Bài giảng Cơ học Môi trường liên tục - Chương III: Lý thuyết về ứng suất - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT 
3.1 ĐỊNH NGHĨA
 Nội lực: Là độ tăng liên kết giữa các phần tử vật chất của vật thể khi có 
ngoại lực tác dụng.
 Ứng suất trung bình tại K:
 Ứng suất tại điểm K:
A
Pptb ∆
∆
=
A
Pp Av ∆
∆
= →∆ 0lim
(Hình 3-1)
(3-1)
(3-2)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Ta có thể phân ứng suất toàn phần theo 3 phương của hệ trục tọa độ xi.
Thông thường tai lấy 1 trục tọa độ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt thì 
ứng suất toàn phần là:
Ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào:
 + Tọa độ tại điểm.
 + Phương pháp tuyến của mặt cắt.
332211 ... epepepp vvvv ++=
( ) ( ) ( ) 232221 vvvv pppp ++=
vnvvv ppp +=
( ) ( ) 22 vnvvv ppp +=
(3-3)
(3-4)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Qui ước chiều dương của ứng suất khi:
- Đối với ứng suất pháp : Quy ước là dương nếu hướng theo pháp tuyến ngoài 
của mặt cắt
- Đối với ứng suất tiếp : Quy ước là dương nếu pháp tuyến của mặt cắt ( chỉ số 
thứ 2) hướng theo chiều dương hay chiều âm của trục tương ứng. Ngược lại 
thì quy ước là âm.
Như vậy trên 3 mặt vuông góc với các trục tọa độ tại điểm M bất kì ta có 9 thành 
phần ứng suất : 3 thành phần ứng suất pháp σx , σy , σz và 6 thành phần ứng suất 
tiếp τyz , τzy ,τxy , τyx , τxz ,τzx
Hệ thống kí hiêu ứng suât
Ngoài cách kí hiệu nêu trên (Bảng A) , người ta cũng dùng kí hiệu trong hệ trục 
x,y,z như sau: Xx = σx , Xx = σy , Zz = σz , Yz = τyz ,.(bảng B) và hệ thống kí hiệu 
ứng suất với 1 kí tự σ kèm 2 chỉ số tương ứng với hệ trục (xi) như sau : σ11, σ22 , 
σ33 , σ12 ,(bảng C )
 Bảng A Bảng B Bảng C
൞�� ��� ������ �� ������ ��� �� ൩ ൞� �� ���� �� ���� �� �� ൞ ൞�11 �21 �31�12 �22 �32�13 �23 �33൩ 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
3.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG
3.2.1. Đặt vấn đề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng 
của ngoại lực gồm:
Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên 
3 trục toạ độ x1 , x2 , x3 : f*i ( f *1 , f *2 , f *3 ).
Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với 
hình chiếu lên 3 trục tọa độ x1, x2, x3 là f1, f2 , f3.
- Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ độ, 
nhận được các phân tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại 1 - nằm bên trong S) 
và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại 2 - nằm sát mặt ngoài S) 
(Hình 3-2)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Tại điểm M(x,y,z) ta lấy 1 phân tố hình hộp có các cạnh là dx,dy,dz. Lực tác 
dụng lên phân tố gồm:
Ngoại lực thể tích có hình chiếu trên các trục tọa độ là : X.dτ, Y.dτ ; Z.dτ
Nội lực là ứng suất trên 6 mặt của phân tố . Các ứng suất này là các hàm số liên 
tục của tọa độ điểm M(x,y,z) và được biểu diễn trên hình.
Ở mặt của phân tố vuông góc với trục x đi qua điểm (x+dx; y,z) ta có các ứng 
suất :
Ở mặt của phân tố vuông góc với trục y đi qua điểm (x; y+ dy,z) ta có các ứng 
suất
σx + ∂σx∂x
dx , τyx + ∂τyx∂x
dx ; τzx + ∂τzx∂x
dx 
τxy + ∂τxy∂y
dy ; σy + ∂σy∂y
dy ; τzy + ∂τzy∂y 
dy 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
τxz + ∂τxz∂z 
dz ; τzy + ∂τzy∂z 
dz ; σz + ∂σz∂z
dz 
Ở mặt của phân tố vuông góc với trục z đi qua điểm (x; y,z+ dz) ta có các ứng 
suất :
(Hình 3-3)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
ΣX = (σx + ∂σx∂x
dx )dydz - σx dydz+(τxy + ∂τxy∂y
dy )dxdz-τxy dxdz +(τxz + ∂τxz∂z 
dz )dxdy-τxzdxdy + Xdxdydz =0 
Xét cân bằng phân tố. Chẳng hạn phương trình chiếu lên trục x là:
Sau khi rút gọn và chia cho dτ = dxdydz ta được :
ەەە
ۖۖ
ەە۔
ۖۖ
ەەەەۓ ����� + ������ + ������ + � = 0(= � �2��� )������ + ����� + ������ + � = 0(= � �2��� )������ + ������ + ����� + � = 0(= � �2��� )
Trong trường hợp cân bằng tĩnh : vế phải các phương trình sẽ bằng không
Trong trường hợp cân bằng động ; vế phải các phương trình sẽ bằng các lượng 
trong ngoặc . trong đó u,v,w là các thành phần chuyển vị của điểm M theo 3 
phương ,y,z,. các phương trình này gọi là phương trình cân bằng Navier-Cauchy
(3-5)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
3.2.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp
 Ta viết 3 phương trình cân bằng mô men của phân tố, chẳng hạn phương trình 
Σmx =0 ta được : Σmx = (τyz dydz)dx -(τzy dxdy)dz =0
Suy ra là : τyz = τzy
Tương tự ta có: 
Hệ thức trên biểu thị định luật đối ứng của các ứng suất tiếp
3.2.4. Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2)
൞��� = ������ = ������ = ��� 
(Hình 3-4)
(3-6)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài ν với các cosin chỉ phương li = cos(ν, xi).
Xét cân bằng phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu các lực tác dụng lên 
các trục tọa độ.
Cơ học: Hệ phương trình (3.5) và (3.7) là điều kiện cân bằng của toàn thể môi 
trường
Toán học: Hệ (3.5) là hệ phương trình vi phân với các ẩn số ứng suất, (3.7) là điều 
kiện biên để xác định các hằng số tích phân của phương trình vi phân.



=++
=++
=++
*
3333232131
*
2323222121
*
1313212111
flll
flll
flll
σσσ
σσσ
σσσ
3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG
Cân bằng phân tố tứ diện như ở hình 3-4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các 
thành phần ứng suất là pν1 , pν2 , pν3 . Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các 
cosin chỉ phương là li.
(3-7)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
3.3.1.Ứng suất toàn phần
Hay viết dưới dạng ma trận:
Ứng suất toàn phần: 



=++
=++
=++
3333232131
2323222121
11313212111
v
v
v
plll
plll
plll
σσσ
σσσ
σσσ
















=








3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
l
l
l
p
p
p
v
v
v
σσσ
σσσ
σσσ
( ) ( ) ( )232221 vvvv pppp ++=
(Hình 3-5)
(3-8)
(3-9)
(3-10)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
3.3.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp
Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν1 , pν2 , pν3 lên pháp 
tuyến ν:
Thay (3-8) vào (3-9) ta có:
Ứng suất tiếp:
3.4 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ TEN XƠ ỨNG SUẤT.
3.4.1. Trạng thái ứng suất
- Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất 
trên tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó.
- Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm đang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt.
- Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đang xét. Như vậy trạng thái ứng 
suất đặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các điểm khác nhau của môi trường.
332211 ... lplplp vvvvv ++=σ
( )133132232112233322222111 ......2... llpllpllplplplpvv +++++=σ
22
vvvv pp −=ησ
(3-9)
(3-10)
(3-11)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
3.4.2. Ứng suất khi biến đổi hệ trục toạ độ.
Hệ trục xi xoay quanh gốc tọa độ trở thành hệ trục xi’, các cosin chỉ phương của 
góc giữ trục mới xi’ và trục cũ xi là cij, ứng suất σ’ij trong hệ tọa độ mới là xi’ :
 σ’ij= cik cjl σkl (3-12)
3.4.3. Tenxơ ứng suất
Trạng thái ứng suất đặc trưng bởi 9 thành phần ứng suất σij trên các mặt cắt vuông 
góc với các trục toạ độ là một ten xơ hạng hai và gọi là ten xơ ứng suất.
3.4.4. Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất.
 Tσ= Dσ+ Tσ0 
Với: Dσ là tenxơ lệch ứng suất và Tσ0 tenxơ cầu ứng suất.








=
333231
232221
131211
σσσ
σσσ
σσσ
σT (3-13)
(3-14)
Cơ học môi trường liên tục
- Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất.
( )
( )
( )







−
−
−
=
tb
tb
tb
D
σσσσ
σσσσ
σσσσ
σ
333231
232221
131211








=
tb
tb
tb
T
σ
σ
σ
σθ
00
00
00
σtb = (σ11+σ22+σ33 ) /3 gọi là ứng suất pháp trung bình .
Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng 
suất chỉ gây nên biến đổi hình dáng.
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
(3-15)
(3-16)
Cơ học môi trường liên tục
3.5 PHƯƠNG CHÍNH, MẶT CHÍNH, ỨNG SUẤT CHÍNH
- Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0.
- Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính
- Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính
Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li, ứng suất 
chính là σ. Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pνcó 
phương trùng với pháp tuyến ν và có giá trị bằng σ , do đó hình chiếu pνi trên các 
trục của ứng suất toàn phần sẽ là:
Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng.
Mặt khác: l2+ m2+n2 =1
൞൞�� − �൞. � + ��� . � + ��� . � = 0��� . � + ൫�� − �൯. � + ��� . � = 0��� . � + ��� . � + ൞�� − �൞. � = 0 
Pxv = σl; pyv = σm ; pzv =σn
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
(3-17)
(3-18)
Cơ học môi trường liên tục
Điều kiện để (3.18) không có nghiệm tầm thường là:
khai triển (2.19) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính σ là :
σ3 - I1σ2 +I2σ -I3=0
Trong đó :
ȁ�ȁ= อ�� − � ��� ������ �� − � ������ ��� �� − � อ= 0 
I1 = (σx + σy + σz ) �2 = ൞�� ������ �� ൞+ ൞�� ������ �� ൞+ ൞�� ������ �� ൞ 
 �3 = อ�� ��� ������ �� ������ ��� �� อ 
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
(3-19)
(3-20)
(3-21)
Cơ học môi trường liên tục
Phương trình (3.20) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước σ1 > σ 2 
> σ3 . Lần lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.17), 
kết hợp với phương trình (3.18) ta nhận được các cosin chỉ phương của các ứng 
suất chính tương ứng. Chẳng hạn để tìm phương chính tương ứng với ứng suất 
chính σ1 ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau:൞൞�� − �1൞. � + ��� . � + ��� . � = 0��� . � + ൫�� − �1൯. � + ��� . � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
Giải hệ (3-22) đối với l,m,n ta được các giá trị : l1 , m1 , n1 . đây là cô sin chỉ 
phương của phương chính thứ 1 tương ứng với ứng suất chinh σ1
Chú ý :
*Người ta đã chứng minh được rằng 3 mặt chính tại điêm đang xét là vuông góc 
với nhau.
* Ba hàm (S,H,A) không phụ thuộc vào việc lựa chọn trục tọa độ. Người ta gọi 3 
hàm này là 3 bất biến của ten xơ ứng suất.
(3-22)
Cơ học môi trường liên tục
VD 3-1- Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất cho bởi 
tenxo 
�� = ൭4 2 12 0 21 2 4൞ (KN/cm2) 
Bài giải: 
Tính các hệ số I1, I2 , I3 
ەەە
ۖ
ەە۔
ۖ
ەەەەۓ
�1=�� + �� + ���2 = ൞�� ������ �� ൞+ ൞�� ������ �� ൞+ ൞�� ������ �� ൞ �3= อ�� ��� ������ �� ������ ��� �� อ
Xác định các ứng suất chính 
Phương trình xác địn ứng suất chính là: 
σ3 - 8σ2 + 7σ + 24 = 0 (a) 
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Cơ học môi trường liên tục
Nghiệm của (a) là : 
 σ1 = 6,275 kN/cm2 ; σ2 = 3,0kN/cm2 ; σ3 = 1,275 kN/cm2 
Xác định các phương của ứng suất chính 
Phương trình thứ nhất ( tương ứng với σ1 = 6,275 kN/cm2) 
Thay σ1 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có : 
൞൞4 − 6,275൞. � + 2. � + 1. � = 02. � + ൞0 − 6,275൞. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
hay 
൞−2,275. � + 2. � + 1. � = 02. � − 6,275. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Cơ học môi trường liên tục
Giải hệ phương trình (b) ta được : 
l1 = ± 0,645 ; m1 = ± 0,411 ; n1 = ± 0,645 
Phương chính thứ hai ( tương ứng với σ2 = 3,0 kN/cm2) 
Thay σ2 vào hai phương trình đầu của (3-17) và kết hợp với (3-18) ta có : 
൞൞4 − 3൞. � + 2. � + 1. � = 02. � + ൞0 − 3൞. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
hay 
൞1. � + 2. � + 1. � = 02. � − 3. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
Giải hệ phương trình (b) ta được : 
l2 = ± 0,707 ; m2 = ± 0,000 ; n2 = ± 0,707 
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Ví dụ 2-2: Cho ten xơ ứng suất �� = ൞2�2 2�� �32�� 0 −2��3 −2� �2 ൞ (kN /cm2) 
Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: 2x-y+2z =4 
Bài giải : 
Tại điểm P ten xơ ứng suất sẽ là : �� = ൭8 8 18 0 −21 −2 4 ൞ (kN /cm2) 
 Các cô sin chỉ phương của pháp tuyến v tại điểm P trên mặt phẳng cho bởi phương 
trình 2x-y+2z =4 sẽ là 
Phương chính thứ 3 tương ứng với σ3 = -1,275 kN/cm2 
Thay σ3 vào hai phương trình đầu của (2.11) và kết hợp với (2.12) ta có : 
൞൞4 + 1,275 ൞. � + 2. � + 1. � = 02. � + ൞0 + 1,275 ൞. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 hay ൞5,275. � + 2. � + 1. � = 02. � + 1,275. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 (b) 
Giải hệ phương trình (b) ta được : l3= ± 0,291 ; m3 = ± 0,911 ; n3 =± 0,291 
Cơ học môi trường liên tục
Các thành phần ứng suất của ứng suất toàn phần pv viết dưới dạng ma trận là 
൞��������� ൞ = ൭8 8 18 0 −21 −2 4 ൞
ەەۉ
ەەۈ
ەەۇ
23− 1323 ەەەەەیەەۋ
ەەۊ = ൞10344 ൞(kN/cm2) 
Ứng suất toàn phần sẽ là: 
 pv = pxv2+p2yv+p2zv = (10/3)2+42+42 = 6,566 kN/cm2 
Ứng suất pháp sẽ là: 
σv = pxvl + pyv m + pzvn= (10/3).(2/3) + 4.(-1/3) + 4 (2/3) = 32/9 = 3,556 kN/cm2 
Ứng suất tiếp sẽ là 
 τv = p2v-σ2v = (6,566)2-(3,566)2 = 5,52 kN/cm2 
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
 l = 2
22+(-1)2+22
 = 23 ; m = 
-1
22+(-1)2+22
 = - 13 ; n= 
2
22+(-1)2+22
 = 23 
Cơ học môi trường liên tục
Ví dụ 3-3 
Cho ten xơ ứng suất 
�� = ൭4 2 12 0 21 2 4൱ (kN /cm2) 
Viết ten xơ lệch của ứng suất và tìm các giá trị chính ,phương chính của ten xơ lệch 
Bài giải 
Ứng suất trung bình là : σtb = 
1
3 (4+0+4) = 
8
3 = 2,67 (kN/cm
2) 
Ten xơ lệch ứng suất là 
�� = ൭4 − 2,67 2 12 0 − 2,67 21 2 4 − 2,67൱ = ൭1,33 2 12 −2,67 21 2 1,33൱ 
ەەە
ۖ
ەە۔
ۖ
ەەەەۓ
�1=�� + �� + �� = 0�2 = ൱�� ������ �� ൱+ ൱�� ������ �� ൱+ ൱�� ������ �� ൱ = −14,33 �3= อ�� ��� ������ �� ������ ��� �� อ= −4,513
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Cơ học môi trường liên tục
Phương trình xác định các giá trị chính là: σ3 -S.σ2 +H.σ -A =0 
Hay là: σ3 - 14,33.σ +4,513 =0 
Giải phương trình nhận được ta có 3 giá trị chính là: 
3,933 kN/cm2 ; 0,315 kN/cm2 ; -3,618 kN/cm2 
Xác định các phương chính của ten xơ độ lệch 
Phương chính tương ứng với giá trị 3,933 tìm được từ phương trình 
൱ ൱1,33 − 3,933 ൱. � + 2. � + 1. � = 02. � + ൱−2,67 − 3,933 ൱. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
hay ൱−2,603. � + 2. � + 1. � = 02. � − 6,603. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Cơ học môi trường liên tục
Nghiệm của phương trình này là : ±0,577; ± 0,392; ± 0,717 
Phương chính tương ứng với giá trị 0,315 tìm được từ phương trình : 
൱൱1,33 − 0,315 ൱. � + 2. � + 1. � = 02. � + ൱−2,67 − 0,315 ൱. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
hay 
൱1,015. � + 2. � + 1. � = 02. � − 2,985. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
Nghiệm của hệ phương trình này là: -0,705; ±0,003; ±0,709; 
Phương chính tương ứng với giá trị -3,618 tìm được từ phương trình 
൱൱1,33 + 3,618 ൱. � + 2. � + 1. � = 02. � + ൱−2,67 + 3,618 ൱. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Cơ học môi trường liên tục
hay ൱4,948. � + 2. � + 1. � = 02. � + 0,948. � + 2. � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
Nghiệm của hệ phương trình này là: -0,399; 0,900; -0,171; 
3.6 Ứng suất tiếp cực trị
Vị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị là những mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45 
so với các trục ứng suất chính.
;
2
;
2
;
2
133
max
322
max
211
max
σσ
τ
σσ
τ
σσ
τ
−
=
−
=
−
=
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Bài 3.1 Tìm các ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất 
cho bởi tenxơ:
)/(
421
202
124
2cmkNT








=σ
Bài 3.2 Cho tenxơ ứng suất 
)/(
2
202
22
2
23
32
cmkN
yzz
zxy
zxyx
T








−
−=σ
Hãy tính ứng suất tại điểm P(2,2,1) trên mặt cắt cho bởi phương trình: 
2x-y+2z=4
Bài tập chương III
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
Bài 3.3 Cho tenxơ ứng suất:
)/(
421
202
124
2cmkNT








=σ
1- Viết tenxơ lệch của ứng suất và tìm các giá trị chính, phương chính của 
tenxơ lệch
2- Tìm ứng suất tiếp lớn nhất.
Bài 3.4 Cho tenxơ ứng suất tại điểm O của vật thể đàn hồi:
)/(
132
312
224
2cmkNT








−
−−
−
=σ
Hãy xác định ứng suất tiếp cực trị và ứng suất trên mặt nghiêng đều 
với các phương chính tại điểm O
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
q=γy
A
β
Ox
y
y
B
Bài 3.5
Trên hình vẽ biểu diễn mặt cắt ngang 
của thân đê (AOB) chịu tác dụng của áp 
lực nước trên bờ OB
1- Hãy viết các điều kiện biên biết:
2- Giả sử tính được ứng suất trong thân đề là:







=====
−==




−+



−=
−=
0
2
2
23
zyyzzxxzz
yxxy
y
x
x
tg
yp
tg
x
tgtg
p
y
ττττσ
β
γ
ττ
β
γ
β
γ
βσ
γσ
Hãy thử xem với điều kiện nào thì hệ ứng suất trên thỏa mãn các phương trình 
cân bằng. Tìm tải trọng tác dụng nên các bờ OA, OB.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT
HẾT CHƯƠNG III