 .Nghĩa là 
(n k)p
1
(k 1)q



Ta rút ra k ≥np - q . 
điều đó chứng tỏ xác suất Pn(k) giảm khi k tăng từ np - q đến n . Khi đó k = 
np - q thì xác suất Pn(k) đạt cực đại . 
Ta nhận thấy khi k = np - q thì 
(n k)p
1
(k 1)q



, nghĩa là Pn(k+1) = Pn(k) . Song 
k chi nhận giá trị nguyên nên : 
- Nếu np - q là số nguyên thì k có hai giá trị: 
- Nếu np - q không nguyên thì k có một giá trị k = [ np - q ] + 1, mà tại đó 
xác suất Pn(k) đạt cực đại . Trong đó [a] là kí hiệu phần nguyên của a. 
Ví dụ : 
Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu với xác 
suất bắn trúng đích của mỗi viên đạn là : 0,2 . Tìm số viên đạn trúng đích với khả 
năng lớn nhất 
Giải . 
Xem việc bắn độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu như là tiến hành 14 
phép thử độc lập Beclluli , với xác suất trúng đích của mỗi viên đạn ( biến cố A ) 
là không đổi p = 0,2 . 
Ta có n = 14 . Vậy np - q = 14.0,2 - 0,8 = 2 , là số nguyên . Vậy có hai giá trị 
của k : 2 và 3 là số viên đạn trúng đích mà tại đó xác suất đạt cực đại. 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 45
Bài tập chương 2 . 
1. Chứng minh : 
a, 
r n r
n nC C
 và b, 
r r 1 r
n 1 n nC C C

   
2. Chứng minh : 
n
r k r k
n n m m
k 0
C C C 

  
3. Tìm n từ các phương trình : 
a, 2nC 45 b, 
4
n
3
n 1
P
60
C 
 c, 8 12n nC C 
4. a, Có mấy cách phân ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người . 
 b, Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho 
người thứ nhất có đúng 3 tặng phẩm . 
 c, Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho 
môI người có 5 tặng phẩm . 
5. Trên mặt phẳng có 20 điểm ( không có ba điểm nào cùng nằm trên một 
đường thẳng . Qua mỗi điểm ta vẽ được một đường thẳng . Hỏi có bao nhiêu 
đường thẳng như vậy? 
6. Một học sinh phảI thi 4 môn trong 10 ngày ( mỗi ngày thi một môn ). Có 
mấy cách lập chương trình thi? 
7. Có bao nhiêu chữ số có 5 chữ số ( chữ số đầu tiên khác 0 ) được lập từ các 
số 0,1, ... 9.? 
8. Có mấy cách lập một hội đồng gồm 3 người lấy trong số 4 cặp vợ chồng 
nếu : 
a, Trong hội đồng có hai nữ một nam . 
b, Trong hội đồng chỉ có nam. 
9. Các số 1,2 ... n lập thành một hàng ngang . Hỏi có mấy cách sắp xếp sao 
cho : 
a, Hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau . 
b, Ba chữ số 1,2 ,3 đứng cạnh nhau . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 46
10. Trong hộp có 100 sản phẩm gồm có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm . 
Hỏi 
a, Có bao nhiêu cách chọn ra 10 sản phẩm từ 100 sản phẩm ? 
b, Có bao nhiêu cách lấy ra 10 sản phẩm từ 100 sản phẩm mà trong đó chỉ có 
8 sản phẩm tốt , và hai phế phẩm? 
11. Từ thành phố A tới thành phố B có 3 con đường , và từ thành phố B tới 
thành phố C có 4 con đường . Hỏi có mấy cách đI từ thành phố A tới thành phố C 
? ( phải qua thành phố B ) 
12. Trên một vòng tròn có 12 điểm . Có mấy cách vẽ dây cung có các mút là 
các điểm đã cho . Có mấy tam giác nhận các điểm là các đỉnh ? 
13. Phân ngẫu nhiên 12 hành khách lên 3 toa tàu . 
a, có mấy cách phân ngẫu nhiên 12 hành khách lên 3 toa tàu ? 
b, có mấy cách phân ngẫu nhiên 12 nhành khách lên 3 toa tàu mà toa thứ 
nhất có đúng 3 hành khách ? 
c, Có mấy cách phân ngẫu nhiên 12 hành khách lên 3 toa tàu mà trong mỗi 
toa có 4 hành khách ? 
14. Một lô hàng có 12 sản phẩm , trong đó có 8 sản phẩm tốt và 4 phế 
phẩm.. 
a, Có mấy cách lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm trong 12 sản phẩm đó ? 
b, Có mấy cách lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm trong 12 sản phẩm trong đó có 3 
sản phẩm tốt và 1 phế phẩm. 
15. Kiểm tra theo thứ tự một lô hàng gồm n sản phẩm . Các sản phẩm đều 
thuộc một trong hai loại tốt hoặc xấu .Kí hiệu Ak là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra 
thứ k là sản phẩm tốt (k = 1,2, ... n ). Viết bằng kí hiệu các biến cố sau đây : 
a, Cả n sản phẩm đều tốt . 
b, Có ít nhất một sản phẩm tốt . 
c, Có m sản phẩm kiểm tra đầu tiên là tốt , còn lại là sản phẩm xấu. 
d, Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là xấu, các sản phẩm kiểm tra 
theo thứ tự lẻ là tốt. 
e, Không gian biến cố sơ cấp gồm mấy phần tử ? 
16. Bắn không hạn chế vào một mục tiêu cho tới khi có một viên đạn trúng 
mục tiêu thì ngừng bắn . Giả sử mỗi lần bắn chỉ có thể có hai khả năng trúng bia ( 
biến cố A ) và không trúng bia ( biến cố A ) . 
a, Hãy mô tả không gian biến cố sơ cấp . 
b, Hãy nêu một hệ đầy đủ các biến cố . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 47
17. Có n bệnh nhân . Gọi Ak là bệnh nhân thứ k khỏi bệnh . Hãy viết bằng kí 
hiệu các biến cố sau : 
a, Tất cả các bệnh nhân đều khỏi bệnh . 
b, Có ít nhất một người không khỏi bệnh . 
c, Có đúng một người không khỏi bệnh. 
d, Có đúng hai người không khỏi bệnh . 
18. Một dụng cụ điện tử gồm có 3 bóng đèn loại 1 và 4 bóng đèn loại 2 . Gọi 
Ak là bóng đèn thứ k loại 1 hoạt động tốt . Gọi Bi là bóng đèn thứ i loại 2 hoạt 
động tốt . Dụng cụ làm việc được nếu có ít nhất 1 bóng loại 1 và không ít hơn 3 
bóng loại 2 làm viêc tốt .Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố Ak và Bi 
và các biến cố đối của chúng : 
a, Dụng cụ vẫn làm việc được . 
b, Dụng cụ không làm việc được . 
c, Có một và chỉ một bong đèn loại 1 tốt và có đúng 2 bóng đèn loại 2 tốt . 
19.Cho ba biến cố A, B ,C . Viết biểu thức chỉ biến cố . 
 a, Chỉ có A xảy ra . 
b, A và B xảy ra nhưng c không xảy ra . 
c, Cả 3 biến cố xảy ra . 
d, Có ít nhất một trong 3 biến cố xảy ra . 
e, Có ít nhát hai biến cố cùng xảy ra . 
g, Có một và chỉ một trong ba biến cố xảy ra . 
h, Chỉ có hai trong ba biến cố xảy ra . 
k, Không có quá hai biến cố trong ba biến cố đó xảy ra . 
20. Có 5 cuốn sách khác nhau trên giá sách : A, B , C , D , E , rút lần lượt 
(không hoàn lại ba cuốn . 
a, Không gian biến cố sơ cấp gồm mấy phần tử ? 
b, Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố rút được cuốn sách A và không rút 
được cuốn sách A là bao nhiêu? 
21. Một bà mẹ sinh hai con ( mỗi lần sinh một con hoặc trai hoặc gái ) 
a, Không gian biến cố sơ cấp có mấy phần tử ? 
b, Có bao nhiêu biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố hai con có một trai và 1 
gái. 
22. Chia ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 người . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 48
a, Có bao nhiêu khả năng thuận lợi cho biến cố “ người thứ nhất được đúng 3 
tặng phẩm “. 
b, Có bao nhiêu khả năng thuận lợi cho biến cố “ mỗi người được đúng 5 
tặng phẩm “. 
23. Một lo hàng gồm 1000 sản phẩm , trong đó có 30 sản phẩm xấu . Lấy hú 
họ một sản phẩm từ lô hàng . 
a, Tìm xác suất dể sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt . 
b, Lấy ngẫu nhiên ( (1 lần ) 10 sản phẩm từ lô hàng . Tìm xác suất dể trong 
10 sản phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt . 
24. Một hộp chứa 12 bi trắng , 7 bi đỏ , 15 bi xanh . Một hộp khác chuă 10 
bi trắng , 6 bi đỏ và 9 bi xanh . Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi . Tìm xác 
suất để hai bi rút ra cùng màu. 
25. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất . Tìm xác suất sao 
cho : 
a, Tổng số chấm ở hai mặt trên con xúc xắc bằng 8. 
b, Hiệu số chấm ở hai mặt trên con xúc xắc có giá trị tuyệt đối bằng 2. 
c, Số chấm ở mặt trên con xúc xắc bằng nhau. 
26. Một lô hàng có n sản phẩm trong đó có m sản phẩm xấu . Lấy ngẫu 
nhiên ra k sản phẩm từ lô hàng . Tìm xác suất để trong k sản phẩm lấy ra có đúng 
s sản phẩm xấu . 
27. Một khoá chữ được lập nên bởi 6 vòng ghép tiếp nhau quay quanh một 
trục .Mỗi vòng đều chia thành 10 phần bằng nhau . Trên mỗi phần ghi một chữ 
số. Khoá được mở khi mỗi vòng đặt đúng vị trí xác định trước .Tìm xác suất để 
mở được khoá . 
28. Một khách sạn có 6 phòng phục vụ khách , nhưng có tất cả 10 khách đến 
xin nghỉ trọ , trong đó có 6 nam và 4 nữ . Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ ai 
đến trước thì phục vụ trước và mõi phòng chỉ có một người “. Tìm xác suất để 
cho: 
a, Cả 6 người nam được nghỉ trọ . 
b, Có 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ . 
c, Có ít nhất 2 trong 4 nữ được nghỉ trọ. 
29. Bắn ba viên đạn vào cùng một bia . Xác suất trúng đích của viên thứ 
nhất, viên thứ hai , viên thứ ba tương ứng bằng 0,4 ; 0,5 ; 0,6 . 
a, Tìm xác suất sao cho trong 3 viên đạn có ít nhất một viên trúng đích 
b, Tìm xác suất sao cho trong 3 viên đạn có đúng một viên trúng đích . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 49
30. Một lô hàng gồm 150 sản phẩm và có chứa 6% phế phẩm . Người ta 
dùng phương pháp chọn mẫu để kiểm tra lô hàng và quy ước rằng : Kiểm tra lần 
lượt 6 sản phẩm nếu có ít nhất 1 trong 6 sản phẩm đó là phế phẩm thì loại lô 
hàng. Tìm xác suất để chấp nhận lô hàng . 
31. Bắn liên tiếp vào mục tiêu cho đến khi nào có một viên đầu tiên trúng 
mục tiêu thì dừng bắn . Tìm xác suất sao cho phảI bằn dến viên thứ 6 , biết rằng 
xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,2 và các lần bứn là độc lập . 
32. Một máy bay gồm ba bộ phận có tầm quan trọng khác nhau . Muốn bắn 
rơi được máy bay , thì chỉ cần có một viên trúng vào bộ phận thứ nhất , 2 viên 
trúng vào bộ phận thứ hai , 3 viên trúng vào bộ phận thứ ba . Xác suất dể một 
viên đạn trúng vào bộ phận thứ nhất , hai ,ba với điều kiện là viên đạn đã trúng 
máy bay lần lượt là : 0,15 ; 0.30 ; 0,55 . Tìm xác suất dể máy bay bị bắn rơI khi : 
a, Có một viên trúng . 
b, Có hai viên trúng. 
c, Có ba viên trúng . 
d, Có bốn viên trúng . 
33.. Một nhà máy sản xuất bóng đèn . Máy A sản xuất 25% số bóng đèn , 
máy B sản xuất 35% bóng đèn , máy c sản xuất 40% bóng đèn . tỉ lệ sản phẩm 
hỏng của nhà máy đó trên tổng số sản phẩm do nhà máy sản xuất tương ứn bằng 
5% (máy A ) 4% (máy B) 2 % (máy C). lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được 
sản phẩm xấu . Tìm xác suất sao cho sản phẩm đó thuộc máy : 
a, A sản xuất . 
b, B sản xuất . 
c, C sản xuất 
34. Hai đấu thủ thi đấu một số tận đấu , trong mỗi lần hoặc đấu thủ A thắng 
hoặc đấu thủ B thắng . Xác suất thắng của đấu thủ A trong mỗi trận đấu là p . 
Trước lúc vào thi đấu có quy định là mỗi đấu thủ phảI thắng mấy lần mới được 
xem là thắng cuộc . 
a, Tìm xác suất để a thắng cuộc , nếu giả sử A cần có 2 lần thắng còn B cần 
có 3 lần thắng . 
b, Tìm xác suất thắng cuộc của A , nếu giả sử rằng A cần thắng m lần còn B 
cần thắng n lần . 
35 . Giả sử có ba kiện hàng với số sản phẩm tôt tương ứng là 20, 15, 10. Lấy 
ngẫu nhiên 1 kiện hàng ( giả sử ba kiện hàng đó có cùng khả năng rút ) rồi từ 
kiện hàng đó lấy hú hoạ một sản phẩm . Biết rắng mỗi kiện hàng đều có 20 sản 
phẩm . 
a, Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt . 
 Giáo trình toán kinh tế 
Tổ môn kế toán 50
b, Giả sử sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt . Tìm xác suất để sản phẩm đó 
thuộc kiện hàng thứ hai. 
36 . Với ba kiện hàng được cho như trong bài 35 , ta chọn ngẫu nhiên ra 1 
kiện hàng và lấy hú hoạ 1 sản phẩm thấy là sản phẩm tốt . Trả sản phẩm đó lại 
kiện hàng vừa rút ra , sau đó lại lấy tiếp một sản phẩm thì được sản phẩm tốt . 
Tìm xác suất để các sản phẩm được lấy từ kiện hàng thứ ba. 
37. Tỷ số ôtô tải và ôtô con đi qua đường có trạm bơm dầu là 5/2 . Xác suất 
để một ôtô tải qua đường được nhận dầu là 0,1. còn xác suất để một ôtô con qua 
đường nhận được dầu là 0,2 
Có một ôtô đi qua đường được nhận dầu . Tìm xác suất để ôtô đó là ôtô tảI ? 
38. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,02. Cần lấy 
một mẫu cỡ bao nhiêu , sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu 
đó không bế hơn 0,95. 
39. Một bà mẹ sinh ba người con ( mỗi lần sinh một con ) . Giả sử xác suất 
sinh con trai là 0,5 . Tìm xác suất sao cho trong ba người con đó : 
a, Có hai con trai . 
b, Có không quá một con trai . 
c, Có không ít hơn một con trai . 
40.. Tỉ lệ học sinh trong trường bị cận thị là 1% . Hỏi cần lấy bao nhiêu học 
sinh sao cho trong đó có ít nhất một học sinh bị cận thị với xác suất không nhỏ 
hơn 0,95. 
41. Bắn độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu . Xác suất trúng mục tiêu của 
mỗi viên đạn là 0.2 . Mục tiêu bị phá huỷ hoàn toàn nếu có hai viên đạn trúng . 
Tìm xác suất để : 
a, Mục tiêu bị phá huỷ hoàn toàn . 
b, Mục tiêu bị phá huỷ một phần . 
--------------------o0o------------------------