Một số vấn đề về phụ thuộc đa trị trong cơ sử dữ liệu mờ chứa dữ liệu ngôn ngữ

¡-tèt) = vr(tèt) + 0.5× fm(kh¡-tèt)× 10 = 7.5 + [0.5× 0.25× 0.5]× 10 = 8.125
vr(r§t-tèt) = 100− 0.5× fm(r§t-tèt)× 10 = 100− 0.5× 0.25× 0.5× 10 = 9.375
B¥y gií, chóng ta t½nh mët sè kho£ng t÷ìng tü tr¶n [0,10] t¤o th nh bði c¡c kho£ng mí
cõa c¡c gi¡ trà ngæn ngú câ ë d i 2, chùa c¡c gi¡ trà c¦n x²t:
S1,r(tèt) = Jr(g¦n-tèt) ∪ Jr(kh¡-tèt) = (7.5 − 0.25 × 0.5 × 10, 7.5 + 0.25 × 0.5 × 10] =
(6.25, 8.75]
S1,r(r§t-tèt) = (10− 0.25× 0.5× 10, 10] = (8.75, 10]
S1,r(½t-tèt) = (0.5× 10, 0.5× 10 + 0.25× 0.5× 10] = (5, 6.25]
Cuèi còng, n¸u chån k = 1 th¼ quan h» t÷ìng tü S1 ¢ ph¥n ho¤ch nûa tr¶n mi·n
trà tham chi¸u cõa thuëc t½nh iºm th nh c¡c kho£ng (5, 6.25], (6.25, 8.75], (8.75, 10] chùa
½t-tèt, kh¡-tèt, r§t-tèt t÷ìng ùng. So s¡nh vîi gi¡ trà ành l÷ñng ¢ t½nh ð tr¶n, ta suy ra
r§t-tèt =k 9, kh¡-tèt =k 8, kh¡-tèt 6=k 9.
Nh÷ vªy, n¸u chån mùc K = (∞,∞, 1) th¼ quan h» r ¢ cho thäa phö thuëc a trà mí T
→→K S (v  T →→K ffi). Khi thay iºm cõa sinh vi¶n C b¬ng 9 th¼ quan h» thu ÷ñc khæng
thäa T→→K S (do kh¡-tèt 6=k 9). Rã r ng r khæng thäa T→→ S theo ành ngh¾a phö thuëc
a trà trong CSDL quan h» kinh iºn. V  v½ dö ¢ minh håa mët kiºu r ng buëc mí "Nhúng
sinh vi¶n còng thüc hi»n chung · t i th¼ iºm cõa t§t c£ c¡c sinh vi¶n â ph£i t÷ìng ÷ìng
nhau".
Nhªn x²t 4.1 Do vai trá cõa t1 v  t2 trong ffiành ngh¾a 4.1 nh÷ nhau v  gi£ thi¸t
t1[X] =K t2[X] n¶n n¸u r thäa phö thuëc a trà mí nh÷ tr¶n th¼ trong r công tçn t¤i mët bë
t4 vîi t4[X] =K t1[X], t4[Y ] =K t2[Y ], t4[Z] =K t1[Z].
MËT SÈ V‡N ffi— V— PHÖ THUËC ffiA TRÀ TRONG CÌ SÐ DÚ LI›U MÍ CHÙA DÚ LI›U NGÆN NGÚ 95
Chóng ta công quy ÷îc r¬ng k½ hi»u t1[X] =K t2[X] çng ngh¾a vîi ph¡t biºu t1 b¬ng t2
mùc K tr¶n X, vîi b§t ký X ⊆ U . T÷ìng tü nh÷ tr÷íng hñp phö thuëc h m, b¥y gií chóng
ta s³ ÷a ra mët sè quy t­c suy di¹n cho phö thuëc a trà mí.
M»nh · 4.1. Tªp c¡c quy t­c suy di¹n (K5)-(K10) sau ¥y l  óng ­n:
(K5) X →→K Y ⇒ X →→K′ Y vîi måi K′ sao cho K′X = KX v  K′U−X ≤ KU−X .
(K6) X →→K Y ⇔ X →→K (U −XY ).
(K7) Mð rëng X →→K Y , Z ⊆W ⇒ XW →→K Y Z.
(K8) X →→K Y , Y →→K′ Z ⇒ X →→K′′ Z−Y vîi K′X = KX , K′Y ≤ KY v  K′′ = K∧K′.
(K9) X →K Y ⇒ X →→K Y .
(K10) N¸u X →→K Y v  Z ⊆ Y , W ∩ Y = ∅, KX = K′X , K′U−X ≤ KU−X th¼ W →K′ Z
k²o theo X →K′ Z.
Chùng minh. (K5) Gi£ sû tçn t¤i mët quan h» r ∈ R(U) thäa X →→K Y nh÷ng khæng
thäa X →→K′ Y vîi K′X = KX v  K′U−X ≤ KU−X . Khi â tçn t¤i t1, t2 ∈ r câ t1[X] =K′ t2[X]
nh÷ng trong r khæng tçn t¤i mët bë r3 n o thäa m¢n r3[X] =K′ t1[X], r3[Y ] =K′ t1[Y ],
r3[U −XY ] =K′ t2[U −XY ]. Ta s³ chùng minh i·u n y væ lþ.
Thªt vªy, v¼ K′X = KX n¶n t1[X] =K t2[X]. Do r thäa X →→K Y n¶n trong r tçn
t¤i mët bë t3 câ t3[X] =K t1[X], t3[Y ] =K t1[Y ], t3[U − XY ] =K t2[U − XY ] thuëc r.
Tø gi£ thi¸t KU−X ≥ K′U−X v  M»nh · 2.1, ta suy ra t3[X] =K′ t1[X], t3[Y ] =K′ t1[Y ],
t3[U −XY ] =K′ t2[U −XY ], thäa c¡c i·u ki»n cõa r3 l¤i thuëc r. ffii·u n y m¥u thu¨n vîi
gi£ thi¸t ph£n chùng. Vªy X →→K′ Y .
(K6) X →→K Y ⇔ X →→K (U −XY ):
ffi°t Z = U −XY . X²t b§t ký quan h» r ∈ R v  hai bë t1, t2 ∈ r câ t1[X] =K t2[X]. V¼
X →→K Y n¶n theo Nhªn x²t 4.1, tçn t¤i t3 ∈ r vîi
t3[X] =K t2[X], t3[Y ] =K t2[Y ], t3[Z] =K t1[Z]
V¼ t2[X] =K t1[X] n¶n t3[X] =K t1[X] v  v¼ vªy t3 câ
t3[X] =K t1[X], t3[Z] =K t1[Z], t3[Y ] = t2[Y ]
v  t3 ∈ r. Theo ffiành ngh¾a 4.1, X →→K Z. V¼ vai trá cõa Y v  Z nh÷ nhau n¶n ta công suy
ra ÷ñc n¸u X →→K Z th¼ X →→K Y .
(K7) X →→K Y , Z ⊆W ⇒ XW →→K Y Z:
Gi£ sû tçn t¤i quan h» r ∈ R v  hai bë t1, t2 ∈ r câ t1[XW ] =K t2[XW ] nh÷ng b§t ký bë
r3 thäa m¢n
r3[XW ] =K t1[XW ], r3[Y Z] =K t1[Y Z], r3[U −XYWZ] =K t2[U −XYWZ]
l¤i khæng thuëc r. Chóng ta s³ t¼m m¥u thu¨n tø gi£ thi¸t n y.
Thªt vªy, t1[XW ] =K t2[XW ] k²o theo t1[X] =K t2[X]. Do X →→K Y n¶n tçn t¤i t3 ∈ r
câ
t3[X] =K t1[X], t3[Y ] =K t1[Y ], t3[U −XY ] =K t2[U −XY ]
96 L– XU…N VINH, TR†N THI–N TH€NH
Tø hai ¯ng thùc ¦u suy ra t3[XY ∩W ] =K t1[XY ∩W ]. Ta l¤i câ
t3[U −XY ] =K t2[U −XY ]⇒ t3[W −XY ] =K t2[W −XY ]
v 
t1[XW ] =K t2[XW ]⇒ t1[W ] =K t2[W ]⇒ t1[W −XY ] =K t2[W −XY ]
Do â, t3[W −XY ] =K t1[W −XY ]. ffii·u n y k¸t hñp vîi t3[XY ∩W ] =K t1[XY ∩W ]
ta suy ra t3[W ] =K t1[W ]. V  v¼ vªy t3[XW ] =K t1[XW ] v  t3[Z] =K t1[Z] do Z ⊆ W . K¸t
hñp vîi t3[Y ] =K t1[Y ] ta câ t3[Y Z] =K t1[Y Z].
B¥y gií tø t3[U −XY ] =K t2[U −XY ] d¹ d ng suy ra ÷ñc t3[U −XYWZ] =K t2[U −
XYWZ]. Nh÷ vªy, t3 thäa c¡c i·u ki»n cõa r3 v  t3 ∈ r. ffii·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t
ph£n chùng. Vªy XW →→K Y Z.
(K8) X →→K Y , Y →→K′ Z ⇒ X →→K′′ Z − Y vîi i·u ki»n KX = K′X , KY ≥ K′Y v 
K′′ = K ∧ K′:
Gi£ sû tçn t¤i r ∈ R v  hai bë t1, t2 ∈ r câ t1[X] =K′′ t2[X] nh÷ng b§t ký bë r3 thäa m¢n
r3[X] =K′′ t1[X], r3[Z − Y ] =K′′ t1[Z − Y ], r3[U −X(Z − Y )] =K′′ t2[U −X(Z − Y )]
l¤i khæng thuëc r.
V¼ K′′X = KX n¶n t1[X] =K t2[X]; theo gi£ thi¸t X →→K Y v  Nhªn x²t 4.1, tçn t¤i mët
bë t3 ∈ r câ
t3[X] =K t1[X], t3[Y ] =K t2[Y ], t3[U −XY ] =K t1[U −XY ]
Tø K′′X = KX , K
′
Y ≤ KY v  K′′ = K ∧ K′ ta suy ra K′Y = K′′Y v  K′′U−Y ≤ K′U−Y n¶n theo
(K5) ta câ Y →→K′′ Z, v  v¼ vªy tçn t¤i t4 ∈ r câ
t4[Y ] =K′′ t2[Y ], t4[Z] =K′′ t3[Z], t4[U − Y Z] =K′′ t2[U − Y Z]
Ta s³ chùng minh mët sè kh¯ng ành sau ¥y:
+ t4[X] =K′′ t1[X]: Thªt vªy, tø t4[Z] =K′′ t3[Z], t3[X] =K t1[X] v  KX = K
′′
X , ta suy ra
t4[X ∩ Z] =K′′ t1[X ∩ Z]
Hìn núa, tø t4[U − Y Z] =K′′ t2[U − Y Z], t4[Y ] =K′′ t2[Y ] v  t1[X] =K′′ t2[X], ta l¤i câ
t4[X − Z] =K′′ t1[X − Z]
V¼ vªy, t4[X] =K′′ t1[X].
+ t4[Z − Y ] =K′′ t1[Z − Y ]: Thªt vªy, t4[Z] =K′′ t3[Z] ⇒ t4[Z − Y ] =K′′ t3[Z − Y ]. Hìn
núa, tø
t3[X] =K t1[X], t3[U −XY ] =K t1[U −XY ] v  K′′ = K ∧ K′
ta suy ra t3[Z − Y ] =K′′ t1[Z − Y ]. Vªy t4[Z − Y ] =K′′ t1[Z − Y ].
+ t4[U −X(Z − Y )] =K′′ t2[U −X(Z − Y )]: V¼ t4[Z] =K′′ t3[Z] theo gi£ thi¸t v  t3[Y ] =K
t2[Y ]⇒ t3[Y ] =K′′ t2[Y ] n¶n
t4[Y ∩ Z] =K′′ t2[Y ∩ Z]
MËT SÈ V‡N ffi— V— PHÖ THUËC ffiA TRÀ TRONG CÌ SÐ DÚ LI›U MÍ CHÙA DÚ LI›U NGÆN NGÚ 97
ffiº þ r¬ng (U −X(Z − Y )) ∩ Z = (Y ∩ Z)−X, cho n¶n
t4[(U −X(Z − Y )) ∩ Z] =K′′ t2[(U −X(Z − Y )) ∩ Z]
Hìn núa, ta công câ bao h m tªp hñp (U −X(Z−Y ))−Z ⊆ (U −Y X)∪Y v  theo gi£ thi¸t
t4[Y ] =K′′ t2[Y ], t4[U − Y Z] =K′′ t2[U − Y Z] n¶n
t4[(U −X(Z − Y ))− Z] =K′′ t2[(U −X(Z − Y ))− Z]
Vªy t4[U −X(Z − Y )] =K′′ t2[U −X(Z − Y )].
Nh÷ vªy, t4 thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa r3 v  t4 ∈ r. ffii·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t
ph£n chùng. Vªy X →→K′′ Z − Y .
(K9) X →K Y ⇒ X →→K Y : Gi£ sû tçn t¤i r ∈ R(U) thäa X →K Y nh÷ng khæng
thäa X →→K Y , ngh¾a l  tçn t¤i t1, t2 ∈ r câ t1[X] =K t2[X] nh÷ng b§t ký bë r3 thäa m¢n
r3[X] =K t1[X], r3[Y ] =K t1[Y ], r3[U −XY ] =K t2[U −XY ] l¤i khæng thuëc r.
X²t bë t2, ta câ t2[X] =K t1[X], t2[Y ] =K t1[Y ] v¼ X →K Y v  hiºn nhi¶n t2[U −XY ] =K
t2[U −XY ]. Nh÷ vªy t2 thäa c¡c i·u ki»n cõa r3 v  t2 ∈ r. ffii·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t
ph£n chùng. Vªy X →→K Y .
(K10) N¸u X →→K Y v  Z ⊆ Y , W ∩ Y = ∅, KX = K′X , KU−X ≥ K′U−X th¼ W →K′ Z
k²o theo X →K′ Z:
Gi£ sû r ∈ R(U) thäa X →→K Y v  W →K′ Z, ð ¥y Z ⊆ Y v  W ∩ Y = ∅ nh÷ng r
khæng thäa X →K′ Z; ngh¾a l  tçn t¤i t1, t2 ∈ r câ t1[X] =K′ t2[X] nh÷ng t1[Z] 6=K′ t2[Z].
Do X →→K Y v  KX = K′X n¶n tçn t¤i t4 ∈ r câ
t4[X] =K t1[X], t4[Y ] =K t2[Y ], t4[U −XY ] =K t1[U −XY ]
K¸t hñp c¡c kh¯ng ành n y vîi gi£ thi¸t W ∩ Y = ∅, ta suy ra t4[W ] =K t1[W ].
Tø t4[Y ] =K t2[Y ] v  Z ⊆ Y , ta câ t4[Z] =K t2[Z]. K¸t hñp vîi t1[Z] 6=K′ t2[Z] (gi£ thi¸t
ph£n chùng) v  KU−X ≥ K′U−X , ta suy ra t4[Z] 6=K′ t1[Z].
B¥y gií, tø t4[W ] =K t1[W ] v  c¡c i·u ki»n KX = K
′
X ,KU−X ≥ K′U−X ta suy ra t4[W ] =K′
t1[W ]. Nh÷ vªy, t4[W ] =K′ t1[W ] v  t4[Z] 6=K′ t1[Z]. ffii·u n y m¥u thu¨n vîiW →K′ Z. M»nh
· ¢ ÷ñc chùng minh.
Nh÷ vªy, t½nh óng ­n cõa tªp c¡c quy t­c (K1)-(K10) ¢ ÷ñc chùng minh v  ch¿ sû
döng c¡c quy t­c n y chóng ta câ thº suy ra mët sè quy t­c ti»n döng hìn.
M»nh · 4.2. C¡c quy t­c suy di¹n (K14), (K15), (K16), (K17) sau ¥y l  óng ­n:
(K14) Quy t­c hñp {X →→K Y,X →→K′ Z} |= X →→K′′ Y Z vîi K′′ = K ∧ K′ n¸u
K′X = KX v  (K
′
Y ≤ KY ho°c KZ ≤ K′Z).
(K15) Quy t­c gi£ b­c c¦u {X →→K Y,WY →→K′ Z} |= WX →→K′′ (Z −WY ) vîi
K′′ = K ∧ K′ n¸u K′XW = KXW v  K′Y ≤ KY .
(K16) Quy t­c ph¥n r¢
a) {X →→K Y , X →→K′ Z} |= X →→K′′ (Z − Y ) vîi K′′ = K ∧ K′ n¸u K′X = KX v 
K′Y ≤ KY .
98 L– XU…N VINH, TR†N THI–N TH€NH
b) {X →→K Y , X →→K′ Z} |= X →→K′′ (Y − Z) vîi K′′ = K ∧ K′ n¸u K′X = KX v 
KZ ≤ K′Z .
c) {X →→K Y , X →→K Z} |= X →→K Y ∩ Z
(K17) Quy t­c pha trën, gi£ b­c c¦u {X →→K Y,XY →K Z} |= X →K Z − Y
Chùng minh.
(K14) Tø X →→K Y theo (K7) ta câ
X →→K XY (1)
L¤i sû döng (K7) vîi gi£ thi¸t X →→K′ Z, ta suy ra XY →→K′ Y Z v  do â theo (K6) ta câ
XY →→K′ U −XY Z (2)
N¸u K′X = KX v  K
′
Y ≤ KY th¼ K′XY ≤ KXY . V¼ vªy, ¡p döng (K8) cho (1) v  (2), ta câ
X →→K′′ U −XY Z, vîi K′′ = K ∧ K′ (3)
Sû döng (K6) cho (3) ta ÷ñc
X →→K′′ Y Z −X (4)
L¤i sû döng (K7) cho (4) vîi bë phªn mð rëng ÷ñc chån l  Y Z∩X ta thu ÷ñcX →→K′′ Y Z.
Tr÷íng hñp K′X = KX v  KZ ≤ K′Z vi»c chùng minh ho n to n t÷ìng tü.
(K15) Sû döng (K7) cho gi£ thi¸t X →→K Y thu ÷ñc
WX →→K WY (5)
Tø i·u ki»n cõa quy t­c (K15), ta suy ra K′WY ≤ KWY . Do vªy k¸t hñp (5) v  gi£ thi¸t
WY →→K′ Z, sû döng (K8), ta ÷ñc WX →→K′′ (Z −WY ) vîi K′′ = K ∧ K′.
(K16) (a) Sû döng (K7) l¦n l÷ñt cho c¡c gi£ thi¸t X →→K Y , X →→K′ Z ta câ
X →→K XY (6)
v 
XY →→K′ Y Z (7)
Tø c¡c i·u ki»n K′X = KX v  K
′
Y ≤ KY , suy ra K′XY ≤ KXY . V¼ vªy, sû döng (K8) èi vîi
(6) v  (7) ta câ
X →→K′′ Z −XY (8)
vîi K′′ = K∧K′. B¥y gií, mð rëng (8) vîi (X−Y )∩Z b¬ng (K7) ta thu ÷ñc X →→K′′ Z−Y .
(b) ffi÷ñc suy ra trüc ti¸p tø (a) nhí t½nh èi xùng cõa gi£ thi¸t.
(c) T÷ìng tü nh÷ ph¦n chùng minh cho (a) trong â l§y K′ = K ta ¢ k¸t luªn ÷ñc
X →→K X(Z −XY ) (9)
Mð rëng X →→K Z vîi Z −XY b¬ng (K7) ta câ
X(Z −XY )→→K Z (10)
MËT SÈ V‡N ffi— V— PHÖ THUËC ffiA TRÀ TRONG CÌ SÐ DÚ LI›U MÍ CHÙA DÚ LI›U NGÆN NGÚ 99
Sû döng (K8) èi vîi (9) v  (10) thu ÷ñc
X →→K (Y ∩ Z)−X (11)
Mð rëng (11) vîi X ∩ Y ∩ Z b¬ng (K7) ta ÷ñc X →→K Y ∩ Z.
(K17) Tø X →→K Y v  (K7), (K8) ta suy ra X →→K U − XY . K¸t hñp vîi gi£ thi¸t
XY →K Z v  sû döng (K10) ta câ X →K Z−XY . Hìn núa theo (K1), X →K ((X ∩Z)−Y ).
V¼ vªy X →K Z−Y theo ffiành lþ 3.1(iii) vîi nhªn x²t l  (Z−XY )∪ ((X ∩Z)−Y ) = Z−Y .
Sau ¥y chóng ta s³ chùng minh t½nh ¦y õ cõa tªp quy t­c suy di¹n (K1)-(K10).
5. TNH ffi†Y ffiÕ CÕA TŁP CC QUY TC SUY DI™N
Tr÷îc ti¶n l  mët sè ành ngh¾a li¶n quan ¸n vi»c chùng minh t½nh ¦y õ cõa mët tªp
quy t­c suy di¹n.
ffiành ngh¾a 5.1. Cho F v  G l  tªp c¡c phö thuëc h m mí v  phö thuëc a trà mí t÷ìng
ùng tr¶n U . Bao âng cõa F ∪G, k½ hi»u l  (F,G)+, l  tªp c¡c phö thuëc h m mí v  phö
thuëc a trà mí suy di¹n ÷ñc tø F ∪G nhí c¡c quy t­c suy di¹n (K1)− (K10).
ffiành ngh¾a 5.2. Cho F v  G l  tªp c¡c phö thuëc h m mí v  phö thuëc a trà mí t÷ìng
ùng tr¶n U . Vîi méi X ⊆ U v  K l  mët mùc t÷ìng tü tr¶n U , bao âng X+K cõa X (ùng
vîi F v  G) l  tªp hñp {A ∈ U |X →K A ∈ (F,G)+}.
M»nh · 5.1. X →K Y thuëc (F,G)+ khi v  ch¿ khi Y ⊆ X+K , ð ¥y X+K l  bao âng mùc
K cõa X ùng vîi F v  G.
Chùng minh. ffi°t Y = A1...An vîi A1, ..., An l  c¡c thuëc t½nh v  gi£ sû r¬ng X →K Y
thuëc (F,G)+. Theo (K13), ta suy ra X →K Ai thuëc (F,G)+ vîi méi i = 1, ..., n. V  v¼ vªy
theo ffiành ngh¾a 5.2 Ai ∈ X+K n¶n Y ⊆ X+K . Ng÷ñc l¤i, gi£ sû Y ⊆ X+K , tùc l  Ai ∈ X+K v 
X →K Ai thuëc (F,G)+ vîi méi i = 1, ..., n. Theo (K11), ta suy ra X →K Y thuëc (F,G)+.
M»nh · 5.2. Cho X ⊆ U , khi â tªp U −X câ thº ph¥n ho¤ch th nh c¡c khèi W1, ...,Wm
sao cho vîi måi Z ⊆ U −X, X →→K Z khi v  ch¿ khi Z l  hñp cõa mët sè c¡c khèi Wi.
Chùng minh. ffi¦u ti¶n xem to n bë U −X l  mët khèi W1. Gi£ sû ¸n mët thíi iºm n o
â U − X ¢ ÷ñc ph¥n ho¤ch th nh c¡c khèi W1, ...,Wn (n ≥ 1) v  X →→K Wi vîi måi
i = 1, ..., n. N¸u X →→K Z v  Z khæng l  hñp cõa c¡c Wi th¼ ta ph¥n ho¤ch méi Wi th nh
Wi ∩Z v  Wi−Z. Theo (K16), ta câ X →→K Wi ∩Z v  X →→K Wi−Z. V¼ tªp thuëc t½nh
U húu h¤n n¶n cuèi còng ta ph¥n ho¤ch uñc U −X sao cho vîi måi X →→K Z, Z ·u l 
hñp cõa mët sè c¡c Wi. Ng÷ñc l¤i, n¸u Z l  hñp c¡c Wi th¼ tø (K14) ta suy ra X →→K Z.
B¥y gií chóng ta s³ ph¡t biºu v  chùng minh t½nh ¦y õ cõa tªp c¡c quy t­c suy di¹n
(K1)-(K10) èi vîi mët lîp c¡c l÷ñc ç quan h» thäa mët sè i·u ki»n nh§t ành.
ffiành lþ 5.1. Vîi mët mùc K cho tr÷îc, tªp c¡c quy t­c suy di¹n (K1)-(K10) l  ¦y õ èi
vîi c¡c l÷ñc ç quan h» thäa m¢n i·u ki»n: mi·n trà cõa méi thuëc t½nh Ai ∈ U ·u tçn t¤i
mët c°p ai, bi sao cho ai 6=KAi bi.
100 L– XU…N VINH, TR†N THI–N TH€NH
Chùng minh. ffiº chùng minh t½nh ¦y õ cõa (K1)-(K10) èi vîi lîp c¡c l÷ñc ç quan h»
thäa m¢n i·u ki»n n¶u tr¶n, ta s³ chùng minh r¬ng n¸u F v  G t÷ìng ùng l  tªp phö thuëc
h m mí v  phö thuëc a trà mí (gåi chung l  phö thuëc mí) cho tr÷îc cõa mët l÷ñc ç quan
h» tr¶n tªp thuëc t½nh U v  d l  mët phö thuëc mí khæng suy di¹n ÷ñc tø F v  G bði tªp
c¡c quy t­c (K1)-(K10), tùc l  d /∈ (F,G)+, th¼ tçn t¤i mët quan h» r thäa c¡c phö thuëc mí
trong (F,G)+ nh÷ng khæng thäa d.
Thªt vªy, gi£ sû d l  phö thuëc mí câ mùc K v  v¸ tr¡i l  X. Theo M»nh · 5.2, èi vîi
X ta câ tªp Y1, ..., Yn l  mët ph¥n ho¤ch tr¶n U −X t÷ìng ùng vîi F v  G. ffi°t X+K = {A ∈
U |X →K A ∈ (F,G)+}. Khi â X →K X+K ∈ (F,G)+ v  theo (K9), X →→K X+K ∈ (F,G)+.
Theo (K6), ta suy ra X →→K U −X+K ∈ (F,G); v  v¼ vªy theo M»nh · 5.2 th¼ U −X+K l 
hñp cõa mët sè c¡c Wi vîi Wi ∈ {Y1, ..., Yn}, tùc l  U −X+K =
⋃m
i=1Wi. B¥y gií, chóng ta s³
x¥y düng quan h» r gçm 2m bë nh÷ sau:
X+K W1 W2 ... Wm
(ai)i∈I0 (ai)i∈I1 (ai)i∈I2 ... (ai)i∈Im
(ai)i∈I0 (bi)i∈I1 (ai)i∈I2 ... (ai)i∈Im
(ai)i∈I0 (ai)i∈I1 (bi)i∈I2 ... (ai)i∈Im
... ... ... ... ...
(ai)i∈I0 (bi)i∈I1 (bi)i∈I2 ... (ai)i∈Im
... ... ... ... ...
(ai)i∈I0 (bi)i∈I1 (bi)i∈I2 ... (bi)i∈Im
V½ dö vîi m = 3 v  méi tªp X+K , W1, W2, W3 ch¿ chùa 1 thuëc t½nh, r s³ gçm 8 bë:
, ,,,,, <
a, a, b, b >,.
Tr÷îc ti¶n chóng ta chùng minh r thäa F v  G. Gi£ sû Y →K Z l  mët phö thuëc h m
mí mùc K thuëc F . ffi°t W =
⋃
i∈IWi vîi I = {i|Y ∩Wi 6= ∅}. D¹ th§y Y ⊆ X+KW v  v¼ vªy
X+KW →K Z ∈ (F,G)+ theo (K1) v  (K4).
Theo M»nh · 5.2, ta l¤i câ X →→K W ∈ (F,G)+. Hìn núa, X →→K X+K ∈ (F,G)+ n¶n
sû döng (K14) ta suy ra X →→K X+KW ∈ (F,G)+. Theo (K17), X →K Z−X+KW ∈ (F,G)+.
Theo ành ngh¾a cõa X+K ta câ Z −X+KW ⊆ X+K , tùc l  Z −X+KW = ∅ v  v¼ vªy Z ⊆ X+KW .
Gi£ sû t1, t2 ∈ r v  t1[Y ] =K t2[Y ]. Theo c¡ch x¥y düng r, ta câ t1[W ] =K t2[W ] v 
t1[X
+
K ] =K t2[X
+
K ], tùc l  t1[X
+
KW ] =K t2[X
+
KW ]. V¼ vªy t1[Z] =K t2[Z], tùc l  r thäa
Y →K Z.
B¥y gií, gi£ sû Y →→K Z l  mët phö thuëc a trà mí mùc K, tùc l  Y →→K Z ∈ G. V¼
Y ⊆ X+KW v  ∅ ⊆ X+KW n¶n sû döng (K7), ta ÷ñc X+KW →→K Z ∈ (F,G)+. Hìn núa, theo
chùng minh tr¶n X →→K X+KW ∈ (F,G)+, do vªy theo (K8), X →→K Z −X+KW ∈ (F,G)+
v  theo M»nh · 3.5.2 ta suy ra Z − X+KW =
⋃
i∈I1 Wi l  hñp cõa mët sè c¡c Wi vîi
I1 ⊆ {1, ...,m}.
Vîi hai bë tòy þ t1, t2 ∈ r câ t1[Y ] =K t2[Y ], tùc t1[Y ] = t2[Y ]. Theo c¡ch x¥y düng r, tçn
t¤i mët bë t3 câ t3[Z−X+KW ] = t1[Z−X+KW ] v  t3[U − (Z−X+KW ) = t2[U − (Z−X+KW )].
B¥y gií ta s³ chùng minh t3 l  bë thäa c¡c i·u ki»n trong ffiành ngh¾a 4.1. Thªt vªy,
do t3[U − (Z − X+KW ) = t2[U − (Z − X+KW )] v  t2[Y ] = t1[Y ] n¶n t3[Y ] = t1[Y ]; Tø
t3[Y ] = t1[Y ] ta suy ra t3[W ] = t1[W ] v  hai bë tòy þ trong r ·u b¬ng nhau tr¶n X
+
K n¶n
MËT SÈ V‡N ffi— V— PHÖ THUËC ffiA TRÀ TRONG CÌ SÐ DÚ LI›U MÍ CHÙA DÚ LI›U NGÆN NGÚ 101
t3[X
+
KW ] = t1[X
+
KW ]. V¼ vªy t3[Z∩X+KW ] = t1[Z∩X+KW ]. Theo c¡ch chån t3, t3[Z−X+KW ] =
t1[Z − X+KW ]. Do â t3[Z] = t1[Z]. Cán l¤i, t3[U − Y Z] = t2[U − Y Z] ÷ñc suy ra tø
t3[U − (Z −X+KW )] = t2[U − (Z −X+KW )] vîi nhªn x²t U − Y Z ⊆ U − (Z −X+KW ). Nh÷
vªy t3 thäa c¡c i·u ki»n trong ffiành ngh¾a 4.1, tùc l  r thäa Y →→K Z.
B¥y gií, chóng ta chùng minh r¬ng r khæng thäa d. Thªt vªy, x²t tr÷íng hñp d = X →K Y .
V¼ d /∈ (F,G)+ n¶n Y * X+K . Theo c¡ch x¥y düng r, tçn t¤i hai bë t1, t2 ∈ r m  t1[Y ] 6= t2[Y ];
trong khi â t1[X] = t2[X]. Ta suy ra t1[X] =K t2[X] nh÷ng t1[Y ] 6=K t2[Y ], tùc l  r khæng
thäa d.
Tr÷íng hñp d = X →→K Y /∈ (F,G)+. ffiº chùng minh ph£n chùng gi£ sû r thäa d. Do c¡ch
x¥y düng r n¶n Y = X ′∪W ′, ð ¥yX ′ ⊆ X+K v W ′ =
⋃
i∈JWi, vîi J ⊆ {1, ...,m}. Theo M»nh
· 5.1, X →K X ′ ∈ (F,G)+ v  theo (K9) ta câ X →→K X ′ ∈ (F,G)+. Tø W ′ =
⋃
i∈JWi,
vîi J ⊆ {1, ...,m} v  M»nh · 5.2 ta suy ra X →→K W ′ ∈ (F,G)+. Sû döng (K14) cho hai
k¸t luªn tr¶n ta câ d = X →→K X ′ ∪W ′ ∈ (F,G)+, tùc l  d = X →→K Y ∈ (F,G)+, m¥u
thu¨n vîi gi£ thi¸t. Vªy r khæng thäa d. ffiành lþ ¢ ÷ñc chùng minh.
6. K˜T LUŁN
Trong b i b¡o n y, c¡c phö thuëc cì b£n tr¶n mæ h¼nh CSDL mí chùa dú li»u ngæn ngú
¢ ÷ñc nghi¶n cùu v  °c bi»t l  phö thuëc a trà mí vîi nhúng t½nh ch§t cõa nâ. Mët tªp
c¡c quy t­c suy di¹n ÷ñc chùng minh l  óng ­n v  ¦y õ tr¶n lîp c¡c l÷ñc ç quan h»
thäa m¢n i·u ki»n nh§t ành. ffii·u ¡ng nâi l  tø c¡ch ti¸p cªn xem mi·n trà cõa thuëc t½nh
nh÷ mët ffiSGT, ti¶u chu©n b¬ng nhau mùc k l  cì sð º x¡c ành sü thäa m¢n c¡c lo¤i phö
thuëc nh÷ng r§t linh ho¤t thuªn ti»n cho vi»c c i °t v¼ c¡c tham sè kh¡c ÷ñc t½nh to¡n bði
h m ành l÷ñng ngú ngh¾a phö thuëc trüc ti¸p v o k. C¡c d¤ng chu©n mí li¶n quan ¸n c¡c
phö thuëc mí trong b i b¡o s³ ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu ti¸p theo.
T€I LI›U THAM KHƒO
[1] A. Rajaei, A. B. Dastjerdi, N. G. Aghaee, I nternational Journal of Database Management Systems
(IJDMS) 3 3 (2011) 157169
[2] B.P. Buckles, F.E. Petry, A fuzzy representation of data for relational databases, Fuzzy Sets and
Systems 7 3 (1982) 213226.
[3] B. P. Buckles, Extending the fuzzy database with fuzzy numbers, Information Sciences 34
(1984) 145155.
[4] C. Giardina, I. Sack, D. Sinha, Fuzzy Field Relational Database Tech, Report 8332, Elect. Engng.
and Computer Science Dept., Stevens Institute of Technology, Hoboken, NJ, October 1983.
[5] J. Mishra and S. Ghosh, A Multivalued Integrity Constraint in Fuzzy Relational Database, In-
ternational Journal of Computational Cognition 9 2 (2011) 7278.
[6] N. C. Ho, L. X. Vinh, On some properties of ordering relation in non-homogeneous hedge algebras,
Journal of Computer Science and Cybernetics 19 4 (2003) 373381.
102 L– XU…N VINH, TR†N THI–N TH€NH
[7] N.C. Ho, A Topological Completion of Refined Hedge Algebras and a Model of Fuzziness of
Linguistic terms, Fuzzy Sets and Systems 158 4 (2007) 436451.
[8] N.C. Ho, N.V. Long, Fuzziness Measure on Complete Hedge Algebras and Quantitative Semantics
of Terms in Linear Hedge Algebras, Fuzzy Sets and Systems 158 4 (2007) 452471.
[9] N. C. Hç, L. X. Vinh, N. C. H o, Thèng nh§t dú li»u v  x¥y düng quan h» t÷ìng tü trong cì sð
dú li»u ngæn ngú b¬ng ¤i sè gia tû, T¤p ch½ Tin håc v  ffii·u khiºn håc 25 4 (2009) 314332.
[10] N. C. Ho, Fuzzy Databases with Linguistic Data, Part II: Fuzzy Functional Dependencies.
[11] I. S. Mustafa, Y. Adnan, A complete axiomatization for fuzzy functional and multivalued de-
pendencies in fuzzy database relations, Fuzzy Sets and Systems 117 (2001) 161181.
[12] H. Prade, The connection between Lipski's approach to incomplete information data bases and
Zadeh's Possibility Theory, Proc. Int. Conf. Systems Meth. (1982) 402408.
[13] S. Shenoi, A. Melton and L. T. Fan, Functional Dependencies and Normal Forms in the Fuzzy
Relational Database Model, Information Sciences 60 (1992) 128.
[14] A. Takaci, Comparing Fuzzy Attribute Values in FRDB, SISY 4th Serbian-Hungarian Joint
Symposium on Intelligent Systems (2006) 311317.
[15] H. Thuan, T. T. Thanh, On functional dependencies and multivalued dependencies in fuzzy
relational databases, Journal of Computer Science and Cybernetics 17 2 (2001) 1319.
[16] L. X. Vinh, X¡c ành tham sè cho h» mí theo h÷îng ti¸p cªn k¸t hñp ¤i sè gia tû v  h» mí
nìron, T¤p ch½ Khoa håc Tr÷íng ffiai håc Quy Nhìn 2 3 (2008) 97108.
[17] L. A. Zadeh, The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning,
Part I: Information Sciences 8 199249; Part II: Information Sciences 8 301357; Part III:
Information Sciences 9 4380.
Nhªn b i ng y 15 - 11 - 2011