Bài giảng Cơ học Môi trường liên tục - Chương V: Lý thuyết đàn hồi - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội

+ a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
(5-8) ta có: 
15
2
aWW
yzxx
x =∂∂
∂
⇒
∂
∂
=
γεε
σ (a)
Từf (5-2) ta có: 
zxyzxyzyxyz aaaaaa γγγεεετ 565554535251 +++++=
Từ (5-8) ta có: 
51
2
aWW
xyzyz
yz =∂∂
∂
⇒
∂
∂
=
εγγ
τ (b)
- Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và 
(b) ta có : a15 = a51.
- Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (5.2) ta có: aij = aji
Vậy các hằng số của hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo 
chính. Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số.
5.2.2. Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng :
- Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt 
phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của 
vật liệu theo mọi phương là như nhau. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Do đó các phương trình (5.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :
+Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp σx của phương trình thứ nhất trong hệ 
(5.2) không thay đổi:
σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx. (c) 
Nhưng các biến dạng góc γxy và γyz đổi dấu vì khi đổi chiều trục y thì góc trượt 
trước đây làm góc vuông nhỏ lại nay làm cho góc vuông lớn lên.
⇒ σx = a11εx + a12εy + a13εz - a14γxy - 
a15γyz + a16γzx (d).
Đồng nhất (c) và (d) ta có :
Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0.
01514
1515
1414
==⇒


−=
−=
aa
aa
aa
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của ba 
phương trình đầu trong hệ phương trình (5.2) đều bằng 0.
 Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương 
trình (5.2) cũng bằng 0 
* Hệ phương trình (5.2) trở thành :
σx = a11εx + a12εy + a13εz
σy = a21εx + a22εy + a23εz
σz = a31εx + a32εy + a33εz (5.9)
Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx
Tyz = a54γxy + a55γyz + a56γzx
Tzx = a64γxy + a65γyz + a66γzx
Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận : 
 - Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc.
 - Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 5.9) :
 Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx (e)
Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng γyz và γzx sẽ đổi dấu: Tyx 
= a44γxy - a45γyz - a46γzx (f)
Đồng nhất (e) và (f) ta có : 
Do aij = aji ⇒ a54 = a64 = 0.
Tương tự ta có : a56 = a65 = 0.
Hệ phương trình (5.9) có thể rút gọn như sau:
σx = a11εx + a12εy + a13εz
σy = a21εx + a22εy + a23εz
σz = a31εx + a32εy + a33εz
Tyx = a44γxy (5.10) 
Tyz = a55γyz
Tzx = a66γzx 
Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (5.10), ta có:
x
yz
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
σz = a31εx + a32εy + a33εz
Hoán vị vòng ta có: σx = a31εy + a32εz + a33εx (1)
Phương trình (1) của hệ phương trình (5.10) :
 σx = a12εy + a13εz + a11εx
Đồng nhất (5.11) và (1) ta có : a31 = a12
a32 = a13
a33 = a11
Vì aij = aj i ⇒ a12 = a21
a31 = a13
a32 = a23
* Đặt a = a11 = a22 = a33
b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23
Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (5.10) ta có :
c = a44 = a55 = a66
Do đó (5.10) có dạng : σx = aεx + b(εy + εz)
σy = aεy + b(εx + εz)
σz = aεz + b(εx + εy) (5.11)
Txy = cγxy
Tyz = cγyz
Tzx = cγzx
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
*Ta có: θ = εx + εy + εz: là biến dạng thể tích tương đối.
nên σx = bθ + (a - b) εx
σy = bθ + (a - b) εy (5.12)
σz = bθ + (a - b) εz
*Đặt b = λ
a -b = 2 ν
 σx = λθ +2νεx
(5.12) ⇔ σy = λθ +2νεy (5.13)
σz = λθ +2νεz
Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có:
c = (a-b)/2 ⇒ c = ν
→ Txy= ν γxy 
 Tyz= ν γyz (5.14)
 Tzx= ν γzx
Các hệ phương trình (5.13) và (5.14) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của 
vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới 
dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là 
λ và ν. Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
5.3. Một dạng khác của định luật hooke tổng quát
 Ta có: σx+ σx +σx = 3λ θ+2νθ trong đó : θ=εx+ εy+ εz Độ biến dạng thể tích 
tương đối.
( )zyx σσσνλθ +++=⇒ 23
1
(a)
Từ (5-18)
Thay (a) và (b) vào (c) ta có:
ν
λθ
ν
σσ
εε
ν
λθσ
ε
ν
λθσ
ε
−
−
=+⇒



−
=
−
=
2
2
2 zy
zy
z
z
y
y
(b)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )


+
+
−
+
+
=
+
−++
+
+
=



++
+
−
+
−++
+
=
yxxx
yx
zyx
zyx
yx
zyxx
σσ
νλν
λ
σ
νλν
νλ
ε
ν
σσ
σσσ
νλν
νλ
σσσ
νλν
λ
ν
σσ
σσσ
νλ
ε
23
223
)23(223
1
(5-15)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
( ) ( )νλν
λµ
νλν
νλ
+
=
+
+
= ;
23
1
E
Đặt:
Thay (5-16) vào (5-15) ta được
(5-16)
( )( )
( )( )
( )( ) 






+−=
+−=
+−=
yxxz
xzyy
zyxx
E
E
E
σσµσε
σσµσε
σσµσε
1
1
1
Tương tự ta có (5-17)
( ) ( )2222223 +=


+
+
=


+
+
+
+
=
+
+
= µν
νλ
ν
ν
νλ
νλ
νλ
ν
ν
νλ
νλνETừ (5-16) ta có
( )
( )
ν
µ
µν
=⇔



+
=
+
=⇒
GEG
E
12
12
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Lúc này (5-10) có dạng:







=
=
=
G
G
G
zx
zx
yz
yz
xy
xy
τγ
τγ
τγ
(5-18)
Các hệ phương trình (5.17) và (5.18) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết 
dưới dạng biến dạng theo ứng suất.
*Định luật Hooke khối 
Từ (5.17) ta có :
E(εx + εy + εz) = (σx + σy + σz) - 2µ(εx + εy + εz) (*)
(*) ⇔ Eθ = S (1 - 2µ) ⇔ (5.19)
Với: θ = εx + εy + εz : Biến dạng thể tích tương đối.
S =σx + σy + σz: Hàm ứng suất tổng. 
 Phương trình (5.19) được gọi là Định luật Hooke khối.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
5.4. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính
5.4.1. Các phương trình cơ bản :
Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học và vật lý 
của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần 
ứng suất : σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx.
- Ba thành phần chuyển vị : u, v, w.
- Sáu thành phần biến dạng : εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx.
Để xác định mười lăm hàm ẩn này ta có các phương trình sau
1. Về mặt tĩnh học
a) Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy
ەەە
ۖۖ
ەە۔
ۖۖ
ەەەەۓ ����� + ������ + ������ + � = 0(= � �2��� )������ + ����� + ������ + � = 0(= � �2��� )������ + ������ + ����� + � = 0(= � �2��� )
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
b) Các điều kiện biên theo ứng suất
2) Về mặt hình học
a)Hệ phương trình biến dạng Cauchy – Navier
b)Các phương trình liên tục về biến dạng
2) Về mặt vật lý
a) Biểu diễn biến dạng qua ứng suất 
 ε x = 
∂ u
∂ x
 γ xy = 2 γ xy =α +β = 
∂ v
∂ x
 + ∂
u
∂ y
 ε y = 
∂ v
∂ y
 γ yz =2 γ yz = β + γ = 
∂w
∂y + 
∂v
∂z
 εZ = 
∂w
∂z
 γzx = 2 γzx = γ +α = 
∂u
∂z
 + ∂w∂x 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
( )( )
( )( )
( )( )






+−=
+−=
+−=
yxxz
xzyy
zyxx
E
E
E
σσµσε
σσµσε
σσµσε
1
1
1







=
=
=
G
G
G
zx
zx
yz
yz
xy
xy
τγ
τγ
τγ
b) Biểu diễn ứng suất qua biến dạng
 σx = λθ +2νεx
 σy = λθ +2νεy
σz = λθ +2νεz
 Txy= ν γxy 
 Tyz= ν γyz
 Tzx= ν γzx
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
5.4.2. Các cách giải bài toán đàn hồi tuyến tính :
* Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) và (3a) hoặc (3b) hoàn toàn 
cho phép xác định được 15 hàm ẩn. Để giải 15 phương trình đó ta cần thu gọn 
chúng về một số phương trình tương ứng với một số hàm ẩn chính. Những 
phương trình thu gọn này là những phương trình để giải của bài toán. Những 
ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi biết các ẩn số chính.
1. Cách giải bài toán theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm các hàm 
ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình trên về ba phương trình đối với ba hàm 
chuyển vị u, v, w.
2. Cách giải bài toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm các hàm 
ẩn chính, cần thu gọn hệ trên thành sáu phương trình đối với sáu ẩn ứng suất.
3. Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, trong một số bài toán, 
ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị 
và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
5.5 Cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị 
 Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản : 
5.5.1.Về mặt vật lý: 
Từ định luật Hooke tổng quát : σx = λθ + 2Gεx 
 Txy = Gγxy (a) 
 Tzx = Gγzx 
5.5.2. Về mặt hình học: 
Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy : 
 εx = ; 
 γyx = ; (b) 
 γzx = ; 
Thay (b) vào (a) ta có : σx = λθ + G + G 
 Tyx = G (c) 
 Tzx = G 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
5.5.3 Về mặt tĩnh học: 
Từ phương trình cân bằng tĩnh học Navier-Cauchy : 
 (d) 
Thay (c) vào (d) ta có: 
 Với ∇2 = : Toán tử vi phân Laplace. 
 =εx+εy+εz =θ : Biến dạng thể tích tương đối 
(*)⇔ (λ + G) + G∇2u + fx = 0 ; 
Tương tự (λ + G) + G∇2v + fy = 0 ; (5.20) 
 (λ + G) + G∇2w + fz = 0 ; 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Hệ (5.20): Hệ phương trình LaMê : 
 Khi thiết lập (5.20) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ 
giữa ứng suất và biến dạng nên hệ (5.20) vẫn chứa các hằng số LaMê λ 
và G. 
 Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình 
học và vật lý. Giải (5.20) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến 
dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng 
suất theo định luật Hooke. 
5.5.4 Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể 
tích là hằng số ta có các hệ quả sau: 
 a. Hệ quả 1: Đạo hàm các phương trình của hệ (5.20) lần lượt 
theo các biến x, y, z ta có : 
 (λ + G) + G∇2 = 0 ; 
 + (λ + G) + G∇2 = 0 ; 
 (λ + G) + G∇2 = 0 . 
 (λ + G). ∇2θ + G∇2θ = 0 
 ⇔ ∇2θ = 0 
 (5.21) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Do θ tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có : 
 ∇2S = 0 (5.22) 
 Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng 
hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm 
ứng suất tổng là những hàm điều hòa. 
 b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.21) : 
 (λ + G) + G∇2u +fx = 0 (a) 
 Lấy đạo hàm bậc 2 của (a) lần lượt theo các biến x, y, z ta có : 
 (λ + G) + G∇2 = 0 ; 
 + (λ + G) + G∇2 = 0 ; 
 (λ + G) + G∇2 = 0 . 
 (λ + G). ∇2θ + G∇2∇2u = 0 (b) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng 
hướng, khi lực thể tích là hằng số thì các hàm chuyển vị là những hàm 
trùng điều hòa. 
 c. Ý nghĩa : Hệ quả này cho phép ta đoán nhận được sơ bộ dạng 
nghiệm chuyển vị của bài toán đàn hồi. Tất nhiên đây mới chỉ là điều 
kiện cần, điều kiện đủ là các chuyển vị phải thỏa mãn các phương trình 
cơ bản đã nêu trên. 
5.6 Cách giải bài toán đàn hồi theo ứng suất 
 Chọn các ứng suất σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn chính. 
5.6.1. Trường hợp các lực thể tích là hằng số: 
 1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke 
 εy = (*) 
 Có S = σx + σy + σz 
 (*) ⇔ εy = 
 Tương tự εz = (a) 
 γyz = Tyz = Tyz 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
2. Về mặt hình học: Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng : 
 (b) 
 Thay (a) vào (b) ta có : 
 (1 + µ) - µ +(1 + µ) - µ = 2(1 + µ) 
 ⇔ (1 +µ) = 2(1 + µ) (c) 
3. Về mặt tĩnh học: Dựa vào hệ phương trình cân bằng tĩnh học Navier- 
Cauchy. 
 ; ⇒ (1) 
 ; ⇒ (2) 
 ; ⇒ (3) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Lấy đạo hàm bậc nhất (2) và (3) lần lượt theo y và z ta có : 
  (4) 
 Thay (1) vào (4) ta có : 
 (4) ⇔ 
 ⇔ (d) 
 Thay (d) vào (c) ta có : 
(1 + µ) 
⇔ (1 + µ) 
 - µ = 0 (**) 
+ 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Trong đó : ∇2 = 
 S = σx + σy + σz. 
 (**) ⇔ (1 + µ) 
 ⇔ - (1 + µ)∇2σx + + 
 ⇔ - (1 + µ)∇2σx + + = 0. 
 ⇔ (1 + µ)∇2σx + = 0 
 Theo Hệ quả (1) ta có ∇2S = 0 
⇔ (1 + µ)∇2σx + = 0 
 (1 + µ)∇2σy + = 0 (5.24) 
 (1 + µ)∇2σz + = 0 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
(1 + µ)∇2Txy + = 0 
 (1 + µ)∇2Tyz + = 0 (5.25) 
 (1 + µ)∇2Tzx + = 0 
 Hệ phương trình (5.24) và (5.25) là phương trình để giải bài toán 
đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình 
học và vật lý của môi trường. Giải (5.24) và (5.25) có được các ứng suất 
sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị 
theo hệ phương trình biến dạng Cauchy. 
 Hệ (5.24) và (5.25) gọi là hệ phương trình Beltrmi 
5.6.2 Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cũng nhận được các 
phương trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 : 
 ∇2σx + ; 
 ∇2σy + ; (5.26) 
 ∇2σz + ; 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
(5.26) : Phương trình Beltrami-Michell. 
 * Hệ quả 3 : Trường hợp fx, fy, fz = const. 
 Từ phương trình (5.24) Beltrmi, ta cũng suy ra được 1 hệ quả về 
tính chất của các n0 ứng suất 
 Xét phương trình (1) của hệ phương trình (5.24) : 
 (1 + µ) ∇2σx + = 0 (1) 
 Lấy đạo hàm bậc 2 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có : 
 (1 + µ)∇2 + = 0 
 + (1 + µ)∇2 + = 0 
 (1 + µ)∇2 + = 0 
 (1 + µ) ∇2∇2σx + ∇2S = 0 Theo hệ quả 1 ∇2S = 0 
 Ta có : ∇2∇2σx = 0. 
 Tương tự ta có : ∇4σij = 0. 
 σij gồm có (σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx). 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
→ Ứng suất là những hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa). Vì 
ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà 
kép. 
 ⇒ Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng của bài 
toán đàn hồi tuyến tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm 
điều hòa kép: ∇4σij = 0 ; ∇4ui = 0 ; ∇4εij = 0. (5.27) 
5.7. Các phương pháp giải 
 1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân 
các phương trình Lamê (5.20) khi giải theo chuyển vị hay phương trình 
Beltrami (5.24) và (5.25) hay Beltrami Michell (5.26) khi giải theo ứng 
suất với các điều kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh 
bạch vê mặt toán học nhưng phức tạp khi thực hiện. 
 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước 
chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các 
điều kiện biên (2.22) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay 
ứng suất cho trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì 
phải thử nhiều hàm chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện 
được. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp 
này ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm 
các yếu tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các 
phương trình cân bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được 
những khó khăn mang tính toán học của phương pháp thuận và sự 
cồng kềnh của phương pháp ngược. 
 4. Nguyên lý Saint-Venant : 
 Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn 
điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về 
thanh, tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là 
nguyên lý về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý 
này, nếu trên 1 phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực 
cân bằng thì ứng suất phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa 
miền đặt lực. 
 Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại 
chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng. 
 Dựa vào qui luật đối với vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục bộ có thể 
phát biểu theo cách khác nhau: “Tại những điểm của vật rắn cách xa 
điểm đặt lực thì trạng thái ứng suất, biến dạng của vật phụ thuộc rất ít 
vào cách tác dụng của lực”. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Ví dụ : 
 F : Diện tích mặt cắt ngang. 
5.8. Định lý duy nhất nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi 
 Một vấn đề đặt ra là nghiệm của bài toán lý thuyết đàn hồi giải theo 
chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không. Có nghĩa ứng với tải trọng 
hay chuyển vị đã cho ta chỉ nhận được một hệ ứng suất hay chuyển 
duy nhất hay ta nhận được vài hệ nghiệm khác nhau với cùng điều kiện 
đã cho. 
→ * Nếu nhận được một vài hệ nghiệm thì nghiệm của bài toán lý 
thuyết đàn hồi đã cho là đa trị. 
 * Định lý duy nhất về nghiệm : Nếu thừa nhận về trạng thái tự 
nhiên của vật và đinh luật độc lập tác dụng của lực thì nghiệm bài toán 
lý thuyết đàn hồi là duy nhất. 
 Thực vậy xét bài toán cơ bản thứ nhất của lý thuyết đàn hồi. Dưới 
tác dụng của lực bề mặt , , . Lực thể tích fx, fy, fz đã cho. Giả 
thiết ta nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx 
 σx*, σy*, σz*, Txy*, Tyz*, Tzx* 
 Cả hai hệ ứng suất này đều phải thỏa mãn điều kiện cân bằng 
tĩnh học của Cauchy và điều kiện biên tĩnh học. 
 (a) 
 ... 
 = σx.l + Tyx.m + Tzx.n 
 = σx.l + Tyx.m + Tzx.n (b) 
 ... 
 Tương tự viết cho các phương trình còn lại. Trừ các phương trình 
tương ứng cho nhau, ta nhận được hệ phương trình và điều kiện mới. Ví 
dụ viết cho phương trình thứ nhất ta có : 
 (Txy – Tyx) + (Tzx - Tzx)= 0 
 (σx - σx).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = 0 (c) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
τzy 
5.9 Ví dụ giải bài toán xoắn thuần túy lăng trụ 
Xét thanh thẳng, mặt cắt ngang không đổi, chịu xoắn thuần tuý (h-1) 
1) Hệ các phương trình cơ bán 
Sử dụng phương pháp nửa ngược Saint- Venant giả thiết: 
a) Các phương trình cân bằng Navier 
y 
x 
τzx 
M M 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
b) Điều kiện biên 
- Trên mặt pháp tuyến (l,m,0) 
- Trên các mặt cắt ngang ở hai đầu thanh (z=o, z=l) 
c) Các liên hệ Cauchy, định luật hooke 
d) Phương trình Beltrami - Michell 
 và 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
y 
M 
r 
x 
y 
x 
u 
v t 
2) Chuyển vị và góc xoắn của thanh 
Trong đó là một hằng số 
Chuyển vị theo phương bán kính r: 
Chuyển vị theo phương vuông góc với 
bán kính r (u): 
3) Sử dụng hàm Prandl để giải bài toán xoắn 
nếu đặt : 
 và 
Ta có: 
 và 
Suy ra phương trình xác định hàm Prandtl 
=C 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Hằng số C được xác định như sau: 
Suy ra 
Ta có: 
Suy ra: C= 
4) Một số trường hợp đặc biệt 
* Thanh có mặt cắt ngang hình elip 
Phương trình chu vi: 
Chọn hàm Prandtl có dạng 
từ =C suy ra 
 hay 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Suy ra hàm Prandtl 
Các ứng suất trên mặt cắt sẽ là: 
hằng số C được xác định từ điều kiện cân bằng 
Suy ra 
 ; ; 
ứng suất lớn nhất tại hai đầu của bán trục ngắn và bằng 
Góc xoắn tỉ đối là: 
Trị số được gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang 
hình elip 
* nếu mặt cắt là hình tròn : a=b=d/2 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Bài 5.1 Tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ ứng suất:
)/(
401
032
124
2cmkNT








−
=σ
Cho biết: 25,0);/(10.2 24 == µcmkNE
Hãy xác định:
1- Biến dạng dài theo phương v(2,-1,3) .
2- Biến dạng chính và phương các biến dạng chính.
Bài 5.2 Cho tenxơ biến dạng tại một điểm của vật thể đàn hồi tuyến tính
210.
201
033
032
−








−=εT
Cho biết: 25,0);/(10.2 24 == µcmkNE
Bài tập Chương V
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Hãy xác định:
1- Phương chính và các ứng suất chính.
2- ứng suất tiếp lớn nhất.
Bài 5.3 Cho các chuyển vị:
a
xzw
a
xyv
a
yxxu −==−+= ;;
2
)( 222 νν
Tìm các biến dạng và chứng tỏ chúng thỏa mãn phương trình liên tục.
O
h
z
Mo
x
y
x
b
Bài 5.4 Cho dầm conson mặt 
cắt ngang hình chữ nhật (bxh) 
chịu uốn bởi mômen Mo như 
hình vẽ. 
 nằm trong mặt 
phẳng (xoz). Giả sử các ứng 
suất trong dầm là: 0;/;0 ===−=== zxyzxyzyx aEx τττσσσ
Hãy tìm các biến dạng và chuyển vị.
aEJM yo /=
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
HẾT CHƯƠNG V