Phân tích vùng dẻo bậc hai khung thép phẳng với dầm thép - Bê tông liên hợp

hợp. Sự chảy dẻo từng phần qua mặt cắt ngang 
được kể đến bằng sự chia lớp của mặt cắt ngang ở 
các điểm Gauss dọc theo chiều dài cấu kiện và sự 
thay đổi độ cứng dọc trục cũng được mô phỏng 
trong nghiên cứu. Phương pháp này có thủ tục 
phân tích khá phức tạp nhưng chưa kể đến tác 
động của ứng suất dư trong cấu kiện dầm-cột thép. 
Nghiên cứu này phát triển một phần tử dầm-cột 
để áp dụng trong phân tích phi tuyến khung thép 
phẳng gồm cột thép và dầm thép – bê tông liên hợp. 
Phần tử này không những có khả năng mô phỏng 
ứng xử vùng dẻo mà còn kể đến hiệu ứng bậc hai 
trong phân tích. Ma trận độ cứng phần tử được xây 
dựng dựa trên nguyên lý thế năng toàn phần dừng. 
Tiết diện ngang của phần tử được chia thành nhiều 
thớ nhỏ giúp phản ánh trực tiếp ứng xử phi tuyến 
vật liệu theo phương pháp vùng dẻo, sự dịch 
chuyển của trục trung hòa trong suốt quá trình chảy 
dẻo và ảnh hưởng ứng suất dư. Độ chính xác của 
chương trình đã phát triển bằng ngôn ngữ lập trình 
C++ được kiểm chứng qua các nghiên cứu đã được 
công bố. 
2. Mô hình phần tử hữu hạn 
2.1 Các giả thiết 
Các giả thiết sau được dùng để phát triển phần 
tử dầm – cột phẳng để mô phỏng cả cấu kiện cột 
thép lẫn dầm thép – bê tông liên hợp: 
- Mặt cắt ngang phẳng vẫn còn phẳng sau biến 
dạng; 
- Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt; 
- Bỏ qua ảnh hưởng của mô men xoắn; 
- Biến dạng phần tử là nhỏ; 
- Sự làm việc ngoài miền đàn hồi chỉ được đánh 
giá dựa vào ứng suất pháp trên tiết diện; 
- Xem bản bê tông và dầm thép được tương tác 
toàn phần với nhau; 
- Liên kết giữa dầm liên hợp với cột là liên kết 
cứng. 
2.2 Mô hình vật liệu 
Mô hình ứng suất – biến dạng của vật liệu bê 
tông sử dụng trong nghiên cứu này được lấy theo 
mô hình của Karayannis (1994) 12 (hình 1) với giả 
thiết bỏ qua ứng xử chịu kéo của bê tông. Mô hình 
ứng suất – biến dạng của thép được giả thuyết 
theomô hình đàn – dẻo tuyệt đối (hình 2). 
Hình 1. Ứng xử chịu nén của vật liệu bê tông 
Hình 2. Ứng xử của vật liệu thép 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 15 
2
c c
c c
o o
"f 2
  
  
   
 
  
 
 khi c o0    (1) 
''
c cf  khi c o   (2) 
trong đó: c c
" 'f f - cường độ chịu nén của bê 
tông, với o 0.002  suy ra: 
  c c c c1000 250 1 f "    (3) 
2.3 Năng lượng biến dạng phần tử 
Xét một phần tử dầm – cột điển hình có chiều 
dài L chịu các tải trọng gồm tải trọng phân bố w(x) 
và lực tập trung tác dụng ở giữa phần tử như trình 
bày ở hình 3. Những lực đầu mút phần tử cũng 
được biểu diễn trong hình. 
Hình 3. Phần tử dầm – cột điển hình 
Mật độ năng lượng biến dạng của một thể tích 
vi phân chịu một trạng thái ứng suất pháp được cho 
bởi tích phân tổng quát theo công thức (4): 
s c r
s s c c r r
0 0 0
u d d d
  
           (4) 
Năng lượng tổng cộng của phần tử: 
s c r
s c r
s c r s s s c c c r r r
V 0 V 0 V 0
U U +U U d dV d dV d dV
  
                (5) 
Đối với phần tử dầm thép: 
y s
es s ps y
y s
es s ps y
es ps ps
s s s es s s y s ps
V V 0
s s s es s s s y s ps
V V 0
2s
s es y s ps y y ps
V V V
U d dV d d dV
E d dV E d d dV
E 1
dV dV dV
2 2
 
 
 
 
  
         
  
  
         
  
       
    
    
  
 (6) 
Đối với phần tử bê tông: 
o c
nc c uc o
c c c nc c c c c uc
V V 0
U d dV d f " d dV
 
 
  
        
  
     (7) 
Sử dụng phương trình quan hệ ứng suất – biến dạng của bê tông theo công thức (3) ta có thể viết lại 
như sau: 
 
 
nc c
o c
uc o
c c c c c nc
V
c c c c c c uc
V 0
U 1000 250 1 f " d dV
1000 250 1 f " d f " d dV

 

    
  
       
  
 
  
 (8) 
nC nC
uc uc
4
3 2c
c c nc c c nc
V V
4
3 2
c o o o uc c c uc
V V
25.10 f "
U dV 500f " dV
3
25.10
 f " 500 dV f " dV
3
   
 
         
 
 
 
 (9) 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
16 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 
Đối với phần tử cốt thép: 
yr r
er r pr yr
yr r
er r pr yr
er pr pr
r r r er r r yr r pr
V V 0
r r r er r r r yr r pr
V V 0
2r
r er yr r pr yr yr ps
V V V
U d dV d d dV
E d dV E d d dV
E 1
dV dV dV
2 2
 
 
 
 
  
         
  
  
         
  
       
    
    
  
 (10) 
Từ công thức (5), (6), (9) và (10) suy ra năng lượng tổng cộng của phần tử được viết lại như sau: 
es ps ps
nc nc
uc uc
er pr pr
2s
s es y s ps y y ps
V V V
4
3 2c
c nc c c nc
V V
4
3 2
c o o o uc c c uc
V V
2r
r er yr r pr yr yr pr
V V V
E 1
U dV dV dV
2 2
25.10 f "
dV 500f " dV
3
25.10
f " 500 dV f " dV
3
E 1
dV dV dV
2 2
      
   
 
        
 
      
  
 
 
  
 (11) 
Thể tích của cấu kiện được thay thế bằng tích phân qua diện tích của mặt cắt ngang và chiều dài phần 
tử, công thức (11) được viết lại như sau: 
es ps ps
nc nc
uc uc
er pr
2s
s es y s ps y y ps
L A L A L A
4
3 2c
c nc c c nc
L A L A
4
3 2
c o o o uc c c uc
L A L A
2r
r er yr r pr
L A L A
E 1
U dA dx dA dx dA dx
2 2
25.10 f "
dA dx 500f " dA dx
3
25.10
f " 500 dA dx f " dA dx
3
E
dA dx dA dx
2
      
   
 
        
 
   
     
   
   
  
pr
yr yr pr
L A
1
dA dx
2
    
 (12) 
Hiệu ứng bậc hai phải được xét đầy đủ trong hệ khung nên ten-xơ biến dạng Green trong hệ tọa độ 
Lagrange được viết như sau: 
2 22
2
du 1 dv d v 1 du
y
dx 2 dx dx 2 dx
   
       
   
 (13) 
Thay ten-xơ biến dạng vào công thức năng lượng của các phần tử dầm thép, bê tông và cốt thép ta có: 
Năng lượng biến dạng phần tử đối với phần tử dầm thép được viết lại: 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 17 
22L 2 2
s s s
s es zes zes2 2
0
2 2 4L L2
s s s es
es zes 2
0 0
s
aps
E du dud v d v
U A I 2S dx
2 dx dx dx dx
E du E Adv d v dv dv
A S dx dx
2 dx dx dx dx 2 4 dx
du
N
dx
       
         
        
          
            
             
 
  
 

 
2L L2
aps y
aps aps2
0 0
N1 dv d v
N M dx dx
2 dx dx 2
    
    
    
 
 (14) 
Năng lượng biến dạng phần tử đối với phần tử bê tông được viết lại: 
33 2
c
anc c anc 2L4
c 22 2 2
0
c c
anc c znc2 2
22 2 2 2
c
anc c znc 24
du d v
N f" C
dx dx25.10
U dx
3 du dud v d v
3 M 3f" I
dx dx dx dx
du3 dv 3 dv d v
N f" I
2 dx dx 2 dx dx25.10
3
   
    
   
  
       
        
       
      
      
      


L
2 2
0
c
anc 2
dx
du dv d v
3M
dx dx dx
 
 
 
 
              

 (15)
4 4L4 2
c
anc anc 2
0
6L4
anc
0
22L 2 2
c c
anc c znc anc2 2
0
du25.10 3 dv 3 dv d v
N M dx
3 4 dx dx 4 dx dx
25.10 1 dv
N dx
3 8 dx
du dud v d v
500 N f " I 2M dx
dx dx dx dx
       
       
       
  
   
   
       
         
        



2 2 4L L2
c anc
anc anc 2
0 0
L4
3 2
o o o auc
0
2L 2
c
auc auc auc2
0
du Ndv d v dv dv
500 N M dx 500 dx
dx dx dx dx 4 dx
25.10
500 N dx
3
du d v 1 dv
N M dx N
dx dx 2 dx
         
            
            
 
      
 
     
        
      
 


L
0
dx


 

Năng lượng biến dạng phần tử đối với phần tử cốt thép được viết lại: 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
18 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 
22L 2 2
r r r
r er zer zer2 2
0
2 2 4L L2
err r r
er zer 2
0 0
r
apr
E du dud v d v
U A I 2S dx
2 dx dx dx dx
AE du Edv d v dv dv
A S dx dx
2 dx dx dx dx 2 4 dx
du
N
dx
       
         
        
          
            
             
 
  
 

 
2L L2
apr yr
apr apr2
0 0
N1 dv d v
N M dx dx
2 dx dx 2
    
    
    
 
 (16) 
trong đó: 
es
es es
A
A dA  
es
2
zes es
A
I y dA  
es
zes es
A
S ydA  
ps
ps ps
A
A dA  
ps
aps y ps
A
N dA  
ps
aps y ps
A
M ydA  
nc
nc nc
A
A dA  
nc
2
znc nc
A
I y dA  
nc
znc nc
A
S ydA  
uc
uc uc
A
A dA  
nC
AnC c nC
A
N f " dA  
nc
anc c nc
A
M f " ydA  
uc
auc c uc
A
N f " dA  
uc
Auc c uc
A
M f " ydA  
nc
3
anc nc
A
C y dA  
er er
Aer
A dA  
er
2
zer er
A
I y dA  
er
zer er
A
S ydA  
pr
pr pr
A
A dA  
pr
apr yr pr
A
N dA  
pr
apr yr pr
A
M y dA  
2.4 Thế năng của lực tác dụng 
Thế năng của lực tác dụng lên phần tử dầm – cột có chiều dài L được trình bày ở hình 4 được xác định 
theo công thức (17). 
Hình 4. Phần tử hữu hạn dầm – cột điển hình 
   
L
T
0
V w(x) v(x)dx P v(P) r d   
(17) 
2.5 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng 
Thế năng toàn phần  của hệ. 
 U V   (18) 
Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng, ta 
có điều kiện cân bằng của toàn hệ tại các điểm nút: 
i
0
d



 với i=1, 2, 3, 4, 5, 6 (19) 
Lấy đạo hàm từng phần của phương trình thế 
năng toàn phần sau khi thay dạng xấp xỉ của trường 
chuyển vị, ta được tập hợp các phương trình cân 
bằng phần tử: 
         pr K d FEA r   (20) 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 19 
trong đó: 
 r - vector lực nút phần tử. 
   
T
1 2 3 4 5 6r r r r r r r (21) 
 K - ma trận cát tuyến phần tử; 
 d - vector chuyển vị nút phần tử. 
   
T
1 2 3 4 5 6d d d d d d d (22) 
 FEA - vectơ của các lực đầu mút phần tử có 
kể đến sự cộng tác dụng tất cả các lực tập trung tác 
dụng vào phần tử. 
   1 1 2 2FEA 0 V M 0 V M (23) 
2n
i i i i
1 3
i 1
2n
i i i i
2 3
i 1
2 2n
i i i
1 2
i 1
2 2n
i i i
2 2
i 1
Pb (3a b ) wL
V
L 2
Pa (a 3b ) wL
V
L 2
Pa b wL
M
L 12
Pa b wL
M
L 12




 
 

 
 


  



  





 (24) 
 pr - vector tải trọng nút được chịu bởi phần 
chảy dẻo của mặt cắt ngang phần tử. 
 p ap ap ap apr P 0 M P 0 M     (25) 
Ma trận độ cứng cát tuyến phần tử dầm - cột 6 
bậc tự do được viết lại dưới dạng: 
         
           
       
S0 S1 S2 SP
C0 C1 C2 C3 C4 CU
R 0 R1 R 2 RP
1 1
K K K K K
2 3
1 1 1 1
K K K K K K
2 3 4 5
1 1
K K K K
2 3
   
     
   
 (26) 
2.6 Mô hình phần tử 
Mỗi phần tử dầm và cột được chia thành ne phần tử hữu hạn có chiều dài bằng nhau nhằm mục đích mô 
phỏng sự chảy dẻo lan truyền dọc theo chiều dài của cấu kiện (hình 5). 
Hình 5. Sơ đồ phần tử hữu hạn cho cấu kiện dầm - cột trong hệ khung 
Chia mặt cắt ngang của tiết diện thành 66 phần 
tử thớ đối với dầm thép, 64 phần tử thớ đối với bản 
bê tông và các phần tử cốt thép để mô tả một cách 
chính xác ứng xử phi đàn hồi qua mặt cắt ngang 
phần tử (hình 6). 
Như vậy, sự làm việc ngoài miền đàn hồi của 
dầm thép và bản bê tông cốt thép được cập nhật 
liên tục trong suốt quá trình phân tích bằng phương 
pháp thớ mà còn được gọi là phương pháp phân 
tích vùng dẻo. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
20 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 
Hình 6. Mô phỏng sự lan truyền dẻo qua mặt cắt tiết diện 
Các phần tử thớ của dầm thép được gắn trực 
tiếp giá trị ứng suất dư theo mẫu ứng suất dư của 
Lehigh Notes đề xuất năm 1965 hoặc của Vogel đề 
xuất năm 1985 (hình 7) nhằm kể đến ảnh hưởng 
của ứng suất dư tồn tại trong các loại thép hình đến 
ứng xử thực của hệ kết cấu. 
(a) Lehigh Notes (1965) (b) Vogel (1985) 
Hình 7. Mẫu ứng suất dư 
Công thức ma trận độ cứng trên được sử dụng 
trong chương trình phần tử hữu hạn phi tuyến được 
phát triển bằng ngôn ngữ lập trình C++ để phân tích 
khung liên hợp gồm cột thép và dầm liên hợp. Thuật 
toán giải phi tuyến được áp dụng trong chương 
trình là thuật toán Euler đơn giản. Chương trình 
được chứng tỏ độ tin cậy qua việc phân tích các ví 
dụ số sau. 
3. Các ví dụ số 
3.1 Khung thép cổng có dầm liên hợp 
Khảo sát khung cổng gồm dầm liên hợp liên kết 
với hai cột thép có sơ đồ tính như hình 8 và có các 
thông số hình học và vật liệu được trình bày trong 
bảng 1. Đây là bài toán được Liew và Chen (2001) 
10 thực hiện phân tích phi đàn hồi. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 21 
Hình 8. Sơ đồ và tiết diện khung Portal 
Bảng 1. Thông số khung cổng có dầm liên hợp của Liew và Chen (2001) 
Nhịp khung (mm) 
Tiết diện bản bê tông 
Chiều dày (mm) 102 
Chiều rộng (mm) 1219 
Tiết diện dầm thép 
Tiết diện dầm (mm) 165×310×5.8×9.7 
Tiết diện cột (mm) 205×310×9.4×16.3 
Vật liệu sử dụng 
Cường độ chịu nén của bê tông f’c (MPa) 16 
Giới hạn chảy của thép hình fy (MPa) 252.4 
Môđun đàn hồi của thép hình Es (MPa) 200000 
Hình 9. Quan hệ tải trọng – chuyển vị ngang tại đỉnh khung Portal 
Kết quả từ hình 9 cho thấy, khi giá trị tải trọng 
tác dụng nhỏ (< 70kN) thì quan hệ giữa lực và 
chuyển vị là tuyến tính, lúc này ứng xử của dầm là 
đàn hồi. Biểu đồ phản ứng tải trọng – chuyển vị 
(hình 9) thu được khá đúng với kết quả nghiên cứu 
của Liew & Chen. Nhưng khi tải trọng tác dụng 
tăng lên thì bắt đầu có sự chênh lệch, giá trị tải tới 
hạn thu được theo phương pháp vùng dẻo là 
87.9kN, theo nghiên cứu của Liew & Chen (2001) 
là 80.5 kN, chênh lệch +9.1% so với Liew & Chen 
(2001). Sở dĩ có sự chênh lệch này là do trong 
nghiên cứu của Liew & Chen đã sử dụng số lượng 
chốt chống trượt để đạt 90% tương tác toàn phần. 
Như vậy, chuyển vị trượt ở mặt tiếp xúc giữa bản 
bê tông và dầm thép đã ảnh hưởng đến giá trị tải 
trọng tới hạn của khung so với trường hợp xem 
dầm là tương tác toàn phần như trong nghiên cứu 
này. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
22 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 
3.2 Khung liên hợp 6 tầng 2 nhịp 
Khung liên hợp sáu tầng hai nhịp gồm các cột 
thép và dầm thép – bê tông liên hợp được phân tích 
bởi Fang cùng cộng sự (1999) 11 có kể đến ứng xử 
phi tuyến của vật liệu và hình học. Khung có sơ đồ 
chịu lực được trình bày trên hình 10. 
Hình 10. Sơ đồ và tiết diện khung liên hợp 6 tầng 2 nhịp 
Bảng 2. Thông số hình học và vật liệu sử dụng trong khung liên hợp 6 tầng 2 nhịp 
Cấu kiện bf (mm) tf (mm) hs (mm) tw (mm) 
IPE240 120 9.8 240 6.2 
IPE300 150 10.7 300 7.1 
IPE360 170 12.7 360 8.0 
IPE400 180 13.5 400 8.6 
HBE160 160 13.0 160 8.0 
HBE200 200 15.0 200 9.0 
HBE220 220 16.0 220 9.5 
HBE240 240 17.0 240 10.0 
HBE260 260 17.5 260 10.0 
Vật liệu sử dụng 
Bê tông Cường độ chịu nén f’c (MPa) 25 
Thép hình 
Giới hạn chảy fy (MPa) 235 
Mô đun đàn hồi Es (MPa) 200000 
Cốt thép 
Giới hạn chảy fyr (MPa) 235 
Mô đun đàn hồi Er (MPa) 390000 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 23 
Hình 11. Quan hệ tải trọng – chuyển vị ngang tại đỉnh khung 6 tầng 2 nhịp 
Biểu đồ phản ứng tải trọng – chuyển vị ngang 
tại đỉnh khung (hình 11) cho thấy kết quả phân tích 
khá chính xác với nghiên cứu của Fang cùng cộng 
sự (1999). Giá trị hệ số tải trọng cực hạn theo 
nghiên cứu của Fang cùng cộng sự (1999) là 1.181, 
còn nghiên cứu của tác giả thu được là 1.180, sai 
lệch - 0.085%. Như vậy có thể thấy chương trình 
phân tích có độ chính xác khá cao. 
Hình 12. Quan hệ tải trọng – chuyển vị ngang tại đỉnh khung 6 tầng 2 nhịp 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
H
ệ
 s
ố
 t
ả
i 
tr
ọ
n
g
Chuyển vị ngang tại đỉnh khung (mm) 
Fang cùng cộng sự (1999) 
Tác giả 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
H
ệ
 s
ố
 t
ả
i 
tr
ọ
n
g
Chuyển vị ngang tại đỉnh khung (mm) 
Không xét đến ứng suất dư 
Mẫu ứng suất dư của Vogel (1985) 
Mẫu ứng suất dư của Lehigh Notes (1965) 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
24 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 
Kết quả phân tích của chương trình cho bài toán 
khi không xét đến ứng suất dư cũng như khi xét đến 
ứng suất dư theo mẫu Vogel và Lehigh Notes được 
trình bày trên hình 12. Có thể nhận xét rằng ứng 
suất dư có làm thay đổi ứng xử tải – chuyển vị của 
khung nhưng không đáng kể và làm cho độ cứng 
ngang và khả năng chịu tải cực hạn của khung suy 
giảm đôi chút. 
4. Kết luận 
Một phần phần tử hữu hạn dầm - cột được thiết 
lập để áp dụng phân tích khung phẳng liên hợp gồm 
cột thép và dầm thép – bê tông liên hợp chịu tải 
trọng tĩnh. Tiết diện ngang của phần tử được chia 
thành nhiều thớ nhỏ thép và bê tông để theo dõi 
ứng xử vùng dẻo qua mặt cắt ngang và dọc theo 
chiều dài cấu kiện. Hiệu ứng bậc hai được kể đến 
trong khi thiết lập phương trình gia tăng cân bằng 
của phần tử. Ma trận độ cứng có kể đến hiệu ứng 
bậc hai và ứng xử vùng dẻo được áp dụng trong 
chương trình phân tích tĩnh phi tuyến bằng ngôn 
ngữ lập trình C++ với thuật toán giải phi tuyến 
Euler. Kết quả phân tích của chương trình được 
kiểm chứng là đủ tin cậy khi so với những nghiên 
cứu trước đây của các tác giả khác trên thế giới. 
Lời cảm ơn: 
Nghiên cứu được tài trợ bởi Đại học Quốc gia 
Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHQG-HCM) trong khuôn 
khổ Đề tài mã số C2018-20-34. 
Chúng tôi xin cảm ơn Trường Đại học Bách 
Khoa, ĐHQG-HCM đã hỗ trợ thời gian, phương tiện 
và cơ sở vật chất cho nghiên cứu này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Newmark NM, Siess CP, Viest IM (1951), Test and 
analysis of composite beams with incomplete 
interaction, Proc Soc Exp Stress Anal; 75-92. 
2. Oven VA, Burger IW, Plankt RJ, Wali AAA (1997), An 
analytical model for the analysis of composite beams 
with partial interaction, Comput. Struct; 62(3):493 – 504. 
3. Gattesco N (1999), Analytical modelling of nonlinear 
behaviour of composite beams with deformable 
connection, Journal of Constructional Steel Research; 
52:195 –218. 
4. Dall’Asta A, Zona A (2004), Three-field mixed 
formulation for the non–linear analysis of composite 
beams with weak shear connection, Finite Elem Anal 
Des; 40(4):25–48. 
5. Dall’Asta A, Zona A (2002), Non-linear analysis of 
composite beams by a displacement approach. 
Comput Struct; 80(27–30):2217–2228. 
6. Pi YL, Bradford MA, Uy B (2006), Second Order 
Nonlinear Inelastic Analysis of Composite Steel–
Concrete Members. II: Applications; 132(5):0733–
9445. 
7. Queiroza FD, Vellascob PCGS, Nethercot DA (2007), 
Finite element modelling of composite beams with full 
and partial shear, Journal of Constructional Steel 
Research 63: 505–521. 
8. Chapman JC, Balakrishman S (1964), Experiments on 
composite beams, Struct Eng; 42:369-383. 
9. Ansourian P (1981), Experiments on continuous 
composite beams, Proc Inst Civil Eng, Part 2, 71:25–51. 
10. Liew JYR, Chen H, Shanmugam NE (2001), Inelastic 
analysis of steel frames with composite beams, 
Journal of Structural Engineering; 127:194-202. 
11. Fang LX, Chan SL, Wong YL (1999), Strength 
analysis of semi-rigid steel-concrete composite 
frames, Journal of Constructional Steel Research; 
52:269-291. 
12. Izzuddin BA, Karayannis CG, Elnashai AS (1994), 
Advanced nonlinear formulation for reinforced 
concrete beam-columns, Journal of Structural 
Engineering; 120(10):2913-2934. 
13. Dall Asta A, Zona A (2004), Comparison and validation 
of displacement and mixed elements for the non–linear 
analysis of continuous composite beams, Comput 
Struct; 82:2117–2130. 
Ngày nhận bài: 11/4/2020. 
Ngày nhận bài sửa: 20/6/2020 
Ngày chấp nhận đăng: 29/6/2020. 
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 1/2021 25 
Plastic-zone second-order analysis of planar steel frames with steel-concrete composite beams