Xác định năng lượng dao động của cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không đổi

Xác định năng lượng dao động của cọc 
đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không đổi 
TS. Nguyễn Đăng Cường, KS. Trương Chí Công, Hồ Sĩ Sơn 
Trường Đại học Thuỷ lợi 
I. Đặt vấn đề 
Để hoàn thiện thêm cho lớp bài toán nghiên cứu hệ số truyền năng lượng của cọc đóng trong nền đồng nhất hay 
không đồng nhất chúng ta đi tính năng lượng dao động của cọc. Trước đây một số tá c giả đã nghiên cứu về năng 
lượng dao động của cọc trong một nh tá búa ở bài toán đóng cọc trong môi trường đồng nhất, đáy cọc gặp lực chống 
không đổi, không có ma sá t mặt bên. Nội dung báo cáo này, trên cơ sở lý thuyết va chạm dọc của vật rắn vào thanh 
đàn hồi, các tá c giả sẽ x cá định vận tốc tâm khối lượng của cọc trong thời gian va chạm, xác định động năng tâm 
khối lượng và tìm năng lượng dao động của cọc đóng trong nền đồng nhất, đáy cọc gặp lực cản không đổi nhưng có 
kể đến ma sá t mặt bên. 
II. Thiết lập bài toán 
2.1. Sơ đồ bài toán 
2.2. Phương trình vi phân chuyển động của cọc 
 











K
x
u
a
t
u
2
2
2
2
2
 (1) 
Trong đó : u là dịch chuyển của cọc; K= 
EF
rq
 ; K  0 khi at - x > 0; q là lực ma sát của đất trên 
một đơn vị diện tích mặt bên; r là chu vi diện tích ngang; E, F là môđun đàn hồi và diện tích tiết 
diện ngang của cọc; 


E
a là vận tốc truyền sóng trong cọc;  là khối lượng riêng của cọc. 
2.3. Nghiệm tổng quát 
Nghiệm tổng quát của (1) ở miền 1 có dạng: 
   KatxKx
2
1
xat)t,x(u 2  (2a) 
Nghiệm tổng quát của (1) ở miền 2 có dạng: 
    2xLK
2
1
xat)t,x(u  (2b) 
Nghiệm tổng quát của (1) ở các miền khác có dạng: 
    2xLK
2
1
)xat(xat)t,x(u  (2c) 
L
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
1 3
14
1 5
1 6
17
18
1 9
20
2 1
2 2
2 3
24
2 5
2 6
27
2 8
29
3 0
3 1
3 2
3 3
3 4
t l
0 L /a 2 L /a
L /a + t l
3 L /a 4 L /a
3 L /a + t l
5 L /a 6 L /a
R
P ( t)
q
t
x
Hình 1. Sơ đồ bài toán 
2.4. Các điều kiện của bài toán 
a. Điều kiện đầu của bài toán 
Với t = 0 thì u = 0; 0
t
u



 (3) 
b. Điều kiện biên của bài toán 
+ Tại đầu cọc x = 0 thì: 
EF
)t(P
x
u



 (4) 
+ Tại đáy cọc x = L thì: 
- Cọc chưa lún: R
x
u
EF 


 và 0
t
u



 (5a) 
- Khi cọc lún thì: R
x
u
EF 


 và 0
t
u



 (5b) 
- Cọc dừng lún: R
x
u
EF 


 và 0
t
u



 (5c) 
ở đây coi lực cản R là hằng số 
Trong [3] đã xác định được lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc trong thời gian va chạm và đã 
tìm được năng lượng của búa truyền cho cọc trong một lần va chạm xác định theo công thức: 
 
vct
dt)t(V)t(P
0
A (6) 
Trong đó: A là năng lượng búa truyền cho cọc trong một lần va chạm; P(t) là lực nén của đệm 
đàn hồi lên đầu cọc trong thời gian va chạm; V(t) là vận tốc đầu cọc; tvc là thời điểm kết thúc va 
chạm. 
III. Xác định năng lượng dao dộng trong cọc 
3.1. Xác định vận tốc tâm khối lượng của cọc 
Theo định lý biến thiên động lượng, ta có:  
vct
0
0ccc dttPVMVM (7) 
Ban đầu cọc đứng yên do đó: V0 = 0  ta có:  
vct
0
cc dttPVM (8) 
Hay:  
vct
0c
c dttP
M
1
V (9) 
Trong đó : Mc là khối lượng của cọc; P(t) là lực nén của đệm lên đầu cọc. 
a. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 0  t  L/a 
     
a
L
0
22
2
4231
c
a/L
0
0
c
co
nw
tKCa
0,0,tIC0,0,tIC
M
1
dttP
M
1
V







  (10) 
b. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian L/a  t  2L/a 
      
a
L2
a
L
4433
c
a/L2
a/L
1
c
1c 0,0,tIC0,0,tIC
M
1
dttP
M
1
V   (11) 
c. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 2L/a  t  L/a+tL 
 





















 

a
L2
,
a
L2
,tI
w2
A
0,
a
L2
,tIC0,
a
L2
,tIC
M
1
dttP
M
1
V 11
0
4635
c
ta/L
a/L2
2
c
2c
L
Lt
a
L
a
L222
2
12
0
nw
tKCa2
a
L2
,
a
L2
,tI
w2
B 










 (12) 
d. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian L/a+tL  t  3L/a 
 





















 

a
L2
,
a
L2
,tI
w2
A
0,
a
L2
,tIC0,
a
L2
,tIC
M
1
dttP
M
1
V 11
1
4837
c
a/L3
ta/L
3
c
3c
L
 a
L3
t
a
L22
2
12
1
Lnw
tKCa2
a
L2
,
a
L2
,tI
w2
B










 (13) 
e. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 3L/a  t  4L/a 
  





















  a
L2
,
a
L2
,tI
w2
A
0,
a
L2
,tIC0,
a
L2
,tIC
M
1
dttP
M
1
V 11
1
4837
c
a/L4
a/L3
4
c
4c 
 a
L4
a
L312
1
a
L2
,
a
L2
,tI
w2
B









 (14) 
f. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 4L/a  t  3L/a+tL 
  





















 

a
L4
,
a
L4
,tI
w2
A
0,
a
L4
,tIC0,
a
L4
,tIC
M
1
dttP
M
1
V 11
3
412311
c
tla/L3
a/L4
5
c
5c 

























a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LB2
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w2
B
12
4
2
4
19
4
12
3 

































a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LA2
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LB4
aw
LA
11
4
2
4
20
4
32
2
4
2
4 
tl
a
L3
a
L422
2
42
2
4
2
4
nw
tKCa2
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LA4
aw
LB 


















 (15) 
g. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 3L/a+tL  t  5L/a 
 





















 

a
L4
,
a
L4
,tI
w2
A
0,
a
L4
,tIC0,
a
L4
,tIC
M
1
dttP
M
1
V 11
5
414313
c
a/L5
tla/L3
6
c
6c 

























a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LB2
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w2
B
12
6
2
6
19
6
12
5 

































a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LA2
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LB4
aw
LA
11
6
2
6
20
6
32
2
6
2
6 
a
L5
tl
a
L322
2
42
2
6
2
6
nw
tKCa2
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LA4
aw
LB


















 (16) 
h. Vận tốc tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 5L/a  t  tVC 
 





















  a
L4
,
a
L4
,tI
w2
A
0,
a
L4
,tIC0,
a
L4
,tIC
M
1
dttP
M
1
V 11
7
416315
c
tcv
a/L5
7
c
7c 

























a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LB2
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w2
B
12
8
2
8
19
8
12
7 

































a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LA2
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LB4
aw
LA
11
8
2
8
20
8
32
2
8
2
8 
aL5
tl
a
L342
2
8
2
8
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LA4
aw
LB















 (17) 
Tương tự ta xác định được vận tốc tâm khối lượng của cọc trong các miền còn lại cho đến khi kết 
thúc va chạm. 
3.2. Tính động năng của cọc theo vận tốc tâm khối lượng của nó trong thời gian va chạm 
Động năng khối tâm của cọc được xác định theo công thức: 
2
VM
T
2
cc
c  (18) 
Thay các biểu thức vận tốc đã tính được ở trên vào ta có: 
a. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 0  t  L/a 
   
2
a
L
0
22
2
4231
c
2
coc
co
nw
tKCa
0,0,tIC0,0,tIC
M2
1
2
VM
T









 (19) 
b. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian L/a  t  2L/a 
   
2
a
L2
a
L4433
c
2
1cc
1c 0,0,tIC0,0,tIC
M2
1
2
VM
T








 (20) 
c. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian2L/at L/a+tL 






















a
L2
,
a
L2
,tI
w2
A
0,
a
L2
,tIC0,
a
L2
,tIC
M2
1
2
VM
T 11
0
4635
c
2
2cc
2c 
2
t
a
L
a
L222
2
12
0 L
nw
tKCa2
a
L2
,
a
L2
,tI
w2
B













 (21) 
d. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian L/a+tL t 3L/a 






















a
L2
,
a
L2
,tI
w2
A
0,
a
L2
,tIC0,
a
L2
,tIC
M2
1
2
VM
T 11
1
4837
c
2
3cc
3c 
2
a
L3
t
a
L22
2
12
1
Lnw
tKCa2
a
L2
,
a
L2
,tI
w2
B













 (22) 
e. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 3L/a t 4L/a 






















a
L2
,
a
L2
,tI
w2
A
0,
a
L2
,tIC0,
a
L2
,tIC
M2
1
2
VM
T 11
1
4837
c
2
4cc
4c 
2
a
L4
a
L312
1
a
L2
,
a
L2
,tI
w2
B










 (23) 
f. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 4L/a t 3L/a+tL 






















a
L4
,
a
L4
,tI
w2
A
0,
a
L4
,tIC0,
a
L4
,tIC
M2
1
2
VM
T 11
3
412311
c
2
5cc
5c 

























a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LB2
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w2
B
12
4
2
4
19
4
12
3 































a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LA2
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LB4
aw
LA
11
4
2
4
20
4
32
2
4
2
4 
2
tl
a
L3
a
L422
2
42
2
4
2
4
nw
tKCa2
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LA4
aw
LB
























 (24) 
g. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 3L/a+tL t 5L/a 






















a
L4
,
a
L4
,tI
w2
A
0,
a
L4
,tIC0,
a
L4
,tIC
M2
1
2
VM
T 11
5
414313
c
2
6cc
6c 

























a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LB2
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w2
B
12
6
2
6
19
6
12
5 































a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LA2
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LB4
aw
LA
11
6
2
6
20
6
32
2
6
2
6 
2
a
L5
tl
a
L322
2
42
2
6
2
6
nw
tKCa2
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LA4
aw
LB
























 (25) 
h. Động năng tâm khối lượng của cọc trong khoảng thời gian 5L/a t 6L/a 






















a
L4
,
a
L4
,tI
w2
A
0,
a
L4
,tIC0,
a
L4
,tIC
M2
1
2
VM
T 11
7
416315
c
2
7cc
7c 

























a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LB2
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w2
B
12
8
2
8
19
8
12
7 

































a
L4
,
a
L4
,tI
aw
LA2
w4
B
a
L4
,
a
L4
,tI
w4
A
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LB4
aw
LA
11
8
2
8
20
8
32
2
8
2
8 
2
a
L5
tl
a
L342
2
8
2
8
a
L4
,
a
L4
,tI
wa
LA4
aw
LB




















 (26) 
Tương tự ta xác định được động năng tâm khối lượng của cọc trong các miền còn lại cho đến khi 
kết thúc va chạm. 
3.3. Năng lượng dao động của cọc khi va chạm 
 Gọi năng lượng dao động của cọc trong một nhát búa là A0. Ta có: 
    2c
t
0
c0 MV
2
1
dttVtPTAA
vc
  (27) 
Trong đó: A là năng lượng của búa truyền cho cọc trong một lần va chạm; 
 Tc là động năng của cọc theo vận tốc tâm khối lượng của nó trong thời gian va chạm. 
 Ta gọi hệ số truyền năng lượng dao động trong một nhát búa là , bằng tỷ số năng lượng dao 
động và năng lượng búa truyền cho cọc. Ta có: 
 C C
A T T
η = = 1
A A

 (28) 
IV. Tính toán với số liệu cụ thể 
Số liệu tính toán: 
 Đệm đầu cọc: C = 571855 N/cm, dạng không thứ nguyên 
CL
γ = = 0,185
EF
. 
 Búa: Khối lượng đầu búa: M = 1800 Kg; 
 Chiều cao rơi của búa: H = 180 cm. 
 Cọc: Mô đun đàn hồi của cọc: E = 3,11106 N/cm2; 
 Kích thước của cọc: 30301000 cm; 
 Khối lượng riêng của cọc:  = 0,024 N/cm3. 
 Đất nền: Lực ma sát mặt bên: q = 2,50 N/cm2; Lực chống tại đáy cọc: R = 297000N. 
Với số liệu đã cho dựa vào công thức xác định lực nén P(t), năng lượng của búa truyền cho cọc ở 
[3] và dựa vào công thức (18), (27) và (28) sử dụng máy tính với ngôn ngữ lập trình Pascal ta tính 
được thời điểm kết thúc va chạm tk=0,01641(s) nằm trong khoảng (5L/a ; 6L/a) và vẽ được đồ thị 
năng lượng dao động như hình 2 và đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc như hình 3: 
 (a) (b) 
Hình 2: Đồ thị năng lượng dao động 
Hình 2a: đồ thị năng lượng dao động ứng với q = 0 N/cm2. 
 Đường (1): Năng lượng búa truyền cho cọc, A1 = 2656689,33 N.cm; 
 Đường (2): Động nă ng của cọc tính theo vận tốc khối tâm của nó, T0 = 629679,24 N.cm; 
 Đường (3): Năng lượng dao động của cọc, A0 = 2133679,45 N.cm. 
Hình 2b: Đồ thị năng lượng dao động ứng với q = 2,50 N/cm2. 
 Đường (1): Năng lượng búa truyền cho cọc, A1 = 3084491,94 N.cm; 
 Đường (2): Động nă ng của cọc tính theo vận tốc khối tâm của nó, T0 = 651096,56 N.cm; 
 Đường (3): Năng lượng dao động của cọc, A0 = 2539888,15 N.cm. 
 (a) (b) 
Hình 3: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc 
Hình 3a: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc ứng với trường hợp thay đổi khối 
lượng đầu búa. 
 Các đường (4), (5) và (6): Các đường biểu thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc 
ứng với các khối lượng đầu búa: 1200 Kg; 1500 Kg; 1800 Kg. 
Hình 3b: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc ứng với trường hợp thay đổi lực ma 
sát mặt bên. 
 Các đường (7), (8) và (9): Các đường biểu thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc 
ứng với các lực ma sát mặt bên: 1,50 N/cm2; 2,50 N/cm2; 3,50 N/cm2. 
Gamma = 0.185 ; MS mat ben = 1.50 N/cm2 ; 2.50 N/cm2 ; 3.50 N/cm2 
 (a) (b) 
Hình 4: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc 
Hình 4a, 4b: Đồ thị hệ số truyền năng lượng dao động của cọc ứng với các trường hợp lực ma sát mặt bên 
q = 0 N/cm2 và 2,50 N/cm2. 
V. Kết luận 
Trên cơ sở lý thuyết sóng một chiều nghiệm Đalambe các tác giả đã xét bài toán va chạm của búa 
vào cọc qua đệm giảm chấn tuyến tính, cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không 
đổi. Từ cơ sở trên các tác giả đã tính được năng lượng dao động trong cọc dưới dạng biểu thức giải 
tích, sau đó sử dụng máy tính với ngôn ngữ Pascal đã tính được vận tốc khối tâm, động năng của cọc 
theo vận tốc khối tâm và năng lượng dao động trong cọc và rút ra nhận xét: 
 Khi tăng khối lượng đầu búa thì năng lượng dao động trong cọc tăng. 
 Khi có thêm lực ma sát ở mặt bên thì năng lượng dao động trong cọc giảm. 
 Lực ma sát mặt bên tă ng dần thì năng lượng dao động trong cọc giảm dần. 
 Bài toán đóng cọc trong môi trường đồng nhất, đáy cọc gặp lực cản không đổi, có ma sát mặt 
bên thì có năng lượng dao động trong cọc nhỏ hơn ở bài toán đóng cọc trong môi trường đồng nhất, 
đáy cọc gặp lực cản không dổi nhưng không có ma sát mặt bên. 
(Công trình này được sự tài trợ của Viện KH&CN Việt Nam - Bộ KH&CN) 
Tài liệu tham khảo 
[1]. Nguyễn Thúc An, 1975. Lý thuyết va chạm dọc của thanh và ứng dụng vào thi công móng cọc. 
Trường Đại học Thuỷ lợi, Hà Nội. 
[2]. Nguyễn Thúc An, 1999. áp dụng lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi vào bài toán cọc. 
Trường Đại học Thuỷ lợi, Hà Nội. 
[3]. Nguyễn Đăng Cường, 2000. Nghiên cứu trạng thái ứng suất của cọc và chọn đầu búa theo lý 
thuyết va chạm, Luận án TSKT, Hà Nội. 
[5]. Nguyễn Đăng Cường, Trương Chí Công, Nguyễn Ngọc Huyên, 2002. Xác định năng lượng dao 
động của cọc. Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VII, Hà Nội. 
[6]. Quách Tuấn Ngọc, 1996. Ngôn ngữ lập trình Pascal, Hà Nội. 
Abstract: Agitation - energy of the pile, which was driven into homogeneous foundation and the 
bottom of the pile met constant resistance - force. Based the one - way wave theory, authors defined 
agitation - energy of the pile, which was driven into homogeneous foundation. Friction of the side face of 
the pile were constant and the bottom met constant resistance - force R. In this article, writers defined 
compressible force’s work of elastic matress, kinetic energy of weighting center and agitation - energy of 
the pile.