Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm trụ không gian một lớp

 xác và trong phân tích phi tuyến thường phải 
lặp nhiều hơn phương pháp Newton [13]. Năm 2006 
Ligaro S.S. cùng cộng sự nghiên cứu phân tích kết 
cấu dàn tháp kể đến chuyển vị lớn, trong nghiên 
cứu này trên cơ sở điều kiện cân bằng của toàn hệ 
tác giả đã xây dựng được đường cân bằng và tải 
trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn tháp trong bài 
toán phi tuyến hình học ổn định tổng thể đàn hồi 
[12]. Năm 2009 Kwasniewski L. đã nghiên cứu ảnh 
hưởng của tỷ số chiều cao và nhịp dàn Mises đến 
tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu trong bài toán 
ổn định tổng thể phi tuyến hình học của dàn Mises 
chịu tải trọng thẳng đứng. Trong nghiên cứu này, 
tác giả đã sử dụng phương pháp cân bằng nút để 
thiết lập được đường cân bằng cho bài toán [11]. 
Năm 2012 Greco M. và các cộng sự đã nghiên cứu 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
26 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 
phân tích phi tuyến hình học của kết cấu dàn theo 
hai cách: cách thứ nhất là xây dựng theo vị trí nút 
dựa trên nguyên lý công ảo; cách thứ hai phân biến 
dạng của kết cấu dàn ra làm hai thành phần là biến 
dạng thể tích tương đối và biến dạng quay cứng 
xung quanh ba trục tọa độ. Trong cả hai cách của 
các tác giả là cuối cùng đưa về dạng các phương 
trình cân bằng phi tuyến, để giải các phương trình 
này các tác giả đã sử dụng phương pháp lặp chiều 
dài cung để giải [10]. 
Hiện nay ngoài các phương pháp được trình 
bày trong các tài liệu như: phương pháp tách mắt, 
phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương 
pháp phần tử hữu hạn[3,6,7,9] còn có một 
phương pháp tiếp cận khác để phân tích nội lực, 
chuyển vị của các bài toán kết cấu được nhiều tác 
giả đã trình bày [1, 2, 11] thông qua áp dụng nguyên 
lý cực trị Gauss. Để làm phong phú thêm cách giải 
bài toán phi tuyến hình học kết cấu dàn, trong nội 
dung bài báo này sẽ trình bày tính toán phi tuyến 
hình học của kết cấu dàn vòm trụ không gian một 
lớp loại 1, chịu tác dụng tải trọng thẳng đứng tại các 
nút dàn dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị 
Gauss, kết quả phân tích phi tuyến hình học 
(PTPTHH) được so sánh với kết quả khi phân tích 
tuyến tính (PTTT) của dàn vòm trụ không gian. 
Đồng thời, tác giả còn nghiên cứu ảnh hưởng độ 
vồng của dàn vòm không gian loại 1 đến phần trăm 
chênh lệch (PTCL) kết quả các thành phần chuyển 
vị tại nút dàn, nội lực trong các thanh dàn giữa 
PTTT và PTPTHH. Khi phân tích phi tuyến hình học 
kết cấu dàn, trong nội dung bài báo vẫn sử dụng 
một số giả thuyết sau: 
- Giả thiết 1: Nút của dàn phải nằm tại giao điểm 
của các trục thanh và là khớp lý tưởng (các đầu 
thanh quy tụ ở nút có thể xoay một cách tự do 
không ma sát); 
- Giả thiết 2: Tải trọng chỉ tác dụng tại các nút 
dàn; 
- Giả thiết 3: Trọng lượng bản thân của các 
thanh không đáng kể so với tải trọng tổng thể tác 
dụng lên dàn; 
- Giả thiết 4: Tải trọng tác dụng lên kết cấu dàn 
được bảo toàn về phương, chiều và độ lớn trong 
quá trình kết cấu biến dạng. 
a) Dàn vòm không gian một lớp loại 1 b) Dàn vòm không gian một lớp loại 2 
c) Dàn vòm không gian một lớp loại 3 d) Dàn vòm không gian một lớp loại 4 
Hình 1. Một số dạng kết cấu dàn vòm không gian một lớp 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 27 
2. Xây dựng lý thuyết phân tích phi tuyến hình học dàn vòm không gian một lớp theo nguyên lý cực 
trị Gauss 
Xét thanh ij trong dàn không gian. Gọi tọa độ ban đầu của các 
nút lần lượt là  i i ii x , y , z ,  j j jj x , y , z . Sau khi dàn chịu lực, các 
nút chuyển sang vị trí mới là  i ' i ' i 'i ' x , y , z ,  j ' j ' i 'j' x , y , z (hình 2). 
Ta có: 
i ' i i i ' i i i ' i i
j' j j j' j j j' j j
x x u ; y y v ; z z w
x x u ; y y u ; z z w
     

     
 (1) 
trong đó: 
i i iii ' u v w  
uur uur uurur
: chuyển vị của điểm i 
 j j jjj' u v w  
uur uur uuruur
: chuyển vị của điểm j 
y
x
i(x ,y,z )
j(x ,y ,z )
i'(x ,y ,z )
j'(x ,y ,z )
i i
j j
i' i'
j' j'
o
v
i
u
i
u
j
v
j
z
w
i
w
i
j
i
i'
j'
Hình 2. Sơ đồ chuyển vị của nút thanh 
Chiều dài của thanh dàn trước khi biến dạng:      
ij
2 2 2
(0)
j i j i j il x x y y z z      (2) 
Chiều dài của các thanh dàn sau khi biến dạng: 
     
ij
2 2 2
(s)
i i j j i i j j i i j jl x u x u y v y v z w z w            (3) 
Biến dạng dài tuyệt đối của thanh là:
ij ij ij
(s) (0)l l l   (4) 
Như vậy nếu kết cấu dàn gồm n thanh và r nút chịu tải trọng tác dụng thì lượng ràng buộc của bài toán 
theo (1) được viết như sau: 
 
k
2
n r r r
k k (i) (i) (i)
x i y i z i(0)
k 1 i 1 i 1 i 1k
E A . l
Z 2P .u 2P .v 2P .w min
l   

        (5) 
     
   
 
     
2
2 2
i i j j i i j j
n r r r
2
(i) (i) (i)k k
i i j j x i y i z i
2 2 2
k 1 i 1 i 1 i 1
i j i j i j 2 2 2
i j i j i j
x u x u y v y v
E A
Z z w z w 2P .u 2P .v 2P .w min
x x y y z z
x x y y z z
   
 
        
 
         
     
 
      
 
   
 (6) 
Xét tại nút i của dàn có m là số thanh quy tụ, 
điều kiện cực trị của bài toán tại nút i: 
i i i
Z Z Z
0; 0; 0
u u v
  
  
  
 (7) 
Từ điều kiện (7) thiết lập được hệ phương trình 
sau: 
 
 
 
m
i i j jij ij ij (i)
x(0) (0)
j 1 ij ij ij
m
i i j jij ij ij (i)
y(0) (0)
j 1 ij ij ij
m
i i j jij ij ij (i)
z(0) (0)
j 1 ij ij ij
x u x u2E A . l
2P 0
l (l l )
y v y v2E A . l
2P 0
l (l l )
z w z w2E A . l
2P 0
l (l l )



   
  
 

   
 
 

  
   



 (8) 
Các phương trình (8) chính là các phương trình 
cân bằng các nút có chuyển vị tại thời điểm kết cấu 
sau khi biến dạng. 
Nếu bài toán có C liên kết nối đất và nS nút dàn 
thì theo điều kiện (7) sẽ có được hệ phương trình 
bao gồm  n3S C phương trình phi tuyến và có 
 n3S C ẩn số là các thành phần chuyển vị u, v, w. 
Giải hệ phương trình (8) sẽ tìm được các thành 
phần chuyển vị u, v, w tại các nút dàn. 
Nội lực của các thanh dàn được xác định theo 
công thức: 
ij
ij
ij ij
ij (0)
l .E A
N
l

 (9) 
3. Ví dụ phân tích phi tuyến hình học dàn vòm 
không gian một lớp loại 1 
Xét dàn vòm không gian một lớp loại 1 với bề 
rộng dàn B=15m, độ vồng của dàn k=1/3, chiều dài 
dàn l=27m và các thanh có cùng mô đun đàn hồi 
E=2.10
4
(kN/cm
2
). Tiết diện các thanh xiên là 
133x4mm (A=16,221cm
2
), các thanh dọc là 
89x4mm (A=10,681cm
2
) và chịu tác dụng lực 
P=20(kN) theo phương thẳng đứng tại các nút dàn. 
Do dàn đối xứng về hình học chịu tải trọng đối 
xứng để giảm ẩn số khi tính toán nhưng không làm 
ảnh hưởng đến kết quả của bài toán, tác giả phân 
tích tính toán cho 1/4 dàn. Trước khi viết lượng ràng 
buộc cho kết cấu, các nút dàn và thanh dàn được 
đánh số hiệu như hình 3. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
28 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 
a- Số hiệu các nút dàn b- Số hiệu các thanh dàn 
Hình 3. Kết cấu dàn vòm không gian một lớp 
- Thiết lập lượng ràng buộc của kết cấu 
Lượng ràng buộc của kết cấu dàn vòm không gian một lớp loại 1 (6) được viết như sau: 
   
56 10 16 22 28
2k k
k i i i i 11 23(0)
kk 1 i 7 i 13 i 19 i 25
E A
Z l 2P .w 2P .w 2P .w P .w P . w w min
l    
              (10) 
Do tính đối xứng nên: 16 17u u 0  ; 16 17w w 0  ; 28 29w w 0  (11) 
Theo phương pháp thừa số Largrange phiếm hàm ràng buộc mở rộng L cho kết cấu có thể viết như sau: 
     1 16 17 2 16 17 3 28 29L Z u u w w w w min        (12) 
trong công thức (10, 11, 12) biến dạng tuyệt đối của các thanh dàn được liên hệ với các thành phần 
chuyển vị tại các nút dàn đối với bài toán phi tuyến hình học là mối quan hệ phi tuyến. 
- Thiết lập hệ phương trình phi tuyến từ điều kiện cực trị của phiếm hàm mở rộng 
Điều kiện biên của bài toán: 
1 2 3 4 5 6 12 18 24 25 26 27 28 29
1 2 3 4 5 6 11 12 17 18 23 24 29
1 2 3 4 5 6 12 18 24
u u u u u u u u u u u u u u 0
v v v v v v v v v v v v v 0
w w w w w w w w w 0
             

            
         
 (13) 
Điều kiện cực trị của phiếm hàm ràng buộc mở rộng L theo các thành phần chuyển vị chưa biết là: 
i
i 7 11
L
0 i 13 17
u
i 19 23
 
 
  
   
; 
j
j 7 10
j 13 16L
0
j 19 22v
j 25 28
 

  
 
  
  
; 
k
k 7 11
k 13 17L
0
k 19 23w
k 25 29
 

  
 
  
  
; 
i
L
0(i 1 3)

  

 (14) 
Từ điều kiện cực trị của phiếm hàm mở rộng L 
(14) sẽ thiết lập được hệ phương trình gồm 54 
phương trình phi tuyến chứa 54 ẩn số là các thành 
phần chuyển vị của các nút dàn và các thừa số 
lagrange. 
- Xác định các thành phần chuyển vị tại các nút dàn 
Giải hệ phương trình (14) tìm được các thành 
phần chuyển vị tại các nút dàn. Kết quả các thành 
phần chuyển vị tại các nút dàn được thể hiện như 
hình 4. 
- Xác định nội lực trong các thanh dàn 
Sau khi xác định được các thành phần chuyển 
vị tại các nút dàn, sẽ xác định được nội lực trong 
các thanh dàn. Kết quả nội lực trong các thanh dàn 
được thể hiện như hình 5. 
Hình 4. Kết quả các thành phần chuyển vị tại nút dàn 
(cm) 
Hình 5. Kết quả nội lực trong các thanh dàn (kN) 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 29 
- Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng: được thể hiện như hình 6. 
-1000
-500
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
200
400
600
Hình 6. Hình dạng kết cấu dàn trước và sau biến dạng khi k=1/3 
- So sánh giữa kết quả PTPTHH và PTTT: Kết quả giữa phân tích PTPTHH và PTHH được thể hiện như 
hình 7, 8, 9, 10. 
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
C
h
u
y
Ón
 v
Þ 
th
eo
 p
h
-
¬
n
g
 x
 (
cm
)
Sè hiÖu nót
 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc
 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh
Hình 7. Chuyển vị của nút dàn theo phương x 
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
C
h
u
y
Ón
 v
Þ 
th
eo
 p
h
-
¬
n
g
 y
 (
cm
)
Sè hiÖu nót
 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc
 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh
Hình 8. Chuyển vị của nút dàn theo phương y 
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
C
h
u
y
Ón
 v
Þ 
th
eo
 p
h
-
¬
n
g
 z
 (
cm
)
Tªn nót
 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc
 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh
 Hình 9. Chuyển vị của nút dàn theo phương z 
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
-200
-100
0
100
200
300
 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh
 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc
N
é
i 
lù
c 
tr
o
n
g
 t
h
an
h
 (
K
N
)
Sè hiÖu thanh
Hình 10. Nội lực trong các thanh dàn 
5. Ảnh hưởng độ vồng của dàn vòm không gian 
một lớp loại 1 đến PTCL chuyển vị, nội lực giữa 
PTTT và PTPTHH 
Trong mục này, bài báo phân tích bài toán 
dàn vòm không gian một lớp như (mục 3) nhưng 
với các giá trị độ vồng khác nhau 
( k 1/ 3;1/ 4;1/ 5 ). 
Kết quả so sánh nội lực, chuyển vị giữa PTTT 
và PTPTHH được thể hiện như trong bảng 1, hình 
11, hình 12 và hình 13. 
Tr-íc biÕn d¹ng
Sau biÕn d¹ng
(cm) 
(cm) 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
30 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 
Bảng 1. Kết quả PTCL nội lực trong các thanh giữa PTTT và PTPTHH của dàn vòm không gian một lớp loại 1 
ứng với các giá trị k=f/l khác nhau 
Thanh 
k=1/3 k=1/4 k=1/5 
Nội lực 
PTPTHH 
(kN) 
Phần trăm 
chênh lệch 
(%) 
Nội lực 
PTPTHH (kN) 
Phần trăm 
chênh lệch 
(%) 
Nội lực PTPTHH 
(kN) 
Phần trăm 
chênh lệch 
(%) 
1 -31,970 58,009 -79,720 8,359 -102,017 6,045 
2 -27,197 70,884 -91,644 9,321 -114,113 5,806 
3 -29,043 64,263 -81,759 8,430 -98,618 1,507 
4 -36,474 36,807 -63,491 6,994 -75,503 4,193 
5 -42,775 41,365 -42,478 4,072 -51,802 10,833 
6 -30,050 292,407 -9,331 494,186 -11,672 41,609 
7 -38,084 215,787 4,106 67,152 7,231 186,706 
8 -43,069 307,548 -4,513 724,038 -6,082 68,054 
9 -44,437 1487,059 -21,804 7,428 -28,278 24,355 
10 -9,859 109,319 50,717 27,659 57,896 47,879 
11 -30,661 141,387 31,269 28,070 36,913 123,494 
12 -39,110 192,288 10,708 36,395 6,379 204,248 
13 -40,118 475,925 -11,349 15,790 -21,020 26,898 
14 -33,448 59,019 -34,582 5,092 -45,038 12,357 
15 -33,647 77,243 -124,056 13,237 -158,235 11,489 
16 -16,103 86,137 -103,076 11,406 -130,433 9,339 
17 -14,434 82,908 -81,220 9,464 -97,626 1,001 
18 -22,163 57,977 -58,164 7,784 -69,251 6,447 
19 -177,483 46,588 -157,732 32,699 -156,249 29,433 
20 -155,146 53,771 -135,644 32,607 -139,079 30,222 
21 -123,918 53,530 -106,168 23,860 -125,807 35,443 
22 -86,638 43,129 -76,854 11,153 -107,938 36,683 
23 -43,904 8,809 -52,378 0,362 -74,970 15,244 
24 103,856 157,218 53,623 290,607 26,880 386,302 
25 81,821 305,153 24,551 962,665 10,727 146,028 
26 45,424 337098,07 -4,949 74,517 -1,846 95,041 
27 1,786 108,855 -29,599 17,766 -30,479 40,397 
28 56,784 718,170 -18,682 31,456 -14,155 67,774 
29 41,550 357,897 -21,970 33,184 -17,100 64,829 
30 23,282 201,067 -18,124 52,932 -34,849 34,636 
31 -3,2466 89,164 -22,316 49,432 -63,702 9,810 
32 -40,941 10,989 -49,760 0,008 -72,803 16,102 
33 -123,447 91,130 -79,785 10,420 -110,598 35,725 
34 -108,198 87,638 -83,606 25,476 -106,749 39,011 
35 -95,488 88,200 -87,639 43,656 -88,357 22,554 
36 -75,593 72,538 -78,887 42,445 -70,339 4,360 
37 -2,132 97,995 -71,475 17,801 -85,911 18,122 
38 9,496 147,435 -12,063 15,784 -11,930 7,305 
39 7,481 46,827 9,928 17,192 15,164 48,535 
40 1,726 93,676 18,308 14,438 21,941 25,321 
41 -3,662 111,506 21,240 13,003 22,550 14,082 
42 -196,713 443,020 -20,380 138,145 6,818 85,740 
43 -60,032 518,726 -1,015 107,598 -10,311 186,266 
44 62,102 479,020 8,644 156,628 -10,446 23,531 
45 146,330 520,270 9,811 130,245 6,919 123,837 
46 176,752 531,4960 9,356 124,517 18,852 155,202 
47 93,892 0,366 121,509 46,307 98,327 36,120 
48 40,202 6,651 35,997 8,359 47,393 64,023 
49 -6,292 33,529 -20,115 384,412 12,025 432,932 
50 -33,358 1,136 -38,163 31,291 -29,442 16,453 
51 -42,026 10,808 -32,860 20,867 -71,133 96,947 
52 263,541 282,370 124,286 108,067 144,813 181,222 
53 87,366 407,034 58,421 291,209 34,774 170,118 
54 -53,087 169,583 -16,207 5,036 -49,870 238,960 
55 -151,655 262,410 -90,666 149,998 -78,899 152,362 
56 -188,690 283,278 -123,875 190,332 -76,008 106,646 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 31 
Kết quả tính toán nội lực trong các thanh dàn 
ứng với các giá trị k khác nhau (bảng 1) cho thấy: 
- Với các giá trị k khác nhau đều có sự xuất hiện 
nội lực trong một số thanh giữa PTTT và PTPTHH 
hình học là trái dấu; 
- PTCL giữa nội lực lớn nhất theo PTTT và nội 
lực lớn nhất theo PTPTHH: khi k=1/3 của thanh xiên 
là 20,036%, của thanh dọc là 84,995%; khi k=1/4 
của thanh xiên là 10,315%, của thanh dọc là 
42,460% và khi k=1/5 của thanh xiên là 11,489%, 
của thanh dọc là 18,122%. 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
T
h
µn
h
 p
h
Çn
 c
h
u
y
Ón
 v
Þ 
th
eo
 p
h
-
¬
n
g
 x
 (
cm
)
Sè hiÖu nót
 PTPTHH (k=1/3)
 PTTT (k=1/3)
 PTPTHH (k=1/4)
 PTTT (k=1/4)
 PTPTHH (k=1/5)
 PTTT (k=1/5)
Hình 11. Biểu đồ chuyển vị theo phương x 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
T
h
µn
h
 p
h
Çn
 c
h
u
y
Ón
 v
Þ 
th
eo
 p
h
-
¬
n
g
 y
 (
cm
)
Sè hiÖu nót
 PTPTHH (k=1/3)
 PTTT (k=1/3)
 PTPTHH (k=1/4)
 PTTT (k=1/4)
 PTPTHH (k=1/5)
 PTTT (k=1/5)
Hình 12. Biểu đồ chuyển vị theo phương y 
Kết quả so sánh các thành phần chuyển vị 
tại các nút dàn giữa PTTT và PTPTHH cho 
thấy: 
- Chuyển vị lớn nhất tại các nút dàn theo 
phương trục x theo PTTT: khi k=1/3 là 
4,000(cm), khi k=1/4 là 3,667(cm) và khi k=1/5 
là 3,215(cm); Chuyển vị lớn nhất tại các nút dàn 
theo phương trục x theo PTPTHH: khi k=1/3 là 
6,718(cm), khi k=1/4 là 1,707(cm) và khi k=1/5 
là 2,250(cm). 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
T
h
µn
h
 p
h
Çn
 c
h
u
y
Ón
 v
Þ 
th
eo
 p
h
-
¬
n
g
 z
 (
cm
)
Sè hiÖu nót
 PTPTHH (k=1/3)
 PTTT (k=1/3)
 PTPTHH (k=1/4)
 PTTT (k=1/4)
 PTPTHH (k=1/5)
 PTTT (k=1/5)
 Hình 13. Biểu đồ chuyển vị theo phương z 
- Chuyển vị lớn nhất tại các nút dàn theo 
phương trục y theo PTTT: khi k=1/3 là 0,121(cm), 
khi k=1/4 là 0,105(cm) và khi k=1/5 là 0,091(cm); 
Chuyển vị lớn nhất tại các nút dàn theo phương trục 
y theo PTPTHH: khi k=1/3 là 0,460(cm), khi k=1/4 là 
0,252(cm) và khi k=1/5 là 0,238(cm); 
- Chuyển vị lớn nhất tại các nút dàn theo 
phương trục z theo PTTT: khi k=1/3 là 2,952(cm), 
khi k=1/4 là 3,433(cm) và khi k=1/5 là 3,749(cm); 
Chuyển vị lớn nhất tại các nút dàn theo phương trục 
z theo PTPTHH: khi k=1/3 là 12,884(cm), khi k=1/4 
là 6,339(cm) và khi k=1/5 là 5,755(cm). 
4. Kết luận 
Qua các kết quả phân tích đã trình bày trong bài 
báo, tác giả có thể đưa ra một số kết luận sau: 
- Dựa trên Nguyên lý cực trị Gauss và kết hợp 
với phần mềm Matlab tác giả đã xây dựng được mô 
đun chương trình phân tích phi tuyến hình học do 
kể đến sự thay đổi góc các thanh dàn trong quá 
trình kết cấu dàn biến dạng cho bài toán dàn vòm 
không gian chịu tải trọng tĩnh tại các nút dàn; 
- Kết quả giữa PTPTHH và PTTT đối với kết cấu 
dàn vòm không gian một lớp trong các ví dụ khảo 
sát có sự thay đổi dấu của các thành phần chuyển 
vị tại một số nút và nội lực trong một số thanh dàn; 
- Khi độ vồng của kết cấu càng lớn thì PTCL lớn 
nhất của nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và 
PTPTHH càng lớn. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực 
trị Gauss, Tạp chí Khoa học và kỹ thuật, IV, Tr. 112 
118. 
2. Phạm Văn Đạt (2013), Phân tích phi tuyến dàn phẳng 
dựa trên nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí xây dựng số 
07 (Tr.76-78). 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
32 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 
3. Phạm Văn Hội, Nguyễn Quang Viên, Phạm Văn Tư, 
Đoàn Ngọc Tranh, Hoàng Văn Quang (2006), Kết cấu 
thép Công trình Dân dụng và Công nghiệp, Nhà xuất 
bản Khoa học và Kỹ thuật. 
4. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi (2002), 
Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản Giao thông vận tải. 
5. Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu 
hạn, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. 
6. Lều Thọ Trình (2003), Cơ học kết cấu, Tập I – Hệ tĩnh 
định, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. 
7. Lều Thọ Trình (2003), Cơ học kết cấu, Tập II – Hệ siêu 
tĩnh, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. 
8. Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp mới tính hệ kết 
cấu dây và mái treo, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, Đại học 
Kiến trúc Hà Nội. 
9. Carlos A.Felippa (2001), Nonlinear finite element 
methods, University of Colorado. 
10. Greco M., Menin R.C.G., Ferreira I.P., Barros F.B. 
(2012), Comparison between two geometrical 
nonlinear methods for truss analyses, Structural 
Engineering and Mechanics, Vol. 41, No.6, p.735-750. 
11. Kwasniewski L. (2009), Complete equilibrium paths for 
Mises trusses, International Journal of Non-Linear 
Mechanics 44, p.19- 26. 
12. Ligaro S.S., Valvo P.S. (2006), Large displacement 
analysis of elastic pyramidal trusses, International 
Journal of Solids and Structures 43, p.4867–4887. 
13. Pajand M.R., Hakkak M.T. (2006), Nonlinear analysis 
of truss structures using dynamic relaxation, Int. J. 
Numer. Meth. Engng., Vol. 19, No. 1, p.11-22. 
14. S.E.Kim (1998), Direct design of truss bridges using 
advanced analynis, Structural Engineering and 
Mechanics. 
15. S.Z.Shen, T.T.Lan (2001), A Review of the 
development of Spaital Structures, China International 
Journal of Space Structures, (3):157-172. 
16. 张毅刚,薛素铎,杨庆山(2004),大跨空间结构,机械工业出
版社. 
Ngày nhận bài: 08/4/2021. 
Ngày nhận bài sửa: 26/4/2021. 
Ngày chấp nhận đăng: 29/4/2021. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 33 
()