Tính toán tối ưu thiết bị TMD giảm chấn cho hệ kết cấu có 01 bậc tự do

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
8 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 
TÍNH TOÁN TỐI ƯU THIẾT BỊ TMD GIẢM CHẤN 
CHO HỆ KẾT CẤU CÓ 01 BẬC TỰ DO 
ThS. NGUYỄN XUÂN ĐẠI, ThS. VƯƠNG TUẤN HẢI, ThS. NGUYỄN VĂN CÔNG 
Học viện Kỹ thuật Quân sự 
Tóm tắt: Thiết bị giảm chấn TMD (Tuned – Mass 
– Damper) là thiết bị giảm chấn thụ động, bằng 
chuyển động tương đối của khối lượng bản thân so 
với hệ chính, TMD có hiệu quả trong việc làm tiêu 
tán năng lượng dao động của hệ chính. Các nội 
dung tính toán thiết kế tối ưu thiết bị TMD tập trung 
vào nhiệm vụ làm biên độ dao động của hệ chính 
giảm đạt giá trị nhỏ nhất. Bài báo này tác giả phân 
tích tính toán thông số tối ưu của TMD thông qua 
giá trị hệ số khuếch đại dao động của kết cấu chính 
bằng phép giải tích và tính toán số. 
1. Đặt vấn đề 
Thiết bị điều chỉnh khối lượng TMD (Tuned 
Mass Damper) thực chất là một hệ tích hợp giữa 
khối lượng, lò xo và thiết bị cản (đàn nhớt). Nguyên 
lý hoạt động của TMD là dựa vào khối lượng bản 
thân để tạo ra chuyển động tương đối với hệ kết 
cấu chính, từ đó làm tiêu tán năng lượng dao động 
của hệ kết cấu chính. Do đó, khi sử dụng TMD 
không làm thay đổi những tính chất cơ học của kết 
cấu. Thông thường, thiết bị TMD có hiệu quả giảm 
dao động rõ rệt khi hệ dao động chính có hệ số 
cản thấp. 
Thực tế, hiệu quả của thiết bị TMD thường 
được điều chỉnh thông qua khối lượng của TMD. 
Khi khối lượng của TMD tăng sẽ làm tăng chuyển 
động tương đối giữa TMD và hệ chính. Mặt khác, 
khối lượng TMD quá lớn sẽ gây ảnh hưởng xấu 
đến hệ kết cấu chính. Do đó, quá trình tính toán 
thiết kế cần có các giải pháp lựa chọn thiết bị TMD 
cho phù hợp. 
Tính toán tối ưu thiết bị TMD được Nguyễn 
Đông Anh trình bày một số phương pháp tiêu biểu 
trong tài liệu 0, với các hàm mục tiêu được tác giả 
đề cập gồm chuyển vị, vận tốc, hoặc gia tốc 
chuyển động của hệ chính. G.C.Marano, R.Greco 
trình bày giải pháp tính toán tối ưu thiết bị TMD cho 
kết cấu tháp [4], với hàm mục tiêu là tỷ số giữa 
chuyển vị của hệ khi có TMD và khi không có TMD 
đạt giá trị cực tiểu. 
Nhìn chung, trong các nội dung tính toán tối ưu 
TMD, các tác giả thường hướng đến mục tiêu giảm 
biên độ dao động của hệ chính về nhỏ nhất. Tuy 
nhiên, năng lượng dao động của TMD được lấy từ 
dao động của hệ chính. Vì vậy, khi hệ chính giảm 
biên độ dao động thì dao động của TMD càng tăng. 
Việc tính toán thiết kế do đó cần phải quan tâm tới 
dao động của TMD đảm bảo dao động này không 
vượt quá giới hạn cho phép. 
2. Nguyên lý làm việc của TMD 
Xét hệ dao động một bậc tự do được mô hình 
hóa bằng khối lượng m1, được giữ cố định bởi liên 
kết đàn hồi tuyến tính có hệ số độ cứng k1, liên kết 
đàn nhớt tuyến tính có hệ số cản c1 như hình 1a. 
Hệ được gắn thêm thiết bị TMD mô hình hóa bằng 
khối lượng m2, liên kết với hệ chính bởi liên kết đàn 
hồi tuyến tính có hệ số độ cứng k2 và liên kết đàn nhớt 
tuyến tính có hệ số cản c2 như hình 1b. 
P(t)
m1
k1
c1
P(t)
m1
k1
c1
k2
c2
m2
uO
u1(t) u1(t) u2(t)
a) b)
Hình 1. Hệ dao động 01 bậc tự do sử dụng thiết bị TMD 
Không mất tính tổng quát, giả thiết tải trọng tác dụng có dạng hàm điều hòa theo thời gian P(t) = Psinωt. 
Phương trình vi phân dao động của hệ kết cấu có dạng: 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 9 
   1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1
m u c c u k k u c u k u P sin t
m u c u k u c u k u 0
       

    
  
  
 (1) 
Lời giải trong giai đoạn dao động ổn định của hệ có dạng: 
 
 
 
22 2 2
2 2 2
1 2 2 2
k m c
u t P sin t
A B
 
 

 
 

 (2) 
   
2 2 2
2 2
2 2 2 2
k c
u t P sin t
A B

 


 

 (3) 
Trong đó: 
  
   
2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 2
2 2 2
2 1 1 1 2 2 2 2
A k m k m k m c c
B c k m c k m c m
   
  
    
    
 (4) 
 
 
2
2 2 21
2 2
2 2 2
k m B c A
tan
k m A c B
 

 

        
    
 (5) 
 2 21
2
2 2
c A k B
tan
k A c B



     
 (6) 
Gọi ω1, ω2 lần lượt là tần số dao động riêng của 
hệ chính và hệ phụ; 
μ - tỷ số khối lượng giữa hệ chính và hệ phụ; 
r1, r2 - lượt là tỷ số giữa tần số lực kích thích và 
tần số dao động riêng của hệ phụ đối với hệ chính; 
1, 2 lần lượt là tỷ số cản của hệ chính và hệ 
phụ. 
Mối quan hệ giữa các đại lượng được định 
nghĩa như sau: 
2 21 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1
1 2 1 1 1
k k m
; ; ; r ; r ;c 2m ; c 2m
m m m
 
      
 
       (7) 
Nghiệm dao động của hệ khi đó được viết lại thành: 
 
   
 
2 22 2
2 1 2 1
1 2 4
1 1
r r 2 r
u t P sin t
m C

 

      (8) 
 
 
 
24
2 2 1
2 2 4
1 1
r 2 r
u t P sin t
m C

 

   
 (9) 
Trong đó: 
      
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1C 1 r r r r r 4 r 4r 1 r r r r                     
(10) 
Khảo sát hiệu quả giảm dao động của TMD 
bằng ví dụ số, với các số liệu cụ thể như sau: 
Thông số dao động của hệ chính: m1 = 
1kNm/s2; k1 = 150 kN/m; 1 = 0.05; 
Thông số của hệ TMD được xác định thông qua 
các hệ số: μ=0.05; r2 = 1; 2 = 0.05; 
Tải trọng tác dụng: P=100sinrt (N), với tần số 
lực kích thích được chọn r = ω1 thỏa mãn trường 
hợp nguy hiểm nhất: hệ chính xảy ra cộng hưởng. 
Phân tích hiệu quả của TMD bằng 2 trường 
hợp: phương pháp giải tích và phương pháp phân 
tích theo bước thời gian Newmark. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
10 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 
Hình 2. Khảo sát hiệu quả giảm dao động của TMD 
 Kết quả khảo sát cho thấy: TMD có hiệu quả 
giảm dao động rõ rệt cho kết cấu chính, biên độ dao 
động của hệ chính giảm được khoảng 80% so với 
khi không lắp TMD. Kết quả phân tích dao động 
bằng hai phương pháp: giải tích và phân tích theo 
bước thời gian Newmark nhận thấy, trong giai đoạn 
dao động ổn định, lời giải bằng 2 phương pháp cho 
kết quả tương đồng nhau thể hiện độ tin cậy của kết 
quả tính. 
3. Tính toán tối ưu thiết bị TMD 
 Thực tế, để tính toán các thông số của TMD 
trực tiếp từ phương trình vi phân dao động rất khó 
khăn. Do đó, nội dung tính toán TMD được tiến 
hành thông qua các hệ số trung gian – hệ số 
khuếch đại biên độ dao động KMF, được định nghĩa 
bằng tỷ số giữa chuyển vị động cực đại và chuyển 
vị tĩnh. 
 Hệ số khuếch đại của hệ chính và hệ TMD 
được tính toán lần lượt theo công thức: 
   2 22 22 1 2 1
MF
r r 2 r
K
C
 
 (11) 
   2 222 2 1
MF _TMD
r 2 r
K
C

 (12) 
 Trong đó, C là hệ số trung gian được trình bày 
trong công thức (13). 
3.1 Trường hợp không xét đến các yếu tố cản 
Xét lời giải trong giai đoạn dao động ổn định, 
nghiệm của hệ phương trình vi phân dao động có 
dạng: 
 
 
  
 
  






  

  
2 2
2 1
1 2 2 2 2 2
11 2 1 1 2
2
2
2 2 2 2 2 2
11 2 1 1 2
. sin
1 . .
. sin
1 . .
r r P
u t t
kr r r r r
r P
u t t
kr r r r r
 (14) 
Hệ số khuếch đại của hệ chính và hệ TMD khi đó được viết lại thành: 
 
  
 
  




    

    
22 2
2 1
2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1
22
2
_ 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1
1
MF
MF TMD
r r
K
r r r r r
r
K
r r r r r
 (15) 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
Thêi gian [s]
C
hu
yÓ
n 
vÞ
 c
ña
 k
Õt
 c
Êu
 c
hÝ
nh
 u
 [m
]
T¶i träng t¸c dông d¹ng ®iÒu hßa
Kh«ng cã TMD, Ph­¬ng ph¸p Newmark
Cã TMD, Ph­¬ng ph¸p Newmark
Cã TMD, Ph­¬ng ph¸p gi¶i tÝch
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 11 
Tiến hành điều chỉnh thông số thiết bị TMD ta 
nhận thấy: khi r1 = r2 từ công thức (14) và (15) ta thu 
được u1(t) = 0 và KMF = 0, có nghĩa là khi đó, hệ kết 
cấu chính sẽ không dao động. Tiến hành khảo sát 
ảnh hưởng của r2 đến biên độ dao động của hệ kết 
cấu chính trong trường hợp tải trọng tác dụng có 
dạng điều hòa và thỏa mãn trường hợp xảy ra cộng 
hưởng. Kết quả khảo sát như đồ thị hình: 
Hình 3. Khảo sát hiệu quả giảm dao động của TMD 
Từ đồ thị hình 3 ta nhận thấy, trong hệ dao động 
không có cản, khi thông số TMD được lựa chọn 
theo tính toán tối ưu thỏa mãn r2 = r1, biên độ dao 
động của kết cấu chính bằng 0, nghĩa là hệ không 
dao động. Biên độ dao động của hệ chính càng gần 
giá trị 0 khi r2 càng gần giá trị r1. 
3.2 Trường hợp chỉ xét hệ số cản của TMD 
Khi hệ chính không có cản (1 = 0), chỉ 
xét tới cản của thiết bị TMD (2 ≠0), nghiệm 
của hệ phương trình vi phân dao động có 
dạng: 
 
   
 
2 22 2
2 1 2 1
1 12 4
1 1 1
r r 2 r
u t P sin t
m C

 

      (16) 
 
 
 
24
2 2 1
2 12 4
1 1 1
r 2 r
u t P sin t
m C

 

    (17) 
Trong đó: 
    
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 2 1 1C 1 r r r r r 4r 1 r r               (18) 
Hệ số khuếch đại biên độ dao động của hệ chính khi đó được viết lại theo công thức: 
   
    

  
 

           
2 22 2
2 1 1 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 1
2
1 2 1
MF
r r r
K
r r r r r r r r
 (19) 
Biến đổi biểu thức hệ số khuếch đại về dạng: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Thêi gian [s]
C
hu
yÓ
n 
vÞ
 c
ña
 k
Õt
 c
Êu
 c
hÝ
nh
 u
 [m
]
HÖ chÝnh vµ hÖ TMD kh«ng cã c¶n
r
1
=1, r
2
=1
r
1
=1, r
2
=0.99
r
1
=1, r
2
=0.97
r
1
=1, r
2
=1.1
r
1
=1, r
2
=1.2
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
12 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 
    
 

 


 
 
 
       
  
   
22 2
22 1
2
1
22 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 2
22 2
1 1 1
21
1 1 1
2 1
MF
r r
r
K
r r r r r r
r r r
 (20) 
Từ phương trình (20), nhận thấy, hệ số KMF không phụ thuộc vào 2 khi: 
  
 


  

 
2 2 2 2 22 2
1 2 1 2 12 1
2 2
1 1 1 1
1
2 2 1
r r r r rr r
r r r r
 (21) 
Viết lại phương trình (21) ta được: 
 
 
 
  
 
2 2
24 2 2
1 1
2 1 2 2
0
2 2
r r
r r (22) 
Phương trình (22) là phương trình trùng phương. Giải phương trình (22) ta thu được được hai nghiệm 
dương r1 không phụ thuộc vào tỷ số cản của TMD, chỉ phụ thuộc vào r2 và μ, nghĩa là khi đó với mỗi giá trị 
của μ đồ thị hàm KMF phụ thuộc r1 luôn đi qua 2 điểm cố định với mọi giá trị của 2. 
Hình 4. Hệ số khuếch đại dao động hệ chính, 1=0 
Giá trị tối ưu của các thông số thiết bị TMD 
tương ứng với vị trí cực tiểu của biên độ dao 
động của hệ chính, nghĩa là giá trị hàm khuếch 
đại KMF đạt giá trị nhỏ nhất. Từ đồ thị hình 4 ta 
nhận thấy, ứng với mỗi giá trị tỉ số cản2 khác 
nhau của thiết bị TMD, ta có đường đồ thị hàm 
khuếch đại KMF khác nhau, tuy nhiên, các đồ thị 
này đều đi qua 2 điểm P1 và P2 nằm trong vùng 
biên độ dao động cực đại của kết cấu chính. Để 
xác định được thông số tối ưu của thiết bị TMD, 
cần điều chỉnh sao cho P1 và P2 có cùng giá trị 
tung độ trên đồ thị hàm khuếch đại, và giá trị này 
phải thỏa mãn nhỏ nhất. 
Nhận thấy, khi phương trình (21) được thỏa 
mãn, giá trị tối ưu của thiết bị TMD đảm bảo điều 
kiện giá trị hàm khuếch đại KMF tại P1 và P2 bằng 
nhau, từ biểu thức (20) ta có: 
          1 2 2 21 1 1 21 1 1 1P PMF MF P PK K r r (23) 
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0
5
10
15
HÖ chÝnh kh«ng cã c¶n, HÖ TMD cã c¶n 
Tû sè t¾t dÇn tÇn sè cña hÖ chÝnh r
1
, r
2
=1, =0.05
H
Ö 
sè
 k
hu
Õc
h 
®¹
i b
iª
n 
®é
 d
ao
 ®
én
g 
K
M
F
Không có TMD
Có TMD, 2=0
Có TMD,2=0.05
Có TMD,2=0.1
Có TMD,2=0.3
P1
P2
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 13 
Từ phương trình (22) và (23), bằng biến đổi 
toán học đơn giản, ta xác định được tham số tối ưu 
r2 phụ thuộc vào tỷ số khối lượng: 


2
1
1
optr (24) 
Thay giá trị 2
optr trong công thức (24) vào biểu 
thức nghiệm từ phương trình (22) ta xác định được 
giá trị của r1: 







1 21( , )
1
2
1
opt
P Pr (25) 
Giá trị hàm khuếch đại tối ưu khi đó được biểu 
diễn thông qua tỷ số khối lượng μ có dạng: 

 
2
1optMFK (26) 
Biểu diễn tỷ số cản tối ưu của thiết bị TMD dưới 
dạng hàm của tỷ số khối lượng có dạng: 
 
  
 

 


 2
12
16 1 2
opt (27) 
Đồ thị biểu diễn giá trị hàm khuếch đại KMF khi 
thông số cản của TMD được lựa chọn tối ưu có 
dạng như hình 5. 
Hình 5. Hệ số khuếch đại khi tối ưu thiết bị TMD 
Từ biểu thức (25) ta nhận thấy, trong trường 
hợp hệ kết cấu là xác định, tải trọng tác dụng xác 
định (khi đó xác định được r1) giá trị tối ưu của tỷ số 
khối lượng giữa hệ chính và hệ phụ hoàn toàn xác 
định được thông qua giá trị r1, các thông số khác 
của TMD xác định được thông qua biểu thức (24) 
và (27). 
3.3 Trường hợp xét đến yếu tố cản trên cả hệ 
chính và TMD 
 Khi xét đến yếu tố cản cả trên hệ chính và của 
thiết bị TMD, nghiệm của hệ phương trình vi phân 
dao động có dạng như công thức (8) và (9). Hệ số 
khuếch đại biên độ dao động được viết lại có dạng: 
   
       

    
 

              
2 22 2
2 1 2 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1
2
1 4 4 1
MF
r r r
K
r r r r r r r r r r r
 (28) 
Đồ thị biểu diễn quan hệ giữa KMF và r1 được thể hiện như hình 6. 
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0
5
10
15
HÖ chÝnh kh«ng cã c¶n, HÖ TMD cã c¶n 
Tû sè t¾t dÇn tÇn sè cña hÖ chÝnh r
1
H
Ö 
sè
 k
hu
Õc
h 
®¹
i b
iª
n 
®é
 d
ao
 ®
én
g 
K
M
F 
2=0
2=0.05
2=0.1
2(tèi ­u)=0.1341
2=0.2
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
14 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 
Hình 6. Hệ số khuếch đại dao động hệ chính 
Từ kết quả khảo sát trên hình 6 ta nhận thấy, 
việc đưa ra lời giải chính xác bằng phương pháp 
giải tích gặp rất nhiều khó khăn, vì tỷ số tắt dần tần 
số hệ phụ r2, tỷ số cản của hệ phụ2 luôn phụ thuộc 
vào tỷ số cản của kết cấu chính1. Do đó, tính toán 
các thông số tối ưu của thiết bị TMD trong trường 
hợp này thông thường cần sử dụng phương pháp 
giải số với các phép lặp gần đúng. Các tham số ban 
đầu bao gồm tỷ số giảm biên độ dao động hệ chính 
r1 và tỷ số cản của hệ chính ξ1. Thông thường, tỷ số 
cản của hệ chính được lựa chọn thỏa mãn không 
quá lớn (<5%), tỷ số khối lượng giữa hệ chính và hệ 
phụ nhỏ nhằm tránh tác động ngược lại của hệ 
TMD lên kết cấu chính. Do đó, bằng các phép tính 
lặp gần đúng, ta có thể tính toán các thông số của 
thiết bị TMD. 
Khảo sát tính toán giá trị tối ưu của thiết bị TMD 
khi tỷ số khối lượng μ=0.05 và tỷ số cản của hệ kết 
cấu chính 1 = 0.05, bằng các phép toán lặp dưới 
sự hỗ trợ của phần mềm Matlab, ta tính toán được 
các thông số tối ưu của thiết bị TMD: r2 = 0.9567; 2 
= 0.0937. Khi đó, đồ thị biểu diễn quan hệ giữa hệ 
số khuếch đại KMF và tỷ số tắt dần tần số của hệ 
chính r1 được thể hiện như hình 7. 
Hình 7. Hệ số khuếch đại dao động hệ chính khi tối ưu TMD 
Khảo sát các giá trị lân cận giá trị tối ưu của 
TMD ta nhận thấy, giá trị hàm khuếch đại đều lớn 
hơn khi r2 và 2 được lựa chọn tối ưu. 
4. Kết luận 
Qua phân tích ở trên, ta có thể rút ra một số kết 
luận sau: 
Thiết bị TMD có hiệu quả cao trong việc giảm 
dao động cho hệ kết cấu. Lời giải giải tích cho hệ 01 
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0
5
10
15
HÖ chÝnh vµ hÖ TMD cã c¶n 
Tû sè t¾t dÇn tÇn sè cña hÖ chÝnh r
1
H
Ö 
sè
 k
hu
Õc
h 
®¹
i b
iª
n 
®é
 d
ao
 ®
én
g 
K
M
F 
Không có TMD
Có TMD, 2=0
Có TMD,2=0.05
Có TMD,2=0.1
Có TMD,2=0.3
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0
5
10
15
HÖ chÝnh vµ hÖ TMD cã c¶n 
Tû sè t¾t dÇn tÇn sè cña hÖ chÝnh r
1
H
Ö 
sè
 k
hu
Õc
h 
®¹
i b
iª
n 
®é
 d
ao
 ®
én
g 
K
M
F 
TMD
tèi ­u
, r
2
=0.9567, 2=0.0937
TMD , r
2
=1.0 , 2=0.12
TMD , r
2
=0.9 , 2=0.085
TMD , r
2
=1.0 , 2=0.08
TMD , r
2
=0.9 , 2=0.12
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2016 15 
bậc tự do có lắp đặt TMD trong giai đoạn dao động 
ổn định và kết quả phân tích theo các bước thời 
gian Newmark tương đồng nhau đã thể hiện độ tin 
cậy của phép giải hệ phương trình vi phân dao 
động. 
Trong tính toán thiết kế tối ưu, với hệ 01 bậc tự 
do ta có thể đưa ra lời giải giải tích để xác định các 
thông số tối ưu của bộ TMD. Trong trường hợp hệ 
chính không có cản, lời giải được phân tích trên cơ 
sở tính chất của hàm khuếch đại, các thông số tối 
ưu của TMD được tính toán từ điều kiện của hàm 
khuếch đại. Từ kết quả tính toán, với mỗi công trình 
cụ thể, tải trọng tác động cụ thể ta sẽ xác định được 
từng thông số tối ưu của TMD. Trường hợp hệ 
chính có cản, việc giải bằng phương pháp giải tích 
gặp nhiều khó khăn do mối quan hệ ràng buộc giữa 
các đại lượng với tỷ số cản của hệ chính, khi đó 
bằng phép tính toán số sử dụng phép lặp gần đúng 
với sự trợ giúp của máy tính ta sẽ xác định được 
thông số tối ưu của thiết bị TMD. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt (2007), Giảm 
dao động bằng thiết bị tiêu tán năng lượng, Nhà 
xuất bản Khoa học tự nhiên và Công nghệ. 
[2] Nguyễn Đông Anh (2005), Nghiên cứu thiết kế, 
chế tạo thiết bị tiêu tán năng lượng chống dao 
động có hại phục vụ các công trình kỹ thuật, Đề 
tài nghiên cứu Khoa học và Công nghệ cấp nhà 
nước, KC.05.30, Viện Khoa học Công nghệ Việt 
Nam, tháng 12. 
[3] Nguyễn Xuân Đại, Nguyễn Văn Công (2013), 
Nghiên cứu hiệu quả giảm chấn bằng phương pháp 
TMD cho công sự, Tạp chí Khoa học & Kỹ thuật – 
Học viện Kỹ thuật quân sự, số 154, tháng 4. 
[4] G.C.Marano, R.Greco, Stochastic optimum 
design of linear tuned mass dampers for seismic 
protection of high towers, The 14th world 
conference on Earthquake Engineering, October 
12-17, 2008, Beijing, China. 
[5] Hsiang-Chuan Tsai, Guan-Cheng Lin, Optimum 
tuned-mass dampers for minimizing steady-state 
response ò support-excited and damped 
systems, Earthquake Engineering and Structural 
dynamics, Vol 22,957-975 (1993). 
[6] Wei-Chau Xie, Differential Equations for 
Engineers, Cambridge University press, 2010. 
Ngày nhận bài: 23/5/2016 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 28/9/2016.