Nghiên cứu lý thuyết tạo hình và xây dựng phương trình bề mặt răng bánh răng hypoit

 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 37 (6/2012) 102 
NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TẠO HÌNH VÀ XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH 
BỀ MẶT RĂNG BÁNH RĂNG HYPOIT 
Ngô Xuân Quang1 
Tóm tắt: Hiện nay nhu cầu về sửa chữa và thay thế bộ truyền bánh răng hypoit ngày càng tăng 
cùng với sự phát triển của thiết bị, máy móc, đặc biệt là trong ngành, máy xây dựng và vận tải đường 
bộ. Các cở sở chế tạo bộ truyền bánh răng hypoit ở Việt Nam vẫn còn hạn chế và năng suất chưa cao. 
Trong bài báo này, tác giả giới thiệu về nguyên lý gia công, lý thuyết tạo hình bề mặt bánh răng 
hypoit, phương pháp xây dựng phương trình bề mặt răng của bánh răng hypoit và phương trình bề 
mặt răng bánh răng hypoit. Phương trình bề mặt răng xây dựng được là một cơ sở quan trọng để 
tiếp tục phát triển nghiên cứu phương pháp gia công bộ truyền bánh răng hypoit trên máy công cụ 
CNC đạt năng suất cao. 
Từ khóa:Bánh răng hypoit, lý thuyết tạo hình bánh răng hypoit 
I. Đặt vấn đề 
Hiện nay, cùng với sự phát triển của nền kinh 
tế thị trường thì các loại thiết bị, máy móc của 
các nước phát triển được nhập vào nước ta ngày 
càng nhiều. Đặc biệt trong ngành máy xây dựng 
và vận tải đường bộ, các loại xe ô tô và máy xây 
dựng của các nước Nhật Bản, Hàn Quốc, Mỹ, 
CHLB Đức, đã và đang được sử dụng rộng rãi. 
Đặc điểm chung nhất của các loại xe này là bộ 
bánh răng truyền động chính (cụm cầu sau) đa số 
thuộc loại bánh răng côn cong hypoit hệ Gleason. 
Sau một thời gian dài sử dụng các bộ truyền 
bánh răng bị mòn hoặc vỡ gây ra tiếng ồn và 
truyền chuyển động không còn chính xác nữa 
nên luôn luôn cần thay thế, do đó nhu cầu về bộ 
bánh răng hypoit đặt ra là rất lớn. 
Việc nghiên cứu, xây dựng phương trình bề 
mặt răng của bánh răng côn cong hypoit là một cơ 
sở quan trọng trong việc gia công chế tạo nâng 
cao năng suất tại Việt Nam trong thời gian tới. 
II. Nguyên lý tạo hình bề mặt răng 
2.1. Nguyên lý gia công bánh răng côn cong 
hypoit hệ Gleason 
Việc gia công bánh răng côn cong hypoit hệ 
Gleason dựa theo nguyên lý ăn khớp cưỡng bức 
giữa bánh răng dẹt sinh tưởng tượng (do chuyển 
động của dao tạo nên) và phôi bánh răng gia 
công (Hình 2.1). Khi cắt răng đầu dao mang 
lưỡi cắt sẽ thực hiện hai chuyển động tạo hình: 
Hình 2.1 Nguyên lý cắt răng hệ Gleason 
- Chuyển động quay quanh trục qua tâm giá 
lắc (theo chiều S1); 
- Chuyển động quay quanh trục đầu dao với 
vận tốc cắt V [m/phút] (theo chiều S2). Chuyển 
động S2 là chuyển động tạo hình đơn giản tạo ra 
chiều dài răng. 
Ngoài ra phôi còn chuyển động quay S3 
quanh trục của nó. Để tạo profin răng thì bánh 
dẹt sinh (giá lắc lư) và phôi được cắt có mối liên 
hệ động học với nhau thông qua xích bao hình. 
Nếu bánh dẹt sinh chuyển động với vận tốc góc 
 d và bánh răng được cắt  k thì mối quan hệ 
động học giữa chúng được viết : 
i z
zbh
d
k
d
k
 


 ( , )k  1 2 ; 
trong đó : 
zd - số răng của bánh dẹt sinh; 
zk - số răng của bánh răng 1 hoặc 2 (chủ 
động, bị động); lưỡi cắt; 1. Trường Đại học Thủy lợi 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 37 (6/2012) 103
ibh - tỉ số truyền chung của xích bao hình. 
Trong quá trình bao hình, bánh dẹt sinh thực 
hiện chuyển động quay không toàn phần quanh 
trục giá lắc. 
Sau mỗi lần gia công xong một rãnh răng thì 
xích bao hình bị phân giải, giá lắc đảo chiều, quay 
về vị trí ban đầu, bánh răng được cắt tiếp tục thực 
hiện phân độ và chuẩn bị chu kỳ gia công mới, cứ 
như thế cho đến khi gia công hết răng. 
2.2. Lý thuyết chung về tạo hình bề mặt 
biên dạng răng bánh răng 
Với dụng cụ cho trước ta xác định được 
phương trình chuyển động của lưỡi cắt. Cho 
lưỡi cắt này thực hiện các chuyển động khi gia 
công bề mặt bánh răng ta sẽ nhận được một họ 
bề mặt bao của lưỡi cắt, tìm mặt bao của họ mặt 
bao này chính là bề mặt biên dạng răng của 
bánh răng gia công. 
Giả sử phương trình họ mặt côn của lưỡi cắt 
chuyển động có dạng: 
F(X,Y,Z,C) = 0 
Thì phương trình mặt bao của họ bề mặt côn 
lưỡi cắt [4] là: 
( , , , ) 0
( , , , ) 0
F X Y Z c
F X Y Z c
c



 
III. Xây dựng phương trình bề mặt biên 
dạng răng của bánh răng hypoit hệ Gleason 
3.1. Các chuyển động cắt và các hệ trục tọa độ 
Quá trình gia công bánh răng là quá trình 
lưỡi cắt tác động vào phôi và cắt bỏ một phần 
vật liệu để tạo ra bề mặt biên dạng răng. Quá 
trình gia công bánh răng côn cong hypoit hệ 
Gleason bao gồm một số chuyển động kết hợp 
với nhau để hình thành bề mặt răng. Chuyển 
động quay một góc  của đầu dụng cụ mang 
lưỡi cắt quanh trục của dụng cụ, trục dụng cụ 
tạo một góc nghiêng i so với trục của bánh dẹt 
sinh tưởng tượng, đầu dao vừa quay quanh trục 
dao vừa quay quanh trục của bánh dẹt sinh 
tưởng tượng một góc q. Lúc này lưỡi cắt sẽ có 
liên hệ bao hình với phôi thông qua xích truyền 
động của máy và phôi sẽ quay một góc  
Để xây dựng phương trình bề mặt răng ta 
phải xác định chuyển động tương đối giữa lưỡi 
cắt và phôi. Bề mặt răng được tạo bởi một họ bề 
mặt lưỡi cắt (mặt côn). Ở đây ta cho phôi cố 
định và coi như lưỡi cắt sẽ thực hiện tất cả các 
chuyển động để tạo ra chuyển động tương đối 
giữa lưỡi cắt và phôi để hình thành lên biên 
dạng bề mặt răng. Như vậy ta phải xác định 
được tọa độ của lưỡi cắt trong hệ tọa độ gắn với 
phôi (S1). Trước tiên ta tạo các hệ tọa độ qui 
chiếu như sau [3]: 
- Dụng cụ được gắn trên giá lắc và chuyển 
động quay. Hệ tọa độ St1 (Ot1xt1yt1zt1) được gắn 
với giá đỡ dụng cụ. 
- Tọa độ lưỡi cắt rt1 được xác định thông qua 
hai tham số s và  
 
 
 
1
.
.,
.
1
c
c
t
r s sin cos
r s sin sinr s
s cos
 
 


 
 
    
  
 (3.1) 
trong đó: : góc côn của lưỡi cắt 
s: độ cao lưỡi cắt theo phương zt1 
góc quay của đầu dụng cụ quanh trục zt1 
Hình 3.1: Hệ tọa độ St1 được gắn với giá đỡ 
dụng cụ 
- Hệ tọa độ S1 được gắn với phôi. Để xác định 
tọa độ lưỡi cắt trong hệ S1 ta tiến hành xác định 
tọa độ lưỡi cắt trong các hệ tọa độ trung gian 
tương ứng với các chuyển động khi tạo hình biên 
dạng răng Sb, Sc, Sm1, Sn, Sq, (hình 3.2). 
+ Hệ Sb là hệ tọa độ mới của dụng cụ cắt khi 
đầu dụng cụ xoay nghiêng một góc i quanh trục 
yt1 (ObOt1; yb  yt1). 
+ Hệ Sc là hệ tọa độ được gắn với tâm của 
bánh dẹt sinh tưởng tượng, trục dao cách tâm 
bánh dẹt sinh một khoảng SR, trục dao quay một 
góc là j. 
+ Hệ Sm1 gắn với bánh dẹt sinh khi trục dao 
 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 37 (6/2012) 104 
vừa quay quanh nó vừa quay quanh tâm bánh 
dẹt sinh một góc q. 
+ Sn là hệ mới của Sm1 sau khi tịnh tiến lượng 
hypoit Em1 và độ lệch tâm B 
+ Sq là hệ gắn trên máy, trùng với tâm phôi 
và cách đỉnh côn của phôi một lượng A 
Trong quá trình tạo hình giá lắc với hệ Sc thực 
hiện chuyển động quay quanh trục zm1 với vận 
tốc góc (c) và phôi với hệ S1 thực hiện chuyển 
động quay quanh trục xq với vận tốc góc (1). 
- Liên hệ giữa q và 1: 
q = c + 1 (c)/(1) = c + 1.zd/z1 
 = c + 1. z1/ 2 21 2z z (3.2) 
trong đó: c là góc quay ban đầu của giá 
lắc (bánh dẹt sinh); 
z1 là số răng theo thiết kế của bánh răng đang 
gia công; 
z2 là số răng của bánh răng ăn khớp với bánh 
răng z1.
Hình 3.2: Các hệ tọa độ chuyển động của dụng cụ cắt St1 , Sb, Sc, Sm1, Sn, Sq, S1 
- Các thông số gá đặt khác: 
Em1 : là lượng dịch hypoid của máy, 
m1 : là góc nghiêng trục bánh nhỏ so với mặt mút bánh lớn 
i : góc nghiêng trục dao 
j : góc quay trục dao nghiêng 
B : là khoảng các đỉnh côn đến bề mặt giá lắc, 
A : khoảng cách từ đỉnh côn đến đường tâm máy, 
SR : là bán kính gá đặt đầu dao. 
Vị trí dao 
ban đầu 
Vị trí dao 
cuối 
cùng 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 37 (6/2012) 105
3.2. Xây dựng phương trình bề mặt răng 
Từ phương trình lưỡi cắt của dụng cụ để xác 
định phương trình bề mặt răng, trước hết ta thực 
hiện các phép biến đổi tọa độ để xác định tọa độ 
của lưỡi cắt trong hệ S1. Để thực hiện được đơn 
giản ta thực hiện biến đổi tọa độ qua các hệ tọa độ 
trung gian Sb, Sc, Sm1, Sn, Sq như trên hình 3.2. 
- Chuyển từ hệ St1 sang hệ Sb ta có phương 
trình: 
b 1 t1
b 1
b 1 t1
X osi + Z sin
Y
Z sini + Z os
t
t
t
X c i
Y
X c i



  
Ta có thể viết gọn như sau: rb = Mbt1.rt1; 
trong đó Mbt1 là ma trận chuyển hệ từ St1 sang Sb 
1
cos 0 sin 0
0 1 0 0
sin 0 cos 0
0 0 0 1
bt
i i
M
i i
 
 
 
 
 
 
- Tương tự chuyển từ hệ Sb sang hệ Sc ta có: rc 
= Mcb.rb; Mcb là ma trận chuyển hệ từ Sb sang Sc 
- Khi chuyển từ hệ Sc sang hệ Sm1 ta có: rm1 = 
Mm1c.rc; Mm1c là ma trận chuyển hệ từ Sc sang Sm1 
- Khi chuyển từ hệ Sm1 sang hệ Sn ta có: rn = 
Mnm1.rm1; Mnm1 là ma trận chuyển hệ từ Sm1 sang Sn 
- Khi chuyển từ hệ Sn sang hệ Sq ta có: rq = 
Mqn.rn; Mqn là ma trận chuyển hệ từ Sn sang Sq 
- Khi chuyển từ hệ Sq sang hệ S1 ta có: r1 = 
M1q.rq; M1q là ma trận chuyển hệ từ Sq sang S1 
sin cos 0
cos sin 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
R
cb
j j S
j j
M
  
  
 
 
 
; 
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
m c
q q
q q
M
 
  
 
 
 
; 
1
1 0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
m
nm
E
M
B
 
 
 
 
 
 
; 
cos 0 sin
0 1 0 0
sin 0 cos 0
0 0 0 1
m m
qn
m m
A
M
 
 
 
 
 
 
 
 
; 
1 1
1
1
1 0 0 0
0 cos sin 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
qM
 
 
 
  
 
 
 
ta có: 
r1 = M1q.rq = M1q.Mqn.rn = M1q.Mqn.Mnm1.rm1 = 
M1q.Mqn.Mnm1.Mm1c.rc = M1q.Mqn.Mnm1.Mm1c. 
Mcb.rb = M1q.Mqn.Mnm1.Mm1c. Mcb. Mbt1.rt1 
Như vậy: 
r1(s,,p)M1q.Mqn.Mnm1.Mm1c. 
Mcb. Mbt1.rt1(s,t1. rt1(s,) 
Tính M1t1: 
11 12 13 14
21 22 23 24
1 1
31 32 33 34
41 42 43 44
t
a a a a
a a a a
M
a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 (3.4) 
Trong đó: 
a11= cosicosmsin(q-j) - sinisinm; 
a12 = -cos(q-j)cosm; 
a13 = sinicosmsin(q-j) + cosisinm; 
a14 = SRcosqcosm - Bsinm - A; 
a21 = cosisinmsinpsin(q-j) 
 +cosicos(q-j) cosp + sinicosmsinp; 
a22 = -cos(q-j)sinmsinp + sin(q-j)cosp 
a23 = sinisinmsinpsin(q-j) 
 + sinicos(q-j)cosp cosisinmsinp; 
a24 = -SR(sinqcosp - cosqsinmsinp) 
 +Emcosp+Bcosmsinp; 
a31 = -cosisinmcospsin(q-j) 
 + cosicos(q-j)sinp + sinicosmcosp; 
a32 = sinm cospcos(q-j) + sin(q-j)sinp; 
a33 = -sinisinmsin(q-j)cosp + sinicos(q-j) 
 sinp + cosicosmcosp; 
a34 = -SR(sinqsinp + cosqsinmcosp) 
 +Emsinp - Bcosmcosp; 
a41 = 0; a41 = 0; a42 = 0; a43 = 0; a44 = 1. 
Từ các công thức (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) ta 
có phương trình đường bao của họ lưỡi cắt: 
1 1 1 1( , , ) . ( , )p t tr s M r s   ; 
1 c
1 c
1 1
1
(r + s.sin )cos 
(r + s.sin )sin 
.
- s.sin 
1 1
t
X
Y
M
Z
 
 

   
   
   
   
   
   
(3.5) 
 KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 37 (6/2012) 106 
X1(sp) = a11xt1+a12yt1+a13zt1+a14 
= [cosicosmsin(q-j) - sinisinm] 
 (rc + s.sin)cos - cos(q-j)cosm 
 (rc + s.sin)sinsinicosmsin(q-j) 
 + cosisinm](-s.cos) + SRcosqcosm 
- Bsinm - A 
Y1(s,p) = a21xt1+a22yt1+a23zt1+a24 
= [cosisinmsinpsin(q-j) + cosicos(q-j)cosp 
+ sinicosmsinp](rc + s.sin)cos
cos(q-j)sinmsinp - sin(q-j)cosp] 
(rc + s.sin)sin sinisinmsinpsin(q-j) 
+ sinicos(q-j)cosp - cosisinmsinp] 
(-s.cos) – SR(sinqcosp - cosqsinmsinp) 
+ Emcosp + Bcosmsinp 
Z1(s,p) = a31xt1+a32yt1+a33zt1+a34 
= [-cosisinmcospsin(q-j) + cosicos(q-j) 
sinp - sinicosmcosp](rc + s.sin)cos
cos(q-j)sinmcosp + sinpsin(q-j)] 
(rc + s.sin)sinsinisinmcospsin(q-j) 
+ sinicos(q-j)sinp + cosicosmcosp] 
(-s.cos) - SR(sinqsinp + cosqsinmcosp) 
+ Emsinp - Bcosmcosp 
Như vậy muốn tìm bề mặt biên dạng răng ta 
đi tìm mặt bao của họ mặt côn của lưỡi cắt. 
Phương trình mặt bao có dạng: 
1 1 1( , , ) 0
0
F X Y Z
F
q


  
 (3.9) 
Từ (3.2) ta có: p = 1 = (q - c) 2 21 2z z /z1 
thay vào (3.6), (3.7), (3.8) và lấy đạo hàm theo q 
ta được: 
1X
q



cosicosmcos(q - j)(rc + s.sin) 
cossin (q - j)cosm(rc + s.sin) 
sinsinicosmcos(q - j)s.cos - SRsinqcosm; 
1Y
q



(sinm-1)sin[(q - c) 2 21 2z z /z1 
+(q-j)].[(rc + s.sin)cos - s.cossini] 
+ (sinm-1)cos[(q - c) 2 21 2z z /z1 
+(q-j)].[SR-(rc + s.sin)sincosmcos 
[(q - c) 2 21 2z z /z1].[ (rc + s.sin)cossini 
+ B] – (s.cossinicosm + Em)sin 
[(q - c) 2 21 2z z /z1]; 
1Z
q



(sinm-1)sin[(q - c) 2 21 2z z /z1 
+(q-j)].[SR-(rc + s.sin)sin] 
+ (sinm-1)cos[(q - c) 2 21 2z z /z1 
+ (q-j)].[(rc + s.sin)cos - s.cossini] 
 + cosmsin[(q - c) 2 21 2z z /z1]. 
[(rc + s.sin)coscosi + s.sinsini+ B] 
+ Emcos[(q - c) 2 21 2z z /z1]; 
Giải hệ 
1
1
1
0
0
0
X
q
Y
q
Z
q
 
 
 


 


 (3.10) 
Ta có: c c
R c
(r + s.sin )cos cosicosj - (r + s.sin )sin sinj - s.sin sinicosjq = atan
S - (r + s.sin )sin cosj 
    
 
 
 
 
 (3.11) 
thay q vào phương trình (3.6), (3.7), (3.8) ta có phương trình bề mặt biên dạng răng: 
1 11 c 12 c 13 14
1 21 c 22 c 23 24
1 31 c 32 c 33 34
( , ) (r + s.sin )cos + (r + s.sin )sin - s.sin
( , ) (r + s.sin )cos + (r + s.sin )sin - s.sin
( , ) (r + s.sin )cos + (r + s.sin )sin - s.sin
X s a a a a
Y s a a a a
Z s a a a a
     
     
     
 
 
 



 (3.12) 
Với các aij được xác định theo công thức 
(3.5) 
Từ phương trình bề mặt biên dạng răng (3.12) 
ta có thể xác định được một tập hợp tọa độ x,y,z 
của các điểm thuộc bề mặt răng khi biết các thông 
số đầu vào của quá trình gia công. Với tập hợp các 
tọa độ này chúng ta có thể sử dụng phần mềm vẽ 
ra bề mặt bánh răng và kết hợp lập trình gia công 
tự động trên máy công cụ CNC. 
Với kết quả trên ta cũng có thể tiếp tục 
nghiên cứu để có thể lập trình gia công tự động 
trên máy CNC thông qua phương trình (3.12) 
(3.6) 
(3.7) 
(3.8) 
KHOA HỌC KỸ THUẬT THỦY LỢI VÀ MÔI TRƯỜNG - SỐ 37 (6/2012) 107
mà không phải sử dụng phần mềm để xác định 
tập hợp tọa độ các điểm và vẽ ra bề mặt răng. 
IV. KẾT LUẬN 
Như vậy ta đã xây dựng được phương trình 
tổng quát của bề mặt răng bánh răng côn răng 
cong hệ Gleason thông qua các chuyển động cắt 
tạo hình và ăn khớp với tham số là tham số tọa 
độ của lưỡi cắt. Với mỗi cặp bánh răng ăn khớp 
cụ thể ta có một bộ các thông số đầu vào và từ 
đó xây dựng được phương trình của bề mặt răng 
bánh răng đó. Phương trình bề mặt răng xây 
dựng được là cơ sở quan trọng trong việc nghiên 
cứu các phương pháp gia công bánh răng cong 
hypoit đảm bảo chất lượng đạt năng suất cao. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. ANSI/AGMA 2005--D03, Design Manual for Bevel Gears, Copyright American Gear 
Manufacturers Association. 
[2]. Faydor L. Litvin (1989), Theory of Gearing, NASA RP-1212. 
[3]. Faydor L. Litvin, Alfonso Fuentes, Gear Geometry and Applied Theory, Published in the 
United States of America by Cambridge University Press, New York. 
[4]. GS – TS Bành Tiến Long (1998), Tạo hình bề mặt và những ứng dụng trong kỹ thuật, Đại 
học Bách Khoa Hà Nội, Hà Nội. 
[5]. Ngô Xuân Quang (2011), Luận văn thạc sỹ khoa học, Nghiên cứu nguyên lý tạo hình dụng 
cụ và thiết kế chế tạo dụng cụ gia công bánh răng côn răng cong hypoid lắp cho ô tô, Đại học Bách 
khoa Hà Nội. 
Abstract: 
RESEARCH ON THEORY OF FORMING SURFACE HYPOID GEARS AND 
FORMULATING EQUATION OF TOOTH SURFACE OF HYPOID GEARS 
Currently, demand for repair and replacement transmission gears hypoid increasing with the 
development of equipment and machinery, especially in the trucking industry and building 
equipment. Manufaturing hypoid gears in Vietnam is still limited and productivity is not high. 
In this paper, the author introduces the principles of machining, theory of forming surface 
hypoid gear, method of formulating equation of tooth surfaces of hypoid gears and equation of 
tooth surfaces of hypoit gears. This is an important foundation for further research to develop 
methods of machining on CNC machine tools. 
Keywords:Hypoid gears, theory of forming surface hypoid gears. 
Người phản biện: PGS.TS. Nguyễn Đăng Cường