Bài giảng Sức bền vật liệu - Phạm Ngọc Khánh

 �
( )y y z x1E � �ε = σ − µ σ + σ� �
( )z z x y1E � �ε = σ − µ σ + σ� �
( )
EG G
2 1
τ = γ =
+ µ
3.4 Lý thuy t b n ế ề
1. Khái ni m:ệ 
 + Khó khăn v LT và TNề
 + TB là các gi thi t v đ b n c a v t li u ả ế ề ộ ề ủ ậ ệ
2. Các thuy t b n:ế ề
 1) TB US pháp l n nh t:ớ ấ
 2) TB US ti p l n nh t:ế ớ ấ
 3) TB Th năng BĐHD: ế
4) TB Mo: 
[ ]2 2tt 3σ = σ + τ σ
[ ] 0Nmin N n
σ
σi σ =
[ ] 0max n
τ
τa τ =
[ ] 0Kmax K n
σ
σa σ =
[ ]2 2tt 4σ = σ + τ σ
[ ]0Ktt 1 3 K
0N0
σ
σ = σ − σ σ
σ
Bài t p:B t bu c:ậ ắ ộ
 3.5 a) b)   3.6   3.10
             Ch ng 4ươ
Đ c tr ng hình h cặ ư ọ
 C a hình ph ngủ ẳ
N i dung: ộ
1. Khái ni mệ
2. Mô men tĩnh và mô men quán tính
3. Công th c chuy n tr c SS c a MMQT ứ ể ụ ủ
4. Các b c gi i bài toán xác đ nh mô menướ ả ị
 quán tính chính trung tâm c a hình ph ng ủ ẳ
 có ít nh t m t tr c đ i x ngấ ộ ụ ố ứ 
 3+1
4.1 Khái ni mệ
Ch ng 2:ươ
Các ch ng sau: F và các đ i l ng đ c tr ngươ ạ ượ ặ ư  cho 
hình d ng m t c t nh h ng đ n kh năng ch u l c ạ ặ ắ ả ưở ế ả ị ự
c a k t c u: ủ ế ấ Các ĐTHH c a m t c tủ ặ ắ 
N
F
σ =
P
P
y
y
x
x
Hình 5-1
a) b)
4.2 mô men t nh và MMQTĩ
1. Mô men tĩnh c a F đ i v i tr c x, tr c y:ủ ố ớ ụ ụ
Tính ch t:ấ
Tr c xụ 0 là tr c trung tâm khi:ụ
Tr ng tâm C(xọ c, yc) c a m t c t: ủ ặ ắ
2. MMQT c a F đ i v i tr c x, y:ủ ố ớ ụ
 
x
F
S ydFS= [ ] 3y
F
S xdF S mS= =
Hình 5-2
A
x
y
y
x
dF
o
F
ρ
i
n
S 0, 0, 0 S SS> < = =
0x
S 0=
y x
C C
S Sx y
F F
= =
2 2 4
x y x y
F F
J y dF J x dF J , J 0, m� �= = >
i
n
J JJ=
3. MMQT c c:ự
4. MMQT ly tâm:
H tr c xy – h tr c quán tính chính:ệ ụ ệ ụ
 m t hình có vô s HTQTC.ộ ố
H tr c xCy – H tr c quán tính chính trung tâm:2 đi u ki n: ệ ụ ệ ụ ề ệ
 1) Là H tr c quán tính chínhệ ụ
 2) G c t a đ t i tr ng tâm C.ố ọ ộ ạ ọ
 M t hình nói chung ch có m t h tr c QTCTT.ộ ỉ ộ ệ ụ
 MMQT c a F đ i v i HTQTCTT g i là ủ ố ớ ọ MMQTCTT 
4
xy xy
F
J xydF J 0, 0, 0 mJ= = > < =
2 4
x y
F
J dF J J J 0 mρ ρρ= ρ = + >
xyJ 0=
Ví d :ụ  Tính MMQT c a m t s  hình  n gi n:ủ ộ ố đơ ả
hh
3 222 2
x
hF h
3
2 2
byJ y dF y b bh
1
dy
2 2
−
−
� �= = = =
0
3
x
3
x
bhJ
12
bhJ
36
=
=
( )4 4
4
4
x y
D dJ 1
32 D
dJ 2J 2J 0,1d
32
ρ
ρ
pi
= − η η =
pi
= = =η
Hình 5-6
y
x
dy
y
h
b
o
Hình 5-7
y
x
dy
y
h
b
by
o
y
xo ρ dρ
ϕdϕ
F
Hình 5-8
C x0
dD
4.3 Công th c CTSS c a ứ ủ
MMQT
H xoy: Bi t Jệ ế x,Jy,Jxy,Sx, Sy

H ệ XO’Y Tìm J
X
,J
Y
, J
XY
=?
X=x+a Y=y+b
H xCy:ệ
( ) 22 2 2X
F F F F F
2 2
X x x Y y y XY xy x y
J Y dF y b dF y dF 2b ydF b dF
J J 2bS b F J J 2aS a F J J aS bS abF
� � � � �= = + = + +
= + + = + + = + + +
x yY yX x
2 2
XYJ JJ b F aJ F bJ a J F= + = + = +
Hình 5-10
A
X
Y
Y
X
dF
O’
F
x
y
o
a
b
y
x
4.4 Các b c gi i BT xác  nh ướ ả đị
MMQTCTT c a hình có ít nh t ủ ấ
1tr c(y)  xụ đ
1. Xác  nh C(xđị c,yc):
Chia F n hình  n gi n đơ ả Ch n h  tr c ban  u ọ ệ ụ đầ
T a   Cọ độ i(xci,yci)
Tính yc:  xc=0, tính yc:
2. K  xCy và tính MMQTCTTẻ
Ci i
C1 1 C2 2 Cn nx n
C
i 1 2 n
n
y F y F y F ... y FSy
F F F F ... F
F
F
+ + +
= = =
+ + +
i i i 2 i
x x x xi i
n
J J J J a FJ= = +
Ví d :ụ Tính MMQTCTT c a hìnhủ
Chia F=F1+F2
Ch n h tr c ban đ u xọ ệ ụ ầ 1C1y1
C1(0,0), C2(0,8)
K h tr c xCyẻ ệ ụ a1=4cm, a2=4cm.
3 3
1 2 2 2 41 1 2 2
x x x 1 1 1 2 2 2
b h b hJ J J a b h a b h 1362,66cm
12 12
� �� �
= + = + + + =� �� �
� �� �
h1=2cm
h2=14cm
Hình 5­17
b1=14cm
b2=2cm
y
x
x1
x2
C
C1
C2
a1=4cm
a2=4cm
2
1
C1 1 C2 2 1 1
C
1 2
y F y F 0.b h 8.2.14y 4cm
F F 2.14 2.14
+ +
= = =
+ +
3 3
1 2 41 1 2 2
y y y
h b h bJ J J 466,66cm
12 12
� �� �
= + = + =� �� �
� �� �
              CÔNG TH C  ÁNG Ứ Đ
NHỚ
Y
X
x
y
C
a1=yc
b
a2
h
xX
2
1J FJ a= +
3
y
hbJ
12
=
3
x
bhJ
12
=
yY
2
2J FJ a= +
CX 1S y F a F= = L ng chuy n ượ ể
tr cụ
Bài t p:ậ B t bu c:ắ ộ
5.1   5.7 a) b)     5.9 a)  b)
              Ch ng ươ
5
 U n ph ngố ẳ
N i dung:ộ
1. Khái ni mệ
2. M i liên h vi phân gi a M,Q,qố ệ ữ
3. U n thu n túy ph ng ố ầ ẳ
4. U n ngang ph ngố ẳ
5. Chuy n v c a d m ch u u nể ị ủ ầ ị ố 
 9+6+1KT+1TN
5.1 Khái ni mệ
1. Đ nh nghĩaị
+ D m: Thanh ch y u ch u u nầ ủ ế ị ố
 + Theo ngo i l c:Ngo i l c (P,q) trùng v i tr c y ho c xạ ự ạ ự ớ ụ ặ
2. N i l c trên m t c t ngang:ộ ự ặ ắ Mx, Qy ho c Mặ y,Qx
 + N u Qế x =Qy =0 U n thu n túyố ầ
 + N u Qế x, Qy ><0  U n ngang ph ngố ẳ
Cách xác đ nh n i l c: PP m t c t ị ộ ự ặ ắ
Quy c d u c a n i l c ướ ấ ủ ộ ự
Q
y
>0Q
y
>0
M
x
>0
z
x
y
Q
y
>0
Mx>0
 Bi u đ n i l c:ể ồ ộ ự
+ BĐNL: Đ th Mồ ị x, Qy = f(z) 
+ Cách v : 4 b c:ẽ ướ
1. Xác đ nh ph n l cị ả ự (n u c n)ế ầ
2. Chia đo n: C s : S bi n đ i c a ngo i l c ạ ơ ở ự ế ổ ủ ạ ự
3. Xét t ng đo n: dùng PP m t c t ->Mừ ạ ặ ắ
x
, Q
y
 = f(z), 
4. V đ th c a các hàm s trên ho c v b ng ẽ ồ ị ủ ố ặ ẽ ằ
nh n xét: Bi u đ n i l cậ ể ồ ộ ự 
Quy t c l y mô men  i v i ắ ấ đố ớ
m t  i m(A)ộ đ ể
1. L c t p trung(P):ự ậ

m
A
(P)=PxTay đòn(r)
2. L c phân b (q):ự ố

m
A
(q)=H p l c(Q) xTay đòn(r)ợ ự
H p l c(Q) = di n tích c a bi u đ phân bợ ự ệ ủ ể ồ ố
Đi m đ t: T i trong tâm C c a bi u để ặ ạ ủ ể ồ 
3. Mô men t p trung(M):ậ

m
A
(M)=M 
P
r
A
A r
C
q
a
rA
C
a
Q=qa/2
Q=qa
q
Ví d :ụ V bi u đ n i l c c a các d m cho trên ẽ ể ồ ộ ự ủ ầ
h.v ẽ
A
P
B
Pℓ
Qy
Mx qℓ2/2
A B
Qy
Mx
q
qℓ
qℓ/2
A B
Qy
Mx
q
qℓ2/8
qℓ/2
P/2
P
P/2
Pℓ/4
Mx
Qy
BA
M
M/ℓ
M/2
M/2
Qy
Mx
BA
 Quy c v bi u đ n i l c:ướ ẽ ể ồ ộ ự
1. Tr c chu n // tr c thanh (m c đ nh)ụ ẩ ụ ặ ị
2. Tr c n i l c vuông góc v i tr c chu n(m c ụ ộ ự ớ ụ ẩ ặ
đ nh)ị
3. Đ các tr s c n thi tề ị ố ầ ế
4. Đ tên bi u đ trong d u tròn sát v i bi u đ ề ể ồ ấ ớ ể ồ
5. Đ d u c a bi u đ trong d u tròn ề ấ ủ ể ồ ấ
6. K các đ ng vuông góc v i tr c chu nẻ ườ ớ ụ ẩ 
 Các nh n xét:ậ
1. Trên đo n: q=0ạ  bđQ=const bđM=b c nh tậ ấ
 q=constbđQ= b c nh t bđM=b c 2, q Q Mậ ấ ậ
2. T i đi m có l c t p trung P tác d ng:ạ ể ự ậ ụ
 bđQ có b c nh y: Chi u, đ l nướ ẩ ề ộ ớ
 bđM có mũi g y: Chi u MG theo chi u P ẫ ề ề
3. T i đi m có mô men t p trung tác d ng: ạ ể ậ ụ
 bđQ không có d u hi u gìấ ệ
 bđM có b c nh y: Chi u, đ l n ướ ẩ ề ộ ớ
* Nh n xét:ậ q – b c nậ  Q-b c n+1, M-b c n+2ậ ậ
+T i MC có Q=0ạ M c c trự ị
+H s góc c a đ ng Q b ng qệ ố ủ ườ ằ
+H s góc c a đ ng M b ng Qệ ố ủ ườ ằ 
* Ý nghĩa c a m i LHVP:ủ ố
1. ki m tra bi u đ :D ng,các b c nh y, c c tr ể ể ồ ạ ướ ẩ ự ị
2. V nhanh bi u đ ẽ ể ồ
3. Gi i bài toán ng c:Bi t 1 bi u đ tìm các bi u đ và ả ượ ế ể ồ ể ồ
TTR 
dz
q(z)>0
Mx+dMx
Qy+dQyQy
Mx
dz
a)
b)
Hình 7-10
q
y y yy 0 Q dQ Q qdz 0
dQ q
dz
d = + − −� ==z
2
o x x x
dzM 0 M dM M Qdz q 0
2
dM Q
dz
d = + − − − =� � =
2
2
d M q
dz
==
5.2 M i liên h vi phân gi a M,Q,qố ệ ữ
 Các nh n xét:ậ
1. Trên đo n:q b c nạ ậ bđQ b c n+1 bđM b c n+2ậ ậ
 q=constbđQ= b c nh t bđM=b c 2, q Q Mậ ấ ậ
2. T i đi m có l c t p trung P tác d ng:ạ ể ự ậ ụ
 bđQ có b c nh y: Chi u, đ l nướ ẩ ề ộ ớ
 bđM có mũi g y: Chi u MG theo chi u P ẫ ề ề
3. T i đi m có mô men t p trung tác d ng: ạ ể ậ ụ
 bđQ không có d u hi u gìấ ệ
 bđM có b c nh y: Chi u, đ l n ướ ẩ ề ộ ớ
4. T i m t c t có Q=0 ạ ặ ắ M c c tr :Ti p tuy n v i bđ Mự ị ế ế ớ
 t i m t c t đó n m ngangạ ặ ắ ằ
Ví d :ụ V bi u đ n i l c c a d mẽ ể ồ ộ ự ủ ầ
H×nh 7­11
l
a
VA VB
q
A Ba) C D
a2aVA
P=qa
M=qa2
E
Qyqa/2
b) qa/2
qa
3qa/2
Mx
9qa2/16
c)
qa2/2
qa2
qa2/2
a b
l
P
A B
VA VB
P.b
l
Qy
P.a
l
Mx
Pab/
lH×nh 7­8
a)
b)
C
Mx
Mb/l
a b
l
M
A B
VA VB
H×nh 7­9
M/l
Qy
M/l
Ma/l
6.3 U n thu n túyố ầ
1. Đ nh nghĩa:ị
2. Tính ng su t trên m t c t ngangứ ấ ặ ắ  
+ Quan sát TN
Nh n xét:ậ
1. Các đ ng th ng//zườ ẳ cong nh ng v n //zư ẫ
2. Các đ ng th ng vuông góc v i zườ ẳ ớ v n vuông góc v i zẫ ớ
 Các góc vuông v n vuôngẫ
x yM 0, Q 0M =
y
y
x
z
Mx
A
Mx Mx
a)
b)
c)
Hình 7-12
  + Các gi  thi t:2ả ế
1. GT v  m t c t ph ngề ặ ắ ẳ : Tr c và sau bi n d ng ướ ế ạ
m t c t ph ng và vuông góc v i tr c thanh.ặ ắ ẳ ớ ụ
2. GT v  các th  d cề ớ ọ  không  y và ép l n nhauđẩ ẫ
       + Nh n xét: Các th  d c có th  b  co, có ậ ớ ọ ớ ị
th  b  dãnớ ị 
       có th  kg co c ng kg dãn: Th  trung hòa ớ ũ ớ
L p Trung        hòaớ  ng trung hòaĐườ .
       GT1.                       GT2.   
x y 0σ = σ =xy 0τ =
z 0 ?0 σ? =
Tính
OO1=dz, AA1=
Tr c trung hòa là tr c trung tâm. y là tr c đ/xụ ụ ụ xy-HTQTCTT
 
zσ
y
y
x
z
Mx
A
Mx
Mx
y
ρ dϕ
O
A A1
O1
dz
dz dz+ ∆
( )dz d dz dz y d= ρ ϕ + ∆ = ρ + ϕ
z
z z
dz y
dz
EyE
∆
ε = =
ρ
σ = ε =
ρ
z z x
F F F
EN dF ydF 0 S ydF 0� � �= σ = = = =ρ
x x
z
x
z
x
2
x x
F F
E EM ydF y dF J M M1 y
EJ J
� � == σ = = =ρρ
σ
ρ
2x
bhw
6
=
x x x
min xnn xn
x xn xnn
M M Jy w
J w y
σ = = =
Wx- mô đun ch ng u n c a m t c t ngangố ố ủ ặ ắ
Wx- c a m t s hình đ n gi nủ ộ ố ơ ả
x x x
max xnk xk
x xk xnk
M M Jy w
J w y
σ = = =
x
2
x
bhw
6
=
b
h
x
y
z
Mx
h y
xn
n
k
n
y n
xn
y k
xn
x
y
Mx
C
z
a) b)
y x
nk
minσ minσ
maxσmaxσ
zσ
Zσ Zσ
zσdD
( ) ( )3 4 3 4x Dw 1 0,1D 132
pi
= − η, − η
d
D
η =
x
3. Ki m tra b n:ể ề
 V t li u dòn:ậ ệ
 V t li u d o:ậ ệ ẻ
4. Hình dáng h p lý c a m t c t ngang:ợ ủ ặ ắ
 Đ nh nghĩa: Cùng F mà kh năng ch u l c l n nh t.ị ả ị ự ớ ấ
 Ch n hình dáng: ọ
 Jx càng l n càng t t->Hình r ngớ ố ỗ
 V t li udòn: Tr c x không là tr c đ i x ngậ ệ ụ ụ ố ứ
 Vât li u d o: Tr c x là tr c đ i x ng ệ ẻ ụ ụ ố ứ
5. Ba bài toán c b n:ơ ả 
[ ]max Kσa σ [ ]min Nσi σ
[ ]zmax σa σ
[ ]max Kσ = σ [ ]min Nσ = σ
[ ]
[ ]
K
xn K
N
xn N
y 1
y
σ
= =
σ
[ ]
[ ]
K
xn K
N
xn N
y
y
σ
=
σ
Ki m tra ể
b nề
Ch n m t ọ ặ
c t ắ
Ch n t i tr ng cho ọ ả ọ
phép 
6.4 U n ngang ph ngố ẳ
1. Đ nh nghĩa:ị
2. ng su t trên m t c t ngang:Ứ ấ ặ ắ
• US pháp:
• US ti p: công th c Jurapski: ế ứ
x yM 0 Q 0M0
M M
b)
c)
Hình 7-15
Q
Q
y
y
x
z
Mx
A
Qy
c
xy
zy c
x
SQ
J b
τ =
a)
c c
x cS y F=
2
y y2
zy max
x
Q Qh 3y
2J 4 2 F
� �
τ = − τ =� �
� �
x
z
x
M y
J
σ =
h/
2
h/
2
y yc
b
x
y
FC
y
max
Q3
2 F
τ =
xC maxτ
y
              CÔNG TH C  ÁNG NHỨ Đ Ớ
Y
X
x
y
C
a1=yc
b
a2
h
2
xX 1J J a F= +
3
y
hbJ
12
=
3
x
bhJ
12
=
2
yY 2J J a F= +
CX 1S y F a F= =
3. Ki m tra b n:ể ề
1. V t li u dòn:ậ ệ
2. V t li u d o:ậ ệ ẻ
• Theo thuy t b n:ế ề
• TB US ti p l n nh tế ớ ấ :
• TB th năng bi n đ i hình dángế ế ổ :
• Chú ý: V i phân t tr t thu n túy:ớ ố ượ ầ
• Theo TB US ti p l n nh t: ế ớ ấ
• Theo TB th năng:ế
• Ví d :ụ
[ ] [ ]max minK NσN σ σi σ
[ ]zmax σa σ
[ ]2 2tt 4σ = σ + τσσ
[ ]2 2tt 3σ = σ + τσσ
[ ] [ ]max 3
σ
τa τ =
[ ] [ ]max 2
σ
τa τ =
Ví d :ụ V bi u đ n i l c: ẽ ể ồ ộ ự
Xác đ nh ph n l c :ị ả ự
Ki m tra: Đúngể
V bi u đ n i l c:ẽ ể ồ ộ ự
AC 1-1 g c t i A ố ạ
CB 2-2
DB: 3-3 
V b ng nh n xétẽ ằ ậ
H×nh 7­11
z1 z2
l
a
VB
q
A Ba) C D
1
1
2
2
3
3
3
a2aVA
P=qa
M=qa2
E
z3
Qyqa/2
b) qa/2
qa
3qa/2
Mx
9qa2/16
c)
qa2/2
qa2
qa2/2
B Am 0 V qa / 2Σ = = +�
A Bm 0 V 5qa / 2Σ = = +�
A By 0 V ,VΣ =V
2
y A x AQ V M M V z qa qaz / 2= − = − = −
( )
y A
2 2
x A
Q V P qz qa / 2 qz
M M V a z qa / 2 qaz / 2 qz / 2
= − + − = −
= − + = + −
2
y xQ qz M qz / 2= = −
A z 0 z aAz0
A z a z 3aAza
z D 0 z azD0
5. Hình dáng h p lý c a m t c t ngang:ợ ủ ặ ắ
1. Đ nh nghĩa:ị Cùng di n tích ch u đ c l c l n nh t.ệ ị ượ ự ớ ấ
2. Đi u ki n:2ề ệ
 v t li u d o: (*)=1 m t c t đ/x; v t li u dòn (*) MC kg đ/xậ ệ ẻ ặ ắ ậ ệ
 Wx càng l n càng t t : m t c t r ng, ch I, T ớ ố ặ ắ ỗ ữ
[ ] [ ]k Nmax maxmax xn min xnK N
x x
M My y
J J
σ = = σ σ = = σ
[ ]
[ ] ( )
K
xn K
N
xn N
y *
y
σ
=
σ
6. Qu đ o ng su t chính:ỹ ạ ứ ấ
 Đ nh nghĩa:ị Các đ ng cong mà ti p tuy n t i m i ườ ế ế ạ ỗ
đi m trùng v i ph ng ng su t chính t i đi m đó ể ớ ươ ứ ấ ạ ể
B
E
C
D
A A
C
B
E
D
Qy
Mx
τ zy
τ max
τ zy
σz
σz
σ3 = σNmax
σ1 = 
σKmax
αmax= 90o
αmax= 45o
σ1 = 
τ max
αmax=0
o
σ1 
σ1 
σ1 
σ1 
σ3 
σ3 
σ3 
σ3 
αmax> 45o
αmax< 45o
Hình 7-20
q
a)
b)
Hình 7-21V :ẽ
Ý nghĩa c a qu đ o ng su t chính:ủ ỹ ạ ứ ấ B trí v t ố ậ
li u ệ
6.5. chuy n v c a d m ch u Uể ị ủ ầ ị
1. Khái ni m:ệ
 Các thành ph n CV:2ầ
 Đ võng yộ ; góc xoay
 Đ ng đàn h i y = y(z) ườ ồ
 M c đích: Tính đ c ng,Gi i BTSTụ ộ ứ ả
2. Ph ng trình vi phân đ ng ĐH:ươ ườ
z
P
z
y(z)
ϕ(z)
y’(z)=ϕ(z)
y
A
A’
B
Hình 8-1
y 'ϕ =
2/32,
,,
]))z(y(1[
)z(y1
+
±=
ρ
)z(y
1 ,,±=
ρ
2y '' 1<<
1 My ''
EJ
My ''
EJ
==
ρ
−=J'
Hình 8-2
z
y
Mx > 0
 y’’< 0
a)
Mx Mx
z
y
Mx < 0
 y’’> 0
b)
Mx Mx
K’
K
3. Thi t l p ph ng trình đ ng ĐH c a d m:ế ậ ươ ườ ủ ầ 3 PP: 
1) PP tích phân tr c ti p:ự ế
Ví d : xác đ nh yụ ị A:
ĐKB:T i B ạ
My''
EJ
= −
dy My ' dz C
dz EJ
d= ϕ = = − +
My dz dz Cz D
EJ
� �
� �
= − + +� �� �
z
P
z
y
A
A’
B

EJ=const
2Pz Pz PzM Pz y '' y ' dz C C
EJ EJ 2EJ
E= − = ϕ = = + = +
3Pzy y 'dz Cz D
6EJ
6= = + +
2 3
2 2 3 2 3 2 3
A A
P Pz y 0, 0 C , D
2EJ 3EJ
Pz P Pz P z P P Py ' y y
2EJ 2EJ 6EJ 2EJ 3EJ 2EJ 3EJ
= = ϕ = = − =�
= ϕ = − = − + ϕ = − = +
 

    
2) PP Đ toán:ồ
Đ t:ặ
Yêu c u: D m,đi u ki n biên ầ ầ ề ệ
c a d m th t ph i t ng ủ ầ ậ ả ươ
đ ng v i d m và đi u ki nươ ớ ầ ề ệ
 biên c a đ m gi . ủ ầ ả
Di n tích và tr ng tâmệ ọ
C a m t s hình (Xemủ ộ ố
Giáo trình)
2
2
d M dQ q
dz dz
= =
2
2
d y d M
dz dz EJ
ϕ
= = −
g
Mq
EJ
= −− g gy M Qϕ� �
2
g g
g2
d M dQ
q
dz dz
= =
A B
A B
A B
C D
A B C
A B
A B
A
B
C
A B
C D
y=0
≠ 0
y=0
≠ 0
y=0
=0
y≠ 0
≠ 0
y=0
≠ 0
y=0
≠ 0
y=0
θ≠ 0
y=0
≠ 0
y≠ 0
≠ 0
y≠ 0
≠ 0
y≠ 0
≠ 0
Mgt=0
Qgr≠ 0
Mgt=0
Qgr≠ 0
Mgt=0
Qgr=0
Mgt≠ 0
Qgr≠ 0
Mgt=0
Qgr≠ 0
Mgt=0
Qgr≠ 0
Mgt≠ 0
Qgr≠ 0
Mgt≠ 0
Qgr≠ 0
Mgt≠ 0
Qgr≠ 0
Mgt=0
Qgr≠ 0
Mgt=0
Qgr≠ 0
D m giầ ảD m th tầ ậ
Ví d :ụ Tính yA, d m có EJ=const.ầ
P
A
B

A
B

P
M
P / EJ
3
A
A g
1 P 2 Py M 0
2 EJ 3 3EJ
= = = >3  
3) Ph ng pháp thông s ban đ u:ươ ố ầ
Khai tri n theo chu i Taylo t i z=aể ỗ ạ
Thay vào đ c:ượ
Trong đó các 
Là các b c nh y c a mô men, l c c t, l c phân b và s gia c a đ o ướ ẩ ủ ự ắ ự ố ố ủ ạ
hàm l c phân b t i z=a.ự ố ạ
Các h s ệ ố
Là các thông s đ u m i đo n, do đó ph ng pháp này còn đ c g i ố ầ ỗ ạ ươ ượ ọ
là ph ng pháp thông s ban đ u. Có đ c y ta xác đ nh đ c ươ ố ầ ượ ị ượ
(i) (i+1)
a
z
y i
(
z)
∆y (z
)
y i
+1
(z
)
qi(z)
qi+1(z)P
a
Ma
∆ya
∆ϕa
Hình 8-5
( )y z∆
!3
)(.
!2
)(.)()()(
32
1
az
EJ
Qaz
EJ
Mazyzyzy aaaaii
−∆
−
−∆
−−∆+∆+=+ ϕ
...
!5
)az(.
EJ
q
!4
)az(.
EJ
q 5,a
4
a +
−∆
−
−∆
−
y ' , M EJy '', Q EJy '''= ϕ = − = −
'
a a a a a ay , , M , Q , q , q∆ ∆ϕ ∆ ∆ ∆ ∆
'
a a a aM , Q , q , q∆ ∆ ∆ ∆
( ) ( ) ( )i 1 iy z y z y z+ = + ∆
Ví d :ụ Vi t ph ng trình y, và tính yế ươ B, 
B ng thông s ban đ u:ả ố ầ
Aϕϕ
Hình 8-8
P=4qa
a
A
B C D
a a
M=qa2
q
VA=9qa/4
VC=11qa/4
Các thông số Đo n AB a*=0ạ Đo n BC a*=aạ Đo n ạ
CDa*=2a
 0 0 0
 0 0
 0 0
 -4qa 11qa/4
      0  0 -q
 0 0 0
∆ϕ
y∆
M∆
Q∆
q∆
q '∆
0 ?ϕ =
2M qa= −
0P 9qa / 4= +
Vi t ph ng trình đ võng:ế ươ ộ
Xác  nh         T i C:đị ạ
Ph ng trình   võng: ươ độ
( ) 32 2 3
2 0
z aqa z 9qa z 4qay z a z 2a
EJ 2! 4EJ 3! EJ 3!
−
= ϕ + − +EJ
3 2 2 3
1
qa qa z 9qa zy z 0 z a
6EJ EJ 2! 4EJ 3!
= + −EJ
( ) ( ) ( )3 3 42 2 3
3 0
z a z 2a z 2aqa z 9qa z 4qa 11qa qy z 2a z 3a
EJ 2! 4EJ 3! EJ 3! 4EJ 3! EJ 4!
− − −
= ϕ + − + − +3!
0ϕ
3
2 0z 2a
qay 0
6EJ=
= ϕ = +�
2 2 3
1 0
qa z 9qa zy z 0 z a
EJ 2! 4EJ 3!
= ϕ + −4E
( ) 33 2 2 3
2
z aqa qa z 9qa z 4qay z a z 2a
6EJ EJ 2! 4EJ 3! EJ 3!
−
= + − +J2
( ) ( ) ( )3 3 43 2 2 3
3
z a z 2a z 2aqa qa z 9qa z 4qa 11qa qy z 2a z 3a
6EJ EJ 2! 4EJ 3! EJ 3! 4EJ 3! EJ 4!
− − −
= + − + − +!4
Ph ng trình góc xoay:ươ
Xác đ nh đ võng t i B và góc xoay t i A:ị ộ ạ ạ
 
y 'ϕ =
3 2 2
1
qa qa z 9qa z 0 z a
6EJ EJ 1! 4EJ 2!
ϕ = + −J1
( ) ( ) ( )2 2 33 2 2
3
z a z 2a z 2aqa qa z 9qa z 4qa 11qa q 2a z 3a
6EJ EJ 1! 4EJ 2! EJ 2! 4EJ 2! EJ 3!
− − −ϕ = + − + − +4E
( ) 23 2 2
2
z aqa qa z 9qa z 4qa a z 2a
6EJ EJ 1! 4EJ 2! EJ 2!
−ϕ = + − +1!
4
B 1 z a
7qay y
24EJ=
= = +J
3
A 1 z 0
qa
24EJ=
ϕ = ϕ = +
4. Bài toán tính toán đ c ng:ộ ứ
5. Bài toán siêu tĩnh:
* D m tĩnh đ nh:ầ ị Đ liên k t : Gi i: Ch c n dùng các ph ng trình ủ ế ả ỉ ầ ươ
cân b ng tĩnh h c.ằ ọ
* D m ST:ầ “th a” liên k t. B c ST c a d m=s liên k t th a tính ừ ế ậ ủ ầ ố ế ừ
chuy n đ i thành liên k t đ n.ể ổ ế ơ
* Cách gi i:ả PT cân b ng+PT b sung.ằ ổ
1) B LK th a thay b ng ph n l c liên k t: d m t ng đ ng.ỏ ừ ằ ả ự ế ầ ươ ươ
2) Bu c đi u ki n bi n d ng d m TĐ=bi n d ng c a d m STộ ề ệ ế ạ ầ ế ạ ủ ầ  
Đ a thêm ph ng trình b sung.ư ươ ổ
3) Gi i các ph ng trình cân b ng và các ph ng trình b sungả ươ ằ ươ ổ  
ph n l c và n i l c c a d m t ng đ ng=ph n l c và n i l c ả ự ộ ự ủ ầ ươ ươ ả ự ộ ự
c a d m Siêu tĩnh. ủ ầ
[ ] maxmax y fy f ���f ���� 
Ví d :ụ V bi u đ n i l c c a d m cho trên hình v .EJ=const.ẽ ể ồ ộ ự ủ ầ ẽ
D m 1 b c ST.ầ ậ q
A B

q 2
8
5q
8
M
a)
b)
c)
Hình 8-13
q
A B
VBq 2
8
3q
8
Q
d)
( ) ( ) ( )B B B B By q, V y q y V 0= + =
( )B By q, V 0=
34
B
B
B
Vqy 0
8EJ 3EJ
3qV
8
= + − =E
= +−


Bài t p: ậ B t bu c:ắ ộ
7.1 b) e)  7.8  7.11  7.12  7.15  7.18 a) 
 7.20  7.22   7.23
 Ch ng 6ươ
 Xo n thanh trònắ
            N i dung:ộ
1.Khái ni mệ
2. ng su t trên m t c t Ứ ấ ặ ắ
ngang
3.Bi n d ng ế ạ
4. i u ki n b n và  i u ki n Đ ề ệ ề đ ề ệ
c ngứ
5.Tính lò xo hình tr  b c ụ ướ
ng nắ
3+2
6.1 Đ nh nghĩa:ị
Thanh tròn ch u xo n thu n túy: Trên m t c t ngang Mị ắ ầ ặ ắ z .
Quy c d u c a n i l c ướ ấ ủ ộ ự
Bi u đ n i l c: Đ thể ồ ộ ự ồ ị
 
z
MZ
M1 m2
a)
MZ<0
MZ>0
b)
Hình 6-1
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
w kw w maluc
M Nm 9950 M Nm 7029
n v/ph n v/ph
= =
( )zM f z=
Ví d :ụ
V  bi u   n i l c: ẽ ể đồ ộ ự
A
B
C D
D’
E
1
1
M1=15kNm 
m=5kNm/m 
M2= 20 M3= 10 kNm
0,5m 1m 0,8m 0,2 0,5m
2
2
3
3
z
M1 MAB 
M1 
z
m MBC 
M3 MCD 
z
15 10
10 10kNm
MZ 
Hình 6-2
a)
b)
c)
6.2 ng su t trên m t c t ngangỨ ấ ặ ắ
Hình 6-4
a) b)
MZ
o
A
τ ρ
ρ
dz
ρ
dϕ
o A
A’
γ
B
AA' dtg
AB dz
ρ ϕγϕ γ = =
dG G
dzρ
ρ ϕ
τ = γ =
z
z
F
M d M
J
F ρρ
ρ
ρ τ == τ ρ= ρ
 Góc tr tượγ
 Góc xo n t đ iắ ỷ ốθ zMd
dz GJρ
ϕθ = =
( )3 4zmax M D dw 1w 16 Dρρ
pi
τ = = − η η = Hình 6-5
MZ
τ ma
x
R
τ ma
x
D
Hình 6-6
d
6.3 Bi n d ngế ạ 
in z z
z
i 1 0
M Mdz M ,GJ const =
GJ GJρ= ρ ρ
ρ ρϕ = = ϕ
 
Ví d :ụ dCB=2dAC=10cm. Tính max AB,τ ϕ
A
C
1
1
m=1kNm/m 
M= 1kNm 
1m
2
2
2kNm
MZ 
Hình 6-7
B
1m
z
z
2kNm
1kNm
a)
b)2AC 2 2max
max 3
M 1.10 4kN / cm 40MN / m
w 0, 2.5ρ
τ = = = =
2
CB 2 2max
max 3
M 2.10 1kN / cm 10MN / m
w 0,2.10ρ
τ = = = =
CBAC1
z CBz
AB AC CB
0
1
7 4 8
0
MM dz
GJ GJ
1.z 2.1dz 0,01 0,025 0,0125rad
GJ 8.10 .0,1.10 .10
ρ ρ
−
ρ
ρ
ρ
ϕ = ϕ + ϕ = + =
= + = + =

6.4 Đi u ki n b n và đi u ki n c ngề ệ ề ề ệ ứ
1.  i u ki n b n:Đ ề ệ ề
 Theo TB th  n ng:ế ă
 Theo TB  ng su t ti p l n nh t:ứ ấ ế ớ ấ
2.   i u ki n c ng:Đ ề ệ ứ
[ ] 0zmax Mw nρ
τ
τ =x τ =
BT ki m tra b nể ề
BT ch n t i tr ng cho ọ ả ọ
phép
BT ch n m t c tọ ặ ắ 
[ ] [ ]
3
σ
τ =
[ ] [ ]
2
σ
τ =
[ ]z maxmax MGJρθ =x θ
6.5 Tính lò xo hình tr b c ng nụ ướ ắ
1
DM P
2
=P τ
[ ] [ ]
2
σ
τ =
Hình 6-10
a)R=D/2
P
P
b)
P
MZ=PR
Q=P
AR
D
Hình 6-11
MZ
R R
2
Q
F
τ =
D- đ ng kính lò xo; d- đ ng kính dây LXườ ườ
B c: kho ng cách gi a 2 vòng LXướ ả ữ
 =(vòng LX, tr c LX)>80ụ 0- LX b c ướ
ng nắ
n- s vòng LXố
[ ] [ ]
2
σ
τ =
α
2Q P=P τ
max 1 2 23
3
DP P2
d0, 2d
4
1,6d PD1
D 0, 4d
τ = τ + τ = + =
pi
� �
= +� �
pi� �
Đ c ng LX: ộ ứ
Đ co dãn c a LX:ộ ủ P
C
λ =
4
3
GdC
8nD
=
Bài t p:ậ B t bu c:ắ ộ
6.3  6.4   6.6  6.10