Ứng dụng biến đổi Hilbert-Huang để chẩn đoán hư hỏng trong kết cấu dưới của cầu

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 25 
 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI HILBERT-HUANG ĐỂ 
CHẨN ĐOÁN HƯ HỎNG TRONG KẾT CẤU DƯỚI CỦA CẦU 
PGS. TS. BÙI ĐỨC CHÍNH 
Trường Đại học Giao thông vận tải 
Tóm tắt: Bài báo này giới thiệu những kết quả nghiên cứu ban đầu về chẩn đoán hư hỏng của kết 
cấu dưới công trình cầu dựa trên biến đổi Hilbert-Huang. Bài báo bao gồm: Nội dung của biến đổi 
Hilbert; việc phân tích một tín hiệu thành các hàm dạng/mode bản chất theo phân tích dạng kinh 
nghiệm và phân tích dạng kinh nghiệm quần thể; một số kết quả ban đầu trong áp dụng phổ giới hạn 
Hilbert trong chẩn đoán hư hỏng của kết cấu dưới của công trình cầu. 
Một số từ viết tắt 
FFT Fast Fourier Transform (Biến đổi Fourier nhanh). 
WT Wavelet Transform (Biến đổi Wavelet). 
HT Hilbert Transform (Biến đổi Hilbert). 
HHT Hilbert-Huang Transform (Biến đổi Hilbert-Huang). 
IMS Intrinsic Mode Function (Hàm dạng/mode bản chất). 
EMD Empirical Mode Decomposition (Phân tích dạng kinh nghiệm). 
EEMD Ensemble Empirical Mode Decomposition (Phân tích dạng kinh nghiệm quần thể) 
NHS Nominal Hilbert Spectrum (Phổ Hilbert danh định) 
MHS Marginal Hilbert Spectrum (Phổ Hilbert giới hạn) 
1. Đặt vấn đề 
 Khi trong công trình/kết cấu xuất hiện các hư 
hỏng khuyết tật sẽ dẫn tới thay đổi các đặc trưng 
động học như: Giảm độ cứng, thay đổi tần số dao 
động tự do; thay đổi dạng/mode dao động của 
công trình/kết cấu...Kỹ thuật chẩn đoán phát hiện 
hư hỏng khuyết tật dựa vào sự thay đổi các đặc 
trưng động học đang được nghiên cứu áp dụng. 
Tuy nhiên trong ứng dụng thực tế, kỹ thuật này 
cũng gặp khá nhiều hạn chế như: Việc xác định 
chính xác các thông số dao động như các tần số 
riêng và các dạng dao động riêng trên kết cấu 
thực khá khó khăn, các ảnh hưởng của các đại 
lượng cần đo lớn...Một trong các vấn đề dẫn tới 
các hạn chế trên đó là quá trình xử lý các tín hiệu 
dao động ghi nhận được ở hiện trường trên công 
trình/kết cấu thực còn gặp nhiều khó khăn [1, 4]. 
 Sau đây xin giới thiệu các nét cơ bản về 
EMD, EEMD, NHS, MHS trong biến đổi Hilbert-
Huang và áp dụng chúng trong phân tích các dữ 
liệu dao động thu được để chẩn đoán hư hỏng 
của kết cấu dưới của công trình cầu. 
2. Biến đổi Hilbert-Huang 
2.1 Biến đổi Hilbert 
Biến đổi Hilbert thích hợp để xử lý các tín hiệu 
không dừng và giải hẹp. Biến đổi Hilbert được 
định nghĩa như sau [3] : 
      






  
x1
y t = H x t = P d
π - t -
 (1) 
trong đó: 
Toán tử H[.] là biến đổi Hilbert; 
P là giá trị chính Cauchy. 
 Từ (1) bất cứ một tín hiệu z(t) đều có thể biểu 
diễn thành tổng của phần thực x(t) và phần ảo 
y(t) của nó 
          
iθ t
z t = x t + iy t = a t e (2) 
trong đó: a(t) là biên độ tức thời và (t) là pha tức 
thời, chúng được tính như sau: 
     
   
 


  
     
2 2a t = x t + y t
y t
θ t = artan
x t
 (3) 
 Tần số tức thời trong phép biến đổi Hilbert 
được tính như sau : 
              
   
 dθ t y t x t - y t x t
ω t = 2πf t = = 2 2dt x t + y t
 (4) 
Như vậy, phần thực của tín hiệu x(t) có thể được 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 26 
biểu diễn qua biên độ và tần số tức thời như một 
hàm phụ thuộc thời gian : 
           
 
i ω t dt
x t = R z t = R a t e (5) 
trong đó: R(.) ký hiệu phần thực của tín hiệu phân 
tích z(t). 
 Để đảm bảo chắc chắn rằng tần số tức thời 
nhận được từ (4) có ý nghĩa vật lý, pha tức thời 
(t) cần phải là hàm đơn trị tại bất kỳ giá trị nào 
của t. 
 Như vậy phép biến đổi Hilbert có thể được sử 
dụng để nghiên cứu một chuỗi tín hiệu dưới dạng 
hàm suy rộng thời gian - tần số. Nhưng thật 
không may mắn, phạm vi áp dụng phép biến đổi 
Hilbert thường rất ngặt nghèo, nó đòi hỏi đặc tính 
của x(t) phải là giải hẹp theo thời gian t. Điều kiện 
này thường không thỏa mãn khi trong thực tế kỹ 
thuật, các chuỗi tín hiệu - thời gian thường không 
dừng và giải rộng. Thí dụ giả thiết rằng, có tín 
hiệu x(t) = cos(1t)+sin(2t), phép biến đổi Hilbert 
sẽ tạo ra một tần số tức thời trung bình thay cho 
các tần số 1 và 2 và bản chất tín hiệu đã bị 
thay đổi. 
2.2 EMD và IMF 
 Để khắc phục vấn đề này, Huang và đồng 
nghiệp [3] đã đề nghị phương pháp phân tích 
kinh nghiệm EMD để tách các IMF’s từ một tín 
hiệu theo thời gian, mà mỗi IMF chứa chỉ một 
dạng dao động đơn giản (một tín hiệu dải hẹp tại 
thời điểm đang xét). 
 Một thuật toán EMD đã được đề nghị để tạo 
ra các IMF’s một cách đơn giản, được gọi là quá 
trình sàng lọc (Sifting Process). Có 3 giả thiết đối 
với EMD: (i) Tín hiệu cần có ít nhất hai cực trị - 
một cực tiểu và một cực đại; (ii) khoảng thời gian 
giữa các cực trị (time scale) phải xác định được 
đặc trưng của chuỗi thời gian và (iii) nếu dữ liệu 
không có cực trị nhưng bao gồm chỉ duy nhất các 
điểm uốn, thì có thể lấy đạo hàm để tìm ra cực trị. 
Khi đã xác định được các điểm cực trị, các điểm 
cực đại được nối với nhau bởi một đường cong 
bậc ba và sẽ xác định được một đường bao trên; 
tương tự từ các điểm cực tiểu cũng xác định 
được một đường bao dưới. Đường bao trên và 
đường bao dưới sẽ chứa tất cả các điểm dữ liệu 
của chuỗi thời gian. Giá trị trung bình của các 
đường bao trên và đường bao dưới, m1(t) được 
trừ đi từ tín hiệu nguyên thủy để nhận được 
thành phần thứ nhất h1(t) của quá trình sàng lọc 
này: 
      h t = x t - m t1 1 (6) 
 Nếu h1(t) là một IMF, quá trình sàng lọc sẽ 
được dừng lại. Hai điều kiện để kiểm tra xem 
h1(t) có phải là một IMF là: (i) Số điểm về không 
cần phải bằng số của cực trị hoặc không khác 
quá số cực trị là 1; (ii) h1(t) có tính đối xứng giữa 
đường bao trên và đường bao dưới qua trục 
zero. 
 Nói cách khác, quá trình sàng lọc cần được 
lặp lại để lọc tín hiệu h1(t) thành một IMF. Tương 
tự, h1(t) được sàng lọc để nhận được thành phần 
sàng lọc thứ nhất h11(t). 
      h t = x t - m t11 11 (7) 
trong đó m11(t) là giá trị trung bình của đường 
bao trên và đường bao dưới của h1(t). Quá trình 
này được tiếp tục cho đến khi h1k(t) là một IMF. 
Hàm h1k(t) được ký hiệu là thành phần thứ nhất 
c1(t) = h1k(t). Người ta thường sử dụng độ lệch 
chuẩn để làm tiêu chuẩn kiểm tra quá trình sàng 
lọc: 
   
 

2
h t - h tn 1,k-1 1,kSD = < ε2i=1 h t1,k-1
 (8) 
trong đó  thường lấy từ 0,2 đến 0,3 [3]. Để 
đẩy nhanh quá trình sàng lọc, người ta cũng 
thường sử dụng tiêu chuẩn kiểm tra: 
   
 


2n
h t - h t1,k-1 1,ki=1SD = < εn 2h t1,k-1i=1
 (9) 
 Tiêu chuẩn kiểm tra quá trình sàng lọc được 
tính toán để đảm bảo nhận được các IMF’s đảm 
bảo được ý nghĩa vật lý đầy đủ của nó. Thành 
phần thứ nhất c1(t) chứa những nội dung chính 
xác nhất, hoặc thông tin về tần số cao nhất tại 
mỗi điểm thời gian. Phần dư sau quá trình sàng 
lọc đầu tiên là: 
      r t = x t - c t1 1 (10) 
Sau đó r1(t) được sử dụng để thay thế tín hiệu 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 27 
chưa xử lý x(t) và quá trình sàng lọc tiếp tục để 
tạo ra các IMF khác. Quá trình sàng lọc có thể 
dừng theo yêu cầu của quá trình vật lý. Tuy 
nhiên, có những tiêu chuẩn chung, ví dụ tổng 
bình phương của phần dư nhỏ hơn một giá trị 
cho trước hoặc phần dư trở thành một hàm đơn 
điệu. Phần dư sau quá trình sàng lọc n thành 
phần được cho bởi: 
      
n
r t = x t - c t1 ii=1
 (11) 
Như vậy mỗi ci(t) trong công thức (11) chính là 
một IMF, là kết quả của quá trình sàng lọc hoàn 
toàn thỏa mãn các yêu cầu của phép biến đổi 
Hilbert. 
Hình 1. Tín hiệu ECG được phân tích thành các IMF‘s theo EMD 
2.3 Sự gián đoạn của tín hiệu dao động 
(Intermittence) và EEMD 
Tín hiệu dao động luôn luôn bị ảnh hưởng 
của nhiễu và phần lớn có tính không ổn định, đây 
là một nguyên nhân gây ra sự gián đoạn của dữ 
liệu trong các scale thời gian. Sự gián đoạn là 
nguyên nhân gây ra hiện tượng trộn lẫn dao động 
(mode mixing/scale mixing), nghĩa là trong một 
IMF tồn tại các kiểu dao động khác nhau, hay 
cùng một kiểu dao động mà tồn tại trong hai IMF 
và hậu quả của nó là hiện tượng méo tín hiệu 
(aliaxing) và mất đi trị trung bình vật lý của tín 
hiệu, ảnh hưởng đến kết quả khi áp dụng HT. 
Huang và đồng nghiệp [3] đã giải quyết hiện 
tượng trên bằng cách giới hạn kích thước của 
các scale, về thực chất là xem xét khoảng cách 
giới hạn của các cực đại liên tiếp trong một IMF 
để sao cho IMF chỉ kết hợp các sóng mà khoảng 
cách của các cực đại liên tiếp nằm trong giới hạn 
cho phép của chúng. Ngoài ra cũng tiến hành 
tương tự đối với chiều dài của các zero-crossings 
để hạn chế ảnh hưởng của vấn đề gián đoạn 
trong tín hiệu. 
EEMD được giới thiệu nhằm nâng cao hiệu 
quả của EMD để tránh hiện tượng chồng phổ [5]. 
Phương pháp này thực hiện quá trình lựa chọn 
trên một quần thể các tín hiệu chứa nhiễu, được 
tạo ra từ tín hiệu ban đầu cộng với chuỗi nhiễu 
trắng (hay nhiễu Gaussian) với các hệ số khác 
nhau, mỗi IMF của tín hiệu gốc được xác định 
chính là trị trung bình của quần thể các lần thử, 
trong đó có chứa tín hiệu cộng với nhiễu trắng 
với biên độ hữu hạn nhưng không phải là vi phân. 
Với EEMD có thể tách hoàn toàn các scale của 
tín hiệu một cách tự nhiên mà không cần bất kỳ 
chuẩn lựa chọn chủ quan trước đó. Quá trình 
EEMD gồm các bước: (i) Khởi tạo tín hiệu mới 
bằng cách cộng một chuỗi nhiễu trắng Gaussian; 
(ii) phân tích quần thể dữ liệu đã cộng nhiễu 
thành các IMF’s dựa trên EMD; (iii) lập lại bước 
(i) và (ii) nhưng với dãy nhiễu trắng khác trong 
mỗi lần, và sự lặp này phải đủ lớn để các thành 
phần nhiễu có thể loại bỏ lẫn nhau sau khi lấy 
trung bình của các IMF’s tương ứng. Về thực 
chất EEMD là một bộ lọc tín hiệu [5]. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 28 
Hình 2. Tín hiệu ECG được phân tích thành các IMF’s theo EEMD 
Các công trình nghiên cứu hiện nay [5] đã 
chứng tỏ, EEMD là một phương pháp thích hợp 
để xử lý các tín hiệu dao động không dừng và 
phi tuyến rất thường gặp trong chẩn đoán đánh 
giá công trình, nhất là các kết cấu dưới của công 
trình cầu. 
2.4 Phổ Hilbert danh định (NHS) và phổ Hilbert 
giới hạn (MHS) 
Áp dụng biến đổi Hilbert với mỗi IMF ci(t) 
nhận được (11), sẽ nhận được: 
  
 





 
 
c1 iH c t = di π - t -
 (12) 
Từ (2) và (12), sẽ nhận được một tín hiệu 
dạng giải tích: 
            
jΦ tiz t = c t + jH c t = a t ei i i i (13) 
Trong đó: 
        
2 2a t = c t +H c ti i i (14) 
  
 
 
 
 H c tiΦ t = arctani c ti
 (15) 
Từ (15) nhận được tần số tức thời của IMF tại 
thời điểm t: 
  
 dΦ tiω t =i dt
 (16) 
Sau khi thực hiện biến đổi Hilbert cho mỗi 
IMF, tín hiệu ban đầu được biểu diễn bởi phần 
thực của biến đổi Hilbert: 
          
jΦ t j ω t dtn ni ix t = RP a t e =RP a t ei ii=1 i=1
 (17) 
Trong (17) chứa cả biên độ và tần số của mỗi 
IMF như các hàm của thời gian t. Mối quan hệ 
giữa tần số - thời gian của biên độ được gọi là 
phổ Hilbert danh định (NHS) của tín hiệu: 
      
j ω t dtn iH ω,t = RP a t eii=1
 (18) 
Phổ Hilbert giới hạn (MHS) của tín hiệu, được 
định nghĩa như sau: 
    
T
h ω,t = H ω,t dt
0
 (19) 
Trong (19), T là tổng thời gian của tín hiệu. 
Như vậy về ý nghĩa có thể thấy, NHS đưa ra một 
độ đo về sự đóng góp trong biên độ của mỗi tần 
số theo thời gian, còn MHS là một phổ tần số đưa 
ra một độ đo về sự đóng góp của mỗi tần số 
trong tổng biên độ của tín hiệu đang xét. 
Từ (15), xác định được hàm pha tổng của tín 
hiệu đang xem xét: 
    
 
 
 
 
 H c tn n iΦ t = Φ t = arctani c ti=1 i=1 i
 (20) 
Φ(t) là tổng số vòng quay của tín hiệu x(t) 
trong mặt phẳng phức. Đối với một kết cấu, nó là 
một công cụ để trích xuất và biểu diễn pha tức 
thời của các sóng nội tại di chuyển trong kết cấu 
của bất kỳ thông số động lực học nào có thể đo 
đạc được của kết cấu. Đây là một thông số quan 
trọng để phát hiện hư hỏng trong kết cấu. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 29 
3. Áp dụng HHT để chẩn đoán hư hỏng trong 
kết cấu dưới của công trình cầu 
3.1 Một số luận cứ và phạm vi áp dụng HHT 
trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu xây dựng 
Như đã trình bày ở trên, biến đổi Hilbert-
Huang là một kỹ thuật biến đổi phi tuyến có nhiều 
ưu điểm và rất thích hợp với xử lý các tín hiệu phi 
tuyến và không dừng. Các luận cứ của việc áp 
dụng HHT trong chẩn đoán kết cấu xây dựng đã 
được thảo luận trong nhiều nghiên cứu [1, 4, 6, 
7]. Có thể tóm tắt ngắn gọn như sau: Ứng xử 
(tĩnh học và động học) của bất kỳ một kết cấu xây 
dựng nào khi chịu tác động của tải trọng thiết kế 
sẽ là tuyến tính và đàn hồi. Khi kết cấu bị hư 
hỏng thì độ bền của nó bị giảm xuống, và khi chịu 
tác dụng của các tải trọng, thậm chí còn nhỏ hơn 
tải trọng thiết kế, thì ứng xử của kết cấu sẽ xuất 
hiện tính phi tuyến. Sự phi tuyến của ứng xử của 
kết cấu có thể là hệ quả của các biến dạng không 
đàn hồi của vật liệu hoặc có thể là do sự thay đổi 
độ cứng của kết cấu do bị hư hỏng. Dao động đo 
được trên kết cấu gây ra bởi một kích động cho 
trước cần được tách ra thành những tần số riêng 
phần như tần số của lực kích động, tần số dao 
động tự nhiên của toàn bộ kết cấu hoặc của các 
kết cấu cục bộ, hoặc cả hai và các tần số 
nhiễu...để xem xét trong miền thời gian. Do HHT 
là công cụ duy nhất (cho đến hiện nay) có thể 
phân tích các tín hiệu phi tuyến và không dừng, 
nên sử dụng HHT có thể xác định được những 
thay đổi của các đặc tính dao động đo được trên 
kết cấu theo miền thời gian, qua đó xác định 
được vị trí và mức độ của hư hỏng. 
Theo luận cứ trên, một phương pháp khả thi 
để phát hiện vị trí và mức độ hư hỏng của cầu là 
sử dụng tải trọng tức thời di động qua cầu, ghi 
nhận và sử dụng HHT để xử lý các tín hiệu dao 
động ghi nhận đươc. Khi tải trọng này tác dụng 
trực tiếp lên các điểm hư hỏng thì ứng xử động 
học của cầu sẽ thay đổi mạnh nhất [1, 4]. 
3.2 Đề xuất trình tự tiến hành 
Dựa trên các nghiên cứu về HHT trong đánh 
giá kết cấu, trong [1] đã đề xuất trình tự tiến hành 
đối với kết cấu dưới của công trình cầu trước và 
sau khi có lũ, có thể tóm tắt như sau: 
 Trước mùa lũ, tiến hành thu thập các 
thông tin, các kết quả thí nghiệm, đo đạc, 
thử tải đã tiến hành để xác định các đặc 
trưng dao động (có thể là các tần số dao 
động riêng) được xem như một mốc so 
sánh của kết cấu cần chẩn đoán. 
 Sau mùa lũ, tiến hành đo và thu nhận tín 
hiệu dao động của kết cấu cần chẩn đoán 
dưới tác dụng của các loại xe có tải trọng 
khác nhau. 
 Sử dụng EEMD để phân tích các dao 
động nhận được khi đo dao động thành 
các IMF‘s. 
 Tiến hành tính tần số tức thời, pha tức 
thời và các đặc trưng phổ Hilbert (NHS và 
MHS) của các hàm IMF‘s. 
 Đánh giá sự thay đổi của các sóng nội tại 
qua các pha tức thời nhận được để tìm 
sự thay đổi phi tuyến của dao động qua 
đó nhận được dấu hiệu hư hỏng của kết 
cấu. 
 Nếu cầu có nhiều trụ, so sánh phổ Hilbert 
giới hạn (MHS) của các IMF của các trụ 
khác nhau dưới cùng một tải trọng xe 
chạy qua để đánh giá độ suy giảm của 
MHS và tìm ra các trụ có sự suy giảm độ 
cứng. 
 Nếu cầu có một trụ, so sánh MHS của các 
IMF‘s của trụ dưới các tải trọng xe chạy 
qua khác nhau để tìm mức độ và sự thay 
đổi phi tuyến của dao động dưới mỗi loại 
tải trọng qua đó đánh giá độ suy giảm độ 
cứng của trụ. 
 Tính toán tỷ số tần số trước và sau khi lũ 
và dựa vào các tiêu chí đánh giá để xác 
định kết cấu dưới còn an toàn hoặc đã bị 
suy giảm. 
 Nếu kết cấu không an toàn, cần tiến hành 
các bài toán nhận dạng hoặc các phương 
pháp trình bày trong [1] để chẩn đoán các 
thông số độ cứng của kết cấu. 
3.3 Một ví dụ thực tế 
Khảo sát một cầu có 2 làn xe, dầm BTCT với 
sơ đồ 3 nhịp giản đơn. Sử dụng đầu đo gia tốc 
theo 3 phương để đo dao động trụ P1 và P2 khi 
có xe tải nặng qua cầu. Kết quả đo thể hiện trên 
hình 3. Dữ liệu này không chỉ ra được bất kỳ sự 
khác biệt lớn nào giữa hai trụ khi chưa xử lý. Qua 
phân tích HHT và FFT, nhận thấy sự khác nhau 
khá lớn giữa HHT và FFT như trên hình 4. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 30 
 Hình 3. Gia tốc đo của trụ P1 và P2 
 Hình 4. Kết quả xử lý FFT và HHT 
Kết quả của FFT không thể hiện rõ sự khác 
nhau về dao động của hai trụ, FFT chỉ cho thấy 
có sự thay đổi nhỏ về biên độ, nhưng không thể 
đưa ra được nhận xét gì với sự thay đổi biên độ 
này. Trong khi đó kết quả của HHT, MHS lại chỉ 
ra được sự thay đổi mạnh về độ cứng của hai trụ. 
Điểm nhọn tần số của trụ P2 là 1,2 Hz và của trụ 
P1 là 1,6 Hz cho thấy một sự suy giảm rõ ràng 
của tần số và là dấu hiệu giảm độ cứng rõ ràng 
của kết cấu trụ P2. Vì tần số tỉ lệ với căn bậc hai 
của độ cứng kết cấu, nên tỉ số 1,6/1,2 chứng tỏ 
rằng độ cứng trụ P2 đã giảm khoảng 50%. Kiểm 
tra trực tiếp thấy rằng trụ P2 bị xói khá nhiều sau 
trận lũ lớn. 
4. Kết luận và kiến nghị 
Qua những kết quả trình bày ở trên có thể rút 
ra một số kết luận và kiến nghị như sau: 
 Biến đổi Hilbert-Huang là một phương 
pháp biến đổi có nhiều ưu điểm: Có thuật 
toán đơn giản, là phương pháp thích nghi 
dựa trên đặc tính nội tại của dữ liệu/tín hiệu 
và rất hiệu quả để các xử lý các dữ liệu/tín 
hiệu phi tuyến, không dừng, dải rộng và bị 
ảnh hưởng bởi nhiễu. 
 Đối với công trình nói chung, công trình 
cầu và kết cấu dưới của nó nói riêng, các tín 
hiệu dao động ghi nhận về ứng xử động của 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2016 31 
chúng thường là các tín hiệu phi tuyến, 
không dừng, dải rộng và bị ảnh hưởng khá 
lớn bởi nhiễu. Việc xử lý các tín hiệu này 
theo các biến đổi cũ (như FFT, WT, HT...) 
không mang lại các kết quả mong muốn. 
Những kết quả nghiên cứu đã thực hiện ở 
Hoa Kỳ, Việt Nam cho thấy HHT là một công 
cụ thích hợp để chẩn đoán các hư hỏng 
trong kết cấu dưới của công trình cầu và cần 
được tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Bùi Đức Chính (2010), Nghiên cứu áp dụng 
công nghệ và thiết bị mới trong kiểm tra, đánh 
giá và sửa chữa kết cấu dưới của các công trình 
cầu ở Việt Nam, Đề tài KH và CN trọng điểm cấp 
Bộ 2009-2010, Hà Nội, 2010. 
[2]. Cohen L. (1995), Time-Frequency Analysis : 
Theory and Applications, Prentice Hall, Inc., 
Upper saddle River, NJ, 1995. 
[3]. Huang N. E. et al (1998), “The Empirical Mode De-
composition Method and the Hilbert Spectrum for 
Non-linear and Non-stationary Time Series Analysis”, 
Proc. R. Soc. Lond , 454, pp. 903-995, 1998. 
[4]. Larry D. and Olson P. E. (2005), Dynamic 
Bridge Substructure Evaluation and Monitoring, 
Pub. No. FHWA-RD-03-089, September 2005. 
[5]. Wu Z. and Huang N. E. (2009), “Ensemble 
empirical mode decomposition: A noise-assisted 
data analysis method”, The Advances in 
Adaptive Data Analysis, Vol. 1, No. 1, pp. 1-41. 
[6]. Yang J. N., Lei Y., Pan S. W., and Huang N.E. 
(2003), “System identication of linear structures 
based on Hilbert-Huang spectral analysis; Part I: 
Normal modes”, Earthquake Engineering and 
Structural Dynamics, Vol. 32 (10), pp. 1443-1467. 
[7]. Yang J. N., Lei Y., Pan S. W., and Huang N.E. 
(2003), “System Identification of Linear 
Structures based on Hilbert-Huang Spectral 
Analysis. Part II: Complex Modes”, Earthquake 
Engineering & Structural Dynamics, Vol. 32 (10), 
pp. 1533-1554. 
Ngày nhận bài: 13/02/2016. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 26/02/2016.