Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 7: Bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc - Trần Minh Tú

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
1(39)
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 
VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI
 I LI 
 L I
Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
®
¹
i
h
ä
c
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
2(39)
Chương 7
Bài toán đàn hồi phẳng
trong hệ toạ độ vuông góc
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
3(39)
NỘI DUNG
7.1. Bài toán ứng suất phẳng7.1. Bài toán ứng suất phẳng
7.2. Bài toán biến dạng phẳng7.2. Bài toán biến dạng phẳng
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
4(39)
Mở đầu
Bài toán không gian: là bài toán tổng quát, các đại lượng tính toán như
ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biến số trong toạ độ
không gian ba chiều.
Bài toán phẳng: Các đại lượng cần xác định chỉ phụ thuộc vào hai
trong ba biến số toạ độ. Loại bài toán này chia làm hai nhóm: bài toán
ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng.
Bài toán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên ứng suất trong
một mặt phẳng. Chẳng hạn tấm tường mỏng chịu lực phân bố đều trên
chiều dày tấm và song song với mặt trung bình.
Bài toán biến dạng phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng trong
một mặt phẳng. Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm chịu tải trọng
không đổi theo chiều dài thuộc lớp bài toán này.
Để thuận tiện khi sử dụng đối với bài toán phẳng ta kí hiệu hệ trục trong
mặt phẳng trung bình tấm là x, y thay cho x1, x2 và trục vuông góc vớimặt trung bình theo phương chiều dày tấm là z.
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
5(39)
7.1. Bài toán ứng suất phẳng
7.1. Bài toán ứng suất phẳng7.1. Bài toán ứng suất phẳng
xyyx τσσ ,,
yσ
xσ
xyτ
xyτ
Giả thiết:
- Tải trọng nằm trong mặt phẳng tấm (xy)
- Chiều dày tấm là bé so với các kích thước
còn lại (h<<D)
- Ví dụ: tấm mỏng
yσ
xσ
xyτ
xyτ ( ) 0=±= hzzσ
( ) 0=±= hzzxτ
( ) 0=±= hzzyτ
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
6(39)
7.1. Bài toán ứng suất phẳng
1. Đặc điểm: 
0zx zy zzσ σ σ= = =
0γ γ= =zx zy
ƒ Giả thiết: (mặt trên và dưới không có tải trọng)=> 
; ; xx yy xyσ σ σ
; ; xx yy xyε ε ε
ƒ Các ẩn số ứng suất: 
ƒ Các ẩn số biến dạng: 
( )1 0
1zz xx yy xx yyE
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = + ≠⎜ ⎟⎣ ⎦⎣ ⎦ −⎝ ⎠
με μ σ σ ε εμ
2. Phương trình cân bằng:
0yxxx xfx y
σσ ∂∂ + + =∂ ∂
0xy yy yfx y
σ σ∂ ∂+ + =∂ ∂
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
7(39)
7.1. Bài toán ứng suất phẳng
3. Phương trình động hình học Cauchy
xx
u
x
ε ∂= ∂ yy
v
y
ε ∂= ∂
1 ( )
2xy
u v
y x
ε ∂ ∂= +∂ ∂
4. Phương trình tương thích: 
yxxy
xyyyxx
∂∂
∂=∂
∂+∂
∂ εεε 2
2
2
2
2
2
1
xx xx yyE
ε σ νσ⎡ ⎤= −⎣ ⎦
5. Phương trình định luật Hooke: 
1
yy yy xxE
ε σ νσ⎡ ⎤= −⎣ ⎦
1 1
2xy xy xyE
νε σ σμ
+= =
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x E
γ
ε
ε
νν
ν
ντ
σ
σ
2
100
01
01
1 2
( )
1zz xx yy
νε = − ε + ε− ν
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
8(39)
7.2. Bài toán biến dạng phẳng
7.2. Bài toán biến dạng phẳng7.2. Bài toán biến dạng phẳng yε
xε
xyγ
xyγxyyx γεε ,,Chỉ tồn tại biến dạng trong một mặt phẳng
z
1
Đoạn chiều dài 1 đ.v
x
y
yσ
xσ
xyτ
xyτ
zσ
Đập nước
Ống trụ chịu áp lực trong hoặc ngoài, 
hai đầu bị ngàm chặt
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
9(39)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
10(39)
7.2. Bài toán biến dạng phẳng
1. Đặc điểm: 
; ; xx yy xyσ σ σ
; ; xx yy xyε ε ε
ƒ Các ẩn số ứng suất: 
ƒ Các ẩn số biến dạng: 
2. Phương trình cân bằng: 0yxxx xfx y
σσ ∂∂ + + =∂ ∂
0xy yy yfx y
σ σ∂ ∂+ + =∂ ∂
ƒ Giả thiết: 0zx zy zzε ε ε= = = 0;zx zy⇒ = =σ σ ( )0zz ≠σ
3. Phương trình động hình học Cauchy
xx
u
x
ε ∂= ∂ yy
v
y
ε ∂= ∂
1 ( )
2xy
u v
y x
ε ∂ ∂= +∂ ∂
4. Phương trình tương thích: 
yxxy
xyyyxx
∂∂
∂=∂
∂+∂
∂ εεε 2
2
2
2
2
2
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
11(39)
Vì: ( )1 0zz zz xx yyEε σ ν σ σ⎡ ⎤= − + =⎣ ⎦ ( )zz xx yy⇒ = +σ ν σ σ
( ) 21 1
1xx xx yy zz xx yyE E
ν νε σ ν σ σ σ σν
− ⎛ ⎞⎡ ⎤= − + = −⎜ ⎟⎣ ⎦ −⎝ ⎠
Mà: 
1
1
1
xx xx yyE
⎡ ⎤= −⎣ ⎦ε σ ν σ
1
1
1
yy yy xxE
⎡ ⎤= −⎣ ⎦ε σ ν σ
1
1
11
2xy xy xyE
+= = νε σ σμ
1/E1 ν1
1 21
EE ν= −
1 1
νν ν= −
( )( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−+=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
xy
y
x
xy
y
x E
γ
ε
ε
ννν
νν
νντ
σ
σ
2
2100
01
01
211
( )zz xx yy= +σ ν σ σ
7.2. Bài toán biến dạng phẳng
5. Phương trình định luật Hooke: 
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
12(39)
7.3.1. Nhận xét chung về các bài toán phẳng:
¾ Các phương trình cơ bản của bài toán biến dạng phẳng và ứng suất
phẳng về mặt toán học là hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau ở
phương trình vật lý (E và E1, ν và ν1) => Phương pháp giải giống nhau.
¾ Bài toán phẳng có 8 ẩn số (3 ứng suất, 3 biến dạng và 2 chuyển vị). 
Ta có 8 phương trình để tìm các nghiệm trên (2 pt cân bằng, 3 pt động
hình học và 3 pt vật lý)
¾ Các điều kiện biên tĩnh học để xác định các hằng số tích phân:
*
xx xy xl m fσ + σ =
*
xy yy yl m fσ + σ =
¾ Có cùng phương trình tương thích
( )2 0xx yyσ σ∇ + = (Biểu diễn biến dạng qua ứng suất kết hợp vớiphương trình cân bằng, lực thể tích =const) 
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
13(39)
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
7.3.2. Hàm ứng suất Airy cho bài toán phẳng
Airy đề xuất cách giải bài toán đàn hồi phẳng: Thay cho việc xác định
ba ẩn ứng suất dựa vào 3 pt, chỉ cần xác định một hàm duy nhất- hàm
ứng suất Airy ϕ(x, y) thỏa mãn:
- Là hàm hai biến độc lập (x, y)- Là hàm hai biến độc lập (x, y)
Do giải theo ứng suất nên phải thoả mãn phương trình tương thích => 
Pt điều hoà Levy có dạng:
- Khi bỏ qua lực thể tích: - Khi bỏ qua lực thể tích: 
2
2
yxx ∂
∂= ϕσ
2
2
xyy ∂
∂= ϕσ yxxy ∂∂
∂−= ϕσ
2
4 4 4
4
4 2 2 42 0x x y y
∂ ∂ ∂∇ = + + =∂ ∂ ∂ ∂
ϕ ϕ ϕϕ Phương trìnhđiều hoà kép
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
14(39)
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
7.3.4. Đường lối giải bài toán LTĐH
Thông thường hàm ứng suất được chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác
(khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục).
a. Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng và chuyển vị đã cho, giải trực
tiếp pt bi điều hòa, từ đó xác định các thành phần ứng suất => Khó
khăn khi muốn có lời giải chính xác.
b. Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm ϕ, từ đó tìm ngược lại tải trọng
từ đk bề mặt. => Chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản.
VD: Khảo sát tấm chữ nhật, tấm tam giác. Cho trước đầy đủ dạng hàm ϕ và
suy ngược lại tải trọng đặt lên biên của tấm.
a
b
c
b
x
yy
x
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
15(39)
Các bước giải:
• Kiểm tra điều kiện: 4 4 44
4 2 2 42 0x x y y
∂ φ ∂ φ ∂ φ∇ ϕ = + + =∂ ∂ ∂ ∂
• Xác định các thành phần ứng suất
2
2
yxx ∂
∂= ϕσ 2
2
xyy ∂
∂= ϕσ
yxxy ∂∂
∂−= ϕσ
2
•Tìm tải trọng theo điều kiện biên
Trên mỗi biên xác định các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài n
với hai trục x, y: l = cos(n,x) ; m = cos(n, y)
• Biểu diễn tải trọng trên biên (phương, chiều và độ lớn)
σxxl + σyxm = fx*
σxyl + σyym = fy*
7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
16(39)
c. Đường lối nửa ngược: Chọn hàm ϕ chứa một số hệ số dưới dạng ẩn, 
sau đó tìm biểu thức ứng suất, rồi buộc những biểu thức này thỏa mãn
đk biên, từ đó xác định được các hệ số và các số hạng chưa biết.
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
17(39)