Bài giảng Đồ họa máy tính

a các hình ảnh thực là sự xác định và xóa bỏ các 
phần của đối tượng hình học mà ta không nhìn thấy được từ một vị trí quan sát. Có nhiều tiếp cận 
chúng ta cần để giải quyết vấn đề này, và cũng có nhiều thuật toán khác nhau đã và đang được phát 
triển để xóa bỏ các phần bị che khuất một cách hiệu quả cho những loại ứng dụng khác nhau. Có 
phương pháp tốn bộ nhớ, một số khác cần nhiều thời gian xử lý hay chỉ áp dụng được cho những 
kiểu đối tượng đặc biệt. 
Các thuật toán về đường khuất và mặt khuất dựa vào xử lý trực tiếp định nghĩa đối tượng hay xử lý 
hình chiếu của các đối tượng đó. Hai tiếp cận này được gọi là các phương pháp không gian đối 
tượng và các phương pháp không gian ảnh. Phương pháp không gian đối tượng xác định các thành 
phần của đối tượng được nhìn thấy bằng cách sử dụng các quan hệ hình học và không gian. Nó 
thực hiện với độ chính xác từ dữ liệu mô tả đối tượng. Trong thuật toán không gian ảnh, tính chất 
nhìn thấy được của một điểm được quyết định bởi điểm ở vị trí pixel trên mặt phẳng chiếu. Hầu 
hết các thuật toán khử mặt khuất dùng phương pháp không gian ảnh, tuy nhiên các phương pháp 
không gian đối tượng vẫn có thể được dùng một cách hiệu quả cho một số trường hợp. Các thuật 
toán khử đường khuất hầu hết dùng phương pháp không gian đối tượng, dù rằng nhiều thuật toán 
khử mặt khuất không gian ảnh có thể dễ dàng được chỉnh sửa cho việc khử đường khuất. Trong 
chương này, chúng ta khảo sát một vài trong số các phương pháp phổ biến để xóa bỏ các đường 
khuất và mặt khuất. 
6.3.1 Phương pháp mặt sau 
Một phương pháp không gian đối tượng đơn giản là phương pháp mặt sau, dựa vào các phương 
trình mặt phẳng: 
Ax + By + Cz + D = 0 (6-9) 
Bất kỳ điểm (x’, y’, z’) trên hệ tọa độ bàn tay trái sẽ ở “phía trong” mặt này nếu nó thỏa bất 
phương trình: 
Ax’ + By’ + Cz’ + D < 0 (6-10) 
Nếu điểm (x’, y’, z’) là vị trí 
quan sát, khi đó bất kỳ mặt 
phẳng nào làm cho bất 
phương trình 6-10 đúng phải 
là một mặt ở đằng sau. Tức là, 
nó là mặt ta không thể nhìn 
thấy từ vị trí quan sát. 
Hình 6.9 Một mặt phẳng với 
tham số C < 0 trong hệ quan 
 40 
sát bàn tay phải được xác định như mặt ở đằng sau khi hướng quan sát cùng chiều với trục z âm. 
Chúng ta có thể thực hiện một cách kiểm tra mặt đằng sau đơn giản hơn bằng cách nhìn ở vector 
pháp tuyến của mặt có phương trình 7-1, vector này có tọa độ Descartes (A, B, C). Trong hệ tọa 
độ bàn tay phải với hướng quan sát cùng chiều với trục z âm (xem hình 6.9), vector có tham số C 
song song với hướng quan sát. Nếu C<0, vector chỉ ra xa khỏi vị trí quan sát, và mặt phải là mặt ở 
đằng sau. Các tham số A, B, C, và D có thể được tính từ tọa độ các đỉnh được xét theo chiều kim 
đồng hồ (thay vì hướng ngược chiều kim đồng hồ được dùng trong hệ tọa độ bàn tay phải). Bất 
phương trình 6-10 sau đó cho một kiểm tra hợp lệ đối với các điểm nằm phía trong. Cũng như vậy, 
các mặt ở đằng sau có các vector chỉ ra xa khỏi vị trí quan sát và được xác định bởi C>0 khi hướng 
quan sát cùng hướng với trục z dương. Trong tất cả các thảo luận sau này trong chương, chúng ta 
giả sử rằng hệ quan sát bàn tay trái được dùng. 
Hình 6.10 Trong hệ quan sát bàn tay trái, khi hướng quan sát cùng chiều với trục zv dương, một 
mặt ở đằng sau là mặt với tham số C>0. 
Bằng việc kiểm tra tham số C ở mỗi mặt của 
đối tượng, ta có thể xác định được ngay tất cả các 
mặt ở đằng sau. Đối với một khối đa diện lồi đơn 
lẻ, như hình kim tự tháp trong hình 6.10, việc 
kiểm tra này xác định tất cả các mặt bị che khuất 
trên đối tượng, bởi vì mỗi mặt thì là hoàn toàn 
được nhìn thấy hoặc hoàn toàn bị che khuất. 
Đối với các đối tượng khác, các kiểm tra phức 
tạp hơn cần được thực hiện để xác định xem các 
mặt là bị che khuất hoàn toàn hay chỉ bị che khuất một phần. 
Hình 6.11 Ảnh một đối tượng với một mặt bị 
che khuất một phần 
Tương tự, chúng ta cần xác định xem các đối tượng là có một 
phần hay toàn bộ bị che khuất bởi các đối tượng khác. Một 
cách tổng quát, việc khử mặt khuất sẽ loại bỏ khoảng một nữa 
số mặt trong một ảnh khi thực hiện các phép kiểm tra tính nhìn 
thấy được sau này. 
6.3.2 Phương pháp vùng đệm độ sâu 
Một tiếp cận không gian ảnh được dùng phổ biến để khử mặt khuất là phương pháp vùng đệm độ 
sâu. Một cách cơ bản, thuật toán này kiểm tra tính nhìn thấy được của các mặt mỗi lần một điểm. 
Với mỗi vị trí pixel (x,y) trên mặt phẳng quan sát, mặt nào có giá trị tọa độ z nhỏ nhất ở vị trí pixel 
đó thì nhìn thấy được. Hình 6.4 trình bày ba mặt có độ sâu khác nhau, với sự quan tâm đến vị trí 
(x, y) trong hệ quan sát bàn tay trái. Mặt S1 có giá trị z nhỏ nhất ở vị trí này vì vậy giá trị độ sáng 
ở (x, y) được lưu. 
 41 
Hai vùng đệm được cần để cài đặt phương pháp này. Một vùng đệm độ sâu được dùng để lưu trữ 
các giá trị z cho mỗi vị trí (x, y) của các mặt được so sánh. Vùng đệm thứ hai là vùng đệm làm tươi 
(hay còn gọi là vùng đệm khung), lưu giữ các giá trị độ sáng cho mỗi vị trí (x, y). 
Phương pháp này có thể được thực hiện hiệu quả trong các hệ tọa độ chuẩn, với các giá trị độ sâu 
thay đổi từ 0 đến 1. Giả sử rằng một không gian chiếu được ánh xạ vào một không gian quan sát 
hình hộp chuẩn, ánh xạ của mỗi mặt lên mặt phẳng quan sát là một phép chiếu trực giao. Độ sâu 
của các điểm trên bề mặt của một đa giác được tính từ phương trình mặt phẳng. Ban đầu, tất cả các 
vị trí trong vùng đệm độ sâu được đặt giá trị 1 (độ sâu lớn nhất), và vùng đệm làm tươi được khởi 
tạo giá trị của độ sáng nền. Mỗi mặt (đã được lập danh sách trong các bảng đa giác sau đó được xử 
lý. Mỗi lần một đường quét tính độ sâu, hoặc giá trị z, ở mỗi vị trí (x, y). Giá trị z vừa được tính 
xong sẽ được so sánh với các giá trị lưu trữ trước đó trong vùng đệm độ sâu ở vị trí đó. Nếu giá trị 
z vừa được tính xong nhỏ hơn các giá trị trước đó, giá trị z mới sẽ được lưu, và độ sáng của mặt ở 
vị trí đó cũng được cập nhật lại vào vị trí tương ứng trong vùng đệm làm tươi. 
Hình 6.12 Ở vị trí (x, y), mặt S1 có giá độ sâu 
nhỏ nhất và vì thế được nhìn thấy ở ví trí đó 
Chúng ta có thể tổng kết các bước của thuật 
toán vùng đệm độ sâu như sau: 
1. Khởi tạo vùng đệm độ sâu và vùng đệm làm 
tươi để với tất cả các vị trí (x,y), depth(x, y) =1 
và refresh(x, y) = background. 
2. Đối với mỗi vị trí trên mỗi mặt, so sánh các 
giá trị độ sâu với các giá trị độ sâu được lưu 
trước đó trong vùng đệm độ sâu để xác định 
tính chất nhìn thấy được. 
a. Tính giá trị z cho mỗi vị trí (x, y) trên mặt. 
b. Nếu z < depth(x, y) thì đặt lại depth(x, y)= z và refresh(x, y) = i , với i là giá trị độ sáng trên 
mặt ở vị trí (x, y). Trong bước cuối cùng, nếu z không nhỏ hơn giá trị trong vùng đệm độ sâu ở vị 
trí đó, điểm không được nhìn thấy. Khi quá trình này được hoàn thành cho tất cả các mặt, vùng 
đệm độ sâu chứa các giá trị z của các mặt nhìn thấy được và vùng đệm làm tươi chỉ chứa các giá 
trị độ sáng của các mặt nhìn thấy được đó. Các giá trị độ sâu cho một vị trí (x, y) được tính từ 
phương trình của mỗi mặt: 
 (6-11) 
Với mỗi đường quét bất kỳ (xem hình 6.5), các tọa độ x 
trên cùng đường quét sai khác nhau 1, và các giá trị y giữa 
hai đường quét cũng sai khác nhau 1. Nếu độ sâu của vị trí 
(x,y) được xác định là z, khi đó độ sâu z’ của vị trí kế tiếp 
(x+1, y) dọc theo theo đường quét có được từ phương trình 
C
DByAx
z
)( 

 42 
6.4 như sau: Với mỗi đường quét bất kỳ, các tọa độ x trên cùng đường quét sai khác nhau 1, và các 
giá trị y giữa hai đường quét cũng sai khác nhau 1. Nếu độ sâu của vị trí (x,y) được xác định là z, 
khi đó độ sâu z’ của vị trí kế tiếp (x+1, y) dọc theo theo đường quét có được như sau: 
hình 6.13 
 hoặc 
C
A
zz'  (6-12) 
Tỷ số A/C không đổi với mỗi mặt, vì vậy giá trị độ sâu của điểm kế tiếp trên cùng đường quét có 
được từ giá trị trước đó với một phép trừ. Chúng ta thu được các giá trị độ sâu giữa các đường quét 
theo cách tương tự. Một lần nữa giả sử rằng vị trí (x, y) có độ sâu z. Khi đó ở vị trí (x, y-1) trên 
đường quét ngay bên dưới, giá trị độ sâu được tính từ phương trình mặt phẳng như sau: 
 hoặc 
C
B
z'z'  (6-13) 
Độ sâu z được cộng thêm tỷ số B/C. Phương pháp vùng đệm độ sâu thì dễ dàng để cài đặt, và nó 
không cần sắp xếp các mặt trong ảnh. Nhưng nó cần đến một vùng đệm thứ hai đó là vùng đệm 
làm tươi. Một hệ thống với độ phân giải 1024 x 1024 có thể cần hơn một triệu vị trí trong vùng 
đệm độ sâu, với mỗi vị trí cần đủ bit để lưu giữ các tọa độ z tăng. Một cách để giảm bớt không 
gian lưu giữ cần thiết là tại mỗi thời điểm chỉ xử một phần của ảnh, dùng một vùng độ sâu nhỏ 
hơn. Sau mỗi phần ảnh được xử lý xong, vùng đệm được dùng lại cho phần kế tiếp. 
6.3.3 Phương pháp phân chia vùng 
Kỹ thuật khử mặt khuất này thì hiệu quả cho phương pháp không gian ảnh, nhưng các phương pháp 
không gian đối tượng có thể được dùng để thực hiện việc sắp xếp các mặt theo độ sâu. Phương pháp 
phân chia vùng tận dụng các thuận lợi của các vùng cố kết trong ảnh bằng cách xác định các vùng quan 
sát này để tách chúng làm nhiều phần nhỏ, mỗi phần được xem như một mặt đơn lẻ. Chúng ta áp dụng 
phương pháp này bằng cách phân chia thành công toàn bộ vùng quan sát thành các hình chữ nhật càng 
lúc càng nhỏ cho đến khi mỗi vùng nhỏ là hình chiếu của một phần của một mặt đơn lẻ nhìn thấy được, 
hoặc cho đến khi không thể tiếp tục phân chia. 
Hình 6.14 Các phần chia được thực hiện 
thành công với phép chia 2. 
Để thực hiện phương pháp này, ta cần xây dựng các phép kiểm 
tra để xác định nhanh chóng vùng là một phần của một mặt đơn 
lẻ hoặc cho ta biết vùng thì quá phức tạp để phân tích bình 
thường. Bắt đầu với cái nhìn tổng thể, ta áp dụng các phép kiểm 
tra để xác định xem có nên phân chia toàn bộ vùng thành các hình 
chữ nhật nhỏ hơn không. Nếu các phép kiểm tra chỉ ra rằng mặt quan sát đủ phức tạp, ta phân chia nó. 
Kế tiếp, chúng ta áp dụng các phép kiểm tra đến mỗi vùng nhỏ hơn, chia nhỏ những vùng này nếu các 
phép kiểm tra xác định rằng tính nhìn thấy được của một mặt đơn là vẫn chưa chắc chắn. Chúng ta tiếp 
tục quá trình này đến khi các phần phân chia là dễ dàng được phân tích như là một mặt đơn lẻ hoặc đến 
C
DBy1)A(x
z'
)( 

C
D)1)B(yAx(
'z'


 43 
khi chúng được thu giảm kích thước thành một pixel. 
Một cách để phân chia một vùng thành công là chia kích thước nó ra làm 2, như trong hình 6.6. 
Một vùng quan sát với độ phân giải 1024x1024 có thể được chia 10 lần trước khi một phần chia 
giảm thành 1 điểm. Các phép kiểm tra để xác định tính nhìn thấy được của một mặt đơn trong 
phạm vi vùng chỉ định được thực hiện bằng cách so sánh các mặt với biên của vùng. Có bốn khả 
năng có thể xảy ra khi xem xét mối quan hệ giữa một mặt với biên vùng chỉ định. Ta có thể mô tả 
đặc điểm của các quan hệ này theo các cách sau như hình dưới đây. 
Hình 6.15 Các 
quan hệ có thể 
xảy ra giữa các 
mặt đa giác và 
một vùng chữ 
nhật. 
 Mặt bao 
quanh là mặt hoàn toàn bao quanh một vùng. 
 Mặt nằm chồng là mặt có một phần nằm trong và một phần nằm ngoài vùng. 
 Mặt bên trong là mặt hoàn toàn nằm bên trong vùng. 
 Mặt bên ngoài là mặt hoàn toàn nằm bên ngoài vùng. 
Các phép kiểm tra để xác định tính nhìn thấy được của mặt trong phạm vị một vùng có thể được đề 
cập giới hạn trong bốn loại này. Không có sự phân chia nào thêm nữa cho một vùng nếu một trong 
các điều kiện sau là đúng: 
1. Tất cả các mặt nằm bên ngoài vùng. 
2. Chỉ một mặt bên trong, mặt nằm chồng hoặc mặt bao quanh ở trong vùng. 
3. Một mặt bao quanh che khuất tất cả các mặt khác trong phạm vi các biên của vùng. 
Kiểm tra 1 có thể được thực hiện bằng cách kiểm tra các biên chữ nhật bao quanh các mặt với biên 
của vùng. Kiểm tra 2 cũng có thể dùng các biên chữ nhật trong mặt xy để xác định mặt nằm trong. 
Với những kiểu mặt khác, các biên chữ nhật có thể được dùng như một bước kiểm tra ban đầu. 
Nếu một biên chữ nhật cắt vùng theo cách nào đó, các kiểm tra tiếp theo mới được thực hiện để 
xác định xem mặt là: mặt bao quanh, mặt nằm chồng, hay mặt bên ngoài. Nếu được xác định là 
mặt bên trong, mặt nằm chồng, hay mặt bao quanh, các giá trị độ sáng của nó được chuyển đến 
vùng thích hợp trong vùng đệm khung. 
Hình 6.16 Một mặt bao quanh với độ 
sâu lớn nhất của zmax (xét trong vùng 
quan sát) che khuất tất cả các mặt mà độ 
 44 
sâu nhỏ nhất xmin của chúng lớn hơn zmax. 
Một phương pháp để thực hiện bước 3 là sắp xếp các mặt dựa theo độ sâu nhỏ nhất của chúng. Sau 
đó, với mỗi mặt bao quanh, ta đi tính giá trị z lớn nhất trong vùng được xem xét. Nếu giá trị lớn 
nhất z của một mặt nào (trong số các mặt mặt bao quanh) nhỏ hơn giá trị z nhỏ nhất của các mặt 
còn lại trong vùng, kiểm tra 3 thỏa mãn không. 
Một phương pháp khác để thực hiện kiểm tra 3 mà không cần đến sắp xếp độ sâu là dùng các 
phương trình mặt phẳng để tính các giá trị z ở bốn đỉnh của vùng cho tất cả các mặt bao quanh, 
mặt nằm chồng, hay mặt bên trong. Nếu các giá trị z của một trong số các mặt bao quanh mà nhỏ 
hơn các giá trị z của các mặt còn lại, kiểm tra 3 đúng. Sau đó vùng có thể được tô với các giá trị độ 
sáng của mặt bao quanh.Trong vài trường hợp, cả hai phương pháp cho kiểm tra 3 trên sẽ thất bại 
để xác định đúng một mặt bao quanh che khuất tất cả các mặt còn lại khác. Việc kiểm tra thêm nữa 
sẽ được thực hiện để xác định mặt đơn che phủ vùng, tuy nhiên, thuật toán sẽ nhanh hơn nếu ta 
phân chia vùng hơn là tiếp tục làm các kiểm tra phức tạp. Khi các mặt bên ngoài và mặt bao quanh 
vừa được xác định cho một vùng, chúng nó sẽ còn lại các mặt bên ngoài và bao quanh cho tất cả 
các phần phân chia của vùng. Hơn nữa, vài mặt bên trong và mặt nằm chồng có thể đang chờ để bị 
loại bỏ khi quá trình phân chia tiếp tục, để các vùng trở nên dễ dàng hơn cho phân tích. Trong 
trường hợp đã đi đến giới hạn, kích thước vùng chia chỉ còn là 1 pixel, ta đơn giản đi tính độ sâu 
của mỗi mặt có liên quan ở điểm đó và chuyển giá trị độ sáng của mặt gần nhất vào vùng đệm 
khung. 
Hình 6.17 Vùng A được phân 
chia thành A1 và A2 bằng cách 
dùng biên của mặt S trên mặt 
phẳng chiếu. 
Như một thay đổi lên quá trình 
phân chia cơ bản, ta có thể phân 
chia các vùng dọc theo biên của 
mặt thay vì chia chúng làm 2. Nếu 
các mặt vừa được sắp theo độ sâu 
nhỏ nhất, ta có thể dùng mặt có giá 
trị z nhỏ nhất để phân chia một 
vùng được cho. 
Hình 6.17 minh họa phương pháp này để phân chia các vùng. Hình chiếu của biên mặt S được 
dùng để phân chia vùng ban đầu thành các phần A1 và A2. Mặt S sau đó trở thành mặt bao quanh 
của A1 và các phép kiểm tra 2 và 3 có thể được áp dụng để xác định xem việc phân chia thêm nữa 
có cần thiết không. Trong trường hợp tổng quát, sự phân chia ít hơn được cần dùng tiếp cận này, 
tuy nhiên nhiều xử lý thêm nữa sẽ được cần để chia vùng và phân tích mối liên hệ giữa các mặt với 
các biên vùng chia. 
6.4 Bài tập áp dụng 
Bài 1 Viết chương trình vẽ đường cong Bezier. 
Bài 2 Viết chương trình vẽ mặt lưới B – Spline. 
Bài 3 Viết chương trình vẽ phối cảnh hình khối cầu, lăng trụ.. . 
 45 
Gợi ý: Sử dụng thư viện đồ họa Direct X hoặc OpenGL. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
- Đặng Văn Đức. Kỹ thuật đồ họa máy tính. Viện Công nghệ thông tin. 2002. 
- Donald Hearn, M. Pauline Baker, Computer Graphics, Prentice-Hall Inc., Englewood 
Cliffs, New Jersey, 1986. 
- F.S.Hill, Computer graphics, 1990 
ĐỀ THI THAM KHẢO 
Các đề thi có thời gian làm bài 60 phút 
Đề số 1 
Câu 1 Cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(0, 40); B(-37, 125); C(40, -81). Hãy tìm tọa độ 
mới của các điểm trên qua biến đổi: 
a. Phép biến đổi tỷ lệ với hệ số tỷ lệ theo trục hoành là 3, trục tung là 2. 
b. Phép quay góc 60o , ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. 
Câu 2 Hãy tìm các hệ số p và tọa độ các điểm sẽ nảy sinh của đoạn thẳng được vẽ theo giải thuật 
bresenham, nếu biết đoạn thẳng đi qua hai điểm là A(5, 10) và B(15, 15). 
Đề số 2 
Câu 1 Cho hệ 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(43, 0); B(25, -67); C(-40, -34). Hãy tìm tọa 
độ mới của các điểm trên qua biến đổi: 
a. Phép tịnh tiến với hệ số tịnh tiến theo trục hoành là 44, trục tung là -81. 
b. Phép đối xứng qua trục tung. 
c. Tìm ma trận biến đổi của 2 phép tịnh tiến và phép đối xứng trên. 
Câu 2 Hãy tìm các hệ số p và tọa độ các điểm sẽ nảy sinh của đoạn thẳng được vẽ theo giải thuật 
midpoint, nếu biết đoạn thẳng đi qua hai điểm là A(0, 13) và B(10, 7). 
Đề số 3 
Câu 1 Cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(43, 0); B(25, -67); C(-40, -34). Hãy tìm tọa độ 
mới của các điểm trên qua biến đổi: 
a. Phép biến dạng với hệ số biến dạng theo trục hoành là 4, trục tung là 3. 
b. Phép quay góc 45o , ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. 
Câu 2 Hãy tìm hệ số p và tọa độ của 10 điểm sẽ nảy sinh đầu tiên của cung 1/8 đường tròn được 
vẽ theo giải thuật midpoint, nếu biết đường tròn có tâm (10, -25) và bán kính 90. 
Đề số 4 
Câu 1 Cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(0, 0); B(67, -46); C(-9, 22). Hãy tìm tọa độ mới 
của các điểm trên qua biến đổi: 
a. Phép đối xứng qua trục hoành. 
b. Phép biến đổi tỷ lệ với hệ số tỷ lệ theo trục hoành là 2, trục tung là 1. 
c. Tìm ma trận biến đổi của 2 phép đối xứng và phép biến đổi tỷ lệ trên. 
 46 
Câu 2 Hãy tìm hệ số p và tọa độ của 32 điểm sẽ nảy sinh đầu tiên của đường tròn được vẽ theo giải 
thuật midpoint, nếu biết đường tròn có tâm (-30, -12) và bán kính 60. 
Đề số 5 
Câu 1 Cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(0, 1, 18); B(7, -16, 9); C(-9, 12, 4). Hãy tìm tọa 
độ mới của các điểm trên qua biến đổi: 
a. Phép biến dạng theo trục z, hệ số biến dạng tác động lên hoành độ là 3, lên tung độ là 2. 
b. Tìm ma trận biến đổi của phép đối xứng qua đường y = x. 
Câu 2 Cho cửa sổ giới hạn bởi điểm trên trái có tọa độ (10, 76) và điểm dưới phải có tọa độ (60, 
24). Áp dụng giải thuật Cohen-Sutherland thực hiện cắt xén các đoạn thẳng sau với biên cửa sổ: 
 √ Đoạn thẳng AB: A(4, 35); A(50, 80) 
 √ Đoạn thẳng CD: C(47, 29); D(55, 3) 
 √ Đoạn thẳng EF: E(-10, 29); F(0, 3) 
Đề số 6 
Câu 1 Cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(1, -6, -18); B(16, 7, -9); C(0, 4, -3). Hãy tìm tọa 
độ mới của các điểm trên qua biến đổi: 
a. Phép biến đổi tỷ lệ, hệ số biến đổi theo trục x là 1, trục y là 3, trục z là 2. 
b. Tìm ma trận biến đổi của phép đối xứng qua đường y = -x. 
Câu 2 Cho cửa sổ giới hạn bởi điểm trên trái có tọa độ (4, 50) và điểm dưới phải có tọa độ (60, -
30). Áp dụng giải thuật Cohen-Sutherland thực hiện cắt xén các đoạn thẳng sau với biên cửa sổ: 
 √ Đoạn thẳng AB: A(24, 0); B(40, 90) 
 √ Đoạn thẳng CD: C(38, -35); D(55, 0) 
 √ Đoạn thẳng EF: E(-10, 29); F(0, 3) 
Đề số 7 
Câu 1 Cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(0, 1, 18); B(7, -16, 9); C(-9, 12, 4). Hãy tìm tọa 
độ mới của các điểm trên qua biến đổi: 
a. Phép tịnh tiến, hệ số tịnh tiến theo trục x là 10, trục y là -15, trục z là 30. 
b. Tìm ma trận biến đổi của phép đối xứng qua đường y = x. 
Câu 2 Cho cửa sổ ở hệ tọa độ thực giới hạn bởi điểm trên trái có tọa độ (10, 76) và điểm dưới phải 
có tọa độ (60, 24); cửa sổ quan sát giới hạn bởi điểm trên trái có tọa độ (-15, 15) và điểm dưới phải 
có tọa độ (-10, 24). Cho tam giác ABC xác định trong hệ tọa độ như sau: A(14, 35); B(50, 29); 
C(47, 39). Tìm tọa độ mới của tam giác trong cửa sổ quan sát. 
Đề số 8 
Câu 1 Cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(-1, -6, 8); B(6, 0, -39); C(4, 0, -2). Hãy tìm tọa 
độ mới của các điểm trên qua biến đổi: 
a. Phép biến đổi tỷ lệ, hệ số biến đổi theo trục x là 2, trục y là 3, trục z là 1. 
b. Tìm ma trận biến đổi của phép đối xứng qua đường y = -x. 
 47 
Câu 2 Cho cửa sổ ở hệ tọa độ thực giới hạn bởi điểm trên trái có tọa độ (20, 80) và điểm dưới phải 
có tọa độ (50, 34); cửa sổ quan sát giới hạn bởi điểm trên trái có tọa độ (-15, 20) và điểm dưới phải 
có tọa độ (-12, 25). Cho tam giác ABC xác định trong hệ tọa độ như sau: A(14, 35); B(50, 29); 
C(47, 39). Tìm tọa độ mới của tam giác trong cửa sổ quan sát. 
ybx ii ]122)1(
x
y
x[2 


