Phương pháp điểm nội cho tối ưu phân bố công suất trong hệ thống điện AC/DC song song

OINT METHOD FOR OPTIMAL POWER FLOW 
IN PARALLEL AC/DC POWER SYSTEMS 
Trần Quốc Tuấn Vũ Phan Tú, Trần Anh Dũng 
Công ty Thủy Điện Đa Nhim - Hàm Thuận - Đa Mi Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG Tp HCM 
TÓM TẮT 
Bài báo trình bày việc áp dụng phương pháp điểm nội đối ngẫu cơ bản dự đoán hiệu chỉnh 
(PCPDIP) cho tối ưu phân bố công suất (OPF) trong hệ thống điện AC/DC song song. Trong đó đề 
xuất: i) áp dụng phương pháp dự đoán hiệu chỉnh Mehrotra để làm tăng độ hội tụ, ii) ma trận phân bố 
công suất Jacobi đầy đủ gồm cả 2 thành phần AC và DC, và iii) hàm đối tượng được chọn cho phân 
tích tối ưu là hàm cực đại hoá lợi nhuận xã hội. Kết quả số cho thấy tính ưu việc và hiệu quả của 
phương pháp đề nghị như độ hội tụ và thời gian CPU nhanh hơn phương pháp kiểu Newton được áp 
dụng cho mạng IEEE 118 nút và AC/DC 24 nút. Sự so sánh với chương trình Matpower trên mạng AC 
IEEE 118 nút cũng được trình bày. Đặc biệt, kết quả tính toán thu được trên mạng AC/DC song song 
như chi phí đầu tư và tổn thất thấp hơn mạng khi so sánh với mạng AC đã khẳng định được ưu điểm 
của mạng AC/DC vận hành song song . 
ABSTRACT 
This paper presents the application of a Prediction–Correction Primal-Dual Interior Method 
(PCPDIP) for the optimal power flow (OPF) in parallel AC/DC power systems. In which proposed: i) 
application of the Mehrotra prediction-correction method for increasing the convergence, ii) the full 
Jacobian power flow matrix consists of both AC and DC elements, and iii) the chosen objective 
function is chosen for optimal analysis is the function of social benefit maximum. The numerical results 
illustrate the primacy and effectiveness of the proposed method such as convergence and CPU time 
faster than a Newton-type method as applied on the IEEE 24-bus AC/DC and IEEE 118-bus 
systems. The comparison with a Matpower software on IEEE 118-bus systems is also presented. In 
particular, the calculation shows that the cost and power loss in the AC/DC network is lower than in 
the AC network. It prove the advantage of the parallel operation AC/DC systems 
I. GIỚI THIỆU 
Truyền tải HVDC là xu thế phát triển của 
các tập đoàn điện lực trên toàn thế giới trong 
thế kỷ 21, nhằm liên kết các vùng, lãnh thổ hay 
các quốc gia lại với nhau làm tăng hiệu quả sử 
dụng nguồn, tăng độ tin cậy truyền tải và cung 
cấp điện. Để tối ưu việc quản lý vận hành hệ 
thống, bài toán OPF được giải bằng nhiều 
phương pháp như phương pháp Lambda, 
Newton, phương pháp nhân tử Lagrange, giải 
thuật Gen... Bài báo này áp dụng phương pháp 
PCPDIP tính toán tối ưu phân bố công suất 
trong mạng điện AC/DC song song . 
Xuất phát từ bài toán qui hoạch tuyến 
tính, năm 1984 Karmarkar [5] đưa ra một 
phương pháp khác so với phương pháp đơn 
hình của George Dantzig gọi là phương pháp 
điểm nội (IP). Phương pháp đơn hình là bắt đầu 
từ một điểm trên biên của vùng khả thi, chạy 
dọc theo biên tiến đến điểm tối ưu. Phương 
pháp IP của Karmarkar là từ một điểm trong 
vùng khả thi, tiến theo một “độ dài” và một “độ 
dốc” chọn trước, sau một số vòng lặp sẽ tiến 
đến điểm tối ưu. Bằng cách chọn chính xác 
“điểm rốn” xuất phát, độ dài và độ dốc của 
bước tiến sẽ tiến đến điểm tối ưu nhanh hơn 
phương pháp đơn hình đặc biệt đối với bài toán 
có biên phức tạp. Từ đây ra đời các lý thuyết để 
chọn bước tiến tối nhất với các tên gọi như: “tỷ 
lệ affine”; chặn logarithm”; giảm cấp”; tìm 
đường”; đối ngẫu cơ bản”; điểm nội không khả 
thi” và cuối cùng là phương pháp “điểm nội đối 
ngẫu cơ bản” dựa trên giải thuật “dự đoán – 
hiệu chỉnh” của Mehrotra được sử dụng trong 
hầu hết các phần mềm hiện nay. 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 70 - 2009 
 7 
Trong bài báo này chúng tôi đề xuất việc 
áp dụng phương pháp PCPDIP để tính tối ưu 
phân bố công suất trong hệ thống điện AC/DC. 
Kết quả được kiểm tra trên mạng IEEE 118 nút 
và sau đó phát triển cho mạng AC/DC song 
song 24 nút. 
II. BÀI TOÁN TỐI ƯU 
2.1 Mô tả toán học bài toán tối ưu 
Bài toán tối ưu là đi tìm giá trị lớn nhất 
hay nhỏ nhất của hàm đối tượng với các ràng 
buộc được mô tả như sau: 
( , )
( , ) 0
( , ) .
min max
Min g x y
Max
f x y
Subject to
h h x y h

 



với: x, y : tập các biến. 
 g(x,y) : hàm đối tượng vô hướng. 
f(x,y) : các phương trình ràng buộc. 
h(x,y) : các bất phương trình giới hạn 
của các biến. 
Bằng việc thêm các biến “slack” s vào 
bất phương trình trong (1) thì ràng buộc bất 
phương trình được đưa về dạng phương trình 
như sau: 
( , )
( , ) 0
( , ) 0
.
( , ) 0
0 0 .,
min min
max max
min max
Min g x y
Max
f x y
h x y h s
s t
h h x y s
s s

  
  
 






( , )
( , ) 0
. ( , ) 0
0 .
Min g x y
Max
f x y
s t h x y s
s

  






với 
( , )
( , )
( , )
.
.
min
max
min
max
h x y h
h x y
h h x y
s
s
s

 


 
 
 
 
 
 
Hàm Lagrange. 
( , ) ( , ) ( , ) )( ( ) .T T s iL x y f x y h x y sg ln s         
với ρ, µ là thừa số Lagrange, µs thừa số chặn. 
Theo điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker 
(KKT) thì: 
 ( , , , , ) 0 .L x y s   (5) 
Khi µs→0 giải (5) chúng ta được tập 
ngiệm (x ,y, ρ, µ, s) cũng là lời giải của (1). 
2.2 Ứng dụng vào bài toán trong hệ thống 
điện 
Theo [Gisin et al. 1999], và [Xie et al. 
2000] bài toán OPF thị trường điện điển hình 
ràng buộc an ninh hệ thống bởi giới hạn công 
suất truyền tải và giới hạn điện áp thanh cái 
được mô tả như sau: 
2
2
2
2
( ) 0
0 .
0 .
. ( , )
( , )
.
" "
max
max
ij max
ji max
min max
S S
D D
ij
ji
G G G
min max
Max G Social benifit
f y PF equations
P P Sup bid blocks
P P Dem bid blocks
s t I V I Thermal lim
I V I
Q Q Q Gen Q lim
V V V V security lim


 
  

  

  

 

 

  

   
Trong đó hàm đối tượng G là chính hiệu 
của chi phí nguồn phát và tải tiêu thụ có dạng 
bậc 2 theo công suất. Đặt qp = QD0/PD0 để đơn 
giản thành phần công suất kháng QD của tải tiêu 
thụ với QD0, PD0 là công suất ban đầu của phụ 
tải. Hàm G được mô tả: 
' 2 ' ' 2 '
' 2 ' ' 2 2 '
( ) ( )
( ) ( )
sc S sb S sa sc g sb g sa
dc D db D da dc p D db p D da
G C P C P sum C D Q D Q sum D
C P C P sum C D q P D q P sum D
     
           
CS, CD ($/MWh): hai vector giá của công suất 
nguồn và công suất tiêu thụ được đấu giá trong 
thị trường điện. 
 Qg : công suất kháng của máy phát. 
V, δ : điện áp và góc pha của thanh cái. 
Iij, Iji : dòng điện trên đường dây theo 2 hướng. 
PS , PD : công suất cung cấp và yêu cầu. 
Ràng buộc phương trình f(y) chính là 
phương trình cân bằng công suất trong hệ thống. 
 1
1
( ) ; , , , ,
.
n
i si di
Ti
G S Dn
i gi p di
i
P P P
f y y V Q P P
Q Q q P




 

 
  



Hàm Lagrange tổng quát cho hàm đối 
tượng cực đại hoá lợi nhuận xã hội như sau: 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(6) 
(6) 
(7) 
hay
(8) 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 70 - 2009 
 8 
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
S max Smax max
S S D max Dmin min max max
D D ij max ij ij ijmax min max max
ji max ji ji ji G max max Gmax max max
Gmin
T T
P S S P
T T
P S P P D D P
T T
P D P I I
T T
I I Q G G Q
T
Q Gc
Min L G f y P P s
P s P P s
P s I I s
I I s Q Q s
Q
 
 
 
 

    
    
    
     
 ) ( )
( ) .
min G maxmin max
min min
T
G Q V max V
T
V min V s i
i
Q s V V s
V V s lns

 
    
 
     
 

Điều kiện KKT 0L  (5) cho bài toán (6): 
0
( ) 0
0
. 0.
y y y y y
s s s
L g G F H
L g f y
L g h s
L g s
 
 
 
      

     

     
    
Áp dụng phương pháp điểm nội giải lặp 
để tìm nghiệm của hệ phương trình (10). 
III. PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM NỘI 
3.1 Bước tiến Newton " Newton Direction" 
Xấp xỉ Newton [16] hệ (10) được hệ (11) 
2
T T
xLms g h y
g
h
s
D y J J g
J y g
J y s g
s s g


 
 
       

  

    
     
Với: D2xLms=[ -H.ρ + [Hij Hji].µ; 2yG ]. 
Trong đó H, Hij và Hji lần lượt là ma trận 
Hessian của ràng buộc công suất và dòng điện. 
Ma trận Jacobi Jg ở đây được thành lập 
dựa trên phương trình ràng buộc công suất P, Q 
trong hệ thống. Nó bao gồm cả hai thành phần 
AC và DC chính vì vậy mà ma trận này được 
gọi là ma trận Jacobi đầy đủ. Ma trận Jh là ma 
trận Jacobi của các ràng buộc khác. 
0 1 1
.
1 0
g
p
P P
V
J
Q Q
q
V


  
  
 
  
 
   
1
1
1
1
1
.
1
1
1
h
ij
ji
gV Q Ps Pd
J
J
J

  
  
  
  
  
  
 
      
 
   
   
  
  
  
   
Đặt: Hs=1./s, Hm=µ./s là các ma trận 
đường chéo. Thay ∆s từ phương trình (11.c) 
vào phương trình (11.d). Tính ∆µ theo ∆y và 
thế giá trị này vào phương trình (11.a). Hệ 
phương trình (11) được rút gọn thành hệ 
phương trình (12). 
2 ( )
.
0
T T T
xLms h m h g y h m s s
g
D J H J J g J H g H gy
J g


       
              
Giải hệ (12), chúng ta được bước tiến 
Newton. 
3.2 Dự đoán – Hiệu chỉnh Mehrotra 
 Bước ước lượng dự đoán: xem µs = 0, ước 
lượng Newton cho hệ (10) được hệ (13). 
2 ( )
.
0
T T T
xLms h m h g y h m
g
D J H J J g J H gy
J g




       
              
 Giải hệ (13) được , ,y     và s ước 
lượng. 
 Bước „centering‟ ước lượng lại µs 
2
ˆ ˆ
, *
2( )
s
gap gap
min
gap m n
 
  
   
   
Với β = 0.1 † 0.25 : hệ số „centering‟. 
gâp : khoảng không bù, được tính: 
ˆ ( ).( )p dgap s s        
gap: khoảng không đối ngẫu, tính theo (20). 
m, n lần lượt là số ràng buộc bất phương trình 
và phương trình. 
 Bước hiệu chỉnh „corrector‟ 
 Tính đại lượng hiệu chỉnh gs theo các đại 
lượng được ước lượng ở trên. 
 ( ) / .s sg µ µ s µ s     
Thay (11.d) bằng 
s
µ
s g
s
     , giải lại 
hệ (11) tìm hướng tiến thực của các biến. 
3.3 Cập nhật biến và giảm µs 
 Ở vòng lặp thứ k +1, các biến được cập 
nhật 
1 1
1 1, .
k k k k k k k k
p d
k k k k k k k k
p d
y y y
s s s
    
    
 
 
     
     
với độ dài bước α được tính theo (18) 
(10b) 
(9) 
(14) 
(15) 
(16) 
(13) 
(12) 
(17) 
(10a) 
(10d) 
(10c) 
(11b) 
(11a) 
(11d) 
(11c) 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 70 - 2009 
 9 
. ,1 , . ,1 .p d
s
min min
s

   

  
     
     
cho các ∆s <0, ∆µ <0. σ = 0.995: hệ số an toàn. 
 Giảm µs 
. , 1 .
2( )
s
gap
min
m n
 
 
  
  
Với khoảng không đối ngẫu: gap = s.µ 
3.4 Tiêu chuẩn hội tụ 
Vòng lặp kết thúc khi thỏa các điều kiện 
 Sai số thừa số chặn µs < εµ 
 Sai số lớn nhất của biến 
norm(∆y) < ε2 
 Sai số lớn nhất của ràng buộc phương trình 
norm(gρ) < ε1 
 Sai số của hàm đối tượng 
2
1
G
G




3.5 Chọn điểm ban đầu 
Đối với bài toán OPF trong hệ thống 
điện thông thường chọn điểm ban đầu như sau: 
Ps
(0)
 = Ps min + 0.1(Ps max – Ps min), 
Pd
(0)
 = Pd min + 0.1(Pd max – Pd min ), 
Qg
(0)
 = 0.5(Qg max – Qg min). 
Góc pha và biên độ của điện áp có thể chọn 
δ(0) = 0 (rad), V
(0)
 = 1 (p.u). 
hay từ kết quả phân bố công suất. 
IV. KẾT QUẢ 
4.1 Mạng AC IEEE 118 nút 
Mạng chuẩn AC IEEE 118 nút gồm có 
109 tải, tổng công suất tải S=42.42+j14.38 (p.u), 
54 máy phát, 9 máy biến áp và 177 đường dây. 
Kết quả phân tích được tóm tắt như trong Bảng 
1 và 2. 
Bảng 1. 
Phân bố 
công suất thường 
Tối ưu phân bố công suất 
phương pháp IP 
 Chương trình 
phân tích 
Matpower 
 Ps Qg Ps Qg Ps Qg 
 pu pu pu pu pu pu 
Tổng: 43.755 7.167 43.197 3.8987 43.194 3.8826 
Hàm đối tượng [$/h]: 129678 129661 
Bảng 1 cho thấy kết quả giữa chương 
trình phân tích của chúng tôi xây dựng và 
Matpower [17] là như nhau. Khi tối ưu phân bố 
công suất thì điện áp ở các thanh cái được nâng 
lên đáng kể (đều lớn hơn 1 p.u). Tổng công suất 
nguồn phát thấp hơn trong trường hợp phân bố 
công suất thường điều này có nghĩa là tổn hao 
truyền tải thấp hơn. 
Bảng 2. 
Tối ưu phân bố công suất 
Phương pháp IP 
Dự đoán 
hiệu chỉnh 
Newton 
thông thường 
Số vòng lặp 13 67 
Thời gian tính toán (s) 3.5437 6.6575 
Kết quả Bảng 2 cho thấy số vòng lặp và 
thời gian tính toán của phương pháp PCPDIP 
nhanh hơn phương pháp Newton thông thường. 
4.2 Mạng AC/DC 24 nút 
Để áp dụng phương pháp PCPDIP vào 
mạng AC/DC chúng tôi lấy mạng AC IEEE 24 
nút. Thay 2 nhánh AC bằng 2 nhánh DC như 
hình sơ đồ mô phỏng AC/DC. Kết quả phân tích 
tối ưu phân bố công suất trong 2 trường hợp tải 
cố định và tải thay đổi được tóm tắt trong Bảng 
3 và Bảng 4. 
Bảng 3. 
Tải cố định 
 Mạng AC Mạng AC/DC Tải 
Ps Qg Ps Qg Pd 
MW Mvar MW Mvar MW 
Tổng 3284.6 1175.8 3280.1 1140.6 3171 
Chi phí ($/h) 51931.18 36979.98 
Từ kết quả Bảng 3 cho thấy chi phí cho 
mạng AC/DC thấp hơn mạng AC do phân bổ 
công suất giữa các tổ máy trong mạng AC/DC 
tốt hơn. Vì HVDC định hướng được công suất 
truyền tải làm cho tổn thất trong mạng AC/DC 
(109.1 MW) thấp hơn trong mạng AC (113,6 
MW). 
Bảng 4. 
Tải thay đổi 
Mạng AC Tải Mạng AC/DC Tải 
Ps Qg Pd Ps Qg Pd 
MW Mvar MW MW Mvar MW 
Tổng 3256.1 1068.8 3150.9 3117.1 965.09 3017.2 
Lợi nhuận ($/h) 38292.666 36477.80 
(18) 
(19) 
(21) 
(22) 
(23) 
(24) 
(20) 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 70 - 2009 
 10 
Bảng 3 và 4 cho thấy khi tải được tối ưu 
thì càng làm giảm tổn thất trong mạng. Mạng 
AC từ 113,6 MW giảm xuống còn 105.2 MW 
và mạng AC/DC từ 109.1 còn 99.9 MW. Về 
mặt lợi nhuận thì lợi nhuận thu được trong 
mạng AC lớn hơn trong mạng AC/DC do tổng 
công suất phát và tổng công suất tải trong mạng 
AC lớn hơn. Nhưng xét về tổn thất thì tổn thất 
mạng AC/DC vẫn thấp hơn trong mạng AC. 
V. KẾT LUẬN 
Tối ưu phân bố công suất trong mạng 
làm cải thiện điện áp, làm tăng độ tin cậy cho 
hệ thống đồng thời nó cũng làm giảm tổn thất 
trong mạng, nâng cao hiệu suất truyền tải. Kết 
quả phân tích cũng cho thấy ưu thế giảm tổn 
thất của mạng AC/DC. 
Giải thuật tối ưu phân bố công suất trong 
bài báo này áp dụng cho hàm đối tượng cực đại 
hoá lợi nhuận. Điều này có nghĩa là hàm chi phí 
không chỉ xét cho công suất hữu công P mà còn 
cho công suất vô công Q và cho cả tải cố định 
và tải thay đổi. 
So sánh giữa phương pháp PCPDIP và 
phương pháp Newton thông thường thì phương 
pháp PCPDIP cho tốc độ hội tụ nhanh hơn. 
Đây là điểm mạnh vượt trội của phương pháp 
này so với các phương pháp khác khi tính toán 
các hệ thống lớn. 
Kết quả thu được giống với chương trình 
Matpower. Giải thuật phân tích được viết bằng 
ngôn ngữ Matlab lập trình hướng đối tượng cấu 
trúc lớp và ứng dụng kỹ thuật ma trận lược nên 
tốc độ tính toán nhanh đặc biệt cho các mạng 
lớn từ vài trăm đến vài ngàn nút. 
Sơ đồ mô phỏng mạng AC/DC 24 nút và kết quả 
phân bố công suất. 
IEEE One Area RTS -96
P13= 1.18
Q13= 0.242
P=1.72
V=1.035
P=1.72
V=1.035
P=2.4
V=1.025
P2= 1.067
Q2= 0.22
P5= 0.781
Q5= 0.154 P7= 1.375
Q7= 0.275
P4= 0.814
Q4= 0.165
P3= 1.98
Q3= 0.407
P9= 1.925
Q9= 0.396
P10= 2.145
Q10= 0.44
P8= 1.881
Q8= 0.385
P6= 1.469
Q6= 0.308
P14= 2.134
Q14= 0.429
P15= 3.847
Q15= 0.704
P1= 2.915
Q1= 0.594
P20= 1.408
Q20= 0.286
P19= 1.991
Q19= 0.407
P16= 1.1
Q16= 0.22
P18= 3.663
Q18= 0.748
P=4
V=1.05
P=4
V=1.05
P=3
V=1.05
P=5
V=1.05
P=2.5
V=1.017
P=2.15
V=1.02 HVDC Line
HVDC Line 1
RI
R I
Bus24
|V| = 0.970 p.u.
<V = -0.0063 rad 
Bus23
|V| = 1.05 p.u.
<V = 0.097 rad 
Bus22
|V| = 1.05 p.u.
<V = 0.344 rad 
Bus21
|V| = 1.05 p.u.
<V = 0.243 rad 
Bus20
|V| = 1.037 p.u.
<V = 0.087 rad 
Bus19
|V| = 1.021 p.u.
<V = 0.094 rad 
Bus18
|V| = 1.05 p.u.
<V = 0.229 rad 
Bus17
|V| = 1.038 p.u.
<V = 0.211 rad 
Bus16
|V| = 1.017 p.u.
<V = 0.145 rad 
Bus15
|V| = 1.02 p.u.
<V = 0.142 rad 
Bus14
|V| = 1.074 p.u.
<V = -0.3623 rad 
Bus13
|V| = 1.035 p.u.
<V = -0.3503 rad 
Bus12
|V| = 0.992 p.u.
<V = -0.1390 rad 
Bus11
|V| = 1.056 p.u.
<V = -0.3440 rad 
Bus10
|V| = 1.053 p.u.
<V = -0.3924 rad 
Bus09
|V| = 1.009 p.u.
<V = -0.3445 rad 
Bus08
|V| = 0.996 p.u.
<V = -0.4357 rad 
Bus07
|V| = 1.025 p.u.
<V = -0.3778 rad 
Bus06
|V| = 1.064 p.u.
<V = -0.4525 rad 
Bus05
|V| = 1.029 p.u.
<V = -0.4011 rad 
Bus04
|V| = 1.000 p.u.
<V = -0.3920 rad 
Bus03
|V| = 0.976 p.u.
<V = -0.2659 rad 
Bus02
|V| = 1.035 p.u.
<V = -0.3532 rad 
Bus01
|V| = 1.02 p.u.
<V = 0 rad 
Chú ý: tất cả các giá trị công suất tải, máy phát được 
tính trong hệ p.u. Chọn cơ bản Scb = 100 MVA.
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. J. Carpenter; Contribution to the economic dispatch problem” , Bull. Soc. Franc. Elect., Vol 8, pp 
431-447, Aug 1962. 
2. Dommel H.W., Tinney W.F.; Optimal power flow solutions; IEEE Trans. on PAS, vol 87, no 10, 
pp 1866-1876, 1968. 
3. Huneault M., Galiana F.D.; Asurvey of the optimal power flow literature; IEEE Trans. on 
Power systems, vol 6, no 2, pp 762-770, 1991. 
4. Momoh J.A., EL-Haway M.E., Adapa R.; A review of selected optimal power flow literature to 
1993 part 1 and 2; IEEE Trans.on Power systems, vol 14, no 1, pp 96-111, 1999. 
5. Karmarkar N.; A new polynominal time algorithm for linear programming; combinatorica 4, pp 
373-395, 1984. 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 70 - 2009 
 11 
6. Vargas L.S., Quintana V.H., Vannelli A.; A tutorial description of an interior point method and its 
applications to security constrained economic dispatch; IEEE Trans.on Power Systems, vol 8, no 
3, pp 1315-1323, 1993. 
7. Lu N., Unum M.R.; Network constrained security control using an interior point algorithm; IEEE 
Trans.on Power System, vol 8, no 3, pp 1068-1076, 1993. 
8. Zhang X.P. and Chen Z.; Security constrained economic dispatch through interior methods. 
Automation of Electric power Systems; vol 21, no 6, pp 27-29, 1997. 
9. Momoh J.A., Guo S.X., Ogbuobiri E.C., Adapa R.; The quadratic interior point method solving 
power system optimization problems; IEEE Trans.on Power Systems, vol 9, no 3, pp 1327-1336, 
1994. 
10. Granville S.; Optimal reactive power dispatch through interior point methods”. IEEE trans.on 
Power Systems, vol 9, no 1, pp 136-146, 1994. 
11. Wu Y.C., Debs A., Marsten R.E.; A direct nonlinear predictor corrector primal-dual interior point 
algorithm for optimal power flows; IEEE trans.on Power Systems, vol 9, no 2, pp 876-882, 1994. 
12. Irisarri G.D., Wang X., Tong J., Mokhtari S.; Maximum loadability of power syatems using 
interior point nonlinear optimization method; IEEE Trans.on Power System, vol 12, no 1, pp 
167-172, 1997. 
13. Wei H., Sasaki H., Yokoyama R.; An interior point nonlinear programming for optimal power 
flow problems within a novel data structure; IEEE trans.on Power Systems, vol 13, no 3, pp 870-
877, 1998. 
14. Torres G.L., Quintana V.H.; An interior point method for nonlinear optimal power flow using 
voltage rectangular coordinates; IEEE Trans.on Power System, vol 13, no 4, pp 12111-1218, 
1998. 
15. Zhang X.P., Petoussis S.G., Godfrey K.R.; Novel nonlinear interior Point Optimal Power flow 
method baesd on current mismatch formulation; IEEE Proceedings Generation, Transmission & 
Distribution, to paper, 2005. 
16. El-Bakry S., Tapia R.A., Tsuchiya T., Zhang Y.; On the formulation and theory of the Newton 
interior point method for nonlinear programming; Journal of Optimisation Theory and 
Applications, vol 89, no 3, pp 507-541, 1996. 
17.  
Địa chỉ liên hệ: Vũ Phan Tú – Tel: 0934.979.888 
 Khoa Điện - Điện tử, Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG Tp Hồ Chí Minh