Tài liệu Nhập môn lí thuyết xác suất và thống kê toán (Phấn 1)

ược lấy ra. Trong thống kê, 
tập hợp các bĩng đèn cùng loại được gọi là tập tổng quát (hay cư dân) cịn tập các bĩng đèn 
được lấy ra thử nghiệm gọi là tập mẫu. Dãy số liệu (X1, X2, Xn) được gọi là mẫu quan sát. 
Một cách khái quát, tập hợp tổng quát là tập hợp các đối tượng cùng loại mà đều mang một 
dấu hiệu về lượng, kí hiệu là X, nào đĩ, được quan tâm nghiên cứu. 
Tập mẫu là tập hợp gồm các đối tượng của tập tổng quát được tách ra để quan sát. 
Một dãy (x1, x2, xn) gồm các số liệu thu thập được thơng qua quan sát dấu hiệu về lượng X 
trên các đối tượng của tập mẫu được gọi là mẫu quan sát về X. Ngồi ra, ta cịn kí hiệu (X1, 
X2, Xn) để chỉ dãy các kết quả quan sát cụ thể về X. Nĩ được gọi tắt là một mẫu. 
Chú ý rằng X là một biến ngẫu nhiên và nếu sự quan sát là ngẫu nhiên và độc lập thì (X1, 
X2, Xn) là các biến ngẫu nhiên độc lập (theo nghĩa mỗi biến ngẫu nhiên cĩ thể lấy giá trị 
này hay giá trị kia độc lập với các biến ngẫu nhiên khác) và cĩ cùng luật phân phối với X. Số 
n được gọi là cỡ mẫu hay kích thước mẫu. 
b) Biểu đồ và tổ chức đồ: Để cĩ hình ảnh rõ ràng và trực quan về phân bố các giá trị trong 
mẫu (X1, X2, Xn) ta xếp chúng thành m lớp khác nhau sao cho các số liệu trong mỗi lớp đều 
bằng nhau và mỗi số ở lớp này khác số ở lớp kia. Sau đĩ lấy ở mỗi lớp một số làm đại diện ta 
được dãy số tăng y1 < y2 <  < ym. Ta kí hiệu rk là số các số yi bằng yk, rk được gọi là tần số 
của yk. Ta cĩ bảng phân bố tần số 
yk y1 y2 . ym 
Tần số r1 r2  rm 
Tỉ số fk = k
r
n
, k = 1, ... , m được gọi là tần suất của yk và ta cĩ bảng phân bố tần suất 
yk y1 y2 . ym 
Tần số r1 r2  rm 
Tần suất f1 f2 .. fm 
Trên mặt phẳng toạ độ, nối điểm (yk; nk) với điểm (yk+1; nk+1) bởi đoạn thẳng với k = 1;, m –1 
ta được biểu đồ tần số hình gậy. Cịn nối các điểm (xk; fk) với (xk+1; fk+1) bởi đoạn thẳng với 
k = 1, 2, m – 1 ta được đường gấp khúc được gọi là biểu đồ đa giác tần suất. 
B. HOẠT ĐỘNG 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
72 
HOẠT ĐỘNG 1.1: THỰC HÀNH XÁC ÐỊNH TẦN SUẤT VÀ BIỂU ÐỒ TẦN SUẤT 
 NHIỆM VỤ 
Sinh viên thảo luận theo nhĩm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: 
Hỏi tuổi của 120 giáo viên THPT trong huyện ta nhận được bảng phân bố tần số và tần suất 
(chưa đầy đủ) sau: 
Tuổi Xi 31 34 35 36 38 40 42 44 
Tần số rk 10 20 30 15 10 10 5 20 
Tần suất 
1
12
1
12
NHIỆM VỤ 1: 
Điền vào chỗ trống để hồn thiện bảng biểu đồ tần suất. 
NHIỆM VỤ 2: 
Hãy hồn thiện biểu đồ tần số bằng cách vẽ ba đoạn cịn lại. 
31 34 35 36 38 40 42 44
30
20
15
10
5
0 Tuỉi 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
73
NHIỆM VỤ 3: 
Hãy hồn thiện biểu đồ đa giác tần suất. 
 ĐÁNH GIÁ 
25 học sinh tham gia cuộc thi trắc nghiệm với 8 câu hỏi. Kết quả kiểm tra được cho bởi bảng sau: 
Số câu trả lời đúng 0 1 2 3 4 5 6 
Số học sinh 4 8 4 5 2 1 1 
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất. 
b) Vẽ biểu đồ tần số và đa giác tần suất. 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
74 
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2. 
CÁC GIÁ TRỊ ĐẶC TRƯNG MẪU 
 A. THƠNG TIN CƠ BẢN 
Các giá trị trung bình, trung vị (median), mode là các số đo quan trọng. Chúng cho ta biết 
thơng tin về các xu hướng trung tâm. 
1. Giả sử (X1, X2 Xn) là một mẫu. 
a) Trung bình mẫu, kí hiệu X , là một số được xác định bởi 
1 2 nX X ...... XX
n
+ + += . 
b) Trung vị mẫu, kí hiệu m, là một số mà số các giá trị của mẫu ≥ m bằng số các giá trị của 
mẫu ≤ m. Nghĩa là m thoả mãn 
Card {k ≤ n | Xk ≤ m} = Card {k ≤ n | Xk ≥ m}. 
Từ đĩ nếu sắp xếp lại mẫu (X1, ..., Xn) theo thứ tự tăng dần * * *1 2 nX X ... X≤ ≤ ≤ thì 
+
+
⎧⎪⎪= ⎨ +⎪⎪⎩
*
n 1
2
* *
n n 1
2 2
X ví i n lỴ
m X X
ví i n ch½n
2
c) Mode mẫu là một giá trị của mẫu cĩ tần số lớn nhất. 
Ví dụ: lương tháng X của 13 giáo viên được cho trong bảng sau (đơn vị nghìn đồng): 
1200 1200 1840 1200 1200 1300 1200 1300 1350 
1700 1950 1200 1350 
Khi đĩ 1200 1200 ..... 1200 1350X 1383,85.
13
+ + + += = 
Để xác định trung vị ta xếp dãy số liệu theo thứ tự tăng 
1200 1200 1200 1200 1200 1200 1300 1300 1350 1350 1700 1840 1950 
6 mức lương thấp nhất 
6 mức lương cao nhất 
m = trung vị = 1300 
Để tính mode mẫu ta lập bảng phân bố tần suất. 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
75
Mức lương 1200 1300 1350 1700 1840 1950 
Tần suất 6
13
 2
13
 2
13
 1
13
 1
13
 1
13
 Vậy mode = 1200 
B. HOẠT ĐỘNG 
HOẠT ĐỘNG 2.1. THỰC HÀNH TÍNH CÁC SỐ LIỆU ÐẶC TRÝNG CỦA MẪU QUAN 
SÁT 
 NHIỆM VỤ 
Sinh viên đọc thơng tin cơ bản rồi thảo luận theo nhĩm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: 
Một hãng sản xuất sữa tắm đĩng chai trên nhãn quảng cáo ghi dung tích sữa là 310 ml. Một 
mẫu 16 chai được kiểm tra ta nhận được dãy số liệu sau: 
297 311 322 315 318 303 307 296 
306 291 312 309 300 298 300 311 
NHIỆM VỤ 1: 
Tính dung lượng sữa tắm trung bình trong 16 chai kể trên. 
NHIỆM VỤ 2: 
Xếp dãy số liệu trên theo thứ tự tăng dần. Tính trung vị. 
NHIỆM VỤ 3: 
Lập bảng phân bố tần suất. Tính mode. 
 ĐÁNH GIÁ 
Tuổi của 40 sinh viên năm thứ nhất trong một trường đại học là: 
19 24 24 24 23 20 22 21 
18 20 19 19 21 19 19 23 
36 22 20 35 22 23 19 26 
22 17 19 20 20 21 19 21 
20 20 21 19 24 21 22 21 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
76 
Hãy tính 
___
X , trung vị và mode. 
 THƠNG TIN PHẢN HỒI 
- Để tính trung vị, ta thường sắp thứ tự các số liệu thành dãy tăng và lấy số ở giữa dãy. 
- Để tính mode, ta thường lập bảng phân phối tần số. Từ đĩ chọn giá trị mẫu cĩ tần số lớn nhất. 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
77
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.3. 
PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN MẪU 
 A. THƠNG TIN CƠ BẢN 
Hai tập mẫu (tài liệu) cĩ thể cùng trung bình, trung vị và mode nhưng hồn tồn khác nhau theo 
nghĩa độ biến động (độ lệch) giữa các giá trị của mẫu này so với trung bình của nĩ rất khác so 
với độ biến động tương ứng trong mẫu kia. Người ta đã lấy phương sai hay độ lệch chuẩn mẫu 
đã đánh giá độ biến động hay độ phân tán của các giá trị mẫu so với trung bình mẫu. 
Giả sử (X1, X2, Xn) là một mẫu. 
Đại lượng 
__ __
2 2
2 1 n(X X ) ..... (X X )S
n 1
− + + −= − (1) 
được gọi là phương sai mẫu (điều chỉnh), trong đĩ 
___
X là trung bình mẫu. 
(1) cĩ thể viết gọn như sau: 
n __
2 2
k
k 1
1S (X X )
n 1 =
= −− ∑ 
Đại lượng 
n __
2 2
k
k 1
1S (X X )
n 1 =
= −− ∑ được gọi là độ lệch chuẩn mẫu. 
Chú ý: 
a) Trong thực hành ta cĩ thể tính phương sai mẫu nhanh hơn nhờ cơng thức 
n n
2 2
k k
k 1 k 12
n ( X ) ( X )
S
n (n 1)
= =
−
= −
∑ ∑
. 
Và do đĩ 
n n
2 2
k k
k 1 k 1
n ( X ) ( X )
S
n (n 1)
= =
−
= −
∑ ∑
. 
b) Nếu mẫu được cho dưới dạng bảng phân phối tần số 
Xk X1 X2  Xk . Xm 
Tần số n1 n2  nk  nm 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
78 
Thì 
__
1 1 2 2 m m
1 2 m
X r X r ..... X rX , (n r r ..... r )
n
+ + += = + + + 
m m
2 2
k k k k
k 1 k 12
n ( r X ) ( r X )
S
n (n 1)
= =
−
= −
∑ ∑
B. HOẠT ĐỘNG 
HOẠT ĐỘNG 3.1. THỰC HÀNH TÍNH PHƯƠNG SAI MẪU 
 NHIỆM VỤ: 
- Giáo viên hướng dẫn sinh viên thực hiện các nhiệm vụ sau: 
Chiều cao của 5 cầu thủ bĩng đá được chọn từ đội tuyển I như sau (đơn vị: cm) 
172 173 176 176 178. 
Hãy tính độ lệch chuẩn. 
NHIỆM VỤ 1: 
Chứng tỏ rằng 
___
X = 175. 
NHIỆM VỤ 2: 
Hồn thiện bảng độ lệch và bình phương độ lệch của các số đo chiều cao với trung bình 
Chiều cao Xk 172 173 176 176 178 
Độ lệch so với 
___
X : (Xk – 
___
X ) –3 –2 1 
Bình phương độ lệch (Xk – 
___
X )2 9 4 1 24 
NHIỆM VỤ 3: 
Hãy chứng tỏ rằng 
5 ___
2
k
k 1
2 2
(X X ) 24
24S 6 (cm )
5 1
S 2, 4 (cm).
=
− =
= =−
≈
∑
 HOẠT ĐỘNG 3.2. THỰC HÀNH XÁC ĐỊNH ĐỘ LỆCH CHUẨN MẪU 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
79
 NHIỆM VỤ 
- Giáo viên hướng dẫn sinh viên đọc thơng tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau: 
Chiều cao của 5 cầu thủ được chọn từ đội tuyển II là (đơn vị cm) 
167 172 176 176 184. 
Tính trung bình và độ lệch chuẩn mẫu và so sánh với mẫu được chọn từ đội tuyển I. 
NHIỆM VỤ 1: 
Chứng tỏ rằng 
___
X = 175 
S2 = 156 (cm2) S = 6,2 (cm) 
NHIỆM VỤ 2: 
Cĩ nhận xét gì về trung bình, độ lệch chuẩn của hai mẫu với nhau? 
 ĐÁNH GIÁ 
3.1. a) Cho một mẫu 1 2 3 4 5 3 2 1 4 5 
Hãy tính 
___
X và tính S2 bằng định nghĩa và cơng thức (2). 
b) S2 cĩ thay đổi khơng khi thay Xi bởi X'i = Xi + C với i = 1, , n trong đĩ C là hằng số đã 
cho. Khơng cần tính xét xem 
___
X' bằng bao nhiêu khi biết 
___
X . 
3.2. Cân 10 gĩi kẹo được chọn ngẫu nhiên ta được kết quả sau: 
295 295 300 298 295 300 300 290 300 300. 
Hãy tính kì vọng và phương sai mẫu trong quan sát nĩi trên. 
 THƠNG TIN PHẢN HỒI 
Nếu thay Xi bởi X'i = hXi + C thì 
___
X' = h
___
X + C và S’2 = h2S2. 
Ở đây 
___
X' và S'2 là trung bình mẫu và phương sai mẫu được tính đối với mẫu X'1 , X'2,  X'n. 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
80 
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.4. 
ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM VÀ ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 
 A. THƠNG TIN CƠ BẢN 
Xét một tập hợp tổng quát mà mỗi đối tượng đều mang một dấu hiệu về lượng X. Về phương 
diện tốn học X là một đại lượng ngẫu nhiên cĩ phân phối chưa biết phụ thuộc vào một vài 
tham số nào đĩ. Trong nhiều trường hợp ta cần phải ước lượng một tham số đặc trưng θ nào 
đĩ chưa biết thơng qua tài liệu quan sát (X1, X2, Xn) về các giá trị của X. Ước lượng đưa ra 
phải dựa trên mẫu quan sát. Vì vậy, một cách tổng quát ta cĩ các định nghĩa sau: 
a) Ước lượng điểm của tham số θ là một hàm số n∧θ = n∧θ (X1, X2, Xn) chỉ phụ thuộc vào 
mẫu quan sát mà khơng phụ thuộc vào tham số. 
Để ước lượng điểm n
∧θ phản ánh sự gần đúng với tham số ta cần địi hỏi. 
- Tính khơng chệch: E ( n
∧θ ) = θ. 
Yêu cầu này được đưa ra nhằm tránh sai số hệ thống của ước lượng 
- Tính vững (hay nhất quán) nghĩa là địi hỏi: 
Với mọi e > 0 ta cĩ 
n
lim−>∞ P (| n
∧θ – θ| < e) = 1. 
Yêu cầu này đảm bảo cho n
∧θ gần với θ với xác suất gần 1 khi n khá lớn. 
Chẳng hạn nếu a = E(X) và σ2 = V(X) thì ___X là ước lượng điểm khơng chệch và vững của a, 
n __
2 2
k
k 1
1S (X X)
n 1 =
= −− ∑ là ước lượng khơng chệch và vững của σ2 vì vậy với n khá lớn, ta cĩ thể 
coi 
__
X a≈ và S2 ≈ σ2. 
b) Giả sử 1θ và 2θ là hai ước lượng điểm của tham số θ, γ = 1 – α ∈ (0; 1), khoảng 1 2( , )θ θ 
gọi là khoảng tin cậy của θ với độ tin cậy γ nếu 
 P( 1θ < θ < 2θ ) = γ. 
Ý nghĩa của khoảng tin cậy là ở chỗ cĩ thể nĩi trong 100g% trường hợp lấy mẫu khoảng 
1 2( , )θ θ chứa tham số chưa biết θ hay cũng vậy khẳng định 1θ < θ < 2θ cĩ thể tin cậy ở 
mức γ. 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
81
B. HOẠT ĐỘNG 
 NHIỆM VỤ 
Sinh viên chọn một trong các hình thức tổ chức hoạt động sau: 
- Tự đọc thơng tin cơ bản rồi thảo luận theo nhĩm 3, 4 người hoặc 
- Theo sự hướng dẫn của giáo viên đọc thơng tin cơ bản. 
để thực hiện các nhiệm vụ sau: 
NHIỆM VỤ 1: 
P ( 1θ < θ < 2θ ) = γ = 1 – α hãy tính xác suất 1 2P( ( , )).θ∉ θ θ 
b) Hãy tính độ dài khoảng tin cậy cho bởi (1). 
c) Chứng tỏ rằng: 
___
X là ước lượng khơng chênh lệch của a. 
 S2 là ước lượng khơng chênh lệch của σ2. 
NHIỆM VỤ 2: 
Cho biết P (|
__
X a n
S
− | ≥ Cα) = α, trong đĩ S2 là phương sai mẫu, Cα là số nào đĩ chỉ phụ 
thuộc vào α. Xác định khoảng tin cậy của a với độ tin cậy 1 – α. 
 ĐÁNH GIÁ 
4.1. Nếu 1 2,θ θ là khoảng tin cậy của θ với độ tin cậy γ < 1 thì cĩ thể nĩi θ ∈ 1 2( , )θ θ được hay 
khơng? Vì sao? 
4.2. Nếu P (θ ≥ 2θ ) = α thì khoảng tin cậy của θ với độ tin cậy 1 – α là khoảng nào? 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
82 
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5. 
KHOẢNG TIN CẬY CỦA KÌ VỌNG a ĐỐI VỚI 
MẪU CĨ CỠ LỚN 
 A. THƠNG TIN CƠ BẢN 
Giả sử (X1, X2, Xn) là một mẫu quan sát với cỡ mẫu lớn (n ≥ 30) về biến ngẫu nhiên X cĩ 
kì vọng a (chưa biết) và phương sai σ2. 
a) Nếu s = s0 đã biết thì khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 1 - α là khoảng từ 
0
2
X z .
nα
⎛ σ−⎜⎝
; 0
2
X z .
nα
⎞σ− ⎟⎠
ở đây 
2
zα thoả mãn Φ(
2
zα ) = 1 - 2
α . 
b) Nếu s chưa biết thỡ khoảng tin cậy của a với độ tin 
cậy γ = 1 - a là khoảng 
2 2
S SX z ; X z .
n nα α
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
trong đĩ S = 
2n n
2
k k
k 1 k 1
n x x
n(n 1)
= =
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
−
∑ ∑
. 
B. HOẠT ĐỘNG 
HOẠT ĐỘNG 5.1. THỰC HÀNH ƯỚC LƯỢNG KÌ VỌNG a ĐỐI VỚI MẪU CĨ CỠ 
LỚN 
 NHIỆM VỤ 
Giáo viên trình bày cho sinh viên nội dung thơng tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau: 
Một cơng ty sản xuất bĩng đèn cho ra một loại bĩng đèn mới. Để đánh giá tuổi thọ trung bình 
của các bĩng đèn xuất xưởng, người ta chọn ngẫu nhiên 100 bĩng trong lơ hàng xuất xưởng 
đem thử và nhận được kết quả thời gian chiếu sáng trung bình của 100 bĩng đĩ là 1280 giờ. 
Hãy xác định tuổi thọ trung bình a của loại bĩng đèn đĩ với độ tin cậy 95%, biết rằng phương 
sai của tuổi thọ loại bĩng đèn đĩ là 196 h2. 
y
y = (x)ϕ
z x
α
2
α
2
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
83
NHIỆM VỤ 1: 
Xác định n, X , α, σo2 . 
NHIỆM VỤ 2: 
Tra bảng phân phối chuẩn để tìm z0,025. 
NHIỆM VỤ 3: 
Tính cận dưới và cận trên của khoảng tin cậy từ cơng thức: 
 X ± z α/2 . 0
n
σ . 
HOẠT ĐỘNG 5.2. THỰC HÀNH ƯỚC LƯỢNG SỐ TRUNG BÌNH a KHI PHƯƠNG SAI 
CHƯA BIẾT 
 NHIỆM VỤ 
Để đánh giá độ tuổi trung bình của những người lao động trong một cơng ty lớn, người 
ta chọn ngẫu nhiên 50 người. Tuổi của họ được ghi lại trong bảng dưới đây: 
 22 58 40 43 32 34 45 38 19 42 
 33 16 49 29 30 43 37 19 21 62 
 60 41 28 35 37 51 37 65 57 26 
 27 31 33 24 34 28 39 43 26 38 
 42 40 31 34 38 35 29 33 32 33 
Từ các số liệu trên, hãy cho ước lượng về độ tuổi trung bình của người lao động trong cơng ty 
đĩ với độ tin cậy 90%. 
NHIỆM VỤ 1: 
Với α = 1 − 0,90 = 0,10 từ bảng chuẩn, hãy tìm z0,05. 
NHIỆM VỤ 2: 
Tính X và S. 
NHIỆM VỤ 3: 
Xác định khoảng tin cậy cho kì vọng a. 
 ĐÁNH GIÁ 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
84 
5.1. a) Để cĩ thể sử dụng được các khoảng tin cậy đã nêu, trong thực hành người ta cần chọn cỡ 
mẫu n lớn đến mức nào? 
b) z α/2 được tra từ bảng nào? Cĩ thể tìm z α/2 từ điều kiện 
Φ(− zα/2) = 2
α được khơng? 
c) Nêu ý nghĩa của các khoảng tin cậy ở trên. 
5.2. Một trường đại học tiến hành điều tra xem trung bình một sinh viên tiêu bao nhiêu tiền cho 
việc gọi điện thoại trong một tháng. Sau khi hỏi 59 sinh viên thì nhận được kết quả như sau 
(đơn vị 1000 đồng) 
 14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 
 15 47 95 16 27 111 37 63 127 23 
 31 70 27 11 30 147 72 37 25 7 
 33 29 35 41 48 15 29 73 26 15 
 26 15 31 57 40 18 85 28 32 22 
 37 60 41 35 26 20 58 23 33 
Hãy xác định khoảng tin cậy 95% cho số tiền điện thoại trung bình của một sinh viên. 
 THƠNG TIN PHẢN HỒI 
a) Trong hoạt động 5.1, n = 100 > 30 được coi là lớn 
 σ0 = 14, X = 1280, α = 0,05, 
2
zα = 1,96. 
b) Trong hoạt động 5.2, n = 50 > 30, σ chưa biết, α = 0,10, 
2
zα = 1,64, X = 36,38, 
 S = 
250(72,179) (1819)
50, 49
− = 11,07. 
Từ đĩ ta cĩ khoảng tin cậy: 33,8 < a < 39. 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
85
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.6. 
KHOẢNG TIN CẬY CHO KÌ VỌNG a VỚI CỠ 
MẪU NHỎ 
 A. THƠNG TIN CƠ BẢN 
Giả sử (X1, ..., Xn) là mẫu quan sát về X cĩ phân phối chuẩn N(a, σ2). 
a) Người ta chứng minh được rằng: Z = X a n−σ cĩ phân phối N(0, 1) 
và T = X a n
S
− cĩ phân phối Student với n – 1 bậc tự do, nghĩa là T cĩ hàm mật độ dạng 
 f(t) = n2
2
C
t(1 )
n 1
+ −
, t ∈ R 
trong đĩ C là một hằng số xác định chỉ phụ thuộc vào n. 
Do tầm quan trọng, người ta lập bảng tính sẵn để tìm tα/2(n − 1) thoả mãn P(T ≥ tα/2 (n – 1)) = 2
α . 
Chẳng hạn với n = 13, n – 1 = 12, t0,025(12) = 2,201 
 n = 14, n – 1 = 13, t0,05(13) = 1,771. 
b) Từ đĩ khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 1 − α khi σ = σ0 đã biết là 
 ( X − zα/2. o
n
σ ; X + zα/2 . o
n
σ ). 
Khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 1 − α khi σ chưa biết là: 
 ( / 2 / 2
S SX t (n 1) ; X t (n 1) ).
n nα α
− − + − 
B. HOẠT ĐỘNG 
HOẠT ĐỘNG 6.1. THỰC HÀNH ƯỚC LƯỢNG KÌ VỌNG a KHI CỠ MẪU NHỎ 
 NHIỆM VỤ: 
Sinh viên tự đọc thơng tin cơ bản sau đĩ thảo luận theo nhĩm 3, 4 người để thực hiện các 
nhiệm vụ sau: 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
86 
Giả thiết rằng chiều cao của học sinh lớp 12 của một trường cĩ phân phối chuẩn. Để ước 
lượng chiều cao trung bỡnh, 15 nam lớp 12 của trường được chọn ngẫu nhiên để đo và thu 
được bảng số liệu sau (đơn vị là cm): 
 162,0 161,4 159,8 162,2 160,3 
 160,4 159,4 160,2 160,4 160,8 
 161,8 159,2 161,1 160,4 160,9 
Xác định khoảng tin cậy về chiều cao trung bình của nam học sinh trường đĩ với độ tin cậy 
γ = 95%. 
NHIỆM VỤ 1: 
Từ bảng phân phối Student, tìm t0,025 (14) 
NHIỆM VỤ 2: 
Tính X , S. 
NHIỆM VỤ 3: 
Xác định khoảng tin cậy của chiều cao trung bình. 
 ĐÁNH GIÁ 
6.1. a) Với X cĩ phân phối chuẩn: N(a, σ2) 
 X a X an và n
S
− −
σ 
cĩ phân phối gì? 
b) Với n khá lớn, X a n
S
− cĩ phân phối gần với phân phối chuẩn tắc N(0, 1) cĩ đúng 
khơng? 
6.2. Để ước lượng tuổi thọ trung bình a của một loại pin, một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 chiếc pin 
được kiểm tra. Kết quả được ghi lại trong bảng sau (đơn vị giờ): 
 17,2 17,3 17,3 17,4 17,4 17,5 17,6 16,6 
 16,6 16,7 16,5 17,3 17,1 17,0 17,1 17,0 
Giả thiết rằng tuổi thọ của loại pin này cĩ phân phối chuẩn với σ0 = 3,43. Tìm khoảng tin cậy 
của a với độ tin cậy γ = 95%. 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
87
 THƠNG TIN PHẢN HỒI 
Đối với hoạt động 6.1, t0,025(14) = 2,145; X = 
2410,39
15
 = 160,69; 
 S = 0,81 = 0,90. 
Từ đĩ ta cĩ khoảng tin cậy của a là: 
 160,69 - 2,145 0,90
15
 < a < 160,69 + 2,145 0,90
15
. 
Tính ra ta được 160,19 < a < 161,18. 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
88 
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.7. 
KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ TRONG TẬP 
TỔNG QUÁT 
 A. THƠNG TIN CƠ BẢN 
Xét một tập hợp tổng quát với số lượng rất lớn các phần tử, được phân làm hai loại: loại cĩ 
tính chất A và loại khơng cĩ tính chất A. Tỉ lệ các đối tượng cĩ tính chất A là p chưa biết cần 
ước lượng. Một mẫu gồm n đối tượng được chọn ngẫu nhiên để kiểm tra. Ta thấy cĩ m đối 
tượng cĩ tính chất A. Tỉ số mp
n
= là ước lượng điểm cho p. 
Theo định lí giới hạn trung tâm: với n khá lớn đại lượng: 
 Z = p p n
p(1 p)
−
− . 
cĩ phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N(0; 1). Vì vậy trong thực hành ta coi Z cĩ phân phối 
N(0; 1). Từ đĩ tương tự như trong tiểu chủ đề 5 ta nhận được khoảng tin cậy của p với độ tin 
cậy γ = 1 − α là 
2 2
p(1 p) p(1 p)p z , p z .
n nα α
⎛ ⎞− −− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
B. HOẠT ĐỘNG 
HOẠT ĐỘNG 7.1. THỰC HÀNH ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ HAY XÁC SUẤT ρ CỦA TỔNG THỂ 
 NHIỆM VỤ 
Chọn một trong các hình thức tổ chức hoạt động sau: 
− Giáo viên hướng dẫn sinh viên đọc thơng tin cơ bản hoặc 
− Tự sinh viên thảo luận theo nhĩm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: 
Một hãng sản xuất xà phịng giặt muốn đánh giá tỉ lệ người tiêu dùng sử dụng sản phẩm của 
hãng. Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 6841 người tiêu dùng, cĩ 2470 người dùng sản phẩm 
của hãng. Hãy xác định khoảng tin cậy cho tỉ lệ p khách hàng dùng sản phẩm của hãng với độ 
tin cậy 95%. 
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
89
NHIỆM VỤ 1: 
Xác định α = 1 − γ. Tìm zα/2 từ bảng phân phối chuẩn. 
NHIỆM VỤ 2: 
Tính p , q = 1 − p . 
NHIỆM VỤ 3: 
Tính các cận của khoảng tin cậy theo cơng thức: 
 p = p ± zα/2. p(1 p)
n
− . 
NHIỆM VỤ 4: 
Nêu kết luận về kết quả tìm được. 
 ĐÁNH GIÁ 
7.1. a) Tại sao địi hỏi cỡ mẫu n khá lớn? 
b) Tại sao lại tìm zα/2 từ bảng chuẩn? 
c) Với tập tổng quát cĩ số phần tử nhỏ thì bài tốn tìm khoảng tin cậy tỉ lệ p được giải như 
thế nào? 
7.2. Trong một đợt thăm dị 200 ý kiến khách hàng thấy cĩ 162 ý kiến trả lời thích dùng loại sản 
phẩm A.Tìm khoảng tin cậy với mức tin cậy 95% cho tỉ lệ p của những người thích dùng loại 
sản phẩm A. 
 THƠNG TIN PHẢN HỒI 
a) Đối với hoạt động 7.1: 
 α = 1 − 0,95 = 0,05; z0,025 = 1,96 và p = 24706841 = 0,361. 
Khoảng tin cậy cần tìm là 
 (0,361 – 1,96 0,361.0,639 0,361.0,639; 0,361 1,96
6841 6841
+ ) 
Tính ra ta được khoảng (0,350; 0,372). 
b) Cỡ mẫu n để phân phối của Z tiệm cận tốt phân phối chuẩn. 
c) Nếu tập tổng quát ít phần tử thì ta cĩ thể tính trực tiếp p bằng cách kiểm tra tồn bộ.