Tài liệu Toán cao cấp (A1) - Vũ Gia Tê

)(xS ]ba,
,...)2,1()( =ixfi , [ ]ba, thì 
 ∑∫∫ ∞
=
=
1
)()(
i
b
a
i
b
a
dxxfdxxS
Định lí 3: Nếu chuỗi hàm (2) hội tụ về hàm trên tập )(xS X và các 
hàm thoả mãn: )(xfi
 + liên tục trên )(' xfi ,...2,1=∀iX , 
 + hội tụ đều về trên ∑∞
=1
)('
i
i xf )(xR X 
 Khi đó XxxfxRxS
i
i ∈== ∑∞
=
 , 
1
)(')()('
5.2.3 Chuỗi lũy thừa 
a. Các khái niệm chung về chuỗi luỹ thừa 
9 Định nghĩa chuỗi luỹ thừa 
Một chuỗi hàm có dạng (4) iRaxa i
i
i
i ∀∈∑∞
=
 , , 
0
 hoặc là hằng số aaxa
i
i
i , ∑∞
=
−
0
)(
 124 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
Gọi là một chuỗi luỹ thừa. Trong chuỗi luỹ thừa trên là các hằng số 
 gọi là các hệ số của chuỗi luỹ thừa. 
ia
,...)2,1( =i
9 Tính chất hội tụ của chuỗi luỹ thừa 
Định lí Aben (Abel) 
Nếu chỗi luỹ thừa (4) hội tụ tại 00 ≠= xx thì hội tụ tuyệt đối tại 
mọi điểm x thoả mãn 0xx < 
Nếu chuỗi luỹ thừa (4) phân kì tại 1xx = thì phân kì tại mọi điểm 
x thoả mãn 1xx > 
9 Bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 
Định lí 1: Đối với chuỗi luỹ thừa (4) luôn tồn tại số để chuỗi 
hội tụ tuyệt đối trong khoảng 
0≥R
),( RR− , phân kì trong các khoảng 
. Số ),(),,( +∞−−∞ RR R thoả mãn điều kiện trên gọi là bán kính hội tụ của 
chuỗi (5.16). 
Định lí 2: (Qui tắc tìm bán kính hội tụ). 
Nếu ρρ == ∞→+∞→ n nn
n
n
n
a
a
a limlim 1 hoÆc , 
thì 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=∞
∞=
+∞<<
=
0
0
01
ρ
ρ
ρρ
nÕu
nÕu
nÕu
R 
0=R nghĩa là chuỗi luỹ thừa chỉ hội tụ tại 0=x 
∞=R nghĩa là chỗi luỹ thừa hội tụ tại mọi x 
9 Tính chất của chuỗi luỹ thừa 
Giả sử chuỗi luỹ thừa (4) có bán kính hội tụ và [ là đoạn tuỳ 
ý chứa trong khoảng . 
0>R ]ba,
),( RR−
Tính chất 1. Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên [ ]ba, . 
Tính chất 2. Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều về hàm , liên tục trên 
)(xS
),( RR−
 125
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
Tính chất 3. Bất kì trong khoảng 21, xx ),( RR− luôn có 
 ∫ ∑ ∫∑ ∞
=
∞
=
=
2
1
2
1
00
x
x n
x
x
n
n
n
n
n dxxadxxa
Đặc biệt thì ),( RRx −∈∀ ∑∫∑ ∞
=
+∞
= += 0
1
0 0 1n
nn
x
n
n
n xn
adxxa 
Tính chất 4. luôn có ),( RRx −∈∀ ∑∑ ∞
=
−∞
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
1
1
'
0 n
n
n
n
n
n xnaxa
b. Khai triển một hàm số thành chuỗi luỹ thừa 
9 Khái niệm về chuỗi Taylor của hàm số ở lân cận )(xf 0x
Giả sử hàm số tại lân cận điểm . Chuỗi luỹ thừa có dạng ∞∈Cxf )( 0x
 ...)(
!
)(...)(
!1
)(')( 00
)(
0
0
0 +−++−+ n
n
xx
n
xfxxxfxf 
 được gọi là chuỗi Taylor của ở lân cận điểm )(xf 0x
Giả sử hàm số tại lân cận điểm 0. Chuõi luỹ thừa biểu diễn 
trong dạng 
∞∈Cxf )(
....
!
)0(....
!1
)0(')0(
)(
++++ n
n
x
n
fxff 
 được gọi là chuỗi McLaurin của hàm số . Đó chính là chuỗi 
Taylor của ở lân cận của 
)(xf
)(xf 0=x 
Định lí: Nếu biểu diễn dưới dạng chuỗi luỹ thừa ở lân cận của 
: 
)(xf
0x
 ...)(...)()( 0010 +−++−+= nn xxaxxaaxf
 Thì chuỗi đó là chuỗi Taylor của ở lân cận của . )(xf 0x
9 Điều kiện đủ để hàm số khai triển thành chuỗi Taylor 
Định lí 1: Cho ở lân cận ∞∈Cxf )( 0xx = , để hàm f(x) khai triển được 
thành chuỗi Taylor ở lân cận của x0 thì cần và đủ là phần dư Taylor 
dần đến không khi 
)(xrn
∞→n
Định lí 2: Nếu ở lân cận của ∞∈Cxf )( 0xx = và trong lân cận đó có 
NkMxf k ∈∀≤ , )()( thì khai triển được thành chuỗi Taylor ở lân cận . )(xf 0x
 126 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
5.2.4 Chuỗi Phuriê (Fourier) 
a. Các khái niệm chung 
9 Chuỗi lượng giác 
Chuỗi hàm có dạng ∑∞
=
++
1
0 sincos
2 n
nn nxbnxa
a (5) 
trong đó ,...2,10 =nbaa nn , , , là các hằng số , được gọi là một chuỗi 
lượng giác. 
9 Điều kiện hội tụ của chuỗi lượng giác 
Định lí 1: Nếu các chuỗi số hội tụ tuyệt đối thì chuỗi 
lượng giác (5) hội tụ tuyệt đối và đều trên tập 
∑∑ ∞
=
∞
= 11 n
n
n
n ba , 
R . 
Định lí 2: Nếu các dãy số đơn điệu giảm và hội tụ về 0 khi 
 thì chuỗi lượng giác (5) hội tụ trên tập 
)()( nn ba , 
∞→n { }ZmmRX ∈= , π2\ 
9 Chuỗi Fourier 
Cho hàm số khả tích trên )(xf [ ]ππ ,− , chuỗi lượng giác có dạng 
 ∑∞
=
++
1
0 sincos
2 k
kk kxbkxa
a (6) 
trong đó ∫∫∫
−−−
===
π
π
π
π
π
π πππ
kxdxxfbkxdxxfadxxfa kk sin)(
1cos)(1)(10 , , , 
 ,...2,1=k
được gọi là chuỗi Fourier của hàm số , các hằng số tính theo công 
thức trên gọi là các hệ số Fourier của hàm số . 
)(xf
)(xf
9 Chuỗi Fourier trong dạng phức 
Chuỗi Fourier có dạng 
 ∑∞
=
−
−++
1
0
k
ikx
k
ikx
k ececc
hay với ∑+∞
−∞=k
ikx
kec ,... 3 , 2 , 10 , )(
1 ±±±== ∫
−
− kdxexfc ikxk
π
ππ
gọi là chuỗi Fourier của hàm trong dạng phức. )(xf
 127
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
9 Hàm số khai triển thành chuỗi Fourier 
Nếu trong [ ]ππ ,− chuỗi Fourier (6) hội tụ về chính hàm số thì nói 
rằng hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier trên [ ]
)(xf
)(xf ππ ,− . 
Định lí: Nếu biểu diễn thành chuỗi lượng giác (5) trên [ ])(xf ππ ,− và 
các chuỗi số hội tụ tuyệt đối thì chuỗi đó chính là chuỗi Fourier 
của . 
∑∑ ∞
=
∞
= 11 i
i
i
i ba , 
)(xf
b. Điều kiện đủ để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier 
9 Định lí Đirichlê (Dirichlet): Nếu tuần hoàn với chu kỳ )(xf π2 , đơn 
điệu từng khúc và bị chặn trên [ ]ππ ,− thì chuỗi Fourier của hàm số 
hội tụ về tổng trên tập 
)(xf
)(xS R . Tổng có tính chất: )(xS
 [ ] RxxfxfxS ∈∀++−= , )0()0(
2
1)( 
5.3 CÂU HỎI ÔN TẬP 
Câu 1. Định nghĩa chuỗi số, sự hội tụ, phân kì của chuỗi số. 
Câu 2. Phát biểu chứng minh điều kiện cần của chuỗi số hội tụ. 
Câu 3. Phát biểu các tính chất của chuỗi số hội tụ. Các tính chất đó còn 
đúng không nếu các chuỗi số phân kì? 
Câu 4. Định nghĩa chuỗi số dương. Phát biểu điều kiện cần và đủ để chuỗi 
số dương hội tụ. 
Câu 5. Phát biểu các định lí so sánh để nhận dạng sự hội tụ của chuỗi 
số dương. 
Câu 6. Phát biểu tiêu chuẩn D’Alembert về sự hội tụ của chuỗi số dương. 
Câu 7. Phát biểu tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số dương. 
Câu 8. Phát biểu tiêu chuẩn tích phân Cauchy-McLaurin về sự hội tụ của 
chuỗi số dương. 
Câu 9. Định nghĩa chuỗi số đan dấu. Phát biểu điều kiện đủ cho chuỗi đan 
dấu hội tụ. 
Câu 10. Định nghĩa sự hội tụ tuyệt đối, sự bán hội tụ của chuỗi số. 
Câu 11. Định nghĩa chuỗi hàm. Miền hội tụ của chuỗi hàm là gì? 
 128 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
Câu 12. Định nghĩa sự hội tụ đều của chuỗi hàm. 
Câu 13. Phát biểu tiêu chuẩn Weierstrass về sự hội tụ đều của chuỗi hàm. 
Câu 14. Phát biểu các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều. 
Câu 15. Định nghĩa chuỗi luỹ thừa. Phát biểu định lí Abel. 
Câu 16. Bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa là gì? 
Câu 17. Nêu qui tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa. 
Câu 18. Nêu các tính chất của chuỗi luỹ thừa. 
Câu 19. Định nghĩa chuỗi Taylor ở lân cận của x0 của hàm số f(x). Định 
nghĩa chuỗi McLaurin của hàm số f(x). 
Câu 20. Thế nào là hàm số khai triển được thành chuỗi Taylor ở lân cận của x0. 
Câu 21. Nêu điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) khai triển được thành chuỗi 
Taylor ở lân cận của x0. 
Câu 22. Phát biểu điều kiện đủ để hàm f(x) khai triển được thành chuỗi 
Taylor ở lân cận x0. 
Câu 23. Viết khai triển McLaurin các hàm số thường dùng. 
Câu 24. Định nghĩa chuỗi Fourier của hàm số f(x). 
Câu 25. Phát biểu điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier. 
Câu 26. Viết chuỗi Fourier trong dạng phức. 
Câu 27. Viết khai triển thành chuỗi Fourier của hàm số bất kì. 
Câu 28. Viết khai triển theo các hàm số sin của hàm số f(x). Điều kiện để có 
khai triển đó? 
Câu 29. Viết khai triển theo các hàm số cosin của hàm số f(x). Điều kiện để 
có khai triển đó? 
Câu 30. Có một hay nhiều chuỗi Fourier của một hàm số cho trước trên 
khoảng (a,b) 
5.4 BÀI TẬP CHƯƠNG V 
Câu 1. Cho chuỗi số biết rằng chuỗi số hội tụ và chuỗi số 
phân kỳ. Chứng minh chuỗi số đã cho phân kỳ. 
∑∞
=1k
ka ∑∞
=1
2
p
pa
∑∞
=
+
0
12
p
pa
 129
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
Câu 2. Chứng minh rằng các chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây hội tụ 
và hãy tìm tổng của chúng 
a. 
)12)(12(
1
+−= nnan b. nnan += 2
1 
c. 22 )1(
12
+
+=
nn
nan d . )1(
12)1( 1 +
+−= +
nn
na nn 
Câu 3. Xét sự hội tụ của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây: 
a. nnnan −+= 2 b. 12
2
+
−=
n
nnarctgan c. 33
2
3 ++
+=
n
na n
n
n 
d. )11ln( 2ntgan += e. nn
nn
an ln3
)2(
2 +
+= f. 0,cos2 >+= ααn
nan 
g. 
)
11
1(
2nn
n na
++−= h. 2)
)1
( nn n
na += i. nna
n
n 2
2
2= 
j. 
nn
a
nn )1(
1
−+= k. ∫ +=
2
0
22
2
cos
cos
π
dx
xn
xan l. ∫
+
+ ++
=
1
2
1
4 1
n
n
n
xx
dxa 
m. ∫
−
=
n
n
n
xx
dxa
2
22
5
sin
 o. ∫∞ −
o
x dxe
n
Câu 4. Cho chuỗi số dương hội tụ. Chứng minh rằng chuỗi số 
 cũng hội tụ 
∑∞
=1k
ka
∑∞
=
>
1
1,
k
ka αα
Câu 5. Cho hai chuỗi số dương và tồn tại số tự nhiên sao cho 
 thoả mãn 
∑∑ ∞
=
∞
= 11
,
n
n
n
n ba 0n
0nn ≥∨
n
n
n
n
b
b
a
a 11 ++ ≤ . Chứng minh rằng nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi 
thứ nhất hội tụ . 
∑∞
=1n
nb
Câu 6. Xét sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau đây: 
 a. 
n
na nn += 2
2
 b. n
n
na 3
2
2
3= c. 
!
)!ln(
n
nan = 
 d. ∏
=
=
n
k
kn na
1 2
1sin! e. nn n
na )2...(4.2= f. 
12 += n
aa
n
n , a>o 
 130 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
 g. nnn n
na ln)
12
)1( −
+= h. nn narctga )
1(= i. n
n
n n
na
)(ln
ln
= 
Câu 7. Xét sự hội tụ của các chuỗi có số hạng tổng quát sau đây: 
 a. )1sin1()1(
nn
tga nn −−= b. nn n
na −−= )
ln
1( 
 c. 1sin( 4 += nan π ) d. 2
)1()1(
2
1
++
+−=
−
nn
na
n
n 
 e. 
nn
a
n
n ln
)1(
−
−= f. )1(sin n
n
an += π 
 g. 
n
na
n
n +
−+=
1
)1(1 h. n
n
n n
na
)(ln
)1( 2−= 
Câu 8. Chứng minh rằng chuỗi hàm∑∞
=
− +
+
1
1 )2
12(
2
1
n
n
n x
x hội tụ đều trên đoạn [-,1]. 
Câu 9. Chứng minh rằng chuỗi hàm ∑∞
=
+−
1
2
2
)1(
n
n
n
nx hội tụ đều trên đoạn [a,b] 
nhưng không hội tụ tuyệt đối trên đoạn đó. 
Câu 10. Chứng minh rằng chuỗi hàm hội tụ đều trên [a,+ ) với a>0 
nhưng không hội tụ đều trên [o,+
∑∞
=
−
1n
nxne ∞
∞ ). 
Câu 11. Cho chuỗi hàm ∑∞
= +1 1
1
n
nx
a. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm. 
b. Xét sự liên tục của tổng S(x). 
c. Xét sự khả vi của tổng S(x). 
Câu 12. Tìm miền hội tụ đều của các chuỗi hàm 
 a. ∑∞
=
−
1
2
n
xnxen b. ∑ ∞
=
− −
1
)1(
n
nxn
Câu 13. Chứng minh rằng hàm số f(x) =∑∞
= +1 )(
1
n xnn
 xác định, liên tục, khả vi 
trên [o,+∞ ] 
Câu 14. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng quát sau: 
 a. b. nxxu nn ln)( = nn nxxu )()( =
 131
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
 c. 
n
xxu
n
n
n
1)1()( =−= d. 
n
xxu
n
n
)4()( −= e. n
n
n xn
nxu 2)2(
12
1)( −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+= 
 f. 
!
)5()(
n
xxu
n
n = g. !)1()(
1
n
xxu
n
n
n
−−= h. o
n
xxu
n
n >= αα ,)( 
Câu 15. Tìm miền hội tụ và tính tổng các chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng 
quát sau: 
 a. , b. 1,)13()( 3 ≥+= nxnxu nn onxxu nnnn ≥+= ,)32()(
 c. on
n
x
n
nnxu
n
n ≥+
−+= ,
!3
13)(
2
, d. onoaxchnaxu nn ≥>= ,,.)(
 e. on
n
xxu
nn
n ≥−=
−+
,)1()(
11
Câu 16. Khai triển thành chuỗi Taylor của các hàm số sau: 
a. f(x) = 
x
1 tại lân cận điểm x=3. 
b. f(x) = tại lân cận điểm x=-1. 1−xe
c. f(x) = sinx tại lân cận điểm x=2. 
Câu 17. Khai triển thành chuỗi Maclảuin các hàm số sau: 
a. f(x) = chx , b. f(x) = , xex2
c. f(x) = , d. f(x) = x2sin xex cos
e. f(x) = , f. f(x) = )65ln( 2 +− xx
23
1
2 +− xx 
g. f(x) = 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
+
0 khi 2
0 xkhi 
1
1ln1
x
x
x
x h. f(x) = ∫x dtt
0
2cos
Câu 18. Cho hai chuỗi luỹ thừa có bán kính hội tụ tưng ứng là 
∑∑ ∞
=
∞
= 11
,
n
n
n
n
n
n xbxa
21, RR
a. Chứng minh rằng nếu tồn tại Nn ∈0 sao cho 0, nnba nn ≥∀≤ thi . 21 RR ≥
b. Chứng minh rằng nếu nn ba ~ khi ∞→n thì 21 RR = . 
Câu 19. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng quát sau: 
a. nn xnsh
chnxu 2)( = , b. nn xnxu )
11arccos()( 2−= , 
 132 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
c. nn xnnxu )1cos()( 2 ++= π d. nnnn xnnxu )1()( −+= , 
e. nn xnarctgxu ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
4
)11()( 2
π 
Câu 20. Tính các số sau với độ chính xác là 410−
 a. e , b. 5 1,1 , c. ln (1,04) , d. cos 018
Câu 21. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 
2π và f(x) = x−π với 0<x<π . 
Câu 22. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) chẵn, tuần hoàn với chu 
kỳ 2π và f(x) = π
x21− với 0<x<π . Từ đó hãy tính tổng ∑∞
= +0 2)12(
1
n n
. 
Câu 23. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số: 
 f(x) = 2
2
1 π
x− với - ππ << x 
 Từ đó tính tổng ∑∞
=1
2
1
n n
 , ∑∞
=
−
1
2
)1(
n
n
n
Câu 24. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số: 
 f(x) = 
2
sin x với -π <x<π . 
Câu 25. Khai triển hàm số 
 f(x) =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<
<<
πππ
π
x
x
2
 nÕu
2
 x0 nÕu
2
 thành chuỗi theo các hàm 
 a. sin nx, n N∈ 
 b. cos nx, n N∈ 
 Từ đó tính tổng ∑∞
= +1 2)12(
1
n n
 . 
Câu 26. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số 
 f(x) = với -1<x<1. xe
 133
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
5.5 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG V 
Câu 2. a. 
2
1 ; b. 1 ; c. 1 ; d. 1 
Câu 3. a. Phân kỳ ; b. Phân kỳ ; c. Hội tụ ; d. Hội tụ ; e. Phân kỳ ; 
 f. Hội tụ khi 1>α , Phân kỳ khi 1≤α ; g. Phân kỳ ; h. Hội tụ ; 
 i. Hội tụ ; j. Phân kỳ ; k. Hội tụ ; l. Hội tụ ; m. Hội tụ ; 
 n. Phân kỳ. 
Câu 6. a. Hội tụ ; b. Hội tụ ; c. Hội tụ ; d. Hội tụ ; e. Hội tụ ; 
f. Hội tụ khi a , Phân kỳ khi a>1 ; g. Hội tụ ; h. Hội tụ ; 
 i. Hội tụ . 
1≤
Câu 7. a. Hội tụ tuyệt đối ; b. Hội tụ tuyêt đối ; c. Hội tụ tuyệt đối. 
 d. Hội tụ ; e. Hội tụ ; f. Hội tụ ; g. Phân kỳ ; h. Hội tụ tuyệt đối. 
Câu 11. a. 1>x ; b. Liên tục với 1>x ; c. Khả vi với 1>x 
Câu 12. a. ; b. [a, + , a>0 . +R )∞
Câu 14. a. -1< x <1 ; b. { c. }0 11 ≤<− x d. 3 5<≤ x ; 
 e. 2- 222 +<< x ; f. - ∞<<∞ x ; g. ∞<<∞ x 
 h. 1− x≤ α 
Câu 15. a. 1
)1(
4
23
63
<−
−= x víi
x
xxS ; b. 
3
1
31
1
21
1 <−+−= x víixxS 
 c. [ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠−+−−
=−
=
0x khi
0x khi
2)22(1
3
1
2
3 xxex
xe
S
xx
 d. ae
xchax
xchaS −<−+
−= x víi
21
1
2 
 e. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<≠+
=
=
 1x1- vµ 0x khi
0x khi
x
xS )1ln(
1
Câu 16. a. ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
0 3
3)1(
3
1
n
n
n x ; b. ∑∞
=
− +
0
2
!
)1(
n
n
n
xe 
 c. sin2 ∑ ∑∞
=
∞
=
+
+
−−+−−
0 0
122
)!12(
)2()1(2cos
)!2(
)2()1(
n n
n
n
n
n
n
x
n
x 
 134 
Chương 5: Lý thuyết chuỗi 
Câu 17. a. f (x) = ∑∞
=0
2
)!2(n
n
n
x , x R∈ ; b. f (x) = ∑∞
=
+
0
2
!n
n
n
x , x R∈ 
 c. f (x) = ∑∞
=
−
1
212
)!2(
2
n
nn
n
x , x R∈ ; d. f (x) = nn
n
x)
2
11( 1
0
+
∞
=
∑ − , 1<x 
 e. f (x) = ln6 - ∑∞
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
1 3
1
2
11
n
n
nn xn
, 2<x ; f. f (x) =∑∞
=
+
+−0
14
)14()!2(
)1(
n
n
n
nn
x 
 g. f (x) = 2∑∞
= +0
2
12n
n
n
x , 1<x ; h. f (x) = ∑∞
=0 4
cos
!
)2(
n
n
n
xn
n
π , x R∈ 
Câu 19. a. R=1; b. R=1; c. R=1; d. R=1; e. R=2. 
Câu 20. a. 1,6488; b. 1,0192; c. 0,392; d. 0,9511. 
Câu 21. f (x) = 2∑∞
=1
sin
k k
kx , x πn2≠ , n Z∈ . 
Câu 22. f (x) = ∑∞
= +
+
0
22 )12(
)12cos(8
n n
xn
π , x R∈ ; ∑
∞
=
=+0
2
2 8)12(
1
n n
π 
Câu 23. f (x) = ∑∞
=
−−
1
22
cos)1(4
3
2
n
n
n
nx
π , ∑
∞
=
=
1
2
2 6
1
n n
π ; ∑∞
=
−=−
1
2
2 12
)1(
n
n
n
π 
Câu 24. f (x) = ∑∞
=
+
−−1 2
1
14
sin)1(
n
n
n
nxn , x 0≠ 
Câu 25. a. f (x) = - xm
mmm
mx
m
m
m
)12sin(
)12(2)12(
)1(22sin
2
1
0
2
1
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+++
−+ ∑∑ ∞
=
∞
=
π
π 
 b. f (x) = ∑∞
= +
+++−
0
2)12(
)12(2cos)12cos(21
8
3
m m
xmxm
π
π 
 ∑∞
=
−=+1
2
2 18)12(
1
n n
π 
Câu 26. ∑∞
=
−+
−+=
1
22 )sin(cos1
)1(121
k
k
x xkkxk
k
ShShe ππππ . 
 135
Tài liệu tham khảo 
1. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3. Nauka, 
Moskva,1969. (tiếng Nga) 
2. G. M. FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2,3. NXB Đại học và 
Trung học chuyên nghiệp, Hà nội, 1977. 
3. K. MAURIN, Analiza, PWN, Warszawa, 1976. .1,,cCzes
4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York, Don Mills, 
1991. 
5. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Toán học cao cấp, Tập 1,2,3. NXB Đại học 
và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà nội, 1990. 
6. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tập 1,2,3,4. NXB Giáo dục, 
Hà Nội, 1999 (dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999) 
 136 
Mục lục 
MỤC LỤC 
Giới thiệu môn học ......................................................................................................3 
1. Giới thiệu chung....................................................................................................3 
2. Mục đích ...............................................................................................................4 
3. Phương pháp nghiên cứu môn học........................................................................4 
Chương I: Giới hạn của dãy số ..................................................................................7 
1.1. Mục đích.............................................................................................................7 
1.2. Tóm tắt nội dung ................................................................................................8 
Chương II: Hàm số một biến số ............................................................................... 28 
2.1. Môc ®Ých........................................................................................................... 28 
2.2. Tóm tắt nội dung .............................................................................................. 29 
2.3. Câu hỏi ôn tập................................................................................................... 44 
2.4. Bài tập chương II.............................................................................................. 45 
2.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương II ........................................................... 49 
Chương III: Phép tính vi phân hàm số một biến số............................................... 53 
3.1. Môc ®Ých........................................................................................................... 53 
3.2. Tóm tắt nội dung .............................................................................................. 55 
3.3. Câu hỏi ôn tập................................................................................................... 67 
3.4. Bài tập chương III ............................................................................................ 68 
3.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương III.......................................................... 76 
Chương IV: Phép tính tích phân ............................................................................. 81 
4.1. Môc ®Ých........................................................................................................... 81 
4.2. Tóm tắt nội dung .............................................................................................. 82 
4.3. Câu hỏi ôn tập................................................................................................... 97 
4.4. Bài tập chương IV ............................................................................................ 98 
4.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương IV........................................................106 
Chương V: Lý thuyết chuỗi ....................................................................................116 
5.1. Môc ®Ých.........................................................................................................116 
5.2. Tóm tắt nội dung ............................................................................................117 
5.3. Câu hỏi ôn tập.................................................................................................128 
5.4. Bài tập chương V............................................................................................129 
5.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập chương V.........................................................134 
Tài liệu tham khảo...................................................................................................136 
 137