Suy luận ngoại suy và quy nạp trong khám phá quy luật dãy số - những phân tích lí thuyết và thực nghiệm

HS. Đây rõ ràng là nhiệm vụ của ngoại suy. Một số câu hỏi 
được chúng tôi đặt ra: Liệu ngoại suy có tham gia vào các hoạt động khám phá quy luật 
dãy số? Nếu có thì ngoại suy được thể hiện ở đâu trong quá trình này? 
Quay trở lại tìm hiểu các nghiên cứu về suy luận ngoại suy của Peirce đặc biệt là 
ở giai đoạn thứ 2 (từ năm 1878 trở về sau), chúng tôi tìm thấy một chỉ dẫn cho câu trả 
lời, đó là đến năm 1901, Peirce bắt đầu sử dụng thuật ngữ “ngoại suy” nhằm chỉ đến 
“sự khởi động đầu tiên nhất để đưa ra một giả thuyết” (Peirce, [65, 6.525]). “Ngoại suy 
chỉ đơn thuần là bước khởi đầu. Nó là bước đầu tiên của suy luận trong khoa học, 
trong khi quy nạp là bước kết luận sau cùng” (Peirce, [65, 7.218]). Chúng tôi cũng phát 
hiện được một số điểm khác biệt sau đây giữa ngoại suy và quy nạp qua quá trình khảo 
cứu các tài liệu liên quan: 
 Mục đích của ngoại suy là đưa ra một giả thuyết nhằm giải thích cho những gì 
được quan sát [7]. Mục đích của quy nạp nhằm tổng quát hóa một tính chất từ việc 
quan sát tính chất đó trong những trường hợp riêng. 
 Quy nạp “cho thấy sự tồn tại của một hiện tượng mà chúng ta đã quan sát trong 
những trường hợp tương tự trước đó”, và “xu hướng này không phải là các sự kiện 
mới” ([1], tr. 234), trong khi ngoại suy “đề xuất một điều gì đó mà thường là chúng ta 
không thể quan sát một cách trực tiếp” ([8], 2.640). Ngoại suy là loại suy luận duy nhất 
tạo ra các tri thức mới của người học. Kết luận của quy nạp chắc chắn hơn ngoại suy, 
nhưng ít sáng tạo hơn. 
 Quy nạp chỉ ra sự phát triển của xu hướng được dự đoán cho những quan sát xa 
hơn, ngoại suy không (trực tiếp) quan tâm đến những quan sát xa hơn sau đó mà chỉ 
hướng đến mục đích lí giải cho chính trường hợp đang xảy ra. Nói cách khác, ngoại suy 
bắt đầu khi có một quan sát gây ngạc nhiên thúc đẩy việc tạo ra một giả thuyết để giải 
thích ở giai đoạn đầu tiên nhất, hoặc làm hẹp bớt miền các giả thuyết có thể xảy ra. 
Quy nạp chỉ bắt đầu vận hành khi đã có giả thuyết từ ngoại suy, bằng cách kiểm tra giả 
thuyết thông qua các trường hợp cụ thể. Quy nạp không hề tạo ra bất kì các ý tưởng cơ 
bản ban đầu nào [8]. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
110 
Những phân tích trên cho thấy chức năng và kết quả của suy luận ngoại suy và 
quy nạp là hoàn toàn khác nhau. Tuy nhiên việc phân biệt hai loại suy luận này trong 
quá trình khám phá các quy luật dãy số trở nên phức tạp hơn theo chúng tôi bởi hai lí 
do sau. Thứ nhất, Deutscher [3] cho rằng phép quy nạp gắn liền với việc tổng quát hóa 
một thuộc tính hay một mối quan hệ từ ít nhất hai trường hợp cụ thể cho một lớp toàn 
bộ các đối tượng, còn phép ngoại suy đòi hỏi một biến đổi đột biến có tính khái niệm từ 
trường hợp đã cho đến một giả thuyết có tính giải thích. Nói cách khác, ưu thế của 
ngoại suy được tận dụng khi đưa ra giả thuyết chỉ dựa trên một quan sát đơn lẻ (hoặc 
một số quan sát có liên quan đến nhau nhưng không nhất thiết tương tự nhau), trong 
khi quy nạp cần phải dựa trên một số lượng nào đó các quan sát tương tự nhau. Thứ 
hai, giả thuyết của ngoại suy thường là phát biểu dựa trên mối quan hệ nguyên nhân - 
hệ quả, và kết luận của quy nạp là một phát biểu mang tính tổng quát hóa. Tuy nhiên, 
khi khám phá quy luật dãy số, giả thuyết ban đầu được đề xuất phần lớn là để lí giải 
cho một vài trường hợp đã được cho sẵn chứ không chỉ một trường hợp, và giả thuyết 
này thường bị nhầm lẫn với kết luận của suy luận quy nạp do nó có thể được tổng quát 
hóa. Như vậy, trong quá trình khám phá quy luật dãy số, việc đề xuất giả thuyết ban 
đầu nhất về quy luật là công việc của ngoại suy, nhưng phát biểu cuối cùng nhằm tổng 
quát hóa của quy luật được khẳng định bởi quy nạp, thông qua kiểm chứng với các 
trường hợp thực nghiệm. 
Chúng tôi cũng tìm thấy một quan điểm tương tự trong nghiên cứu của Becker & 
Rivera [3] khi các tác giả quan sát và phỏng vấn quá trình suy luận của 42 giáo viên 
(GV) toán trong lúc giải quyết các nhiệm vụ liên quan đến tổng quát hóa quy luật bậc 
nhất. Trên cơ sở quy trình khám phá các quy luật hàm số bậc nhất bằng ngoại suy-quy 
nạp được đề xuất bởi Becker & Rivera [3] và mô hình suy luận quy nạp gồm bảy bước 
của của Canadas & Castro [4], chúng tôi xây dựng quy trình lí thuyết để khám phá quy 
luật dãy số gồm 5 bước ở hình 2: 
Hình 2. Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy-quy nạp 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
111 
Minh họa cho các bước của quy trình sẽ được trình bày cụ thể ngay sau đây qua một 
bài toán được sử dụng trong thực nghiệm của nghiên cứu này. 
2.4. Các phương án ngoại suy để khám phá quy luật dãy số 
Thực nghiệm được tiến hành trên 81 HS thuộc hai lớp 10 của Trường THPT Lê 
Lợi, thành phố Đông Hà, Quảng Trị nhằm khảo sát các giả thuyết ngoại suy mà HS đề 
xuất và quy trình mà các em thực hiện để khám phá ra quy luật dãy số. HS được yêu 
cầu trả lời hai bài toán: Hình chữ Z và Hình chữ S. Hai bài toán được đưa ra cho HS với 
bối cảnh hoàn toàn giống nhau, BDTQ mô tả cho các số hạng cụ thể của mỗi bài cũng 
tương tự nhau, nhưng hàm số mô tả quy luật bài Hình chữ Z là một hàm bậc nhất và bài 
Hình chữ S là hàm bậc hai. 
CÂU HỎI 1. HÌNH CHỮ Z 
Nam sử dụng những tấm bìa hình vuông giống hệt nhau để thiết kế mẫu hình chữ 
Z trang trí cho buổi tiệc sinh nhật với các kích cỡ khác nhau. Dưới đây là minh họa 
mẫu hình chữ Z mà Nam đã thiết kế với ba kích cỡ tương ứng. 
Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 
Khi kích cỡ mẫu hình chữ Z tăng lên, sẽ cần chuẩn bị nhiều tấm bìa hình vuông 
hơn. 
a) Em hãy đề xuất một quy tắc giúp Nam tìm số tấm bìa hình vuông cần chuẩn 
bị cho mẫu hình chữ Z với cỡ bằng giá trị n bất kì. 
b) Mô tả rõ ràng làm thế nào em tìm ra được quy tắc đó. Em có thể dùng hình 
vẽ, lập bảng số liệu hay diễn đạt bằng lời. 
CÂU HỎI 2. HÌNH CHỮ S 
Bình sử dụng những tấm bìa hình vuông giống hệt nhau để thiết kế mẫu hình chữ 
S trang trí cho hội trại với các kích cỡ khác nhau. Dưới đây là minh họa mẫu hình chữ 
S mà Bình đã thiết kế với ba kích cỡ tương ứng. 
Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
112 
Khi kích cỡ mẫu hình chữ S tăng lên, sẽ cần chuẩn bị nhiều tấm bìa hình vuông 
hơn. 
a) Em hãy đề xuất một quy tắc giúp Bình tìm số tấm bìa hình vuông cần chuẩn 
bị cho mẫu hình chữ S với cỡ bằng giá trị n bất kì. 
b) Mô tả rõ ràng làm thế nào em tìm ra được quy tắc đó. Em có thể dùng hình 
vẽ, lập bảng số liệu hay diễn đạt bằng lời. 
Do sự tương tự về mặt bản chất của hai bài toán trên, trong bài báo này chúng tôi 
chỉ trình bày phân tích tiền thực nghiệm dựa trên quy trình mà chúng tôi đã đề xuất cho 
bài Hình chữ Z: 
- Bước 1. Quan sát, thu thập dữ liệu cho các trường hợp cho sẵn. 
HS quan sát các BDTQ mô tả Hình chữ Z cỡ 1, cỡ 2, cỡ 3, thu thập dữ liệu bằng 
cách đếm để có được số tấm bìa của Hình chữ Z cỡ 1, cỡ 2, cỡ 3 là 5, 8, 11. 
- Bước 2. Đề xuất giả thuyết ngoại suy là một quy tắc mang tính thăm dò nhằm lí 
giải cho sự xuất hiện theo quy luật của các trường hợp có sẵn. Quy tắc này được phát 
hiện dựa trên việc tổ chức, hệ thống hóa dữ liệu số (chúng tôi gọi là các phương án 
ngoại suy Số học) hay khai thác cấu trúc của BDTQ mô tả dãy Hình chữ Z theo các 
cách khác nhau nhằm làm xuất hiện lặp lại một số đặc trưng nào đó giữa các trường 
hợp cho sẵn (chúng tôi gọi là các phương án ngoại suy Hình học). Sau đây là minh họa 
một số phương án ngoại suy Số học: 
(1) Quy tắc đệ quy: 
Bảng 3.1. Tổ chức dữ liệu theo phương án Đệ quy 
Kích cỡ (n) Số tấm bìa  na Phương án ngoại suy 
1 5 5 
2 8 8 5 3  
3 11 11 8 3  
Với cách tổ chức dữ liệu như trong Bảng 3.1, giả thuyết ngoại suy:
1 13, 5n na a a    với 1,2.n  
(2) Đoán và Thử: 
Bảng 3.2. Tổ chức dữ liệu theo phương án Đoán và Thử 
Kích cỡ (n) Số tấm bìa  na Phương án ngoại suy 
1 5 5 3.1 2  
2 8 8 3.2 2  
3 11 11 3.3 2  
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
113 
Với cách tổ chức dữ liệu như trong Bảng 3.2, giả thuyết ngoại suy: các số hạng 
của dãy Hình chữ Z thỏa 3 2na n  với 1,2,3.n  
(3) Cộng dồn: 
Bảng 3.3. Tổ chức dữ liệu theo phương án Cộng dồn 
Kích cỡ (n) Số tấm bìa  na Phương án ngoại suy 
1 5 5 
2 8 8 5 3 5 1.3    
3 11 11 8 3 5 3 3 5 2.3       
Với cách tổ chức dữ liệu như trong Bảng 3.3, giả thuyết ngoại suy:
 5 1 3na n   với 1,2,3n  . 
Tiếp theo chúng tôi minh họa một số phương án ngoại suy Hình học: 
(4) Ghép hình rời: Chia Hình chữ Z thành ba phần (mỗi phần được đánh dấu 
bằng một màu riêng biệt). Số tấm bìa tạo thành Hình chữ Z được tính bằng cách lấy số 
tấm bìa theo từng màu và cộng lại. 
Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 
2 1 2  3 2 3  4 3 4  
Giả thuyết ngoại suy: Số tấm bìa của Hình chữ Z cỡ n  1,2,3n  là: 
   1 1na n n n     . 
(5) Làm tròn hình: Bổ sung vào mỗi Hình chữ Z 4 tấm bìa (được tô màu) để tạo 
thành các hình chữ nhật. Số tấm bìa trong mỗi Hình chữ Z bằng số tấm bìa của hình 
chữ nhật được tạo thành trừ đi 4 tấm bìa vừa được bổ sung. 
Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 
 3 1 2 4   3 2 2 4   3 3 2 4  
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
114 
Giả thuyết ngoại suy: Số tấm bìa của Hình chữ Z cỡ n  1,2,3n  là:
 3 2 4na n   . 
(6) Ghép hình chồng: Tưởng tượng các Hình chữ Z được tạo thành bằng cách 
ghép chồng lên nhau các Hình chữ Z cỡ 1, với số tấm bìa của Hình chữ Z cỡ 1 là 5 tấm. 
Khi đó, cần phải trừ đi các tấm bìa bị tính hai lần do chúng bị ghép chồng lên nhau (là 
các tấm bìa có đánh dấu X). 
Cỡ 1 Cỡ 2 Cỡ 3 
 1. 5 0  2. 5 1.2  3. 5 2.2 
Giả thuyết ngoại suy: Số tấm bìa của Hình chữ Z cỡ n  1,2,3n  là:
 (5) 1 2.na n n   
- Bước 3: Mở rộng giả thuyết vừa đề xuất bằng suy luận quy nạp và thực hiện kiểm 
chứng cho những trường hợp chưa biết ở vị trí gần nhằm khẳng định hay bác bỏ giả 
thuyết này. 
Giả thuyết ngoại suy được đề xuất ở Bước 2 chỉ mới nhằm giải thích cho các 
trường hợp cho sẵn. Để đề xuất quy tắc cho trường hợp tổng quát bằng suy luận quy 
nạp, các quy tắc ở Bước 2 cần được mở rộng cho các trường hợp chưa biết 
 4,5,6...n  và kiểm chứng. Càng nhiều trường hợp được kiểm chứng là đúng thì tính 
có lí của giả thuyết ngoại suy càng được củng cố. Tuy nhiên nếu có một trường hợp sai 
thì giả thuyết cần được loại bỏ và HS quay trở lại Bước 2. 
- Bước 4: Mở rộng quy tắc cho trường hợp tổng quát. 
So với giả thuyết ngoại suy được đề xuất ở Bước 2, giả thuyết ngoại suy-quy nạp 
ở Bước 4 đã được mở rộng và kiểm chứng tính đúng đắn cho những trường hợp chưa 
biết, sau đó tổng quát hóa lên thành một quy tắc để tính số tấm bìa cho Hình chữ Z với 
cỡ n bất kì. Cụ thể là quy tắc 1 13, 5, 2,3,4...n na a a n     được mở rộng và tổng 
quát hóa từ phương án ngoại suy (1) hay quy tắc 3 2, 1,2,3...na n n    được mở 
rộng và tổng quát hóa từ các phương án ngoại suy (2), (3), (4), (5), (6). Ở bước này, 
HS có thể nhận ra việc thực hành quy tắc 1 13, 5, 2,3,4...n na a a n     cho dãy 
Hình chữ Z sẽ gặp khó khăn khi giá trị n được yêu cầu là một số khá lớn, chẳng hạn 
tìm số tấm bìa cần sử dụng cho Hình chữ Z cỡ 500. Do đó, HS có thể quay trở lại Bước 
2 để tìm kiếm một quy tắc khác giúp việc giải quyết vấn đề hiệu quả hơn. 
X
X
+
X
X
X
X
+ +
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
115 
- Bước 5: Kết luận về quy luật của dãy số 
HS đưa ra kết luận cuối cùng về quy luật của dãy số sau khi đã kiểm chứng tính 
đúng đắn và đánh giá hiệu quả của giả thuyết ngoại suy-quy nạp trong việc tìm kiếm 
một số hạng của dãy số ở vị trí bất kì. 
Với các kết quả thu thập được từ bài làm của HS, chúng tôi tiến hành phân loại 
các phương án ngoại suy theo từng phạm trù và tỉ tỉ lệ câu trả lời đúng trong mỗi phạm 
trù với hai nhiệm vụ Hình chữ Z và Hình chữ S. Riêng những HS không đưa ra giả 
thuyết hoặc đưa ra giả thuyết về quy tắc tổng quát nhưng không lí giải, hoặc lí giải 
hoàn toàn không hợp lí sẽ được xếp vào phạm trù “Không xác định được”. 
Bảng 3.4 và 3.5 cho thấy sự phân bố các phương án ngoại suy được HS thể hiện 
theo từng phạm trù và tỉ lệ câu trả lời đúng trong mỗi phạm trù với hai nhiệm vụ Hình 
chữ Z và Hình chữ S. 
Bảng 3.4. Số lượng các phương án ngoại suy theo từng phạm trù 
Nhiệm vụ Số học Hình học Đoán và thử Không xác định được 
Hình chữ Z 39 15 3 24 
Hình chữ S 9 16 4 52 
Bảng 3.5. Số lượng và tỉ lệ câu trả lời đúng trong mỗi phạm trù 
Nhiệm vụ Số học Hình học Đoán và thử Không xác định được 
Hình chữ Z 
19 
(48,7%) 
12 
(80%) 
1 
(33,3%) 
1 
(0,04%) 
Hình chữ S 
0 
(0%) 
11 
(68.8%) 
0 
(0%) 
0 
(0%) 
Một số kết luận được rút ra từ thực nghiệm qua quan sát bài làm của HS và các số 
liệu được thông kê trong Bảng 3.4. và Bảng 3.5: 
Thứ nhất, tỉ lệ HS đưa ra các phương án ngoại suy thuộc phạm trù “Không xác 
định được” ở bài Hình chữ Z là 25/81 và bài Hình chữ S là 52/81. Tỉ lệ này cho thấy 
việc đề xuất một giả thuyết ngoại suy có lí cho bài toán quy luật hàm bậc hai gặp trở 
ngại nhiều hơn so với quy luật hàm số bậc nhất. Với bài Hình chữ Z, trong số 39 
phương án ngoại suy Số học, có 19 HS (gần 50%) có thể đưa ra được quy tắc tổng quát 
đúng trong khi con số này ở bài Hình chữ S là bằng 0 mặc dù hầu hết HS đã nhận thấy 
giá trị sai khác giữa hai số hạng liên tiếp trong bài Hình chữ S là một dãy theo quy luật 
cấp số cộng. Điều này cho thấy các phương án ngoại suy Số học (chẳng hạn việc sử 
dụng quy tắc đệ quy) không còn phát huy hiệu quả khi khám phá các dãy số theo quy 
luật hàm số bậc hai. Hơn nưa, tỉ lệ HS đưa ra quy tắc đúng từ các phương án ngoại suy 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
116 
Hình học luôn cao hơn trong cả hai bài toán cho thấy hiệu quả của những phương án 
ngoại suy này mang lại. 
Thứ hai, với ngoại suy Số học, chỉ có một quy tắc đúng được HS đưa ra cho bài 
Hình chữ Z là  5 3 1n  và không có kết quả nào cho bài Hình chữ S thì với ngoại 
suy Hình học, có ba quy tắc tương đương là    3 2;2 1 ;3 2 2.2n n n n     cho bài 
Hình chữ Z và ba quy tắc          221 1 ;2 2 ; 2 2 1n n n n n n n         cho bài 
Hình chữ S. Kết hợp với quan sát bài làm của HS, chúng tôi cho rằng kết quả trên có 
được là do các BDTQ cung cấp cho HS nhiều cách nhìn khác nhau về sự phát triển của 
quy luật hơn so với việc sử dụng đơn thuần các dữ liệu số. 
Thứ 3, những HS sử dụng ngoại suy Số học thường trình bày giải thích cho quy 
tắc tổng quát được đề xuất bằng cách kiểm chứng rằng quy tắc này đúng với các trường 
hợp đã biết ( 1,2,3n  ) trong khi những HS tiến hành ngoại suy Hình học có thể mô tả 
một số hạng tổng quát thông qua BDTQ, nghĩa là các em có thể nhận ra được mối liên 
kết mang tính quy luật giữa số hạng và vị trí của nó trong dãy số một cách độc lập với 
các số hạng khác (Hình 3). 
Hình 3. Ngoại suy Hình học cho bài Hình chữ Z 
Thứ 4, một sai lầm khá phổ biến xuất hiện trong các phương án ngoại suy Số học 
là HS chưa thật sự hiểu ý nghĩa của biến số n dẫn đến các quy tắc sai mặc dù chúng có 
thể trích xuất ra đúng dãy số của bài toán. Chẳng hạn, trong quy tắc 2 1, 2n n   mà 
HS đưa ra cho bài Hình chữ S (Hình 4) thì biến n không mang ý nghĩa đại diện cho 
kích cỡ của Hình chữ S, hay các quy tắc đệ quy được diễn đạt dưới dạng 3n  trong 
bài Hình chữ Z (biến n là kích cỡ của Hình chữ Z nhưng trong công thức này nó đại 
diện cho số hạng đứng ở trước đó). 
Hình 4. Ngoại suy Số học cho bài Hình chữ S 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
117 
Cuối cùng, qua quan sát bài làm của HS, chúng tôi hầu hết các em đều chỉ đưa ra 
giả thuyết ngoại suy để lí giải cho các trường hợp được cho sẵn và sau đó tổng quát hóa 
lên mà không kiểm chứng quy tắc cho các trường hợp chưa biết. 
3. Kết luận 
Trong bài báo này, chúng tôi đã phân tích cơ sở lí thuyết để làm rõ sự khác nhau 
giữa hai loại suy luận quy nạp và ngoại suy, đặc biệt là trong hoạt động tổng quát hóa 
quy luật dãy số. Chúng tôi cũng đề xuất quy trình lí thuyết thể hiện sự kết hợp chặt chẽ 
và hỗ trợ lẫn nhau của suy luận ngoại suy và quy nạp trong việc khám phá và kiểm 
chứng một giả thuyết để cuối cùng đi đến quy tắc tổng quát. Những kết quả thực 
nghiệm cho thấy: (1) HS thường bỏ qua giai đoạn kiểm chứng giả thuyết ngoại suy cho 
các trường hợp TQH gần và TQH xa mà đề xuất ngay quy tắc tổng quát khi thấy quy 
tắc đúng cho các trường hợp đã biết; (2) BDTQ mô tả quy luật dãy số cung cấp một cơ 
sở tốt về tính có lí cho giả thuyết ngoại suy qua đó hạn chế được các sai lầm (đặc biệt 
là các sai lầm về ý nghĩa của biến số) và giúp HS có nhiều hướng tiếp cận khác nhau 
đối với quy luật dãy số (đặc biệt là các dãy số theo quy luật hàm số bậc hai, đồng thời 
hỗ trợ quy nạp trong việc tổng quát hóa các giả thuyết này. Một bảng phân loại các 
mức độ của suy luận ngoại suy được HS thể hiện khi giải quyết các nhiệm vụ tổng quát 
hóa quy luật dãy số được mô tả bằng biểu diễn trực quan đã được chúng tôi thiết kế để 
cung cấp những phân tích sâu sắc hơn về mặt thực nghiệm, nội dung này chúng tôi sẽ 
trình bày ở nghiên cứu tiếp theo. 
! National Council of Teachers of Mathematics (2000), Principles and Standards in Mathematics, NCTM, 
USA 
2 Polya (1954), Patterns of Plausible Inference, pp. 158-160. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Abe, A. (2003), “Abduction and analogy in chance discovery”, In Y. Ohsawa & P. 
McBurney (Eds), Chance Discovery, pp. 231-248, New York: Springer. 
2. Billings, E. M. H. (2008), “Exploring generalisation through pictorial growth 
patterns”, In C. E. Greenes & R. Rubenstein (Eds.), Algebra and Algebraic Thinking 
in School Mathematics (Seventieth Yearbook), pp. 279 – 293, Reston,VA: NCTM. 
3. Becker, J., & Rivera, F. (2007), Abduction in pattern generalization, Proceedings of 
the 31st conference of the International Group for the Psychology of Mathematics 
Education, Vol (4), pp. 97–104, Seoul, Korea: Korea Society of Educational Studies 
in Mathematics. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(75) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
118 
4. Canadas, M.C. & Castro, E. (2009), “Using a model to describe students’ inductive 
reasoning in problem solving”, Electronic Journal of Research in Educational 
Psychology, 1 (17), pp. 261 – 278. 
5. Eco, U. (1983), “Horns, hooves, insteps: Some hypotheses on three types of 
abduction”, In U. Eco & T. Sebeok (Eds.), The sign of three: Dupin, Holmes, Peirce, 
pp. 198–220, Bloomington, IN: Indiana University Press. 
6. Josephson, J. & Josephson, S. (1994), Abductive Inference: Computation, 
Philosophy, Technology, New York: Cambridge University Press. 
7. Magnani, L. (2005), “An abductive theory of scientific reasoning”. Semiotica, 153(1-
4), pp. 261-286. 
8. Peirce, C. S. (1960), Collected Papers, Cambridge, MA: Harvard University Press. 
9. Reid, D. (2002), “Conjectures and refutations in grade 5 mathematics”, Journal for 
Research in Mathematics Education, 33(1), pp. 5-29. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 07-02-2015; ngày phản biện đánh giá: 10-9-2015; 
ngày chấp nhận đăng: 24-9-2015)