Tài liệu Xác suất thống kê (Phần 1)

3) theo x ta được liên hệ giữa hàm mật độ xác suất và hàm phân phối
xác suất của biến ngẫu nhiên X
F ′(x) =
d
dx
F (x) = f(x)
Ví dụ 3.6. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ cho bởi
f(x) =

3
8
x2 khi 0 ≤ x ≤ 2
0 nơi khác
Ta tính xác suất
P
(
1 < X <
3
2
)
=
3/2∫
1
3
8
x2dx =
19
64
Về mặt hình học, xác suất trên là phần diện tích gạch chéo ở hình 3.3.
Tính chất 3.4. Nếu biến ngẫu nhiên X là liên tục thì
P (X = a) =
a∫
a
f(x)dx = 0
3.2 Phân phối xác suất 39
-2 -1 0 1 2 x
0
1
2
Hình 3.3: Hàm mật độ và xác suất
Từ tính chất 3.4, nếu biến ngẫu nhiên X là liên tục và với mọi a, b ∈ R sao cho a ≤ b
thì
P (b ≤ X < a) = P (b < X < a)
= P (b < X ≤ a)
= P (b ≤ X ≤ a)
= F (b)− F (a)
Ví dụ 3.7. Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
f(x) =
 kx3 khi 0 ≤ x ≤ 10 nơi khác
với k là hằng số dương. Để f(x) là hàm mật độ xác suất
P (−∞ < X < +∞) =
+∞∫
−∞
f(x)dx = 1
Bời vì f(x) = 0 khi x 1 cho nên
1∫
0
f(x)dx =
1∫
0
kx3dx =
k
4
= 1
ta tìm được k = 4. Chúng ta cũng có thể xác định hàm phân phối xác suất bằng cách
lấy tích phân hàm mật độ từ −∞ đến điểm x bất kỳ.
• Khi x < 0 thì hàm mật độ xác suất f(x) = 0, hàm phân phối xác suất
F (x) =
x∫
−∞
f(x)dx = 0
3.2 Phân phối xác suất 40
x
f(x)
-2 -1 0 1 2
0
1
2
3
4
x
F (x)
-2 -1 0 1 2 3
0,0
0,5
1,0
Hình 3.4: Hàm mật độ và hàm phân phối của X
• Khi 0 ≤ x ≤ 1 thì hàm mật độ xác suất f(x) = 4x3, hàm phân phối xác suất
F (x) =
x∫
−∞
f(u)du =
0∫
−∞
f(x)dx+
x∫
0
f(u)du
=
x∫
−∞
4u3du = x4
• Khi 1 < x thì hàm mật độ xác suất f(x) = 0, hàm phân phối xác suất
F (x) =
x∫
−∞
f(u)du =
0∫
−∞
f(x)dx+
1∫
0
f(u)du+
x∫
1
f(u)du
=
1∫
0
4u3du = 1
Vậy hàm phân phối xác suất của X là
F (x) =

0 khi x < 0
x4 khi 0 ≤ x ≤ 1
1 khi 1 < x
Hình 3.4 là đồ thị hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.
3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên 41
3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên
Nếu X là biến ngẫu nhiên đã biết phân phối xác suất thì Y = h(X) cũng là một
biến ngẫu nhiên. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là phân phối của biến ngẫu nhiên
Y là gì? Bây giờ chúng ta đi khảo sát phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y .
3.3.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc
Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi
X x1 x2 · · · xn · · ·
P f(x1) f(x2) · · · f(xn) · · ·
thì Y = h(X) cũng là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất
X h(x1) h(x2) · · · h(xn) · · ·
P f(x1) f(x2) · · · f(xn) · · ·
Ở đây ta coi các giá trị yi = h(xi), i = 1, 2 . . . khác nhau từng đôi một, nếu trái lại
nghĩa là tồn tại cặp xi 6= xj , i 6= j sao cho yi = yj thì ta đồng nhất hai vị trí này và
thay tương ứng xác suất f(xi), f(xj) bởi f(xi) + f(xj).
Ví dụ 3.8. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
X −1 0 1 2
P 0, 1 0, 3 0, 4 0, 2
Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2
X2 0 1 4
P 0, 3 0, 5 0, 2
3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên 42
3.3.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục
Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ là f(x) và biến ngẫu nhiên
Y = h(X). Với mọi số thực y, hàm phân phốixác suất G(y) của biến ngẫu nhiên Y
được xác định bởi
G(y) = P (Y < y) = P (h(X) < y)
=
∫
{x:h(X)<y}
f(x)dx
Nếu biến ngẫu nhiên Y cũng là biến ngẫu nhiên liên tục và hàm phân phối xác suất
G(y) khả vi thì hàm mật độ xác suất g(x) của Y sẽ là
g(y) =
d
dy
G(y) = G′(y)
Ví dụ 3.9. Tìm hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2 khi X có phân
phối đều trên khoảng (−1, 1) với hàm mật độ xác suất
f(x) =

1
2
khi x ∈ (−1, 1)
0 nơi khác
Bởi vì Y = X2 cho nên 0 ≤ Y < 1. Vậy miền giá trị y của biến ngẫu nhiên Y là
0 ≤ y < 1.
Hàm phân phối xác suất G(y) của Y
G(y) = P (Y < y) = P
(
X2 < y
)
= P (−√y < X < √y)
=
√
y∫
−√y
f(x)dx =
√
y
Với mọi 0 < y < 1 thì hàm mật độ xác suất g(y) của Y là
g(y) =
d
dy
G(y) =
1
2
√
y
Định lý sau cho ta công thức để xác định trực tiếp hàm mật độ của biến ngẫu
nhiên Y = h(X) khi y = h(x) khả vi và đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm.
3.3 Hàm của một biến ngẫu nhiên 43
Định lý 3.5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x) với
P (a < X < b) = 1
Đặt biến ngẫu nhiên Y = h(X), giả sử h(x) là hàm khả vi đơn điệu tăng (hoặc đơn
điệu giảm) với mọi a < x < b. Giả sử a < X < b khi và chỉ khi a′ < Y < b′, và đặt
X = h−1(Y ) là hàm số ngược xác định với mọi a′ < Y < b′. Hàm mật độ xác suất của
biến ngẫu nhiên Y có dạng
g(y) =

f (h−1(y))
∣∣∣∣dh−1(y)dy
∣∣∣∣ khi a′ < y < b′
0 nơi khác
(3.4)
Chứng minh. Vì hàm số Y = h(X) là hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên a < X < b
cho nên luôn tồn lại hàm số ngược h−1(Y ) xác định trên a′ < Y < b′ cũng là hàm khả
vi đơn điệu (tăng hoặc giảm). Bây giờ chúng ta chia ra hai trường hợp như sau
i) Khi Y = h(X) đơn điệu tăng trên a < X < b.
Đặt G(y) là hàm phân phối xác suất của Y khi đó
G(y) = P (Y < y) = P (h(X) < y) = P
(
X < h−1(y)
)
= F
(
h−1(y)
)
Vì h−1(y) khả vi cho nên hàm mật độ xác suất g(y) của Y được xác định bời quan hệ
g(y) =
d
dy
G(y) =
d
dy
F
(
h−1(y)
)
= f
(
h−1(y)
) dh−1(y)
dy
= f
(
h−1(y)
) ∣∣∣∣dh−1(y)dy
∣∣∣∣ (3.5)
Bởi vì h−1(y) là hàm khả vi và đơn điệu tăng cho nên dh−1(y)/dy > 0
ii) Chứng minh tương tự khi Y = h(X) đơn điệu giảm trên a < X < b.
G(y) == P (h(X) > y) = P
(
X < h−1(y)
)
= 1− F (h−1(y))
Vì h−1(y) khả vi cho nên hàm mật độ g(y) của Y được xác định bời quan hệ
g(y) =
d
dy
G(y) = −f (h−1(y)) dh−1(y)
dy
= f
(
h−1(y)
) ∣∣∣∣dh−1(y)dy
∣∣∣∣ (3.6)
Bởi vì h−1(y) là hàm khả vi và đơn điệu giảm cho nên dh−1(y)/dy < 0. Từ (3.5) và
(3.6) ta có được điều cần chứng minh.
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 44
Ví dụ 3.10. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho như sau
f(x) =
 3x
2 khi 0 < x < 1
0 nơi khác
Chúng ta sẽ xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = 1−X2. Trong ví dụ này,
P (0 < X < 1) = 1 và Y là hàm khả vi, đơn điệu giảm theo biến X với mọi 0 < X < 1.
X nhận giá trị trong khoảng (0, 1), cho nên Y sẽ nhận giá trị trong khoảng (0, 1).
Hơn nữa, với mọi Y trong khoảng (0, 1), hàm ngược là X =
√
1− Y . Do đó với mọi
0 < y < 1
dh−1(x)
dy
= − 1
2
√
1− y
Theo biểu thức (3.5), hàm mật độ g(y) của biến ngẫu nhiên Y sẽ là
g(y) = 3(1− y) 1
2
√
1− y =
3
2
√
1− y, 0 < y < 1
và g(y) = 0 với mọi y không thuộc (0, 1).
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên
3.4.1 Kỳ vọng - Expectation
Định nghĩa 3.6 (Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc). Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc
X có bảng phân phối xác suất
X x1 x2 · · · xn · · ·
P f(x1) f(x2) · · · f(xn) · · ·
Kỳ vọng của X, ký hiệu E (X), là một số được định nghĩa
E (X) =
+∞∑
i=1
xiP (X = xi)
=
+∞∑
i=1
xif(xi) (3.7)
Ví dụ 3.11. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hai giá trị 0 và 1 có bảng phân phối xác
suất như sau
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 45
X 0 1
P
1
2
1
2
thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X
E (X) = 0 · 1
2
+ 1 · 1
2
=
1
2
Ví dụ 3.12. Tung một con xúc sắc cân đối, gọi X là số chấm trên mặt xuất hiện thì
bảng phân phối xác suất của X là
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Ta có kỳ vọng
E (X) = 1 · 1
6
+ 2 · 1
6
+ 3 · 1
6
+ 4 · 1
6
+ 5 · 1
6
+ 6 · 1
6
=
7
2
Ta thấy rằng biến ngẫu nhiên X có thể không nhận giá trị kỳ vọng.(Bởi vì xúc sắc
không có mặt 7/2 chấm).
Ví dụ 3.13. Tiến hành n phép thử, giả sử X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị có
thể x1, . . . , xk với số lần (tần số) n1, . . . , xk. Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X
trong n phép thử là
x¯ =
x1n1 + · · ·+ xknk
n
=
n1
n
x1 + · · ·+ nk
n
xk
= f1x1 + · · ·+ fkxk
với fi = nin , (i = 1, . . . , k) là tần suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị xi.Theo định
nghĩa xác suất theo thống kê ta có lim
n→+∞
fi = f(xi). Vì vậy với n lớn
x¯ ≈ f(x1)x1 + · · ·+ f(xk)xk = E (X)
Do đó có thể nói kỳ vọng của biến ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình theo xác
suất của biến ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất.
Định nghĩa 3.7 (Kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục). Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục
X có hàm mật độ xác suất f(x), kỳ vọng của X là
E (X) =
+∞∫
−∞
xf(x)dx (3.8)
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 46
Ví dụ 3.14. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
f(x) =
 2x khi 0 < x < 10 nơi khác
thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X
E (X) =
1∫
0
x(2x)dx =
1∫
0
2x2dx =
2
3
Sau đây là một số tính chất của kỳ vọng
Tính chất 3.8 (Tính chất kỳ vọng). Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ và
C ∈ R thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có các tính chất sau
i) E(C) = C.
ii) E(CX) = CE(X).
iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
iv) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì E(XY ) = E(X)E(Y )†.
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f(x), kỳ vọng của hàm của biến
ngẫu nhiên h(X) có thể được xác định bằng cách: Đặt Y = h(X); xác định hàm mật
độ xác suất g(y) của Y ; và xác định kỳ vọng theo công thức (3.7) hoặc (3.8). Ví dụ,
giả sử Y có phân phối liên tục với hàm mật độ g(y). Thì
E (h(X)) = E (Y ) =
∞∫
−∞
yg(y)dx
Tuy nhiên, để tính kỳ vọng E (h(X)) không cần thiết phải tìm hàm mật độ của biến
ngẫu nhiên h(X) mà chúng ta có thể tính E (h(X)) trực tiếp bằng mệnh đề 3.9
Mệnh đề 3.9 (Kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên). Cho g là hàm số thực bất kỳ
a. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất cho bởi
X x1 x2 · · · xn · · ·
P p1 p2 · · · pn · · ·
†Xem bài tập 4.10
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 47
kỳ vọng
E (g(X)) =
∑
xi
g(xi)pi
b. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì kỳ vọng
E (g(x)) =
∞∫
−∞
g(x)f(x)dx
Ví dụ 3.15. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi
X 1 2 3
P 0, 2 0, 5 0, 3
Giá trị
E
(
X2
)
= (12)(0, 2) + (22)(0, 5) + (32)(0, 3) = 2, 1
Chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X2.
Ví dụ 3.16. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
f(x) =
 2x khi 0 < x < 10 nơi khác
thì
E
(
X2
)
=
1∫
0
(
x2
)
(2x) dx =
1
2
là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X2.
Chú ý: Người ta thường ký hiệu kỳ vọng là µ, µ = E (X).
3.4.2 Phương sai
Định nghĩa 3.10 (Phương sai - Variance). Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E (X)
thì phương sai, ký hiệu Var (X), được định nghĩa
Var (X) = E (X − E (X))2 (3.9)
Ví dụ 3.17. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 48
x 1 2 3
P 0, 3 0, 5 0, 2
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X
E (X) = 1 · 0, 3 + 2 · 0, 5 + 3 · 0, 2 = 2, 3
và phương sai
Var (X) = E (X − E (X))2 =
3∑
i=1
(xi − E (X))2 f(xi)
= (1− 2, 3)2 · 0, 3 + (2− 2, 3)2 · 0, 5 + (3− 2, 3)2 · 0, 2 = 2, 01
Ví dụ 3.18. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
f(x) =
 2x khi 0 < x < 10 nơi khác
Theo ví dụ 3.14 thì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là E (X) =
2
3
. Phương sai của
biến ngẫu nhiên X là
Var (X) =
1∫
0
(
x− 2
3
)2
(2x) dx =
1
18
Từ định nghĩa, ta thấy phương sai là giá trị kỳ vọng của bình phương độ lệch của
X so với kỳ vọng (giá trị trung bình) của nó. Nói nôm na, phương sai là “trung bình
của bình phương sai lệch so với kỳ vọng (trung bình)”. Do đó, nó còn được là giá trị
trung bình của bình phương độ lệch. Công thức (3.9) tương đương với
Var (X) ‡ = E
(
X2
)− E (X)2 (3.10)
Tính chất 3.11 (Tính chất phương sai). Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y và hằng số
thực C ∈ R, phương sai có các tính chất sau
i) Var (C) = 0.
‡Xem bài tập 3.3
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 49
ii) Var (CX) = C2Var (X).
iii) Nếu X và Y độc lập thì Var (X + Y ) § = Var (X) + Var (Y ).
Chú ý: Người ta thường ký hiệu phương sai là σ2, σ2 = Var (X).
Đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên. Khi
cần đánh giá mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó,
người ta dùng một đặc trưng mới đó là độ lệch tiêu chuẩn.
Định nghĩa 3.12 (Độ lệch tiêu chuẩn). Độ lệch tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên X
bằng căn bậc hai phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu
σ =
√
Var (X)
Ví dụ 3.19. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
f(x) =

4
81
x3 khi 0 < x < 3
0 nơi khác
Ta có kỳ vọng
E (X) =
3∫
0
x
(
4
81
x3
)
dx = 2, 4
và
E
(
X2
)
=
3∫
0
x2
(
4
81
x3
)
dx = 6
Vậy phương sai
Var (X) = E
(
X2
)− (EX)2 = 6− (2, 4)2 = 0, 24
và độ lệch tiêu chuẩn σ =
√
Var (X) ≈ 0, 4899
3.4.3 Mod
Định nghĩa 3.13 (Mod). Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Mod(X), là giá trị
mà biến biến ngẫu nhiên X nhận được với xác suất lớn nhất.
Từ định nghĩa, nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất
§Xem thêm mục 4.7
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 50
X x1 x2 · · · xn · · ·
P p1 p2 · · · pn · · ·
thì
Mod(X) = xi ⇔ pi = P (X = x1) = max {p1, p2 . . .}
còn nếu X có phân phối liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) thì
Mod(X) = x0 ⇔ x0 = max {f(x)} , ∀x ∈ R
Ví dụ 3.20. Tìm Mod của biến ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc với bảng phân
phối xác suất
X 1 2 3 4 5
P 0, 3 0, 25 0, 18 0, 14 0, 13
Thì dễ dàng nhận thấy, Mod(X) = 1.
Ví dụ 3.21. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
f(x) =

3
4
x(2− x) khi 0 ≤ x ≤ 2
0 nơi khác
Hàm mật độ xác suất f(x) có đạo hàm
f(x)′ =

3
2
(1− x) khi 0 ≤ x ≤ 2
0 nơi khác
đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm 1, do đó f(x) đạt cực đại tại x0 = 1.
Vậy Mod(X) = 1.
3.4.4 Trung vị - Median
Định nghĩa 3.14 (Trung vị). Cho biến ngẫu nhiên X bất kỳ, trung vị của X, ký hiệu
Med(X), là giá trị m của biến ngẫu nhiên X sao cho
P (X ≤ m) ≥ 1
2
P (X ≥ m) ≥ 1
2
ta viết Med(X) = m.
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 51
Khi X là biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục thì phân vị của X, Med(X) chính
là điểm chia phân phối xác suất thành hai phần bằng nhau nghĩa là
P (X ≥Med(X)) = P (X ≤Med(X))
Ví dụ 3.22 (Trung vị phân phối rời rạc). Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng
phân phối xác suất như sau
X 1 2 3 4
P 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4
Trung vị, Med(X) = 3 bởi vì 
P (X ≤ 3) = 0, 6 ≥ 1
2
P (X ≥ 3) = 0, 7 ≥ 1
2
Hơn nữa, m = 3 là trung vị duy nhất của biến ngẫu nhiên X
Ví dụ 3.23 (Trung vị phân phối rời rạc cho trường hợp không duy nhất). Giả sử
biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau
X 1 2 3 4
P 0, 1 0, 4 0, 3 0, 2
Ở đây 
P (X ≤ 2) = 1
2
P (X ≥ 3) = 1
2
Do đó, với mọi m, 2 ≤ m ≤ 3 sẽ là trung vị của biến ngẫu nhiên X.
Ví dụ 3.24 (Trung vị phân phối liên tục). Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm
mật độ xác suất cho bởi
f(x) =
 4x
3 khi 0 < x < 1
0 nơi khác
Trung vị của biến ngẫu nhiên X là Med(X) = m với
m∫
0
4x3dx =
1∫
m
4x3dx =
1
2
3.4 Đặc trưng của biến ngẫu nhiên 52
Vậy trung vị Med(X) =
1
4
√
2
.
Ví dụ 3.25 (Trung vị phân phối liên tục cho trường hợp không duy nhất). Giả sử
biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất cho bởi
f(x) =

1
2
khi 0 ≤ x ≤ 1
1 khi 2, 5 ≤ x ≤ 3
0 nơi khác
Trường hợp này với mọi m thuộc đoạn 1 ≤ m ≤ 2, 5 thì
P (X ≤ m) = P (X ≥ m) = 1
2
Do đó mọi m, 1 ≤ m ≤ 2, 5 là trung vị của biến ngẫu nhiên X.
3.4.5 Hàm đặc trưng
Hàm đặc trưng là một công cụ giải tích rất quan trọng để nghiên cứu các định lý
giới hạn của lý thuyết xác suất. Mục này trình bày một số tính chất cơ bản của hàm
đặc trưng, các mối quan hệ giữa hàm phân phối xác suất và hàm đặc trưng và dùng
đạo hàm của hàm đặc trưng để tính monen bậc k của biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 3.15 (Hàm đặc trưng). Hàm số
ϕ (t) = E
(
eitX
)
= E (cos tX + i sin tX) , t ∈ R (3.11)
được gọi là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X.
• Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì hàm đặc trưng
ϕ (t) =
+∞∑
k=1
eitxkP (X = xk)
• Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì hàm đặc trưng
ϕ (t) =
+∞∫
−∞
eitxf(x)dx
Ví dụ 3.26. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối Poisson(λ), biến ngẫu
nhiên X nhận giá trị nguyên dương k, (k = 0, 1, . . .) với P (X = k) =
λke−k
k!
. Tìm hàm
đặc trưng ϕ(t) của X.
3.5 Bài tập luyện tập 53
Giải. Theo định nghĩa hàm đặc trưng thì
ϕ(t) =
∞∑
k=0
eitkP (X = k)
=
∞∑
k=0
eitk
λke−λ
k!
=
∞∑
k=0
(λeit)
k
e−λ
k!
= e−λeλeit = eλ(e
it−1)
Sau đây là một số tính chất quan trọng của hàm đặc trưng, ta thừa nhận các tính
chất này không chứng minh.
Tính chất 3.16. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X xác định duy nhất hàm mật
độ xác suất . Nói cách khác hai biến ngẫu nhiên có chung hàm đặc trưng thì chúng sẽ
có chung hàm mật độ.
Tính chất 3.17. Nếu hàm đặc trưng ϕ(t) của biến ngẫu nhiên liên tục X là giới hạn
của dãy hàm ϕn(t) của biến ngẫu nhiên Xn thì hàm phân phối xác suất F (x) của X
là giới hạn của dãy hàm phân phối xác suất Fn(x) tại mọi điểm liên tục của F (x).
Tầm quan trọng của tính chất 3.17 là trong nhiều trường hợp, việc chuyển qua giới
hạn ở dãy hàm đặc trưng được thực hiện dễ hơn ở dãy hàm phân phối, do đó thay
cho việc tìm giới hạn của dãy hàm phân phối ta tìm giới hạn của dãy hàm đặc trưng
tương ứng, theo tính chất 3.16 thì giới hạn đó sẽ xác định duy nhất hàm phân phối
giới hạn cần tìm.
Tính chất 3.18. Hàm đặc trưng của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các
hàm đặc trưng của mỗi thành phần.
Tính chất 3.19. Nếu biến ngẫu nhiên X có momen cấp k hữu hạn và hàm đặc trưng
là ϕ(t) thì
ϕk(0) = inE
(
Xk
)
(3.12)
với ϕk(0) là đạo hàm cấp k của hàm đặc trưng tại t = 0.
3.5 Bài tập luyện tập
Bài tập 3.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất cho bởi bảng
(3.5)
3.5 Bài tập luyện tập 54
X −2 −1 0 1 2
P 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8
Bảng 3.5:
a. Tìm hàm phân phối xác suất F (x).
b. Tính P (−1 ≤ X ≤ 1) và P (X ≤ −1 hoặc X = 2).
c. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X2.
Bài tập 3.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất cho bởi
f(x) =
2x+ 1
25
, x = 0, 1, 2, 3, 4
a. Lập bảng phân phối xác suất của X.
b. Tính P (2 ≤ X −10).
Bài tập 3.3. Chứng minh công thức tính phương sai (3.10).
Bài tập 3.4. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) cho như sau
f(x) =
 kx(2− x) khi 1 < x < 20 nơi khác
a. Xác định giá trị của k để f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Với k
vừa tìm được tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.
b. Tìm hàm phân phối F (x) của biến ngẫu nhiên X.
c. Tìm hàm phân phối G(y) của biến ngẫu nhiên Y = X3.
Bài tập 3.5. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
f(x) =
 e
−x khi x > 0
0 khi x ≤ 0
a. Tính P (3 ≤ X).
3.5 Bài tập luyện tập 55
b. Tìm giá trị của a sao cho P (X ≤ a) = 0, 1.
c. Xác định hàm phân phối và mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y =
√
X.
Bài tập 3.6. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
f(x) =
 a exp
(−x
2
)
khi x ≥ 0
0 nơi khác
Xác định:
a. Hằng số a.
b. Hàm phân phối xác suất F (x)
c. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.
d. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = (X/2)− 1.
Bài tập 3.7. Chứng minh rằng không có hằng số k nào để hàm
f(x) =

k
x
khi 0 < x < 1
0 nơi khác
là hàm mật độ xác suất.
Bài tập 3.8. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
f(x) =

1
2
x khi 0 < x < 2
0 nơi khác
Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên
a. Y = X(2−X).
b. Y = 4−X3.
c. Y = 3X + 2.
Bài tập 3.9. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
f(x) =

3
4
x(2− x) khi 0 ≤ x ≤ 2
0 nơi khác
3.5 Bài tập luyện tập 56
a. Xác định hàm phân phối xác suất F (x) của biến ngẫu nhiên X.
b. Tính E(X), Var (X) và trung vị của biến ngẫu nhiên X.
c. Đặt Y =
√
X, xác định hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của biến
ngẫu nhiên Y .
Bài tập 3.10. Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên liên
tục X (đơn vị tháng) có hàm mật độ
f(x) =
 kx2(4− x) khi 0 ≤ x ≤ 40 nơi khác
a. Tìm hằng số k.
b. Tìm F (x).
c. Tìm E (X), Var (X) và Mod(X).
d. Tính xác suất để côn trùng chết trước một tháng tuổi.
Bài tập 3.11. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
f(x) =
 kx2e−2x khi x ≥ 00 nơi khác
a. Tìm hằng số k.
b. Tìm hàm phân phối xác suất F (x).
c. Tìm E (X), Var (X) và Mod(X).