Bài giảng Cơ học kết cấu - Chương 4: Cách xác định chuyển vị trong hệ thanh đàn hồi tuyến tính

Chương 4
CÁCH XÁC ðỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ 
THANH ðÀN HỒI TUYẾN TÍNH
BỘ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO
TRƯỜNG Cð CN& QT SONADEZI
-------------------
BÀI GiẢNG: CƠ HỌC KẾT CẤU
ThS. VÕ XUÂN THẠNH
I/. Khái niệm 
1/. ðịnh nghĩa:
Biến dạng là sự thay đổi hình dạng, kích thước
của các phân tố dưới tác dụng của tải trọng 
hoặc các tác động của các nguyên nhân khác
Biến dạng của một cơng trình là do kết quả
biến dạng của các phân tố trong các cấu kiện 
của cơng trình 
2
Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của các điểm trên 
cơng trình khi cơng trình bị biến dạng 
Một phân tố trong cơng trình cĩ 3 khả năng:
•Khơng chuyển vị mà cĩ biến dạng (xét phân tố A)
•Cĩ chuyển vị và cĩ biến dạng (xét phân tố 2)
•Cĩ chuyển vị nhưng khơng cĩ biến dạng (xét phân tố 3)
A 2 3
3
2/. Phân loại chuyển vị:
•Chuyển vị thẳng của một điểm 
•Chuyển vị xoay của tiết diện tại 
một điểm đang xét 
a/. Các nguyên nhân gây ra chuyển vị:
•Tải trọng tác dụng 
•Sự thay đổi của nhiệt độ
•Sự chuyển vị cưởng bức của các gối tựa
4
K
K’
ϕ
• II/. Vận dụng biểu thức thế năng để xác định 
chuyển vị : 
• 1/.Cách tính trực tiếp từ biểu thức thế năng:
• Cách tính nầy chỉ áp dụng tính chuyển vị tại vị
trí lực tập trung P
Vậy : 
P
UPTU 2.
2
1
=∆⇔∆==






−−−−=−= ∑∫∑ ∫∑∫ dsEF
Nds
GF
Qds
EJ
MAU
222
*
222
υ






++=∆ ∑∫ ∑∫∑∫ dsEF
Nds
GF
Qds
EJ
M
P 222
2 222
υ
5
P
z
PzM −=
l
( )
EJ
Pldz
EJ
Pz
P
ds
EJ
M
P
l
32
2
2
2 3
0
22
=
−
=





=∆ ∫∑∫
Ví dụ : 
6
2/. Cách xác định theo định lý Castiglinato:
Phát biểu định lý: đạo hàm riêng thế năng biến 
dạng đàn hồi theo lực Pk nào đĩ sẽ bằng chuyển vị 
tương ứng với phương và vị trí của lực Pk đĩ
k
k P
U
∂
∂
=∆






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆ ∑∫∑ ∑∫∫ dsP
N
EF
Nds
P
Q
EG
Qds
P
M
EJ
M
kkk
k ... υ
7
P
z
PzM −=
l
( ) ( )
EJ
Pldzz
EJ
Pzds
P
M
EJ
M l
k 3
3
0
=−
−
=





∂
∂
=∆ ∫∑∫
Ví dụ: xét ví dụ trước 
8
* Chú ý: 
• Nếu thì chuyển vị cùng chiều với Pk và 
ngược lại 
• Nếu tải trọng là lực phân bố cĩ thể thay thế
bằng lực tập trung để tính 
• Trường hợp Pk là mơ men tập trung thì chuyển 
vị tương ứng là chuyển vị xoay 
• Nếu cần tìm chuyển vị tại vị trí nào đĩ thì cĩ thể 
đặt thêm lực Pk tại vị trí đĩ. Sau khi xác định 
được chuyển vị thì cho Pk =0 sẽ được kết quả
cần tìm
0>∆k
9 10
III/. Cơng thức tổng quát xác định chuyển vị của 
hệ thanh ( cơng thức Maxwell-Morh 1874)
a/. Ký hiệu chuyển vị : Pk
Trạng thái “k”
q
Trạng thái “m”
1/. Cơng thức 
( ) dsM
h
ttdsNt
ds
EF
NNds
GF
QQds
EJ
MM
zRP
k
mm
kcm
mkmkmk
jmjkkmk
∑∫∑∫
∑∫∑∫∑∫∑
−
+
+++=+∆
12
.
α
α
υ
Chia 2 vế cho Pk , ta cĩ :
( ) dsM
h
ttdsNt
ds
EF
NNds
GF
QQds
EJ
MM
zR
k
mm
kcm
mkmkmk
jmjkkm
∑∫∑∫
∑∫∑∫∑∫∑
−
+
++++−=∆
12
.
α
α
υ
11
12
Là chuyển vị tại liên kết j ở trạng thái “m”
jmZ
Là phản lực tại liên kết j tương ứng với 
chuyển vị do lực Pk=1 gây ở “k”
jmR
jmZ
0. >jmjm ZR Khi và cùng chiều jmZ jmR
mmm NQM ,, Nội lực ở trạng thái “m”
kkk NQM ,, Nội lực ở trạng thái “k” do Pk =1 gây ra 
+
+
+
+
+
* Các chú ý 
+ cơng thức Morh chỉ áp dụng cho hệ gồm 
những thanh thẳng hoặc cong với độ cong bé
5
1≤
r
h
+Khi tính hệ ở trạng thái ‘’k’’ chỉ cần đặt lực Pk =1 
+ nếu cần tìm chuyển vị thẳng thì Pk là lực tập trung 
+ nếu tìm chuyển vị gĩc xoay thì Pk là mơ men tập 
trung
13
+ nếu kết quả 0>∆km Thì chuyển vị cùng chiều với 
Pk đã giả định và ngược lại 
14
2/. Vận dụng cơng thức Morh vào các bài tốn 
chuyển vị
a/. Hệ dầm và khung chịu tải trọng 
Trong hệ dầm và khung chịu ảnh hưởng của 
biến dạng đàn hồi dọc và trượt là rất nhỏ so với 
biến dạng uốn , nên trong tính tốn thường cho 
phép bỏ qua ảnh hưởng của chúng ,
lúc nầy ta cĩ
15
Ví dụ 2.1 : xác định chuyển vị thẳng đứng tại B . 
Cho biết độ cứng của thanh dầm E.J =const
16
Giải :
17
Ví dụ 2.2 : xác định chuyển vị ngang tại B , cho biết 
độ cứng của các thanh là như nhau và EJ = const
18
19
b/. Hệ dàn khớp chịu tải trọng 
Trong hệ dàn , các thanh chỉ tồn tại lực dọc , nên: 
Các đại lượng F.E,N,N mk
Thường bằng const đối với từng thanh dàn . Suy ra:
20
Ví dụ 2.3: Xác định chuyển vị
nằm ngang tại mắt dàn số 5, 
cho biết độ cứng trong các 
thanh dàn là như nhau và
EF= const
21
Giải 
22
Trạng thái “m”
Xác định Nim. Kết quả thể hiện 
trong bảng 
Trạng thái “k”
Xác định Nik. Kết quả thể hiện 
trong bảng 
∑= i
i
imik l
EF
NN
x5
( ) 02611 >+==∆ ∑ EFd.plEFNN imikkm
23
c/. Hệ tĩnh định chịu chuyển vị cưỡng bức tại các 
gối tựa:
Nguyên nhân nầy khơng gây ra nội lực trong hệ
tĩnh định nên N=M=Q= 0, nên : 
24
Ví dụ 2.4: xác định độ võng tại B và gĩc xoay tại C 
25 26
[ ] [ ] ϕϕϕ .2.1.2.. aaVMZRy AAjmjkB −∆=∆−−=∆−−−=−= ∑
27
d/. Hệ tĩnh định chịu biến thiên nhiệt độ:
Nguyên nhân nầy cũng khơng gây ra nội lực 
trong hệ tĩnh định 
28
Nếu constt,t,h, mm =α 12 trên từng đoạn thì :
T2m ,t1m ,tcm là biến thiên nhiệt độ thớ dưới , thớ
trên và thớ giữa của thanh 
( ) ( )kk N,M ΩΩ Là diện tích của biểu đồ ( ) ( )kk N,M
trên từng đoạn thanh 
( ) ( )kk N,M ΩΩ lấy dấu theo dấu của biểu đồ ( ) ( )kk N,M
29
Ví dụ 2.5: xác định độ võng tại tiết diện k của hệ
cho trên hình vẽ , cho biết 
cmh;cmh;C).,( BCABo 20301021 15 ===α −−
30
Giải
31
VI/. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu đồ
(Veraxaghin)
1/. Cơng thức tính chuyển vị :
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )mkmkmkkcmkmmjmjkkm QQNNMMNtMtthzR +++Ω+Ω−+−=∆ ∑∑∑ .. 12 α
α
kkk NQM ,, Là các biểu đồ nội lực do đơn vị Pk=1gây ra cho hệ trong trạng thái ”k”
mmm N,Q,M Là các biểu đồ nội lực do riêng tải trọng (đã cho)
gây ra cho hệ trong trạng thái ”m”
32
constt,t,h, mm =α 12 trên từng đoạn thì:
Chú ý :
Các đại lượng 1/EJ ; 1/EF ; 1/GF tuy khơng viết 
trong biểu thức nhưng cần hiểu ngầm là vẫn tồn 
tại, khi tính phải thêm các đại lượng đĩ vào 
Trong biểu thức khơng viết dấu ∑
nhưng cũng cần hiểu là phải nhân biểu đồ trong 
tồn hệ
33
yMM mk .. ω=Tích số :
Nghĩa là : nếu cĩ một trong hai biểu đồ cĩ dạng đường 
thẳng thì tích số
mk MM . bằng tích của diện tích biểu đồ
ωdiện tích Với tung độ y của biểu đồ cĩcĩ dạng bất kỳ
dạng đường thẳng lấy tại vị trí tương ứng với trọng tâm của 
Diện tích ω
34
mkmk NNQQ .;.Các tích số Cũng tính tương tự
Tính chuyển vị cho dầm, khung , ảnh hưởng của lực cắt 
và lực dọc thường rất nhỏ, cĩ thể bỏ qua, do đĩ
( )( )mkkm MM=∆
Khi tính chuyển vị cho dàn ,vì M=0,Q=o nên ( )( )mkkm NN=∆
35
2/. Cách tạo trạng thái k
Pk=1 Pk=1
Chuyển vị thẳng đứng Chuyển vị ngang 
mk=1
Chuyển vị xoay 
Pk=1
Pk=1
CV thẳng tương đối 
giữa 2 điểm
mk=1
mk=1
 CV xoay tương đối 
giữa 2 điểm
36
3/. Cách nhân biểu đồ
y.ω
1ω
Mang dấu dương nếu hai biểu đồ cùng một phía 
của trục thanh . Ngược lại mang dấu âm
Những chú ý khi nhân biểu đồ
y1
y2
C1 C2
2ω
y1
1ω
2ω 3ω
4ω
5ω
y2 y3 y4
2211 yyy ωωω −= 5544332211 yyyyyy ωωωωωω −−−+=
37
Nếu biểu đồ lấy diện tích cĩ hai dấu thì cĩ thể xem 
Diện tích là hiệu quả của hai diện tích và
ω
ω
1ω 2ω
y1 y2
1ω
2ω
2211 yyy ωωω −=
a
b c
1ω Diện tích tam giác abc
2ω Diện tích hình prabol ac
38
Ví dụ 3.1: Xác định độ võng tại B. chỉ xét biến 
dạng uốn . Cho biết EJ =const
39
Giải
40
Ví dụ 3.2: xác định chuyển vị thẳng đứng tại B. 
Chỉ xét biến dạng uốn. Cho biết EJ = const 
41
Giải
42
EJ
PlPlll
EJ
llPl
EJ
yB
3
.
24
5
42
.
1
3
2
2
1
=




×
−




×
=
Ví dụ 3.3: xác định chuyển vị thẳng đứng của 
điểm E. Biết EJ = const
l/2
l
E
q
43
L/2 L
E
q
8
ql 2
1ω
2ω 32
ql
2
l
3
2
hL
3
2 2
1 ××=×=ω
32
3ql 2
16
ql 2
32
ql 2
8
l
32
ql
2
l
3
2
y
2
11 ×××=× )(ω
)()(
4
l
3
2
2
1
2
l
8
ql
y
2
22 ××××=×ω
43
2
2
ly ×=
4
2211km ql
EJ384
5
y2y2
EJ
1
=××+××== )( ωω∆∆E
P=1
4
l
4
l
8
ly =1
44
Ví dụ 3.4: xác định chuyển vị thẳng đứng tương 
đối giữa hai tiết diện B và D theo phương nối 
hai điểm đĩ. Cho biết EJ = const và như nhau 
cho tất cả các thanh. Chỉ xét ảnh hưởng của 
biến dạng uốn.
45
Giải 
( )( ) 0.
48
2
2
2.
.
4
1
.
2
.
3
11
.
32
>=







×





×==∆
EJ
qlllql
EJ
MM mkBD
46
2m
P=6kN M=8kN.m
4m
4m
q=2kN/m
A
Tính chuyển vị ngang và chuyển vị xoay tại A
Bài tập
EJ
2EJ
EJ
Bài 1 
47
2m
P=6kN
4m
4m
A
Tính chuyển vị ngang và chuyển vị đứng tại A
2EJ
2EJ
EJ
Bài 2
48