Phân tích kết cấu giàn phẳng dùng phương pháp ma trận độ cứng

805 
PHÂN TÍCH KẾT CẤU GIÀN PHẲNG 
DÙNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG 
Nguyễn Lê Công, Trần Tấn Phát 
Khoa Xây dựng, Trường Đại học Công nghệ TP. Hồ Chí Minh 
GVHD: TS. Võ Minh Thiện 
TÓM TẮT 
Bài báo trình bày cơ sở lý thuyết phương pháp phân tích nội lực và chuyển vị của hệ kết cấu 
giàn phẳng dùng phương pháp ma trận. Với những kết quả nghiên cứu đạt được, nhóm tác 
giả có so sánh đối chiếu với phương pháp phần tử hữu hạn thông qua phần mềm thương 
mại như SAP2000 nhằm đánh giá độ tin cậy của phương pháp ma trận. Nghiên cứu này là 
cơ sở nền tảng cho việc đề xuất các giải thuật phân tích toán học chạy trên các phần mềm 
toán như Matlab, Mathcad. 
Từ khóa: BIM, Kết cấu giàn phẳng, phương pháp ma trận, phân tích nội lực, xây dựng. 
1 KẾT CẤU GIÀN PHẲNG 
Kết cấu giàn là kết cấu chịu lực trong công trình xây dựng, tổ hợp bởi các phần tử kết cấu 
dạng thanh, kết cấu này có thể chịu lực tốt và được phát hiện từ rất sớm trước đây cho tới 
hiện nay vẫn được sử dụng rộng rãi vì sự tiện dụng và có nhiều ưu điểm của nó như: tiết 
kiệm vật liệu, cho vượt khẩu độ lớn, nhẹ, kinh tế và đặc biệt về phương diện kiến trúc có thể 
tạo được nhiều hình dáng khác nhau như: nhà thi đấu, sân vận động, nhà hát, nhà công 
nghiệp, giàn khoan trên biển. Bên cạnh đó vẫn phải nói về nhiều lĩnh vực có thể áp dụng loại 
kết cấu này: xây dựng dân dụng và công nghiệp, an ninh quốc phòng và cả những công 
trình như cầu vượt Hiện nay do sự phát triển của công nghệ tin học điện tử nên việc tính 
toán đơn giản và thuận tiện hơn rất nhiều nhờ các phần mềm phân tích tính toán ứng dụng 
được viết dựa theo phương pháp phần tử hữu hạn như phần mềm Sap, Etabs v.v. Tuy 
nhiên, bài báo trình bày phương pháp ma trận trong phân tích kết cấu bài toán giàn phẳng. 
Phương pháp ma trận đã được áp dụng lần đầu trong ngành công nghiệp hàng không nhằm 
cải thiện tỷ lệ giữa lực đẩy động cơ và trọng lượng của kết cấu máy bay vào những năm 
1940 (Petyt, 1969). Khi đó việc tính toán một ma trận có kích thước khiêm tốn cũng mất đến 
vài tuần để có được kết quả chính xác. Ngày nay, việc phân tích kết cấu đã trở nên đơn giản 
hơn dựa vào sự phát triển không ngừng của khoa học máy tính. Vào năm 1956 phương 
pháp phần tử hữu hạn (Norrie, 1987) ra đời dựa trên phương pháp ma trận. 
2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
2.1 Ma trận độ cứng của một phần tử thanh đối với hệ trục tọa độ địa phương 
của thanh 
Thiết lập ma trận độ cứng phần tử thanh đối với hệ trục tọa độ địa phương: 
806 
Hình 1. Phần tử thanh đơn giản nằm ngang 
trong đó: 
X1 , X2: lực dọc tại nút số 1 và 2; 
u1, u2: tọa độ dọc trục tại nút số 1 và 2; 
A: diện tích mặt cắt tiết diện ngang của thanh; 
L: chiều dài thanh; 
E: mô đun đàn hồi của vật liệu thanh; 
Áp dụng định luật Hooke đối với vật liệu đàn hồi cho nút số 1; 
E


 (1) 1
X
A
  (2) 
21u u
l


 (3) 
Thay (1), (2) vào (3), ta được: 
 1 2
1
EA u u
X
l

 (4) 
Từ phương trình cân bằng lực, ta có: 
 1 2
2 1
EA u u
X X
l

   (5) 
Viết (4), (5) dưới dạng ma trận: 
1 1
2 2
1 1
1 1
X uEA
X ul
    
        
 (6) 
Hoặc viết (6) dưới dạng rút gọn: 
    i  iP k u (7) 
  1
2
X
X
 
  
 
i
P
 là vector lực. (8) 
1
2
u
u
 
  
 
i
u  là vector tọa độ tại các nút. (9) 
 
1 1
1 1
EA
l
 
   
k  là ma trận độ cứng của phần một tử thanh đối với hệ trục tọa 
 độ địa phương 
(10) 
2.2 Ma trận độ cứng của một phần tử thanh đối với hệ trục tọa độ tổng thể 
Phần tử thanh chúng ta đã xem xét ở Hình 1, không phải là phần tử đại diện. Bởi trong 
thực thế, một cách tổng quát, phần tử có thể xoay một góc bất kỳ so với phương ngang 
như Hình 2. 
807 
Hình 2. Mô hình một hệ giàn phẳng điển hình 
Trong trường hợp này, mỗi thanh có 2 nút 
với có 4 bậc tự do u1, v1 và u2, v2. Dựa vào 
(10), ma trận phần tử thanh viết dưới dạng 
ma trận độ cứng [k] 4x4 trong hệ trục tọa 
độ địa phương được viết như sau: 
 
1 1 2 2
1
1
2
2
u v u v
u1 0 1 0
v0 0 0 0
u1 0 1 0
v0 0 0 0
EA
L
 
 
 
 
 
 
k
(11) 
Ta dễ dàng tìm được mối quan hệ tọa độ giữa 
hệ trục tọa độ địa phương và hệ trục tọa độ 
tổng thể theo công thức: 
0 0cos sinu u v   
0 0sin cosv u v    
(12) 
Với: u0, v0 là tọa độ của nút đối với hệ trục tọa 
độ tổng thể; 
u, v là tọa độ của nút đối với hệ trục tọa độ địa 
phương; 
Viết công thức (11) dưới dạng ma trận: 
cos sin
sin cos
o
o
u u
v v
   
         
 
 
(13) 
Hình 3. Phần tử thanh i–j biểu diễn 
trong hệ trục địa phương và hệ trục 
tọa độ tổng thể. 
Gọi u1, v1 và u2, v2 là tọa độ của 2 đầu nút của thanh đối với hệ trục tọa độ địa phương, lúc 
này ta có: 
Tọa độ nút 1 Tọa độ nút 2 
1 1
1 1
c s
s c
o
o
u u
v v
    
         
(14) 
2 2
2 2
c s
s c
o
o
u u
v v
    
         
(15) 
Với: 
sins  ;
cosc  (16) 
Viết dưới dạng tổng quát: (17) 
trong đó: 
 
c s
s c
 
   
ζ
 
0 0
0 0
 
  
 
20
(18) 
808 
0
1 1
0
1 1
0
2 2
0
2 2
u u
v v
u u
v v
  
  
    
    
    
      
2
2
ζ 0
0 ζ
Phương trình (17) có thể viết lại dưới dạng ma trận rút gọn như sau: 
     0i iu DC u (19) 
 
 
  
 
2
2
0ζ
DC
0 ζ
 được gọ i là ma trận định hướng cosines. (20) 
 
1
1
2
2
u
v
u
v
 
 
 
  
 
  
iu 
Vector chuyển vị tại các nút theo 
hệ trục tọa độ địa phương. 
(21) 
 
0
1
0
1
0
2
0
2
u
v
u
v
 
 
 
  
 
 
 
0
iu 
gọi là vector tọa độ vị trí các nút theo 
hệ trục tọa độ tổng thể. 
(22) 
Từ công thức (20), ta thấy rằng ma trận 
[DC] là ma trận trực giao, nên:    
1 T
DC DC
(23) 
Biến đổi (19) và thay (23) vào, ta được:      T0i iu DC u (24) 
Tương tự, ta cũng quy đổi vector lực từ 
hệ trục tọa độ địa phương về hệ trục tọa 
độ tổng thể: 
     T0i iP DC P (25) 
Hay:      0i iP DC P (26) 
 
1
1
2
2
X
Y
X
Y
 
 
 
  
 
  
iP 
 là vector lực đối với hệ trục 
tọa độ địa phương. 
(27) 
 
0
1
0
2
0
1
0
2
X
Y
X
Y
 
 
 
  
 
 
 
0
iP 
 là vector lực đố i với hệ trục tọa 
độ tổng thể . 
(28) 
Từ (7), (19) và (26), ta được:       0 0i iDC P k DC u (29) 
Dùng các phép biến đổi, suy ra:        10 0i iP DC k DC u (30) 
Thay (23) vào (30), ta có:         T0 0i iP DC k DC u (31) 
809 
Ta viết công thức (31) lại như sau:     0 0i iP K u (32) 
trong đó: 
      
T
K DC k DC
(33) 
[K]: được gọi là ma trận độ cứng phần tử 
thanh trong hệ trục tọa độ tổng thể. [K] 
viết dưới dạng đầy đủ như sau: 
 
0 0 0 0
1 1 2 2
22 0
1
2 2 0
1
02 2
2
02 2
2
u v u v
cs cscc u
s sc scs vEA
cs csL uc c
vs scs cs
 
 
 
 
 
  
K
(34) 
2.3 Ma trận độ cứng của hệ thanh đối với hệ trục tọa độ tổng thể 
Do là hệ kết cấu giàn, ta cần lập ma trận độ cứng của hệ. Xét hệ đơn giản gồm 2 phần tử 
thanh liên kết với nhau như hình 4: 
Hình 4. Hệ hai phần tử thanh 
Lần lượt thiết lập ma trận độ cứng cho từng phần tử thanh: 
Phần tử thanh i-j: 
0 0 0 0
2 2
0
2 2 0
02 2
0
2 2
i i j j
i j i j i j i ji j i j
i
i j i j i j i j i j i ji j i j i
i j
ji j i j i j i ji j i j i j
j
i j i j i j i j i j i j
u v u v
c s c sc c u
c s s c s sE A v
uc s c sL c c
vc s s c s s
    
      

     
     
 
 
  
       
   
K
(35) 
Phần tử thanh j-k: 
0 0 0 0
2 2
0
2 2 0
02 2
02 2
j j k k
i j i j j k j kj k j k
j
j k j k j k j k j k j kj k j k j
j k
j k j k j k j kj k kj k j k
kj k j k j k j k j k j k
u v u v
c s c sc c u
c s s c s sE A v
c s c sL uc c
vc s s c s s
    
      

     
     
 
 
  
       
   
K
(36) 
Như vậy, lập ma trận độ cứng  K của hệ bằng 
cách ghép hệ số độ cứng của ma trận các phần tử 
thanh, thể hiện như phương trình (37): 
  i-j j k       K K K (37) 
Hệ phương trình khi này có thể viết rút gọn như sau:      iq K u (38) 
810 
Để giải hệ phương trình (38) là kh ng thể. Bởi hệ đã 
cho đang bất định. Thiếu các điều kiện biên, ta cần 
giả thuyết trước các vector chuyển vị thể hiện điều 
kiện ràng buộc  Ru . Khi này (38) viết lại như (39): 
12
21 22
    
    
    
11F F
R
q uK K
R uK K 
(39) 
trong đó: 
 
 
  
 
F
F
q
q
R
 vector lực bao gồm lực đã biết  Fq và phản lực  R (40) 
 
 
  
 
F
i
R
u
u
u
vector tọa độ các nút theo hệ trục tọa độ địa phương (thành phần 
chuyển vị tại các nút) chưa biết  Fu và các chuyển vị ràng buộc 
(điều kiện biên) đã biết  Ru . 
(41) 
 
 11K  là ma trận độ cứng thành phần độ cứng thanh có các bậc tự do cần 
 xác định. 
(42) 
22  K  là ma trận độ cứng thành phần độ cứng thanh tại các nút có chứa các 
 điều kiện biên. 
(43) 
12  K và 21
 
 K 
là các ma trận độ cứng thành phần được trích xuất từ ma 
trận độ cứng của hệ  K . (44) 
2.4 Xác định chuyển vị tại nút 
Từ (39), chuyển vị tại nút được xác định như sau:    
1
   11F Fu K q (45) 
2.5 Xác định phản lực liên kết 
   21    FR K u 
(46) 
2.6 Xác định nội lực phần tử thanh 
Sau khi xác định được chuyển vị tại các nút theo 
(45). Lực dọc trong thanh i-j bất kỳ được xác định 
theo công thức (47): 
 ij
ij
i
i
j
j
u
vEA
N c s c s
uL
v
 
 
   
 
 
   
(47) 
3 VÍ DỤ ÁP DỤNG VÀ PHÂN TÍCH KẾT QUẢ SO SÁNH 
811 
Kết cấu giàn phẳng (Hình 5) chịu tải trọng có mô đun đàn hồi E = 2.1∙106 kN/m2. Diện tích tiết 
diện ngang mỗi thanh giàn A = 0.12m2. Hệ thanh giàn được đánh số hiệu thành và số liệu 
nút như Hình 6. 
Hình 5. Sơ đồ tính bài toán giàn phẳng Hình 6. Số hiệu phần tử nút và thanh 
Kết quả phân tích bài toán giàn phẳng dùng phương pháp ma trận đã được so sánh với kết 
quả phân tích phần mềm thương mại CSI SAP2000 được tổng hợp so sánh như ở Bảng 1 
và 2: 
Bảng 1. Tổng hợp so sánh kết quả nội lực phần tử thanh 
Số hiệu 
thanh 
Kết quả lực dọc (tấn) 
PP Ma trận SAP2000 
Sai số 
(tấn) 
01 0.0000 -0.0178 -0.0178 
02 -7.2111 -7.2111 0.0000 
03 9.0000 9.0000 0.0000 
04 3.9805 3.9822 0.0017 
05 3.9802 3.9822 0.0020 
06 -5.6289 -5.6317 -0.0028 
07 7.0991 7.0962 -0.0029 
08 -5.0198 -5.0178 0.0020 
Hình 7. kết quả nội lực của 
SAP2000 
 Bảng 2. Tổng hợp so sánh kết quả chuyển vị nút 
Số hiệu 
nút 
Chuyển vị ∆x (mm) Chuyển vị ∆y (mm) 
PP 
Ma trận 
SAP2000 
Sai số 
(mm) 
PP 
Ma trận 
SAP2000 
Sai số 
(mm) 
1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0000 -0.0002 
3 0.3152 0.3000 -0.0152 -0.3405 -0.3240 0.0165 
4 0.2402 0.2290 -0.0112 -0.0627 -0.0600 0.0027 
5 0.1905 0.1810 -0.0095 0.0498 0.0475 -0.0023 
Hình 8. Kết quả phân tích chuyển vị 
của SAP2000 
812 
4 KẾT LUẬN 
Việc sử dụng phương pháp ma trận trong phân tích kết cấu giàn phẳng cho kết quả tính toán 
với độ chính xác cao. Tuy nhiên, phương pháp phù hợp với việc lập trình tính toán trên máy 
tính, phù hợp với số lượng phần tử thanh giàn lớn mà vẫn cho kết quả chính xác. Ngoài ra, 
phương pháp này dễ dàng áp dụng cho cả hệ tĩnh định và siêu tĩnh. Tuy có nhiều ưu điểm 
như vậy nhưng phương pháp cũng có những hạn chế nhất định như là phương pháp này 
không phù hợp để tính tay do khối lượng tính toán lớn. Thông qua bài báo, nhóm tác giả 
mong muốn giới thiệu đến các bạn sinh viên, kỹ sư kết cấu có thêm nguồn tài liệu về đến 
phương pháp ma trận trong phân tích kết cấu. Bài báo là cơ sở để nhóm tiếp tục nghiên cứu 
giải thuật phân tích bài toán giàn phẳng trên các nền tảng phần mềm toán học khác như 
Mathcad hay Matlab. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Norrie, D. H. (1987). A first course in the finite element method. In Finite Elements in 
Analysis and Design (Vol. 3, Issue 2). https://doi.org/10.1016/0168-874x(87)90008-4. 
[2] Petyt, M. (1969). Theory of matrix structural analysis. Journal of Sound and Vibration, 
10(2), 358–359. https://doi.org/10.1016/0022-460x(69)90212-0.