Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 4: Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng - Trần Minh Tú

niversity of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
5(39)
4.1.2 Chuyển vị
Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi
trường chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị
Chuyển vị
ƒ Chuyển vị cứngƒ Chuyển vị cứng
ƒ Chuyển vị gây biến dạngƒ Chuyển vị gây biến dạng
• Chuyển vị cứng: môi
trường chuyển động
như vật thể cứng sang 
trạng thái mới, khoảng
cách giữa các phần tử
vật chất không thay đổi
• Khoảng cách giữa
các phần tử vật chất
thay đổi
4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
6(39)
- Vec tơ chuyển vị của điểm M:
-Chọn 2 hệ trục toạ độ đồng hành và
qui chiếu cùng gốc, phương và chiều
R
u
r
u r R= −G G JG
- Hình chiếu các thành phần chuyển
vị lên 3 trục:
i i iu = x - X
Mô tả chuyển động
• Lagrange• Lagrange
• Euler• Euler
4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
7(39)
4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động
• Mô tả Lagrange• Mô tả Lagrange
Mô tả các phần tử vật chất tại các thời
điểm t khác nhau
1 1 1 2 3
2 2 1 2 3
3 3 1 2 3
( , , , )
( , , , )
( , , , )
x x X X X t
x x X X X t
x x X X X t
=
=
=
⎧⎪⎨⎪⎩
1 2 3( , , , ) ( , )i i i ix x X X X t x X t= =
( ),iu u X t=G G
R
u
r
xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét
- Xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 - toạ độ (biến 
số) Lagrange
(4.1)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
8(39)
• Cố định Xi thì phương trình (4.1) mô tả vị trí liên tiếp của điểm vậtchất M (quĩ đạo chuyển động). 
• Cố định thời gian t thì (4.1) cho hình ảnh phân bố vật chất trong
môi trường tại thời điểm t 
• Nếu cả Xi và t cùng thay đổi thì (4.1) xác định qui luật chuyểnđộng của môi trường .
4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
9(39)
• Mô tả Euler• Mô tả Euler
Mô tả hiện tượng xảy ra tại điểm không 
gian M1 ở thời điểm t
R
u
r
xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t đang xét - toạ 
độ (biến số) Euler
- Xi - vị trí điểm vật chất tại thời điểm t=0 -
(4.2)
1 1 1 2 3
2 2 1 2 3
3 3 1 2 3
( , , , )
( , , , )
( , , , )
X X x x x t
X X x x x t
X X x x x t
=
=
=
⎧⎪⎨⎪⎩
1 2 3( , , , ) ( , )i i i iX X x x x t X x t= =
( ),G G iu u x t= xi = xi (t)
4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
10(39)
• Nếu cố định M1, thì phương trình (4.2) xác định dòng phần tử vậtchất lần lượt chuyển tới M1 theo thời gian t.
• mô tả Euler phù hợp với việc nghiên cứu dòng
chảy của chất lỏng, chất khí (áp lực, vật tốc dòng
chảy, tại các điểm khác nhau của thành ống)
• mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứu
quĩ đạo chuyển động
4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
11(39)
4.1.5 Quan hệ giữa hai biến số Euler và Lagrange
Mô tả Lagrange
Mô tả Euler
Biến Lagrange Xi
Biến Euler xi
J ≠ 0Chuyển động
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
0i
j
x x x
X X X
dx x x xJ
dX X X X
x x x
X X X
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= = ≠∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
Đại lượng nghiên cứu A
1 2 3( , , , )i iA A X X X t=
1 2 3( , , , )i iA A x x x t=
4.1. Hệ toạ độ và các cách mô tả chuyển động
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
12(39)
4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động
4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động
4.2.1. Đạo hàm vật chất:
Vận tốc thay đổi theo thời gian t của một đại lượng của phần tử vật 
chất gọi là đạo hàm vật chất của đại lượng đó
Đại lượng AĐại lượng A
dt
dA ( )tXAA i ,=Lagrange
Euler ( )txAA i ,=
t
A
dt
dA
∂
∂=→
∑
= ∂
∂+∂
∂= 3
1i i
i x
Av
t
A
dt
dA
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
13(39)
4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động
4.2.2. Vận tốc
Vận tốc chuyển động tức thời của các phần tử vật chất là đạo hàm
của các chuyển vị theo thời gian.
i i
duv u v e
dt
= = =i
GJJGG JG
( ), ;i i i iu u X t X t= ∉Lagrange Euler ( )( ),i iu A x t t=
( ) ( ) ( )1 1 11
1
, , ,i i iu X t u X t u X tduv
dt t t t
∂ ∂ ∂= = + +∂ ∂ ∂
( )j ,ii
i i
u X tduv u
dt t
∂= = = ∂
i
1 1 1 1 1
1 1 2 3
1 2 3
du u u u uv v v v
dt t x x x
∂ ∂ ∂ ∂= = + + +∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ), ,i j i j
i i k
k
u x t u x t
v u v
t x
∂ ∂= = +∂ ∂
i
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
14(39)
4.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động
4.2.3. Gia tốc Là đạo hàm theo thời gian của vec tơ vận tốc
( ), ;i i i iu u X t x t= ∉Lagrange Euler ( )( ),i iu A x t t=
( ) ( ) ( )1 31 1 1 21
1
,, , v X tv X t v X tdva
dt t t t
∂∂ ∂= = + +∂ ∂ ∂
1 1 1 1 1
1 1 2 3
1 2 3
dv v v v va a a a
dt t x x x
∂ ∂ ∂ ∂= = + + +∂ ∂ ∂ ∂
i i
dva v a e
dt
= = =i
GJGG JG
( ) ( ), ,i j i j
i
dv X t v X t
a
dt t
∂= = ∂
( ) ( ) ( ), , ,i j i j i j
i k
k
dv x t v x t v x t
a v
dt t x
∂ ∂= = +∂ ∂
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
15(39)
4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé
4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé
4.3.1. Chuyển vị ở lân cận điểm đã cho
m
m
n
nu 1
u3
2u
u2
u 1
u3
*
*
*
1
1
3x
e
e3
2
1eO
1x
x 2Xét hai điểm vật chất M, N lân cận nhau
M(x1,x2,x3) và N(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3)
Ngoại lực => Biến dạng: M=>M1 và N=> N1
Các thành phần của vec tơ chuyển vị
( )1 1 2 3, ,MM u u uJJJJJG( )* * *1 1 2 3, ,NN u u uJJJJJG
*
1 1 1u u du= +
*
2 2 2u u du= +
*
3 3 3u u du= +( )1 1 iu u x=
( )2 2 iu u x= ( )3 3 iu u x=
khai triển Taylor 
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
16(39)
m
m
n
nu 1
u3
2u
u2
u 1
u3
*
*
*
1
1
3x
e
e3
2
1eO
1x
x 2
* 1 1 1
1 1 1 2 3
1 2 3
u u uu u dx dx dx
x x x
∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂
* 2 2 2
2 2 1 2 3
1 2 3
u u uu u dx dx dx
x x x
∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂
* 3 3 3
3 3 1 2 3
1 2 3
u u uu u dx dx dx
x x x
∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂
Nếu hai điểm khảo sát nằm trong
một mặt phẳng song song với một
mặt toạ độ, đồng thời song song
với một trong hai trục của mặt
phẳng toạ độ thì các phương trình
trên có dạng đơn giản hơn
MN//Ox1x2x3, và MN//Ox1 => 2 3 0dx dx= =
* 1
1 1 1
1
uu u dx
x
∂= + ∂
* 2
2 2 1
1
uu u dx
x
∂= + ∂
* 3
3 3 1
1
uu u dx
x
∂= + ∂
4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
17(39)
4.3.2. Liên hệ vi phân giữa các thành phần chuyển vị và biến dạng bé
Xét biến dạng của phân tố vật chất chứa điểm M(xi)
M
Quan sát biến dạng của hình chiếu
phân tố trên mặt phẳng toạ độ Ox1x2
M => M1: chuyển vị MM1:
u1(x1,x2), u2(x1,x2)
Điểm lân cận N => N1: chuyển vị NN1:
1
1 1
1
uu dx
x
∂+ ∂
2
2 1
1
uu dx
x
∂+ ∂
Điểm lân cận P => P1: chuyển vị PP1:
1
1 2
2
uu dx
x
∂+ ∂ 22 2
2
uu dx
x
∂+ ∂
x1
x2 u1+
∂ u2
∂ x1 dx1
u
2
u2+
∂ u2∂ x2 dx2 P1
M1
N1
dx1
M
u1
N
P
u1+
∂ u1∂ x1 dx1
u2+
∂ u2∂ x1 dx1d x
2 α
β
N2
4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
18(39)
x1
x2 u1+
∂ u2
∂ x1 dx1
u
2
u2+
∂ u2∂ x2 dx2 P1
M1
N1
dx1
M
u1
N
P
u1+
∂ u1∂ x1 dx1
u2+
∂ u2∂ x1 dx1d x
2 α
β
N2
- Biến dạng dài tỉ đối theo các phương
x1, x2 là 11 22,ε ε
1 1
11
M N MN
MN
ε −= 1MN dx=
1 2
1 1 1 2cos
M NM N M Nα= 
(Biến dạng bé)
- Biến dạng góc trong mặt phẳng x1x2 là 12γ
12γ α β= +
Biến dạng bé: sin ; tgα α α
sintgβ β β 
2 1
12
1 2
u u
x x
γ ∂ ∂= +∂ ∂
1
11
1
u
x
ε ∂= ∂
2
22
2
u
x
ε ∂= ∂
3
33
3
u
x
ε ∂= ∂
2 1
12 21 12
1 2
2 u u
x x
γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂
3 2
23 32 23
2 3
2
u u
x x
γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂
3 1
13 31 13
1 3
2 u u
x x
γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂
(4.15) 
1
11
1
;u
x
ε ∂= ∂
2
22
2
u
x
ε ∂= ∂
ij
1
2
ji
j i
uu
x x
ε ⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
19(39)
4.3.3 Ten xơ biến dạng bé
x1
x2
x3
M
K
K1
M1
x3
x1
x2
x1+dx1
x3+dx3
x2+dx2 ds1
ds
1. Biến dạng dài theo phương bất kỳ
Khảo sát một vi phân chiều dài ds = MK 
theo phương ν bất kỳ
- Toạ độ ban đầu: 
( ) ( )1 2 3, , iM x x x M x=
( ) ( )1 1 2 2 3 3, , i iK x dx x dx x dx K x dx+ + + = +
Khi biến dạng MK => M1K1=ds1chuyển vị của M là ui
1( )i iM x u+
1( )i i i iK x dx u du+ + + Biến dạng dài theo phương ν
( )2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 32l l l l l l l l lννε ε ε ε ε ε ε= + + + + + li=dxi/ds
1
2 2
2
22
ds ds
dsνν νν
ε ε −+ =
4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
20(39)
2. Ten xơ biến dạng bé – Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng
Biến dạng dài theo phương bất kỳ, hoặc trạng thái biến dạng tại một
điểm của môi trường dặc trưng bởi 9 thành phần: 3 biến dạng dài theo
ba phương trục toạ độ và 6 biến dạng góc trong ba mặt phẳng vuông
góc với trục toạ độ => tenxơ biến dạng
(4.19) 
11 12 13
11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33
31 32 33
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
Tε
ε γ γε ε ε
ε ε ε γ ε γ
ε ε ε γ γ ε
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0T D Tε ε ε= +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
tb
tb
tb
Dε
ε ε ε ε
ε ε ε ε
ε ε ε ε
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
•Tenxơ lệch biến dạng•Tenxơ lệch biến dạng
•Tenxơ cầu biến dạng:•Tenxơ cầu biến dạng:
0
0 0
0 0
0 0
tb
tb
tb
Tε
ε
ε
ε
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( )11 22 3313tbε ε ε ε= + +
4.3. Quan hệ chuyển vị - biến dạng bé
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
21(39)
4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính
• Tại một điểm luôn tồn tại ba phương vuông góc với nhau, trên ba
phương đó biến dạng trượt bằng không - gọi là phương biến dạng chính
• Các biến dạng tương ứng theo các phương này gọi là biến dạng chính, 
ký hiệu là 11 22 33, ,ε ε ε
•Các biến dạng chính được xác định từ phương trình:
ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = 0 (4.23)
1 11 22 33J ε ε ε= + +
22 23 11 1311 12
2
32 33 31 3321 22
J
ε ε ε εε ε
ε ε ε εε ε= + +
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
J
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
=
4.4. Biến dạng chính – Phương của biến dạng chính
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
22(39)
4.5. Cường độ biến dạng
Cường độ biến dạng là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai của
ten-xơ lệch biến dạng
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 211 22 22 33 33 11 12 23 312 63iε ε ε ε ε ε ε ε ε ε= − + − + − + + + (4.25) 
4.6. Ten-xơ quay
Ngoài biến dạng dài và biến dạng góc, phân tố còn bị quay. Sự quay này được
đặc trưng bởi góc quay của đường chéo phân tố. 
4.5. Cường độ biến dạng
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
23(39)
x
x
2
1M N
QP
P1
N 1
x
x
2
1M N
QP P
Q1 1
α
α/2
β/2
β
• Xét góc quay của đường chéo MQ của hình
chiếu phân tố hình lập phương trên mặt
Ox1x2 quay quanh trục x3, ta ký hiệu là 12ω
α/2 – MN quay góc αα/2 – MN quay góc α
β/2 – MP quay góc ββ/2 – MP quay góc βω12
•Nếu qui ước góc quay là dương, khi đường chéo quay 
ngược chiều kim đồng hồ ta có:
2 1
12
1 2
1
2 2 2
u u
x x
α βω ⎛ ⎞∂ ∂= − = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
2 1
12
1 2
1
2
u u
x x
ω ⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
32
13
3 1
1
2
uu
x x
ω ⎛ ⎞∂∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
3 2
23
2 3
1
2
u u
x x
ω ⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(4.26) 
4.6. Ten-xơ quay
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
24(39)
1
2
ji
ij ji
j i
uu
x x
ω ω⎛ ⎞∂∂= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
1 1
2 2
j i i
ij ij ij
i j j
u u u
x x x
ε γ ω⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Ten xơ biến dạng có thể biểu diễn
1 1 1
1 2 311 12 13 12 31
2 2 12
21 22 23 12 23
1 2 3
31 2331 32 33
3 3 3
1 2 3
0
0
0
u u u
x x x
u u uT
x x x
u u u
x x x
ε
ε ε ε ω ω
ε ε ε ω ω
ω ωε ε ε
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
Ten xơ quay 12 31
12 23
31 23
0
0
0
Tω
ω ω
ω ω
ω ω
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ (4.30) 
4.6. Ten-xơ quay
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
25(39)
4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy
• Vận tốc và gia tốc biến dạng là các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của biến
dạng theo thời gian
• tenxơ vận tốc biến dạng bé• tenxơ vận tốc biến dạng bé
• tenxơ vận tốc xoáy• tenxơ vận tốc xoáy
(đạo hàm bậc nhất của các
thành phần tenxơ quay theo
thời gian) 
11 12 1311 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
Tε
ε γ γε ε ε
ε ε ε γ ε γ
ε ε ε γ γ ε
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
i i ii i i
i i i i i i
i
i i i i i i
3112
12 23
31 23
0
0
0
Tω
ω ω
ω ω
ω ω
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
i i
i i
i i
4.7. Vận tốc – Gia tốc biến dạng – Tenxơ vận tốc xoáy
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
26(39)
4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng
Hệ phương trình hình học Navier-Cauchy 
1
11
1
u
x
ε ∂= ∂
2
22
2
u
x
ε ∂= ∂
3
33
3
u
x
ε ∂= ∂
2 1
12 21 12
1 2
2 u u
x x
γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂
3 2
23 32 23
2 3
2
u u
x x
γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂
3 1
13 31 13
1 3
2
u u
x x
γ γ ε ∂ ∂= = = +∂ ∂
• Bài toán thuận: biết 3 thành
phần chuyển vị => 6 thành
phần biến dạng: OK !!!
• Bài toán thuận: biết 3 thành
phần chuyển vị => 6 thành
phần biến dạng: OK !!!
• Bài toán ngược: Biết 6 thành
phần biến dạng => 3 thành
phần chuyển vị ???
• Bài toán ngược: Biết 6 thành
phần biến dạng => 3 thành
phần chuyển vị ???
V
S
f*
f
3 ẩn, 6 phương trình => giữa
các thành phần biến dạng phải
có ràng buộc
3 ẩn, 6 phương trình => giữa
các thành phần biến dạng phải
có ràng buộc
Các phân tố hình hộp đứng
cạnh nhau trước biến dạng, 
giữa chúng không có khe hở. 
Nếu sự biến dạng của các
phân tố này là tùy ý thì giữa
chúng có khe hở
Các phân tố hình hộp đứng
cạnh nhau trước biến dạng, 
giữa chúng không có khe hở. 
Nếu sự biến dạng của các
phân tố này là tùy ý thì giữa
chúng có khe hở
Điều kiện tương thíchĐiều kiện tương thích
4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
27(39)
Phương trình tương thích biến dạng
Nhóm 1: Quan hệ giữa
các thành phần biến
dạng trong một mặt
phẳng
2 2 2 2
11 22 12 12
2 2
2 1 1 2 1 2
2
x x x x x x
ε ε ε γ∂ ∂ ∂ ∂+ = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 22
33 13 1311
2 2
3 1 1 3 1 3
2
x x x x x x
ε ε γε ∂ ∂ ∂∂ + = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 22
33 23 2322
2 2
3 2 2 3 2 3
2
x x x x x x
ε ε γε ∂ ∂ ∂∂ + = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Nhóm 2: Quan hệ giữa
các thành phần biến
dạng trong các mặt
phẳng khác nhau
2
23 3111 12
2 3 1 1 2 3x x x x x x
ε εε ε⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
31 2322 12
3 1 2 2 3 1x x x x x x
ε εε ε⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
33 23 3112
1 2 3 3 1 2x x x x x x
ε ε εε⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
4.8. Điều kiện tương thích của các biến dạng
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
28(39)
4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn
- Khi xác định tenxơ biến dạng bé ta đã bỏ qua bình phương của biến dạng bé
trong biểu thức
1
2 2
2
22
ds ds
dsνν νν
ε ε −+ =
- Biến dạng là lớn (hữu hạn) thì biến dạng dài ενν2 không thể bỏ qua, nghiệmcủa phương trình (*) phụ thuộc vào
1
2 2ds ds−
1
2 2ds ds− =
Toạ độ vật chất
Lagrange
Toạ độ vật chất
Lagrange
2 2
1 ij2 i jds ds G dX dX− =
Toạ độ không gian
Euler
Toạ độ không gian
Euler
2 2
1 ij2 i jds ds A dx dx− =
Tenxơ biến dạng Almansi
Tenxơ biến dạng Green
4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
29(39)
Toạ độ vật chất LagrangeToạ độ vật chất Lagrange
Tenxơ biến dạng Green 11 12 13
21 22 23
31 32 33
G
G G G
T G G G
G G G
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1
2
j i k k
ij ji
i j i j
u u u uG G
X X X X
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 2 2
31 1 2
11
1 1 1 1
1
2
uu u uG
X X X X
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦2 2 2
32 1 2
22
2 2 2 2
1
2
uu u uG
X X X X
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2 2 2
3 31 2
33
3 3 3 3
1
2
u uu uG
X X X X
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
3 31 2 1 1 2 2
12
2 1 1 2 1 2 1 2
1 1
2 2
u uu u u u u uG
X X X X X X X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 3 31 1 1 2 2
13
1 3 3 1 3 1 3 1
1 1
2 2
u u uu u u u uG
X X X X X X X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 3 32 1 1 2 2
12
3 2 2 3 2 3 2 3
1 1
2 2
u u uu u u u uG
X X X X X X X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Các thành phần trên
đường chéo của tenxơ
biến dạng Green đặc
trưng cho biến dạng dài
theo phương các trục
toạ độ, các thành phần
còn lại dặc trưng cho
biến dạng góc trong các
mặt phẳng vuông góc
với trục toạ độ.
4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
30(39)
Toạ độ không gian EulerToạ độ không gian Euler
Tenxơ biến dạng Almansi
11 12 13
21 22 23
31 32 33
A
A A A
T A A A
A A A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1
2
j i k k
ij ji
i j i j
u u u uA A
x x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2 2 2
31 1 2
11
1 1 1 1
1
2
uu u uA
x x x x
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2 2 2
31 1 2
22
2 2 2 2
1
2
uu u uA
x x x x
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2 2 2
3 31 2
33
3 3 3 3
1
2
u uu uA
x x x x
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
3 31 2 1 1 2 2
12
2 1 1 2 1 2 1 2
1 1
2 2
u uu u u u u uA
x x x x x x x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 3 31 1 1 2 2
13
1 3 3 1 3 1 3 1
1 1
2 2
u u uu u u u uA
x x x x x x x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 3 32 1 1 2 2
23
3 2 2 3 2 3 2 3
1 1
2 2
u u uu u u u uA
x x x x x x x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Các thành phần trên đường
chéo của tenxơ biến dạng
Almansi đặc trưng cho biến
dạng dài theo phương các
trục toạ độ, các thành phần
còn lại dặc trưng cho biến
dạng góc trong các mặt
phẳng vuông góc với trục toạ
độ. 
4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
31(39)
4.9.3. Trường hợp biến dạng bé
- Tenxơ biến dạng Green và tenxơ biến dạng Almansi là hai cách mô tả trạng
thái biến dạng tại một điểm của môi trường, chúng gồm hai thành phần: 
tuyến tính và phi tuyến của đạo hàm bậc nhất các thành phần chuyển vị. 
- Trong trường hợp biến dạng bé, các thành phần phi tuyến trong tenxơ biến
dạng Green và Almansi có thể bỏ qua 
Tenxơ biến dạng bé GreenTenxơ biến dạng bé Green
Tenxơ biến dạng bé EulerTenxơ biến dạng bé Euler
1
2
j i
ij
i j
u uL
X X
⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
1
2
ji
ij
j i
uuE
x x
⎛ ⎞∂∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠- So sánh hai trường hợp, ta thấy khi xét biến dạng bé thì đạo hàm theo biến
Lagrange và Euler là như nhau, do vậy lúc này không cần phân biệt cách mô
tả. Như vậy:
1
2
ji
ij ij ij
j i
uuL E
x x
ε ⎛ ⎞∂∂= = = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
4.9. Quan hệ chuyển vị - biến dạng lớn
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
32(39)