Bài giảng Các phương pháp số - Chương 1: Chương mở đầu - Trường ĐH Kiến trúc Hà Nội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI
KHOA XÂY DỰNG
BỘ MÔN SỨC BỀN – CƠ HỌC KẾT CẤU
-------***-------
BÀI GIẢNG MÔN HỌC
CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ
HÀ NỘI 2-2017
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ
Nội dung môn học
Chương 1: Chương mở đầu
Chương 2: Phương pháp sai phân hữu hạn
Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn (mô hình chuyển
vị)
Chương 4: Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (mô hình
chuyển vị) cho bài toán hệ thanh.
2
CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU
Khái niệm vê ̀ tính toán kết cấu
3
XÁC ĐỊNH 
XÁC ĐỊNH SƠ ĐỒ 
TÍNH, TẢI TRỌNG
TÍNH TOÁN KẾT 
CẤU(TÍNH NỘI 
LỰC, CHUYỂN VỊ)
THIẾT KẾ
THI CÔNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU
KHÁI NIỆM VỀ TÍNH TOÁN KẾT CẤU
Một vật thể khi chịu tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài (tải
trọng, chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa, nhiệt độ ) thi ̀ trong
vật thê ̉ :
- Xuất hiện các ứng suất (nội lực)
- Biến dạng (thẳng, xoay)
- Chuyển vị
 Tính toán kết cấu: xác định các giá trị biến dạng, chuyển vị, ứng
suất (nội lực) của vật thê ̉ chịu tác động của các nguyên nhân bên
ngoài.
4
CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU
CÁC BƯỚC TÍNH TOÁN KẾT CẤU
 Xây dựng bài toán:
• Xác định ẩn sô ́ của bài toán
• Thiết lập các phương trình, bất phương trình, các liên hệ giữa
các ẩn sô ́, các liên hệ với các đại lượng biểu thi ̣ tính chất cơ lý
của vật liệu.
 Giải bài toán:
• Giải các hê ̣ phương trình, hệ bất phương trình để có được các
gia ́ trị biến dạng, chuyển vị, ứng suất va ̀ nội lực.
5
CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU
6
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC 
VẬT RẮN BIẾN DẠNG
CÁC PHƯƠNG 
PHÁP GIẢI TÍCH
CÁC PHƯƠNG 
PHÁP SỐ
CÁC PP 
CHÍNH 
XÁC
CÁC PP 
GẦN 
ĐÚNG
PP 
PHẦN 
TỬ BIÊN
PP SAI 
PHÂN 
HỮU 
HẠN
PP 
PHẦN 
TỬ HỮU 
HẠN
CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU
CHƯƠNG 1: CHƯƠNG MỞ ĐẦU
1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ
1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT
ĐÀN HỒI DƯỚI DẠNG MA TRẬN
1.3. NGUYÊN LÝ DỪNG THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
7
1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ
• Khái niệm về PPS: là các PP thay thê ́ việc trình bày nghiệm
của bài toán dưới dạng các hàm cổ điển bằng một tập hợp
số.
• Nghiệm được xác định tại một số hữu hạn các điểm của vật
thể, hay nói khác đi nghiệm được mô tả theo một tập hợp
số, các điểm còn lại xác định bằng cách nôi suy.
• Thay thế cho các hàm nghiệm liên tục (giải tích), chỉ xác
định những gia ́ trị rời rạc của nó nên phương pháp số còn
được gọi là phương pháp rời rạc hóa.
8
1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ
9
CÁC PHƯƠNG PHÁP RỜI RẠC HÓA
RỜI RẠC HÓA TOÁN HỌC
Rời rạc hóa các phương
trình
Phương trình thỏa mãn tại
một số điểm tự chọn.
Nghiệm là tập hợp các gia ́ trị
của ẩn tại các điểm tự chọn.
PP sai phân hữu hạn
RỜI RẠC HÓA VẬT LÝ
Rời rạc hóa các mô hình vật
thể.
Vật liên tục thay thế bằng hữu
hạn các phần tử rời rạc nối
với nhau tại các nút.
Nghiệm là tập hợp các gia ́ trị
của ẩn tại các nút.
PP phần tử hữu hạn
1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT 
ĐÀN HỒI DƯỚI DẠNG MA TRẬN
CÁC MỐI LIÊN HỆ TRONG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
• CHUYỂN VỊ – BIẾN DẠNG
• BIẾN DẠNG – ỨNG SUẤT
• ỨNG SUẤT – TẢI TRỌNG
10
1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT 
ĐÀN HỒI DƯỚI DẠNG MA TRẬN
• Trạng thái biến dạng tại một điểm
• Chuyển vị tại một điểm
   
T
x y z xy yz zx       
• Trạng thái ứng suất tại một điểm
   
T
x y z xy yz zx       
   
T
u u v w
11
1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT 
ĐÀN HỒI DƯỚI DẠNG MA TRẬN
Đại lượng 
cần tìm 
Bài toán 3 chiều Bài toán 
2 chiều 
Bài toán 
1 chiều 
Chuyển vị  u 
ứng suất   
Biến dạng   
Tổng số ẩn 
u v w 
x y z xy yz zx      
x y z xy yz zx      
15 
u v 
x y xy   
x y xy   
8 
u 
x 
x 
3 
12
1.2.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH BIẾN DẠNG – CHUYỂN VỊ
PHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC
a) Bài toán 3 chiều
: ma trận các toán tử vi phân
b) Bài toán 2 chiều
c) Bài toán một chiều
13
x xy
y yz
z zx
u v u
;
x x y
v w v
;
y y z
w u w
;
z z x
  
    
  
  
    
  
  
    
  
x
y
z
xy
yz
zx
/ x 0 0
0 / y 0
u
0 0 / z
v
/ y / x 0
w
0 / z / y
/ z 0 / x
    
                 
    
        
       
   
      
    u   
x
y
xy
/ x 0
u
0 / y
v
/ y / x
    
    
       
          
x
u
x

 

1.2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG 
ĐỊNH LUẬT HÚC
a) Bài toán 3 chiều
G - môđun đàn hồi trượt 
E - môđun đàn hồi dọc trục 
v - hệ số Poisson 
14
 
 
 
x x y z xy xy
y y x z yz yz
z z y x zx zx
1 1
v ;
E G
1 1
v ;
E G
1 1
v ;
E G
          
 
           
          
 
 
 
 
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx zx
1 v v 0 0 0
v 1 v 0 0 0
v v 1 0 0 01
0 0 0 2 1 v 0 0E
0 0 0 0 2 1 v 0
0 0 0 0 0 2 1 v
      
          
         
     
     
     
    
         
     
1
D

        D .  
1.2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG 
ĐỊNH LUẬT HÚC
là ma trận đàn hồi, chứa các đặc trưng đàn hồi của kết cấu 
15
 
  
 
 
 
 
 
 
1 2v 2v 2v 0 0 0
2v 1 2v 2v 0 0 0
2v 2v 1 2v 0 0 0E
D
0 0 0 1 2v 0 02 1 v 1 2v
0 0 0 0 1 2v 0
0 0 0 0 0 1 2v
 
 
 
 
  
   
 
 
  
1.2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG 
ĐỊNH LUẬT HÚC
b) Bài toán 2 chiều
• Trạng thái phẳng về ứng suất: vật thể có dạng tấm có chiều dầy nhỏ so với kích
thước của 2 chiều còn lại và tải trọng trong mặt phẳng của tấm.
Kí hiệu xOy là hệ trục nằm trong mặt phẳng của tấm và Oz là trục vuông góc với
mặt đó. Thừa nhận các giả thiết dưới đây với ứng suất:
16
z zx zy 0     
 
x x y
y y x
xy yx xy xy
1
v
E
1
v
E
2 1 v 1
E G
      
      

      
 
x x
y y
xy xy
1 v 0
1
v 1 0
E
0 0 2 1 v
      
    
       
         
   
zx zy
z x y x y
0
v v
E 1 v
   

         

 
  
x x
y y2
xy xy
2 2v 0
E
2v 2 0 D
2 1 v
0 0 1 v
     
    
                 
 
 2
2 2v 0
E
D 2v 2 0
2 1 v
0 0 1 v
 
 

 
  
1.2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG 
ĐỊNH LUẬT HÚC
b) Bài toán 2 chiều
• Trạng thái phẳng về biến dạng : vật thể có tiết diện ngang không đổi và chiều
dài lớn so với kích thước của 2 chiều còn lại, tải trọng tác dụng vuông góc với
trục dài của vật thể. 
Gọi xOy là hệ trục song song với mặt phẳng của tiết diện ngang. Thừa nhận các
giả thiết sau:
c) Bài toán 1 chiều
17
z zx zy
u v
w 0; 0; 0
z z
 
        
 
x x
y y
xy xy
1 v v 0
1 v
v 1 v 0
E
0 0 2
       
     
        
         
  
 
 
x x
y y
xy xy
2 1 v 2v 0
E
2v 2 1 v 0
2 1 v 1 2v
0 0 1 2v
      
    
                 
 
  
 
 
2 1 v 2v 0
E
D 2v 2 1 v 0
2 1 v 1 2v
0 0 1 2v
 
 
   
  
 zx zy z x y0; v         
x x x x
1
E.
E
      
1.2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ỨNG SUẤT – TẢI TRỌNG
a) Bài toán 3 chiều
Phương trình cân bằng theo 3 trục x, y, z
ma trận các toán tử vi phân
18
x
z
y
x
xz
xy
xz
xy +(jxy /jx)dx
+(jxz /jx)dx
x+(jx /jx)dx
y
yz
yx
y
yz
yx
+(jy /jy)dy
+(jyx /jy)dy
+(jyz /jy)dy
z
zy
zx
+(jz /jz)dz
+(jzx /jz)dz
+(jzy /jz)dz
z
zy
zx
dx
dy
dz
xyx xz
x
yx y yz
y
zyzx z
z
0
x y z
0
x y z
0
x y z
 
    
  
  
    
  
 
    
  
x
y
x
z
y
xy
z
yz
zx
/ x 0 0 / y 0 / z 0
0 / y 0 / x / z 0 0
0 0 / z 0 / y / x 0
 
 

                   
                                
 
  
       
T
0    
1.2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ỨNG SUẤT – TẢI TRỌNG
Phương trình cân bằng trên bê ̀ mặt – điều kiện biên tĩnh học
l, m, n - các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài 
của mặt vật thể đàn hồi tại điểm đang xét; 
qx , qy , qz - các thành phần ngoại lực theo 3 trục x, y, z 
tác dụng trên một đơn vị diện tích mặt ngoài của vật thể đàn hồi. 
 L - ma trận cosin chỉ phương của pháp tuyến 
ngoài của mặt vật thể đàn hồi 
19
x xy xz x
yx y yz y
zx zy z z
l m n q
l m n q
l m n q
     
     
     
x
y
x
z
y
xy
z
yz
zx
l 0 0 m 0 n q
0 m 0 l n 0 q
0 0 n 0 m l q
 
 

          
             
 
  
     L . q 
1.2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ỨNG SUẤT – TẢI TRỌNG
b) Bài toán 2 chiều
Phương trình cân bằng
Điều kiện biên tĩnh học
c) Bài toán 1 chiều
20
xyx
x
yx y
y
0
x y
0
x y

   
 
 
   
 
x
x
y
y
xy
/ x 0 / y 0
0 / y / x 0
 
         
                 
 
x xy x
yx y y
l m q
l m q
   
   
x
x
y
y
xy
ql 0 m
q0 m l
 
    
     
    
 
x
x 0
x

 

1.2.4. CÁC PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH
a) Bài toán 3 chiều b) Bài toán 2 chiều
21
2 22
y xyx
2 2
2 22
y yzz
2 2
2 2 2
z x zx
2 2
2
xy yzx zx
2
y yz xyzx
2
xy yzz zx
y x x y
z y z y
x z x z
1
y z 2 x z x y
1
x z 2 y x y z
1
y x 2 z y z x
    
 
   
    
 
   
     
 
   
    
   
      
    
   
      
    
   
      
2 22
y xyx
2 2y x x y
    
 
   
1.3. NGUYÊN LÝ DỪNG THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Vật thê ̉ đàn hồi V
Diện tích mặt chịu tải Sb
Diện tích bê ̀ mặt có điều kiện biên Sn
Lực thể tích trên 1 đơn vị thể tích
Lực bề mặt trên 1 đơn vị diện tích
Công ngoại lực trên các chuyển dời {u}:
Vectơ chuyển vị:    
T
u u v w 
Vectơ ứng suất:    
T
x y z xy yz zx        
Vectơ biến dạng:    
T
x y z xy yz zx        
22
y
x
z
V
Sb
Sn
(X,Y,Z) (Xb,Yb,Zb)
   
T
X Y Z 
   
T
b b bq X Y Z
           
T T
b b b
V S V S
W u dV u q dS Xu Yv Zw dV X u Y v Z w dS           
1.3. NGUYÊN LÝ DỪNG THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
Thế năng biến dạng đàn hồi:
Thế năng toàn phần của hệ:  = U - W
Nguyên lý dừng thế năng toàn phần
Trong tất cả các trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động (tức
thoả mãn các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học); trường
chuyển vị thực (tức trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật
thể) sẽ ứng với thế năng toàn phần  của hệ đạt giá trị dừng.
({u}) =  U({u}) - W({u}) = 0 
23
   
T
V
1
U dV
2
  