Sử dụng phương pháp nội suy B-Spline để đánh giá sai số trong miền tần số của bộ biến đổi tín hiệu DAC

 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 
19 
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY BSPLINE ĐỂ ĐÁNH GIÁ SAI SỐ 
TRONG MIỀN TẦN SỐ CỦA BỘ BIẾN ĐỔI TÍN HIỆU DAC 
USING BSPLINE INTERPOLATION METHOD TO ESTIMATE THE INFORMATION ERROR 
IN FREQUENCE DOMAIN OF DAC 
Nguyễn Doãn Phước 
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 
TÓM TẮT 
Bộ chuyển đổi tín hiệu DAC có nhiệm vụ khôi phục tín hiệu từ dạng số sang tương tự. Việc khôi 
phục tín hiệu đó sẽ gây ra sai lệch thông tin mà tín hiệu cần truyền tải. Bài báo sử dụng phương pháp 
nội suy BSpline để phân tích sai lệch trên trong miền tần số, mà ở đó bản chất chuyển đổi tín hiệu từ 
dạng số sang tương tự được nhìn nhận như một phép nội suy hàm liên tục từ dãy các giá trị đo được 
của nó. Kết quả nghiên cứu cho thấy mọi bộ biến đổi DAC làm việc theo nguyên tắc nội suy Bpline 
bậc chẵn lớn hơn 0 đều có nguy cơ tạo ra một tín hiệu liên tục với sai số lớn trong miền tần số, thậm 
chí còn tồn tại những điểm tần số mà ở đó sai số thông tin là vô cùng. 
ABSTRACT 
The DAC is an equipment often used for reconstruction of continuous signal from its sample 
data. This reconstruction procedure causes obviously an information error, which is carried out by the 
signal, such as the error in frequence domain. The essences of this error have been analysed in this 
paper by using BSpline interpolation techniques to describe the mapping from digital values of a 
signal to its analog expresssion. The obtained analysing results of this paper show that the using of 
DA converter, which is based on Bspline of even grade excepting the zerro grade, will bring a huge 
information error in frequence domain, even infinite in some frequences. 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Hình 1 mô tả nguyên lý làm việc của các 
thiết bị DAC để khôi phục tín hiệu liên tục x(t) 
từ dãy các giá trị đo được của nó {xk}, k=0,1, 
..., N, trong khoảng thời gian hữu hạn [0,NT], 
trong đó xk=x(kT) và T là chu kỳ trích mẫu tín 
hiệu. Kết quả thu được là tín hiệu liên tục y(t) 
và tín hiệu này có quan hệ: 
 y(kT) = x(kT), k=0,1, ... , N (1) 
với tín hiệu gốc x(t). Các bộ khôi phục tín hiệu 
khác nhau sẽ tạo ở đầu ra những tín hiệu liên 
tục khác nhau. Hiển nhiên là từ dãy hữu hạn 
{xk} các giá trị ta sẽ có vô số hàm liên tục y(t) 
thỏa mãn điều kiện (1), nên về nguyên tắc cũng 
sẽ có vô số các bộ biến đổi DAC. Vấn đề 
nghiên cứu đặt ra ở đây là cần phải chỉ ra được 
bộ biến đổi DAC nào sẽ cho ra sai lệch thông 
tin trong miền tần số tính theo: 
 sup Y(j ) X( j )

     (2) 
đủ nhỏ chấp nhận được, chẳng hạn như trong 
một dải sai lệch đủ nhỏ cho trước, trong đó 
X(j), Y(j) là ký hiệu chỉ ảnh Fourier của các 
tín hiệu liên tục x(t) và y(t) được tính trong 
khoảng thời gian [0,NT]. 
Đã có nhiều công trình nghiên cứu vấn 
đề được đặt ra ở trên như [1,4,5]. Tiếp cận theo 
hướng tương tự, nhưng với công cụ nội suy 
BSpline, bài báo này sẽ xem quá trình khôi 
phục tín hiệu của bộ biến đổi DAC chính là 
việc nội suy từng đoạn dãy giá trị {xi}, 
i=m,m+1, ... ,2m1 với mỗi đoạn có m giá trị, 
để được N
m
 
 
 hàm liên tục yi(t), i=1, 
..., N
m
 
 
, trong đó ký hiệu [x] chỉ phép tính 
lấy phần nguyên của số thực x. Sau đó “dán” 
các hàm liên tục yi(t) này với nhau thành tín 
trích mẫu 
x(t) {xk} y(t) 
X(j) X*(j) Y(j) 
Hình 1. Mô tả quá trình khôi phục tín hiệu 
DAC 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 
20 
hiệu y(t) trơn, khả vi m1 lần. Nguyên tắc nội 
suy BSpline này mô tả đúng quy trình khôi 
phục tín hiệu của bộ biến đổi DAC bậc m. 
II. MÔ HÌNH HÓA KHỐI DAC BẬC m 
BẰNG PHÉP NỘI SUY BSPLINE 
Cũng giống như các phương pháp nội suy 
nói chung, nội suy BSpline là phương pháp 
được xây dựng dựa trên các hàm mô hình cục 
bộ, gọi là hàm BSpline gốc. Ký hiệu hàm 
BSpline gốc bậc m là fm(t), m=0,1, ... thì theo 
Bezier [1], [4], [6] tất cả các hàm BSpline gốc 
sẽ có quan hệ truy hồi với nhau như sau: 
 0
1(t) 1(t T)
f (t)
T
 
 (3) 
và 
 m 0 m 1f (t) f (t)*f (t) (4) 
trong đó * là ký hiệu phép tích chập. Các hàm 
BSpline gốc này đều thỏa mãn: 
  m
t
suppf (t) 0,mT 
tức là fm(t)=0 khi t[0,mT]. Hình 2 minh họa 
các hàm BSpline gốc bậc 0,1 và 2. 
Từ hai công thức (3), (4) định nghĩa của 
Bezier ta cũng suy ra được: 
mm 1
k
m m 1
k 0
m 1 (t kT) 1(t kT)
f (t) ( 1)
k!(m 1 k)!T



  
 
 
 
trong đó 1(t) là ký hiệu chỉ hàm Heviside. Với 
công thức trên thì rõ ràng hàm fm(t) nhận giá trị 
cực đại tại 
m 1
T
2

 và có ảnh Fourier là: 
m 1
j T
m
1 e
F ( j )
j T

  
     
Ta sẽ sử dụng công thức mô tả hàm fm(t) 
như trên để mô hình hóa quá trình biến đổi 
{xk}y(t). Nhằm có được lượng thông tin 
entropie lớn trong mỗi khoảng cục bộ [6], tức là 
trong các khoảng cục bộ i=m,m+1, ... ,2m1 
cũng sẽ có sự tham gia của nhiều hàm gốc fm(t), 
ta sẽ dịch fm(t) sang trái một khoảng 
m
T
2
 
 
 
, 
với x là ký hiệu chỉ số nguyên nhỏ nhất 
nhưng không nhỏ hơn x, sao cho hàm zm(t) 
nhận được có điểm cực đại gần đối xứng qua 
gốc (hình 3), chẳng hạn như: 
z0(t)=f0(t), z1(t)=f1(tT), z2(t)=f2(tT), ... 
Vậy thì khi “dán” các hàm zm(t) này lại với 
nhau để có y(t) thì: 
N
n m
n 0
y(t) a z (t nT)

  (5) 
với an, n=0,1, ... , N là những số thực được xác 
định từ xk, k=0,1, ... , N theo quan hệ (1) phải 
có. 
Thay điều kiện (1) vào (5), rồi viết lại nó 
lần lượt cho n=0,1, ... , N ta sẽ có N+1 phương 
trình. Biểu diễn chung các phương trình đó 
dưới dạng ma trận, ta được: 
 
m m 0 0
m m N N
z (0) z ( NT a x
z (NT) z (0) a x
a bA
     
    
     
     
     

    


f0(t) 
t 
T 
T
 1
f1(t) 
t 
2T T 
f2(t) 
t 
3T T 2T 
Hình 2. Hàm BSpline gốc bậc 0,1 và 2. 
fk(t) 
z4(t) 
t 
f4(t) 
Hình 3. Mô tả hàm gốc thích hợp cho việc 
mô hình hóa. 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 
21 
Suy ra: 
1a A b (6) 
và đó là công thức xác định vector các tham số 
an, n=0,1, ... , N cho mô hình (5) mô tả quá trình 
biến đổi {xk}y(t). 
Từ mô hình (5) trong miền thời gian ta 
kiểm tra ngay được rằng khối DAC với tín hiệu 
vào {xk} và ra y(t) là một khâu tuyến tính (thỏa 
mãn nguyên lý xếp chồng), bởi vậy nó sẽ mô tả 
được bằng hàm truyền G(s), tức là mô tả được 
bởi (hình 1): 
*
Y(j )
G( j )
X ( j )

 

trong đó Y(j) là ảnh Fourier của y(t) và X*(j) 
là của {xk}. Vì có quan hệ (1) nên giữa hai ảnh 
Fourier này phải có tương quan Shannon: 
*
k
N 1
j nT
m n
k n 0
2
TX ( j ) Y j( k )
T
2
 = Z ( j( k )) a e
T


 
 
 
 
   
 



 
trong đó Zm(j) là ảnh Fourier của hàm gốc: 
 m mz (t) f (t )  với 
m
T
2
 
   
 
và ảnh Fourier này được suy ra từ (3) và (4) với 
ảnh Fourier F0(j) của hàm f0(j) là: 
j T
0
1 e
F ( j )
j T
 
 

như sau: 
m 1
j T
j
m
1 e
Z ( j ) e
j T

 
      
 (7) 
Ngoài ra, từ (5) ta còn có: 
N
j nT
m n
n 0
eY(j ) Z ( j ) a  

    (8) 
Suy ra: 
 m
m
k
Z ( j )
G( j )
2
T Z ( j( k ))
T



 


 (9) 
Thay (7) vào (9) và để ý rằng: 
m 1
j T
j
m
2 1 e
Z ( j( k )) e
2T
j( k )T
T

 

 
  
   
 
 
ta được: 
m 1
m 1k
m
m
m
m
k
1
G( j )
1
T
2
( k )
T
d 1
d
d 1
T
2d k
T





 


 
 
  
 
 
   
 


Lại để ý tiếp khi m=0 thì: 
k
1
G( j )
1
T
2
k
T


 




 (10) 
cũng như từ (8): 
N
j nT
0 n
n 0
j T N
j j nT
n
n 0
j T
j *
eY(j ) Z ( j ) a
1 e
e a e
j T
1 e
e X ( j )
j T
 

 
  

 

  




 


 
 
j T1 e
G( j )
j
 
 

 khi m=0 (11) 
thì khi so sánh (10) với (11) ta rút ra được: 
j T
k
1 j
T
2 1 ek
T

 


 
 (12) 
Cuối cùng, thay (12) vào công thức tổng quát 
của G(j) ta đi đến hàm đặc tính tần số của 
khâu chuyển đổi tín hiệu DAC với cấu trúc mô 
tả ở hình 1, như sau: 
m
m
* m
m j T
d 1
Y( j ) d
G( j )
X ( j ) d 1
j
d 1 e 
 
      
  
 
  
 (13) 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 
22 
Đó cũng chính là mô hình toán học biểu diễn 
quá trình khô phục tín hiệu {xk}y(t) trong 
miền tần số. 
III. ĐÁNH GIÁ SAI SỐ THÔNG TIN 
TRONG MIỀN TẦN SỐ 
Dựa vào hàm đặc tính tần (13) mô tả bộ 
chuyển đổi tín hiệu sốtương tự DAC trong 
miền tần số ta nhận thấy ngay được rằng: 
1. Khi m=0 ta có: 
T
Tsin
2G( j )
T
2

 

2. Khi m=1 thì: 
2
T
sin
2G( j ) T
T
2
 
 
   
 
 
3. Khi m=2 thì: 
3
T
sin
T 2G( j )
T T
cos
2 2
 
 
    
 
 
4. Khi m=3 thì: 
4
T
sin
3T 2G( j )
T2 cos( T)
2
 
 
      
 
5. Khi m=4 thì: 
 
5
T
sin
6T 2G( j )
T T
cos 5 cos( T)
2 2
 
 
    
  
 
Như vậy tại tất cả các điểm tần số 
T=(2k+1), hàm G(j) ứng với m=2 hoặc 
m=4 có giá trị là . Suy ra ở các tần số này, 
kết quả y(t) thu được sau khi khôi phục tín hiệu 
sẽ có sai lệch tần số so với tín hiệu gốc x(t) 
cũng là . Tương tự ta cũng có được kết luận 
này với m=6, 8, .... Điều này chỉ rằng việc sử 
dụng tất cả những khối DAC bậc chẵn lớn hơn 
0 sẽ làm cho sai lệch thông tin theo nghĩa (2) tại 
các điểm tần số T=(2k+1) là . 
IV. VÍ DỤ MINH HỌA 
Hình 4 là kết quả thực nghiệm minh họa 
kết luận nêu trên về sai lệch thông tin ở miền 
Hình 4. Đồ thị ảnh Fourier của các tín hiệu liên tục thu được với DAC bậc 0,1,2,3 
0.3 
0.2 
0.1 
0.3 
0.2 
0.1 
0.3 
0.2 
0.1 
0.3 
0.2 
0.1 
10 20 30 40 50 
10 20 30 40 50 
10 20 30 40 50 
10 20 30 40 50 
Y(j) 
Y(j) 
Y(j) 
Y(j) 
 
 
 
 
m=2 
m=0 
m=3 
m=1 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT  SỐ 74 - 2009 
23 
tần số của tín hiệu gốc ban đầu: 
x(t)=e
3 t
, t0  
1
X(j )
3 j
 
 
Tín hiệu gốc được trích 8 mẫu với chu kỳ 
Tx=10
1
s thành dãy {xk}, k=0, 1, ... ,7. Dãy đó 
lại được tái tạo lần lượt bởi DAC bậc 0,1,2,3 
theo công thức (5) và (6) thành tín hiệu liên tục 
y(t). Tín hiệu liên tục y(t) sau khi đã được tái 
tạo sẽ được trích mẫu với chu kỳ trích mẫu 
Ty=10
2
s thành dãy N=128 giá trị {yk}, k=0, 1, 
... ,127. 
Áp dụng DFT [3] mà cụ thể là thuật toán 
Fourier nhanh FFT [2] để tính ảnh Fourier của 
dãy {yk} trên ta được Y(jk), k=0, 1, ... ,127, 
với 
yNT 0.64
 
   là chu kỳ trích mẫu 
trong miền tần số. Đồ thị biên độ Y(j) của tín 
hiệu liên tục y(t) được biểu diễn ở hình 4. Từ 
đó, một lần nữa ta thấy việc sử dụng DAC bậc 2 
đã gây ra sai lệch thông tin tần số rất lớn so với 
các khối DAC bậc 0,1,3 còn lại. 
V. KẾT LUẬN 
Các khối DAC bậc m với nhiệm vụ khôi 
phục tín hiệu liên tục y(t) từ dãy hữu hạn giá trị 
trích mẫu {xk}, k=0, 1, ... ,N theo nguyên tắc 
(1), và khi chu kỳ trích mẫu T là đủ nhỏ, sẽ 
luôn tạo ta được sai số trong miền thời gian: 
t
sup y(t) x(t) (14) 
tỷ lệ nghịch với bậc m của khối, tức là với 
những khối DAC có bậc càng cao, sai lệch 
thông tin (14) ở miền thời gian càng nhỏ. Nhận 
định này rất dễ dẫn tới sự ngộ nhận cho rằng cứ 
sử dụng khối DAC càng cao, mọi thông tin 
được phục hồi sẽ càng chính xác. 
Kết quả của bài báo bất ngờ đã chỉ ra 
điều ngược lại. Không phải mọi sự xấp xỉ nào 
khi đã được xem là tốt trong miền thời gian 
theo nghĩa (14) cũng sẽ tốt trong miền phức 
theo nghĩa (2). Thậm chí nếu cứ sử dụng khâu 
DAC bậc chẵn lớn hơn 0 như m=2,4, ..., tín 
hiệu liên tục y(t) được khôi phục sẽ còn chứa 
đựng sai lệch thông tin ở miền tần số so với tín 
hiệu gốc là vô cùng lớn. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Horowitz L.L.; The Effects of Spline Interpolation on Power Spectral Estimation; IEEE 
Transaction on ASSP, 22, pp. 2227 (1974). 
2. Brigham E.O.; Fast Fourier Transform; Verlag R.Oldenburg, München, Wien (1987). 
3. Marple S.L.; Digital Spectral Analysis with Application; Prentice Hall (1993). 
4. Isermann, R; Identifikation Dynamischer Systeme; Springer Verlag (1994). 
5. Rabiner L.R., Allen J.B.; Short Times Fourrier Analysis Techniques for FIR System Identification 
and Power Spectrum Estimation. IEEE Transaction on ASSP, 27, pp. 182192 (1979). 
6. Wu N.; An Explicit Solution and Data Extention in the Maximum Entropie Method; IEEE Trans. 
on ASSP, 35, pp. 486491 (1987) 
Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Doãn Phước - Tel. (04) 3868.0451, email: phuocnd-ac@mail.hut.edu.vn 
 Bộ môn Điều khiển Tự động, Khoa Điện 
 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội - Số 1, Đại Cồ Việt, Hà Nội