Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân - Đặng Văn Vinh

'' '' '' ''
xx xy yx yyf dxdx f dxdy f dxdy f dydy   
2 '' 2 '' '' 2( , ) 2xx xy yyd f x y f dx f dxdy f dy  
n
nd f dx dy f
x y
  
    
Một cách hình thức, cĩ cơng thức tính vi phân cấp n. Sử dụng nhị thức Newton
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Cơng thức vi phân cấp 3 của hàm f = f(x,y) 
2 33 2
3 3f dx dy f dx dy f dy f
x x y x y y
                                           
3 3 3 3
3 3 2 2 3
3 2 2 3
3 3
f f f f
d f dx dx dy dxdy dy
x x y x y y
   
   
     
4
4d f dx dy f
x y
  
    
4 4 4 4 4
0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
4 4 4 4 44 3 2 2 3 4
f f f f f
C dx C dx dy C dx dy C dxdy C dy
x x y x y x y y
    
    
       
Cơng thức vi phân cấp 4: 
3
3d f dx dy f
x y
  
    
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải. 
Ví dụ 
Tìm vi phân cấp hai , biết 
( , ) xyf x y e
' '' 2 '', (1 )xy xy xyx xx xyf ye f y e f e xy    
' '' 2 .xy xyy yyf xe f x e  
Vi phân cấp hai 
2 '' 2 '' '' 22xx xy yyd f f dx f dxdy f dy  
 2 2 2 2 2( , ) (1 )2xyd f x y e y dx xy dxdy x dy   
2 (1,1)d f
 2 2 2(1,1) 4d f e dx dxdy dy  
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải. 
Ví dụ 
Tìm vi phân cấp hai , biết 
( , )
y
f x y
x

' '' ''
2 3 2
2 1
,x xx xy
y y
f f f
x x x
 
   
' ''1 0.y yyf f
x
  
Vi phân cấp hai 
2 '' 2 '' '' 22xx xy yyd f f dx f dxdy f dy  
2 2 2
2 3
4
( , ) 0
y y
d f x y dx dxdy dy
x x

  
2 (1,1)d f
2 2(1,1) 4d f dx dxdy  
Giải. 
I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y) 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng 
2 3(1.03) (1.98)A  
0 01, 2x y 
2 3( , )f x y x y Chọn hàm 
0 1.03 1 0.03dx x x x       
' '
0 0( , ) ( , ) x yf f x y f x y df f dx f dy     
' '(1.03,1.98) (1,2) (1,2).(0.03) (1,2)( 0.02)x yf f f f   
Chọn giá trị gần với 1.03, 1.98: 
0 1.98 2 0.02dy y y y       
2
2 3 2 3
2 3
2
x y
dx dy
x y x y
 
 
2 3 2 3.4(1.03) (1.98) (1.03,1.98) 3 (0.03) ( 0.02)
3 2.3
A f       2.98
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Hàm một biến 
' ' '( ) ( ) ( ) ( )
( )
f f u
f x f u u x
u u x

  

Hàm hai biến: trường hợp 1 
' ' ' ' ' '( ) ( ) ; ( )
( , )
yx yx
f f u
f f u u f
yx
f u u
u u

    

Trường hợp 2. 
' ' ' ' '
( , )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
u v
f f u v
u u x f x f u x f v x
v v x


     
 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải. 
Ví dụ 
Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợp 
2
( ) , sin( )uf f u e u xy  
2' ' '( ) 2 . cos( )ux xf f u u ue y xy  
2sin ( )( , ) xyf f x y e 
2' ' '( ) 2 . cos( )uy yf f u u ue x xy  
2sin ( )2sin( ) . cos( )xyxy e y xy
2sin ( )2sin( ) . cos( )xyxy e x xy
Giải. ' ' ' ' '( ) ( ) ( )u v
df
f x f u x f v x
dx
    
Ví dụ 
Tìm , biết 3 2( , ) ln( ), , sinxf f u v u v uv u e v x    'xf
2 31 13 sin(2 )xu v e u x
u v
         
   
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Trường hợp 3 
' ' ' ' '
' ' ' ' '
( , )
( , )
( , )
u v
u
x x x
y vy y
f f u v
f f u f v
u u x y
f f u f v
v v x y

   

    
f = f(u,v) 
u = u(x,y) v = v(x,y) 
 y x y 
'
xf
'
yf
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải. 
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 2 2( , ) , ( , ) , ( , )uvf f u v e u x y x y v x y xy    
' ' ' ' ' .2 .uv uvx u x v xf f u f v ve x ue y     
2 2( )( , ) x y xyf f x y e  
' ' ' ' ' .2 .uv uvy u y v yf f u f v ve y ue x     
' ',x yf f
2 2 2 2' ( ) 2 2 ( ).2 ( ) .x y xy x y xyxf xye x x y e y
   
2 2 2 2' ( ) 2 2 ( ).2 ( ) .x y xy x y xyyf xye y x y e x
   
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Trường hợp 4 
( , )
( )
f f x y
y y x



Thay y = y(x) vào ta được hàm một biến theo x: 
df f dx f dy
dx x dx y dx
 
   
 
f f dy
x y dx
 
  
 
f = f(x,y) là một hàm hai biến theo x và y. Khi đĩ ta cĩ khái niệm đạo 
hàm riêng theo x: 
'
x
f
f
x



Trong trường hợp này vừa tồn tại đạo hàm của f theo x như là đạo hàm df
dx
của hàm một biến x, vừa tồn tại đạo hàm riêng của f theo x. 
f
x


II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm của hàm  2 2( , ) , ( ) ln 1xyf f x y e x y y y x x x      
 
'2 2xy xy
x
f
e x y ye xy
x

   

,
f df
x dx


 
'2 2xy xy
y
f
e x y xe x
y

   

  
'
' 2
2
1
( ) ln 1
1
dy
y x x x
dx x
    

df f f dy
dx x y dx
 
  
 
2
2
1
2 ( )
1
xy xyye xy xe x
x
    

II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Đạo hàm cấp hai của hàm hợp 
( , )
( , )
( , )
f f u v
u u x y
v v x y



 
' ' ' ' '
x u x v xf f u f v       
' ''' ' ' ' ' '
xx x u x v xx x
f f f u f v    
   
' '' ' ' '
u x v xx x
f u f v           
' '''' '' ' ' ' ''
x u x x v xx xu vx x
u f u v f vf f     
       
'' '' ' ' ''' ' '' ' ' ''' ' ''
v x v xu vu x u xu v x u xx x v xx
u ff u f u f vv uf v f v           
     


  
   
2 2'' ' '' ' ' ' '' '' ' ' '' ' ' ''
uu x uv x x u xx vu x x vv x v xxf u f v u f u f v u f v f v             
 là hàm 
hợp hai biến u,v 
'
uf
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 
2 2( , ) 2 , ( , ) , ( , ) 3f f u v u v u x y xy v x y x y     
' ' ' ' ' 22 . 2.1x u x v xf f u f v u y     
''
xyf
   
' ''' ' 22 . 2xy x y y
f f u y   
 
''' 2 ' 22 . 2 . 2 .2xy yy
f u y u y u y  
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 2( , ) , ( , ) , ( , ) 2uvf f u v e u x y xy y v x y x y     ''
xyf
' ' ' ' ' . .2uv uvx u x v xf f u f v ve y ue       
''' . .2uv uvxy y
f ve y ue  
   
' '
. . 2( 2 ) 2uv uvuv uv
y
v
y
ue y v y ve x ye ee u     
     
' '' '' . .uv uvy yu v
uv
y
e u ee v  .( 2 ) .1uv uvve x y ue  
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Đạo hàm cấp hai của hàm hợp 
( )
( , )
f f u
u u x y



' ' '( )x xf f u u 
   
' ''' ' ' '( )xx x xx x
f f f u u      
'''' ' ')) (( x x xx
u f uf u u   
 
'' ' ' ' ''( ) ( ) ( )x xxx u f uf uu u u
    
  
  
2'' ' ' ''( ) ( )x xxf u u f u u   
   
' ''' ' ' '( )xy x xy y
f f f u u      
'''' ' ')) (( x x yy
u f uf u u   
 
'' ' ' ' ''( ) ( ) ( )x xyy u f uf uu u u
    
  

'' ' ' ' ''( ) ( )x y xyf u u u f u u    
 là hàm 
hợp một biến u 
'( )f u
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 
2( ) ln , ( , ) yf f u u u x y xy e   
' ' ' 21( ) .x xf f u u y
u
  
''
xyf
 
'
''' ' 21 .xy x y
y
f f y
u
     
 
'
'' 21 1. .2xy
y
f y y
u u
   
 
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 2( )yf f x e ''xyf
2
2
1 1
(2 ). .2yxy e y y
uu
   
' ' ' '( ) ( ).2x xf f u u f u x   
2( , ) yu x y x e Đặt 
 
''' ' ( ).2xy y
f f u x ''2 . ( ). yx f u e
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Vi phân cấp một của hàm hợp 
( , )
( , )
( , )
f f u v
u u x y
v v x y



 
' '
x ydf f dx f dy      ' ' ' ' ' ' ' 'u x v x u y v yf u f v dx f u f v dy       
u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập. 
Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta được hàm f theo hai biến
x, y độc lập. 
   ' ' ' ' ' 'u x y v x yf u dx u dy f v dx v dy    ' 'u vf du f dv 
' ' (1)u vdf f du f dv 
' ' (2)x ydf f dx f dy 
Tùy theo bài tốn mà ta dùng cơng thức (1) hoặc
(2). Thường dùng cơng thức số (1) 
Hai cơng thức giống nhau. Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập
Nên ta nĩi: vi phân cấp một cĩ tính bất biến. 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 2( , ) , ( , ) ; ( , ) 2 3uvf f u v e u x y xy v x y x y    
' '
u vdf f du f dv 
df
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 
1
( ) , ( , ) ln( 2 )f f u u x y x y
u
   df
 ' '2
1
x yu dx u dy
u
  
' ( )df f u du
2 2du y dx xydy  2 3dv dx dy 
2( 2 ) (2 3 )uv uvdf ve y dx xydy ue dx dy    2( 2 ) (2 3 )uv uve vy u dx e vxy u dy   
2
1 1 2
2 2
dx dy
x y x yu
 
     
Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều cĩ thể dùng ' 'x ydf f dx f dy 
nhưng việc tính tốn phức tạp hơn. 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
' '
u vdf f du f dv 
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 2( 2 , )xyf f x y e df
2 2du xdx dy  xy xydv ye dx xe dy 
Đặt 2 2 ; xyu x y v e  
Ta cĩ 
2( , ); ( , ) 2 , ( , ) xyf f u v u x y x y v x y e   
' '(2 2 ) ( )xy xyu vdf f xdx dy f ye dx xe dy   
Chú ý: Cĩ thể dùng ' '
x ydf f dx f dy 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Vi phân cấp hai của hàm hợp 
( , )
( , )
( , )
f f u v
u u x y
v v x y



 
2 ( )d f d df
Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên du, dv khơng là hằng số 
' '( )u vd f du f dv 
   ' 'u vd f du d f dv 
   2 ' ' ' '( ) ( )u u v vd f d f du f d du d f dv f d dv       
 là những hàm hợp hai biến 
' ',u vf f
     
' '' ' '
u u uu v
d f f du f dv       
' '' ' '
v v vu v
d f f du f dv 
   2 2,d du d u d dv d v 
Vi phân cấp hai khơng cịn tính bất biến. 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Vi phân cấp hai của hàm hợp 
( )
( , )
f f u
u u x y



2 ( )d f d df '( ( ) )d f u du
   ' '( ) ( )d f u du f u d du   
 
'2 ' ' 2( ) ( ) ( )d f f u u du du f u d u   
'' 2 ' 2( ) ( )f u du f u d u  
Tĩm lại: 
Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của hàm hợp ta lấy đạo hàm (vi
phân) của đạo hàm (vi phân) cấp một và phải biết phân biệt là hàm hợp mấy
biến. 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 
2 2 2( , ) 2 ; ( , ) 2 ; ( , )f f u v u v u x y xy x v x y x y      
2d f
' '
vudufd vf df      ( 2) 2 22 2y dx xdy xdx yv dy  
    2 ( ) 2 ( 2) 2 2 2d f d df d y dx xdy v xdx ydy     
     2 2 ( 2) 2 2 2d f d y dx xdy d v xdx ydy    
     2 2 ( 2) ) 2 ( 2 2 2 2 2 2d f d y dx d xdy xdx ydy dv vd xdx ydy      
(( 2) )d y dx  ( )d xdy
 2 2d xdx ydy  (2 ) (2 )d xdx d ydy  2 22 2dx dy 
( 2)dxd y  dxdy dxdy
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
' ( )df f u du
Ví dụ 
Tìm của hàm hợp 
2( 3 )f f x y 2d f
Đặt 2 3u x y 
Ta cĩ 
2( ); ( , ) 3f f u u x y x y  
2 '( ) ( ( )(2 3 ))d f d df d f u xdx dy  
' ( )(2 3 )ú f u xdx dy 
2 ' '(2 3 ) ( ( )) ( ) (2 3 )d f xdx dy d f u f u d xdx dy     
'( ( ))d f u '' ( )f u du '' ( ) (2 3 )f u xdx dy  
(2 3 )d xdx dy  (2 ) (3 )d xdx d dy  2 0dxdx  22dx
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn ( , ) 0F x y  ( )y y x
sao cho với mọi x thuộc miền xác định của f. ( , ( )) 0F x y x 
Sử dụng cơng thức tính đạo hàm của hàm hợp: 
0
F dx F dy
x dx y dx
 
   
 
0
F F dy
x y dx
 
   
 
'
'
/
/
x
y
Fdy F x
dx F y F
 
   
 
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình 
2 2 xyxy x y e  
' ( )y x
Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình, chú ý y là hàm theo x. 
' ' '2 2 ( )xyy x y x y y e y x y        '
2
( )
2
xy
xy
ye x y
y x
x y xe
 
 
 
Cách 2. Sử dụng cơng thức. Chú ý ở đây sử dụng đạo hàm riêng! 
2 2( , ) 0xyF x y xy x y e    
' '2 ; 2xy xyx yF y x ye F x y xe     
'
'
'
2
( )
2
xy
x
xy
y
F y x ye
y x
F x y xe
 
    
 
Chú ý. Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách. Cách 1, đạo hàm hai vế coi
là hàm theo x. Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng. 
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giả sử phương trình xác định một hàm ẩn . ( , , ) 0F x y z  ( , )z z x y
sao cho với mọi (x,y) thuộc miền xác định của z. ( , , ( , )) 0F x y z x y 
Sử dụng cơng thức tính đạo hàm của hàm hợp, chú ý x, y là hai biến độc lập,
là hàm theo x, y 
0
F dx F z
x dx z x
  
   
  
0
F F z
x z x
  
   
  
'
'
/
/
x
z
FF x
F z
z
Fx

  
  
  
'
'
/
/
y
z
FF y
F z
z
Fy

  
  
  
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình 
z x yx y z e    
'
xz
Cách 1. Đạo hàm hai vế phương trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo
' '1 ( 1)z x yx xz e z
    '
1
1
1
z x y
x z x y
e
z
e
 
 

  

Cách 2. Sử dụng cơng thức. Chú ý ở đây x là biến, y và z là hằng! 
( , , ) 0z x yF x y z x y z e      
' '1 ; 1z x y z x yx zF e F e
       
'
'
'
1
1
1
z x y
x
x z x y
z
F e
z
F e
 
 

     
 
Tương tự tìm đạo hàm riêng của z theo y. 
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định lý (về hàm ẩn) . 
Cho hàm thỏa các điều kiện sau: ( , )F x y
2) 
0 0(( , )) 0F x y 
1) Xác định, liên tục trong hình trịn mở tâm bán kính 0 0 0( , )M x y r0( , )B M r
4) Tồn tại trong các đạo hàm riêng liên tục ,
F F
x y
 
 0
( , )B M r
3) 0 0
( , )
0
F x y
y



Khi đĩ xác định trong lân cận U của một hàm thỏa ( , ) 0F x y  0x ( )y y x
 và trong U. Ngồi ra y = y(x) khả vi, liên tục trong 
0 0( )y y x ( , ( )) 0F x y x 
'
'
/
/
x
y
Fdy F x
dx F y F
 
   
 
Chứng minh. 
III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Chú ý. Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y. Nên vi phân cấp một, 
cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai 
của hàm f = f(x,y) trong phần I. 
Đạo hàm riêng cấp hai của hàm ẩn: z = z(x,y) 
1) Tìm đạo hàm riêng cấp 1 (bằng 1 trong hai cách) 
2) . Chú ý: x là hằng, y là biến, z là hàm theo y.  
''
''' '
'
x
xy x y
z y
F
z z
F
 
   
 
Vi phân cấp 1 của hàm ẩn: z = z(x,y): ' '
x ydz z dx z dy 
Vi phân cấp 2 của hàm ẩn: z = z(x,y) 
2 '' 2 '' '' 22xx xy yyd z z dx z dxdy z dy  
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình 
3 3 32 3 2 3 0, (1,1) 2. x y z xyz y z       
(1,1)dz
3 3 3( , , ) 2 3 2 3 0F x y z x y z xyz y      
' 23 3xF x yz 
' 26 3 2yF y xz  
' 23 3zF z xy 
' 2 2
'
' 2 2
3 3
3 3
x
x
z
F x yz yz x
z
F z xy z xy
 
    
 
' 1.( 2) 1.1(1,1) 1
4 1
xz
 
   

' 2
'
' 2
6 3 2
3 3
y
y
z
F y xz
z
F z xy
 
   

' 14(1,1)
9
yz  
Vi phân cấp 1: 
' ' 14
9
x ydz z dx z dy dx dy    
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình 
2 2 2 x y zx y z e    
''
xyz
2 2 2( , , ) 0x y zF x y z x y z e      
' 2 2 22 2x y zxF x e x x y z
       ' 2 2 22 2x y zzF z e z x y z
      
' 2 2 2
'
' 2 2 2
2
2
x
x
z
F x x y z
z
F x y z z
  
  
  
'2 2 2
''
2 2 2
2
2
xy
y
x x y z
z
x y z z
   
     
Đạo hàm theo y, coi x là hằng, 
y là biến, z là hàm theo y! 
 
' ' '
22 2 2
( 2 2 ) (2 2 2 )
2
mẫu tửy y yy z z y z z z
x y z z
         

  
II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình 
2 2 2 3xyz x y z   
2 2( , , ) 2 3 0F x y z xyz x y z     
' 2xF yz x 
' 2yF xz y 
' 2zF xy 
'
'
'
2 2
2 2
x
x
z
F yz x yz x
z
F xy xy
 
    
 
' ''
''
'
2
2
x
xy
z yy
F yz x
z
F xy
   
        
2z
x y

 
Coi x là hằng, y là biến, 
z là hàm theo y 
 
 
'
2
( ) 2 ( 2 ) ( )
2
yz yz xy yz x x
xy
      


II. Bài tập 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
II. Bài tập 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
II. Bài tập 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------