Bài giảng Cơ học môi trường liên tục (Bản full) - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội

g là ρ . 
Chịu tác dụng của áp lực nước như hình 
5.10. Hãy xác định trạng thái ứng suất trong 
tường (chọn hàm ứng suất là hàm đa thức 
bậc 3: 3 2 2 3(x, y) ax bx y cxy dyϕ = + + + với 
a, b, c, d là các hằng số) 
Hình 5.10 
y
x 
o
A B
q=γy
y
α
h
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
228 
Bài 5.3 
Xét tường chắn có trọng lực 
riêng là ρ . Chịu tác dụng của các lực 
như hình 5.11. Hãy xác định trạng 
thái ứng suất trong tường (chọn hàm 
ứng suất là hàm đa thức bậc 3: 
3 2 2 3(x, y) ax bx y cxy dyϕ = + + + với 
a, b, c, d là các hằng số) 
Hình 5.11 
y
x 
o
A B
q =γy y
α
q =γy/2
1
2
β
h
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
229 
Bài 5.4 
Bằng phương pháp sai phân vơi bước chia đều là a. Hãy xác định ứng suất tại điểm K 
của tấm chịu lực như hình vẽ 5.12. 
 Hình 5.12 Hình 5.13 
Bài 5.5 
Bằng phương pháp sai phân vơi bước chia đều là a. Hãy xác định ứng suất tại điểm K 
của tấm chịu lực như hình vẽ 5.13. 
a
a
a a
K
q
t t
q1
a
a
a a
K
q
a a
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
230 
Chương 6: BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CỰC 
Khi nghiên cứu tính toán cho các bài toán vành tròn, đĩa v.v nếu dùng hệ trục tọa độ 
Descartes mô tả các đại lượng (ứng suất, biến dạng) thì không thuận tiện bằng mô tả trong 
hệ trục tọa độ cực. Ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày, 
các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm 
 Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán kính r. 
6.1 Các phương trình cơ bản 
6.1.1. Các phương trình vi phân cân bằng : 
 Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,θ,z), ta cắt ra 1 
phân tố giới hạn bằng 6 mặt. 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
231 
y
x
z
r dr
1
o
θ
θd
 - 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr. 
 - 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ. 
 - 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị 
Hình 6.1 
y
x 
o θ
dθ
r
dr
σr + σr
 r
 dr
τθr + τθr
 r
 dr
σr
τθr
σθ
τrθ
τrθ+ τrθ
 θ dθ
σθ+ σθ
 θ dθ
d
a
b
c
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
232 
Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét A(r,θ,z) và 
vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau: 
 - Các mặt nhận r làm pháp tuyến: 
 + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σr, 
rθ
τ . 
 + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành phần ứng 
suấ: rr d
θ
∂σ
σ + θ
∂ , 
r
r dθθ
∂τ
τ + θ
∂θ 
 - fr, fθ : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp tuyến. 
Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 6.1 : 
r
r r
r
r r r
d d
r 0 .r.d .1 ( dr)(r dr).d .dr.1.sin ( d ).dr.1.sin
r 2 2
d d
.dr.1.cos ( d )dr.1.cos f .r.d .dr 0
2 2
θ
θ θ
θ
θ θ
∂σ∂σ θ θΣ = ⇔ − σ θ + σ + + θ− σ − σ + θ −
∂ ∂θ
∂τθ θ
τ + τ + θ + θ =
∂θ
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
233 
Vì biến dạng bé nên d dsin ;
2 2
θ θ
≈
d
cos 1
2
θ
≈
 Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được: 
r rr
r
1 f 0
r r r
θ θσ σ−∂σ ∂τ+ + + =
∂ ∂θ (6.1) 
 Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được 
r r1 2 f 0
r r r
θ θ θ
θ
∂τ ∂σ τ
+ + + =
∂ ∂θ (6.2) 
 + Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : 
r r
=
θ θ
τ τ (6.3) 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
234 
6.1.2. Các phương trình hình học: 
Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là: u, v. 
Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là: 
u
u dr
r
∂
+
∂ và 
v
u dr
r
∂
+
∂ 
Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là: 
u
u d∂+ θ
∂θ và 
v
v dv∂+
∂θ 
Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ 
Hình 6.2 
* Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng ABCD trở 
thành A’B’C’D’ (hình 6.2): 
+ Các biến dạng dài tương đối: 
o
C
A
B
D
x
y
A '
B '
D '
C 'E '
U
dr
r
u
u
∂
∂
+
θ
θ
duu
∂
∂
+
1γ
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
235 
r
u(u dr) u dr drA 'B' AB ur ;
AB dr r
A 'C' AC (r u)d rd u
AB rd rθ
∂
+ − + −
− ∂∂ε = = = ∂

− + θ − θ
ε = = = θ
 (6.4a) 
 + Biến dạng góc: 
' ' '
1
u(u d ) u 1 uC A E
rd r
∂
+ θ − ∂∂θγ = = =
θ ∂θ
 (6.4b) 
* Biến dạng do v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến 
dạng ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’ (hình 6.3): 
+ Các biến dạng dài tương đối: 
v(v d ) v d dA ''C '' AC 1 v
AC dr rθ
∂
+ θ − + θ − θ
− ∂∂θε = = =
θ ∂θ
(6.5a)
Hình 6.3 
C''
v+
A
v
D''
 r
B
v
x 
N
B''
D
y
o
A''
dr
C
M
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
236 
+ Biến dạng góc: 
 1
v(v dr) v
v v vv(B''A ''M ') (NA ''M '')
dr r r r
∂
+ − ∂∂γ = − = − = −
∂
 (6.5b) 
Trong (6.5b) thành phần v(NA''M '')
r
= là sự quay toàn phần của phân tố ABCD đối 
với điểm O. 
Cộng (6.4) và (6.5) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong tọa độ 
cực: 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
237 
r
r 1 2
u
r
u 1 v
r r
1 u v v
r r r
θ
θ
∂
ε = ∂
 ∂
ε = + ∂θ
∂ ∂γ = γ + γ = + − ∂θ ∂
 (6.6) 
6.1.3. Các phương trình vật lý: 
Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke trong tọa độ 
Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ: 
 a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: 
r r
r
r
r r
1 ( – )
E
1 ( – )
E
2(1 )
G E
θ
θ θ
θ
θ θ

ε = σ υσ


ε = σ υσ

τ + υγ = = τ
 (6.7) 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
238 
b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng: 
r r2
r2
r r
E ( – )
1
E ( – )
1
E
2(1 )
θ
θ θ
θ θ

σ = ε υε
− υ

σ = ε υε
− υ

τ = γ + υ
(6.8) 
 Ở bài toán biến dạng phẳng thay E, υ bằng 1 1E ,υ theo cách đặt: 
1 2
EE
1
=
− υ
 ; 1 1
υ
υ =
− υ
6.2. GIẢI BÀI TOÁN THEO ỨNG SUẤT. 
 - Phương trình LeVy 2
x y( ) 0∇ σ + σ =
là phương trình giải bài toán phằng theo ứng 
suất trong hệ tọa độ Descartes. 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
239 
 Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực: 
2
x y( ) 0∇ σ + σ = 
 σx + σy = σr + σθ = S 
Suy ra: 2 r( ) 0θ∇ σ + σ = (6.9) 
* Liên hệ giữa các thành phần tọa độ Descartes và tọa độ cực: 
2 2 2r x y
y
tan
x
 = +

 θ =
 (6.10) 
Suy ra: 
2(r ) r r x2r cos
x x x r
∂ ∂ ∂
= → = = θ
∂ ∂ ∂
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
240 
2(r ) (r) r y
 2r 2y sin
y y y r
∂ ∂ ∂
= = → = = θ
∂ ∂ ∂
 ( )22 2 2
y( ) y 1 y y 1 sinx x
. .
rx x cos x x x r r r
∂
− ∂θ ∂θ θ
= = → = − = − = −
∂ θ ∂ ∂
 ( )22
y( ) 1 1 1 x 1 cosx x
. .
ry x cos y y x r r r
∂ ∂θ ∂θ θ
= = → = = =
∂ θ ∂ ∂ 
* Như vậy, đối với hàm f(x,y) bất kỳ, trong tọa độ cực: 
f f r f f f sin
cos
x r x x r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ θ
= + = θ −
∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ 
f f r f f f cos
sin
y r y y r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ θ
= + = θ +
∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
241 
2
2
f f f sin f f sin sin
.cos . cos .cos .
x r r r r r r
∂ ∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ θ θ   
= θ − θ − θ −   ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂ ∂θ   
2
2
f f f cos f f cos cos
.sin . sin .sin .
y r r r r r r
∂ ∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ θ θ   
= θ + θ + θ +   ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂ ∂θ   
Sau biến đổi ta nhận được: 
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
f f f sin 2 f sin 2 f sin f sin
.cos . . . .
x r r r r r r r
∂ ∂ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ
= θ − − + +
∂ ∂ ∂θ∂ ∂θ ∂ ∂θ
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
f f f sin 2 f sin 2 f cos f cos
.sin . . . .
y r r r r r r r
∂ ∂ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ
= θ + + + +
∂ ∂ ∂θ∂ ∂θ ∂ ∂θ
 Lấy tổng hai biểu thức ta được: 
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
f f f 1 f 1 ff
x y r r r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ
 (6.11) 
Thay (6.11) vào (6.9) ta có : 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
242 
2 2
r2 2
1 1 ( ) 0
r r r r
θ
 ∂ ∂ ∂
+ + σ + σ = ∂ ∂ ∂θ 
 (6.12) 
 Cũng tương tự như trong hệ tọa độ Descartes trong trường hợp lực thể tích bằng 0, lấy 
các ứng suất thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1), (6.2): 
2
r 2 2
2
2
r
1 1
r r r
r
1T
r r
θ
θ
 ∂ϕ ∂ ϕ
σ = + ∂ ∂θ
∂ ϕ
σ = ∂
 ∂ ∂ϕ 
= −   ∂ ∂θ 
 (6.13) 
 trong đó: (r, )ϕ θ
là hàm ứng suất trong tọa độ cực. 
 Thay (6.13) vào (6.12) ta có: 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
243 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 0
r r r r r r r r
  ∂ ∂ ∂ ∂ φ ∂φ ∂ φ
+ + + + =  ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ   
(6.14) 
⇔
 ( )2 2 0∇ ∇ ϕ = (6.15) 
 (6.14): là phương trình trùng điều hòa của bài toán phẳng trong tọa độ cực. 
Ví dụ 6.1: Cho thanh cong mặt cắt ngang hình chữ nhật 
(bxh): Lấy b=1, chịu tác dụng bởi mômen Mo ở 2 mặt cắt 
đầu thanh và nằm trong mặt phẳng cong của thanh như 
hình vẽ 6.4. Hãy xác định trạng thái ứng suất trong thanh. 
Bài giải : 
Hình 6.4 
 Đây là trường hợp thanh cong phẳng chịu uốn thuần túy . Do mômen uốn không đổi 
theo chiều dài thanh nên ứng suất không phụ thuộc vào góc cực. Ta chọn hàm ứng suất 
theo: ϕ(r)= Alnr+ Br2lnr + Cr2 +D 
a
b
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
244 
Khi đó các ứng suất theo (6.13) sẽ là : 
r 2
2
2 2
1 d A B(1 2ln r) 2C
r dr r
d A B(1 2ln r) 2C
dr rθ
φ
σ = = + + +
 φσ = = − + + +

(6.16) 
Các hằng số A,B,C được xác định từ điều kiện biên như sau : 
* Tại 2 biên cong : r
r
r a 0 
r b 0
= → σ =

= → σ =
 (a) 
 *Tại 2 đầu thanh : 
Lực dọc N: 
b
(F) a
N dF .1.dr 0θ θ= σ = σ =∫ ∫ (b) 
Mômen uốn M: 
b
0
(F) a
M .r.dF .1.r.dr Mθ θ= σ = σ =∫ ∫ (c) 
Thay (6.15) vào (a), (b), (c) ta được : 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
245 
2
2
2 2 2 2
0
A B(1 2ln a) 2C 0
a
A B(1 2ln b) 2C 0
b
aAln B(b ln b a ln a) C(b a ) M
b

+ + + =


+ + + =


+ − + − =
 (d) 
Giải hệ phương trình (d) đối với A, B, C ta được : 
( )
( ) ( )
2 20
2 20
2 2 2 20
4M a
 A a b ln 
K b
2MB b a 
K
M
 C b a 2 b lnb a lna
K

= −


= − −

  = − + −  
 (e) 
trong đó : ( ) 22 2 2 2 aK b a 4a b ln b = − −    
Thay các giá trị của a, b,c ở (e) vào (7-13) ta được : 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
246 
2 2
2 2o
r 2
2 2
2 2 2 2o
2
r r
4M a b b r aln b ln a ln
K r a b r
4M a b b r aln b ln a ln b a
K r a b r
0
θ
θ θ
  
σ = + +  
 
  
σ = − + + + −  
 
 τ = τ =


CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
247 
6.3 Bài toán nêm phẳng chịu lực tập trung 
Xét một nêm phẳng bề dày 1 đơn vị, góc 
chắn ở đỉnh là 2α và chịu tải tập trung P 
nghiêng một góc β
như hình vẽ 6.5. Đây có 
thể là sơ đồ của một đập chắn và ta coi nên 
có chiều dài rất lớn. 
Hinh 6.5 
6.3.1 Hàm ứng suất (r, )ϕ θ
và các ứng suất 
Ứng suất tại điểm K(r, )θ phụ thuộc vào: P,r, , ,α β θ
suy ra thứ nguyên của cũng phụ thuộc 
vào thứ nguyên của các đại lượng này và có: là hư số 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2r F / L ; P F / L ; r L ; σ = = = 
, ,α β θ : là hư số. 
Vậy thứ nguyên của ứng suất phụ thuộc vào các đại lượng khác: 
1
P
α α
θ
β
A A
y
x
P
r
σr
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
248 
[ ] [ ] [ ]r k( , , ) P / rσ = α β θ 
Hoặc: r k( , , ).P / rσ = α β θ 
Vì hàm ứng suất là hàm của (r, )θ
nên ta có thể biểu diễn dưới dạng: 
r / rθσ = τ
(6.17) 
Nhưng: 
2
r 2 2
1 1
r r r
∂ϕ ∂ ϕ
σ = +
∂ ∂θ
(6.18) 
Nên để thỏa mãn (6.17) thì mỗi số hạng của rσ ở (6.18) phải có dạng (6.17), nghĩa là: 
1
1
1
r.H ( )
r r r
θτ∂ϕ
= → ϕ = θ
∂ 
2
2
22 2
1
r.H ( )
r r
θτ∂ ϕ
= → ϕ = θ
∂θ
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
249 
Hàm iH chỉ phụ thuộc vào biến số θ. như vậy hàm ứng suất (r, )ϕ θ sẽ là: 
(r, ) r.f ( )ϕ θ = θ
(6.19) 
Thay (6.19) vào điều kiện hàm ứng suất là hàm trùng điều điều hòa (6.14) ta được: 
(IV)f 2f '' f 0+ + = 
Nghiệm của phương trình (6.17) có dạng: 
f ( ) A cos( ) Bsin( ) C. cos( ) D. sin( )θ = θ + θ + θ θ + θ θ 
Hàm ứng suất sẽ có dạng: 
( )(r, ) r. f ( ) Acos( ) Bsin( ) C. cos( ) D. sin( )ϕ θ = θ = θ + θ + θ θ + θ θ
(6.20) 
Các thành phần ứng suất là: 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
250 
2
r 2 2
2
2
r
1 1 2 (Dcos Csin )
r r r r
0
r
1 0
r r
θ
θ
 ∂ϕ ∂ ϕ
σ = + = θ − θ ∂ ∂θ
∂ ϕ
σ = = ∂
 ∂ ∂ϕ 
τ = − =  ∂ ∂θ 
(6.21) 
Trong hệ thức (6.21) thì các hệ số C, D là những hằng số tích phân. Chúng được xác định 
từ điều kiện biên. 
Ta thấy tại điều kiện biên với θ = ±α thì điều kiện r 0θ θσ = τ = được thỏa mãn. 
Xét cân bằng phần nêm được giới thiệu bằng mặt trụ bán kính r, ta có: 
y r r
S
F Pcos sin ds 0 Pcos sin .rd 0
α
−α
= − β + σ θ = → − β + σ θ θ =∑ ∫ ∫ 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
251 
Suy ra: PcosC
2 sin 2
β
= −
α − α
x r r
S
F Psin cos ds 0 Psin cos .rd 0
α
−α
= β + σ θ = → β + σ θ θ =∑ ∫ ∫ 
Suy ra: PsinD
2 sin 2
β
= −
α + α
Thay C, D vào (6.18) ta được: 
2
r 2 2
2
2
r
1 1 2P sin cos cos sin( )
r r r r 2 sin 2 2 sin 2
0
r
1 0
r r
θ
θ
 ∂ϕ ∂ ϕ β θ β θ
σ = + = − ∂ ∂θ α + α α + α
∂ ϕ
σ = = ∂
 ∂ ∂ϕ 
τ = − =  ∂ ∂θ 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
252 
6.3.2. Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn hồi (Bài 
toán Flamant) 
Giả sử có một môi trường đàn hồi được giới hạn bằng một mặt phẳng gọi là không 
gian bán vô hạn đàn hồi. Trên mặt phẳng chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều theo một 
đường thẳng. Để giải bài toán ta cắt ra một phân tố giới hạn bởi hai mặt phẳng song song 
và vuông góc với đường tải trọng và cách nhau một đơn vị (hình 6.6). 
Hình 6.6 
1
1
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
253 
Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng. 
 Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song gần 
nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi. Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán 
trạng thái ứng suất phẳng. 
 Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên. Do tính đối xứng qua 
trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σr, σθ là hàm chẵn đối với θ. 
 Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (6.22) 
C: là hằng số phải xác định sao cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn phương trình trùng điều hòa 
và điều kiện biên: 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
254 
 Theo (6.21) ta có: 
2
r 2 2
2
2
r
1 1 C2 cos
r r r r
0
r
 0
θ
θ
∂ϕ ∂ ϕ
σ = + = θ
∂ ∂θ
∂ ϕ
σ = =
∂
τ =
 (6.23) 
Theo (6.23) cho thấy trên mặt phẳng vuông góc với bán kính r chỉ có ứng suất pháp rσ , 
r 0θ θσ = τ = . Mặt vuông góc với này cũng không có ứng suất. Xác định hằng số C bằng 
cách tính tổng hình chiếu lên trục các lực pháp tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm 0. 
 xF 0=∑ 
2
2
P ( rdA).cos 0
pi
pi
−
⇔ + σ θ =∫ với dA = r.dθ.1 (1 là bề dày của tấm) 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
255 
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2C 1 cos2P r.rd .cos cos .r.cos .d 2C cos d 2C d
r 2
pi pi pi pi
pi pi pi pi
− − − −
+ θ
= − σ θ θ = − θ θ θ = − θ = − θ∫ ∫ ∫ ∫ 
2
2
2C 1P sin 2 C
2 2
pi
pi
−
 
= − θ + θ = − pi  
PC→ = −
pi
 (6.24) 
Thay (6.24) vào (6.23) ta có: 
r
r
2P
cos
r
0
0
θ
θ
σ = − θ
pi
σ =
τ =
 (6.25) 
Từ (6.25) cho thấy: 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
256 
+Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σr = ∞. Thực tế khi chịu lực tập trung ở điểm đặt lực 
có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung quanh điểm đặt lực bị 
chảy dẻo. 
+Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài khu vực 
nói trên. 
+ Tính chất nghiệm của σr: 
Ta có: 1 cosd.cos r
d r
θθ = → = (6.26) 
Từ (6.26) và (6.25) suy ra: 
r
2P 2P
cos
r d
σ = − θ = −
pi pi
r
2P
d
→ σ = −
pi
 (6.27) 
Công thức (6.27) cho thấy ứng suất σr của tất cả các điểm cùng một vòng tròn đều như 
nhau. Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất. 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
257 
Hình 6.7 Ví dụ: cấu kiện chịu nén đúng tâm 
Ta có: 
*
x r r
*
y r x
f .cos(n, x) .l
f .sin(n, x) .m
 = σ = σ

= σ = σ
Mà: 
*
x x yx r
*
y yx y x
f .l .m .l
f .l .m .m
 = σ + τ = σ

= τ + σ = σ
2 2 2 2
x y r r.l .m .l .m→ σ − σ = σ − σ 
x
y
r
d 
P
o
P
P
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
258 
Ta có: x y 2 2 2 2x y r r2 2 .l .m .l .ml m 1
θ θσ + σ = σ + σ → σ − σ = σ − σ
+ =
Hình 6.8 
y r x0θσ = → σ = σ − σ 
θ
yxτ
xσ
yσ
xyτ
rσ
β
y
x
n
f*y
f*x
y
x x
y
r
P
o
rσ
rσ rσxσ
rσ
xyτ
yxτ
θ
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
259 
( )
2 2 2 2
x r x r x
2 2 2 2 2
x r x r r
2 2 2
x r
2
x r
.l ( ).m .l .m
.l .m .m .l .m
l m .l
.l
→ σ − σ − σ = σ − σ
↔ σ − σ − σ = σ − σ
↔ σ + = σ
↔ σ = σ
Tương tự:
( )2 2y r r
xy r
1 l .m
.l.m
σ = σ − = σ
τ = σ
2 2
x xl cos
r x y
= θ = =
+
; 
2 2
y yl sin
r x y
= θ = =
+
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
260 
2
2
x r r 2 2
2
2
y r r 2 2
xy r r 2 2
x
cos
x y
y
sin
x y
xy
.sin .cos
x y
  
σ = σ θ = σ  + 
  
→ σ = σ θ = σ  + 
  
τ = σ θ θ = σ  +  
Thay r
2P
cos
r
σ = − θ
pi
 từ (6.27) ta có: 
( )
( )
( )
3
3
x 22 2
2
2
y 22 2
2
2
xy 22 2
2P 2P x
cos ;
r x y
2P 2P x.y
sin .cos
r x y
2P 2P x .y
sin .cos
r x y

σ = − θ = −
 pi pi +


σ = − θ θ = −
pi pi +

τ = − θ θ = − pi pi +
 (6.28) 
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
261 
* Ứng suất (áp lực) theo phương thẳng đứng xσ và ứng suất tiếp (áp lực trượt) xyτ ở 
khoảng cách x=H cách biên của bán phẳng: 
- Trị số áp lực phương thẳng đứng xσ (Hình 6.9a) : ( )
3
x 22 2
2P H
H y
σ = −
pi +
áp lực đạt cực trị khi y=0 và bằng: x,max
2P
H
σ = −
pi
- Trị số áp lực trượt xyτ (Hình 6.9b) : ( )
2
xy 22 2
2P H .y
H y
τ = −
pi +
áp lực đạt cực trị khi Hy
3
= và bằng: 
xy,max
3 3P
8 H
τ = −
pi
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
262 
Hình 6.9 
* Ứng suất (áp lực) theo phương thẳng ngang yσ và ứng suất tiếp (áp lực trượt) xyτ ở 
khoảng cách y=B cách điểm đặt lực: 
x
y
P
x
y
σx
3P/8piH3
H/ 3
H
2P/ piH
H
P/ 2H
H H
τxy
a) b)P
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
263 
- Trị số áp lực yσ (Hình 6.10a) : ( )
2
y 22 2
2P x.B
x B
σ = −
pi +
 , áp lực đạt cực trị khi Bx
3
= và 
bằng: y
3 3P
8 B
σ = −
pi
- Trị số áp lực trượt xyτ (hình 6.10b) : ( )
2
xy 22 2
2P x .B
x B
τ = −
pi +
, áp lực đạt cực trị khi x B=
và bằng: xy,max
P
2 B
τ = −
pi
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
264 
Hình 6.10 
P
x
y
B/ 3
B
3 3 P
8piB
P
x
y
B
B
 P
2piB
σy τxy
a) b)
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
265 
 * Trong trường hợp có nhiều lực tập 
trung như hình vẽ, để tính ứng suất tại 1 
điểm ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác 
dụng để tính (hình 6.11). 
Hình 6.11 
3 3n n
i i i
x i 2 2 2
i 1 i 1i i i
2 2n n
i i i i i
y i 2 2 2
i 1 i 1i i i
2 2n n
i i i i i
xy i 2 2 2
i 1 i 1i i i
P cos x2 2 P
r (x y )
P sin cos x y2 2 P
r (x y )
P sin cos x y2 2 P
r (x y )
= =
= =
= =
 θ
σ = − = − pi pi +
 θ θ
σ = − = −
pi pi +
 θ θ
τ = − = −
pi pi +
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
 (6.29) 
1y
2θ
P1
y
P2 Pn
yσ
xyτ
yxτ
1y
nθ
2y
3y
xσ
1y
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
266 
6.4 Bài tập 
Bài 6.1. 
Hãy xác định ứng suất trong nêm có chiều dày δ =1 , 
góc ở đỉnh = 2α chịu tác dụng của lực tập trung P ở đỉnh 
làm với trục nêm 1 góc bằng β (hình 6.12) 
Chỉ dẫn : Chọn hàm ứng suất ϕ có dạng : 
ϕ(r,θ ) = Arθsinθ +Brθcosθ 
trong đó A, B là các hằng số. 
Hình 6.12 
P
r
y
αα
β
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
267 
Bài 6.2 
Hãy xác định ứng suất trong nêm như trên hình nếu có 
mômen Mo tác dụng tại đỉnh nêm (hình 6.13). Chọn hàm 
ứng suất dạng: 
ϕ(r,θ)=Arθsinθ + Brθsin2θ 
trong đó A, B là các hằng số. 
Hình 6.13 
M
r
y
αα
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
268 
Bài 6.3 
Cho nêm chịu lực như hình 6.14. Hãy xác định trạng 
thái ứng suất trong nêm γ=const (hình 6.14). 
Lấy hàm ứng suất dạng : 
ϕ(r,θ )= r3
 (Acos3θ + Bsin3θ + Ccosθ +D sinθ ) 
trong đó A,B là các hằng số. 
Hình 6.14 
α
r
q= rγ
r
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS. PHẠM VĂN ĐẠT 
269 
KẾT THÚC MÔN HỌC 
CHÚC CÁC BẠN THI TỐT!