Giáo trình Quy hoạch tuyến tính - Chương IV: Ứng dụng quy hoạch tuyến tính

iên người ta trình bày bài toán vận tải dưới dạng bảng như sau : 
Thu 
Cước 
Phát 
b1 b2 .... bj .... bn
a1 c11
x11
c12
x12
.... 
.... 
c1j
x1j
.... 
.... 
c1n
x1n
a2 c21
x21
c22
x22
.... 
.... 
c2j
x2j
.... 
.... 
c2n
x2n
.... .... .... .... .... .... 
ai ci1
xi1
ci2
xi2
.... 
.... 
cij
xij
.... 
.... 
cin
xin
.... .... .... .... .... .... .... 
am cm1
xm1
cm2
xm2
.... 
.... 
cmj
xmj
.... 
.... 
cmn
xmn
 Trong bảng mỗi hàng mô tả một điểm phát, mỗi cột mô tả một điểm thu, mỗi ô 
mô tả một tuyến đường đi từ một điểm phát tới một điểm thu. 
 Dây chuyền - Chu trình 
 Một dãy các ô của bảng mà hai ô liên tiếp nằm trong cùng một hàng hoặc một 
cột, ba ô liên tiếp không cùng nằm trên một hàng hoặc một cột được gọi là một dây 
chuyền. Ta thấy rằng hai ô liền nhau trong một dây chuyền có chỉ số hàng hoặc chỉ số 
cột bằng nhau 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
105 
 x x 
 x x 
x x 
Dây chuyền : (1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (4,4) (4,1) 
 Một dây chuyền khép kín, ô đầu tiên và ô cuối cùng bằng nhau, được gọi là 
một chu trình.Ta thấy rằng số ô trong một chu trình là một số chẵn. 
x x 
 x x 
x x 
Chu trình : (1,1) (1,3) (2,3) (2,4) (4,4) (4,1) (1,1) 
 Ô chọn - Ô loại 
 Giả sử ma trận X=[xij]m.n (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n) là một phương án của bài 
toán vận tải. 
 Những ô trong bảng tương ứng với xij >0 được gọi là ô chọn, những ô còn lại 
được gọi là ô loại. 
 Phương án cơ bản 
 Một phương án mà các ô chọn không tạo thành một chu trình được gọi là 
phương án cơ bản. 
 Một phương án có đủ m+n-1 ô chọn được gọi là không suy biến, có ít hơn 
m+n-1 ô chọn được gọi là suy biến. Trong trường hợp suy biến người ta chọn bổ sung 
vào phương án cơ bản một số ô loại có lượng hàng bằng 0 để phương án cơ bản trở 
thành không suy biến 
 c- Giải bài toán vận tải 
 Xét bài toán vận tải có số lượng phát, số lượng thu và ma trân cước phí ở dạng 
bảng như sau : 
 80 20 60 
50 5 4 1 
40 3 2 6 
70 7 9 11 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
106 
LẬP PHƯƠNG ÁN CƠ BẢN BAN ĐẦU 
 Phương án cơ bản ban đầu được xác định bằng cách ưu tiên phân phối nhiều 
nhất vào ô có cước phí nhỏ nhất (r,s) ( gọi là ô chọn). Khi đó : nếu điểm phát r đã phát 
hết hàng thì xóa hàng r của bảng và số lượng cần thu tại điểm s chỉ còn là bs-ar ; nếu 
điểm thu s đã nhận đủ hàng thì xóa cột s của bảng và số lượng phát còn lại tại điểm 
phát r là ar-bs
 Bảng mới thu được có kích thước giảm đi. Tiếp tục phân phối như trên cho 
đến khi hết hàng. 
 Các ô chọn trong quá trình phân phối, sẽ không chứa chu trình, là một phương 
án cơ bản. Nếu phương án cơ bản suy biến, chưa đủ m+n-1 ô, thì bổ sung thêm một số 
" ô chọn 0 " 
 Áp dụng vào bài toán đang xét : 
 1- Phân vào ô (1,3) 50 . Hàng (1) bị xóa . Cột (3) còn thu 60-50=10 
 80 20 10 
0 5 4 1 50 
40 3 2 6 
70 7 9 11 
 2- Phân vào ô (2,2) 20 . Cột (2) bị xóa . Hàng (2) còn phát 40-20=20 
 80 0 10 
0 5 4 1 50 
20 3 2 20 6 
70 7 9 11 
 3- Phân vào ô (2,1) 20 . Hàng (2) bị xóa . Cột (1) còn thu 80-20=60 
 60 0 10 
0 5 4 1 50 
0 3 20 2 20 6 
70 7 9 11 
 4- Phân vào ô (3,1) 60 . Cột (1) bị xóa . Hàng (3) còn phát 70-60=10 
 0 0 10 
0 5 4 1 50 
0 3 20 2 20 6 
10 7 60 9 11 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
107 
 5- Phân vào ô (3,3) 10. Hết hàng. 
 0 0 0 
0 5 4 1 50 
0 3 20 2 20 6 
0 7 60 9 11 10 
 Đã có 5 ô được chọn, chúng tạo thành một phương án cơ bản không suy biến 
vì số ô bằng với m+n-1=3+3-1. 
THUẬT TOÁN "QUY 0 CƯỚC PHÍ CÁC Ô CHỌN" 
 Định lý 
 Nếu cộng vào hàng i và cột j của ma trận cước phí C=[cij] một số tùy ý ri và sj 
thì bài toán vận tải mới với ma trận cước phí mới C'=[c'ij=cij+ri+sj] thì phương án tối 
ưu của bài toán này cũng là phương án tối ưu của bài toán kia và ngược lại. 
 Thuật toán "Quy 0 cước phí các ô chọn" gồm ba giai đoạn. 
Giai đoạn 1 : Quy 0 cước phí các ô chọn 
 Sau khi xác định được phương án cơ bản có m+n-1 ô chọn, người ta cộng vào 
mỗi hàng i và mỗi cột j của ma trận cước phí C=[cij] một số ri và sj sao cho ma trận 
cước phí mới C' tại các ô chọn thỏa c'ij=cij+ri+sj=0. 
 Tiếp tục ví dụ trên ta thấy : 
5 4 1 50 r1=6 
3 20 2 20 6 r2=0 
7 60 9 11 10 r3=-4 
s1=-3 s2=-2 s3=-7 
 Các giá trị cộng vào phải thỏa hệ phương trình : 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
=++
=++
0sr11
0sr7
0sr2
0sr3
0sr1
33
13
22
12
31
 Chọn r2=0 , giải hệ ta được kết quả trên 
 Ma trận cước phí mới thu được là : 
8 8 0 50 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
108 
0 20 0 20 -1 
0 60 3 0 10 
Giai đoạn 2 : Kiểm tra tính tối ưu 
 Sau khi quy 0 cước phí các ô chọn nếu : các ô loại đều có cước phí ≥ 0 thì 
phương án đang xét là tối ưu, ngược lại thì chuyển sang giai đoạn 3 
 Trong ví dụ này ta chuyển sang giai đoạn 3. 
Giai đoạn 3 : Xây dựng phương án mới tốt hơn 
 1- Tìm ô đưa vào. 
 Ô đưa vào là ô loại (i*,j*) có cước phí nhỏ nhất và trở thành ô chọn 
 Trong ví dụ này là ô (2,3). 
 2- Tìm chu trình điều chỉnh. 
Chu trình điều chỉnh được tìm bằng cách bổ sung ô (i*,j*) vào m+n-1 ô 
chọn ban đầu, khi đó sẽ xuất hiện một chu trình duy nhất, gọi là chu trình điều chỉnh 
V . 
 Trong ví dụ này chu trình điều chỉnh là : 
 V : (2,3) (3,3) (3,1) (2,1) (2,3) 
 3- Phân ô chẵn lẻ cho chu trình điều chỉnh. 
 Đánh số thứ tự các ô trong chu trình điều chỉnh V bắt đầu từ ô (i*,j*). 
Khi đó chu trình điều chỉnh V được phân thành hai lớp : 
 VC : các ô có số thứ tự chẵn. 
 VL : các ô có số thứ tự lẻ. 
 4- Tìm ô đưa ra và lượng điều chỉnh. 
 Trong số các ô có thứ tự chẵn chọn ô (r,s) được phân phối ít hàng nhất 
làm ô đưa ra, trở thành ô loại. Lượng hàng xrs ở ô đưa ra gọi là lượng điều chỉnh. 
 Trong ví dụ này ô đưa ra là ô (3,3), lượng điều chỉnh là 10. 
 5- Lập phương án mới. 
 Phương án mới có được bằng cách thêm hoặc bớt lượng điều chỉnh 
trên chu trình điều chỉnh như sau : 
 Ô có thứ tự chẵn bị bớt đi lượng điều chỉnh. 
 Ô có thứ tự lẻ được cộng thêm lượng điều chỉnh. 
 Ô ngoài chu trình điều chỉnh không thay đổi 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
109 
 Trong ví dụ này ta thấy những ô trong chu trình điều chỉnh có sự thay đổi như 
sau : 
 Ô (2,3) được thêm 10 trở thành 10 
 Ô (3,3) bị bớt 10 trở thành 0 
 Ô (3,1) được thêm 10 trở thành 70 
 Ô (2,1) bị bớt 10 nên trở thành 10 
 Khi đó phương án mới là : 
8 8 0 50 
0 10 0 20 -1 10 
0 70 3 0 
 Quay về giai đoạn 1. 
Giai đoạn 1 : Quy 0 cước phí ô chọn 
8 8 0 50 r1=-1 
0 10 0 20 -1 10 r2=0 
0 70 3 0 r3=0 
s1=0 s2=0 s3=1 
 Ma trận cước phí mới là : 
7 7 0 50 
0 10 0 20 0 10 
0 70 3 1 
Giai đoạn 2 : Kiểm tra tính tối ưu 
 Đây là phương án tối ưu 
 80 20 60 
50 5 4 1 50 
40 3 10 2 20 6 10 
70 7 70 9 11 
 Với cước phí là : 
1.50+3.10+2.20+6.10+7.70=670 
 Khi sử dụng phương án ban đầu 
 80 20 60 
50 5 4 1 50 
40 3 20 2 20 6 
70 7 60 9 11 10 
 thì cước phí là : 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
110 
1.50+3.20+2.20+7.60+11.10=680 
 4- Các bài toán được đưa về bài toán vận tải 
 Có nhiều bài toán thực tế có tính chất không phải là ’’vận tải ’’ nhưng có mô 
hình toán học là bài toán vận tải. Một số bài toán như vậy là : 
 a- Bài toán bổ nhiệm 
 Giả sử tập hợp S gồm m người và tập hợp D gồm n công việc (chức vụ). Cước 
phí của việc bổ nhiệm người i∈S vào việc j∈D là cij (i=1→m , j=1→n). Bài toán đặt 
ra là tìm cách chia mỗi người đúng một việc sao cho cước phí bổ nhiệm là nhỏ nhất. 
 Người ta đặt biến (biến trên dòng) như sau : 
 ⎪⎩
⎪⎨
⎧=
kh¸c hîp tr-êng nÕu
j viÖc nhËn i ng-êi nÕu
 0
 1
x ij
thì bài toán trở thành : 
 ∑∑
∈ ∈Si Dj
ijijxc min
 Vì mỗi người nhận đúng 1 việc nên : ∑
∈
∈∀=
Dj
ij S)i( 1x 
 Vì mỗi việc chỉ giao cho một người nên : ∑
∈
∈∀=
Si
ij D)j( 1x 
 Đây là bài toán vận tải nhưng có thêm yêu cầu là các biến xij chỉ lấy giá trị 0 
hoặc 1. 
 Bài toán bổ nhiệm cũng có khi được gọi là bài toán chọn (Choice Problem). 
Nhiều bài toán thực tế đa dạng có mô hình toán học là bài toán bổ nhiệm, chẳng hạn 
như bài toán phân bố hoả lực vào mục tiêu cần tiêu diệt. 
 b- Bài toán vận tải với cung ít hơn cầu 
 Xét một bài toán một bài toán vận tải với S là tập hợp m nút cung và D là tập 
hợp n nút cầu mà tổng nguồn cung nhỏ hơn tổng nhu cầu, tức là 
 ∑∑
==
≤
n
1j
j
m
1i
i ds
Trong trường hợp này tất nhiên không thể đáp ứng đủ nhu cầu dj cho mỗi nút j=1→n 
cho nên ràng buộc có dạng bất đẳng thức thay vì là đẳng thức. Vậy : 
 n)1j( dx j
m
1i
ij →=∀≤∑
=
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
111 
 Người ta thường đưa bài toán này về bài toán vận tải (đóng) theo một trong hai 
trường hợp sau đây : 
1.Trường hợp thứ nhất là có tính đến sự thiệt hại bằng tiền khi thiếu 
một đơn vị hàng hoá ở nút cầu j là rj (j=1→n) 
 Lúc này người ta đưa thêm vào một nút cung giả (m+1) với nguồn cung là 
 ∑∑
==
+ −=
n
1i
i
n
1j
j1m sds
và cước phí tương ứng là 
 c(m+1) j = rj (j=1→n) 
Khi đó ta nhận được một bài toán vận tải (đóng) 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
→=+→=≥
→==
→==
∑
∑
∑∑
=
+
=
+
= =
n)1j1,m1(i 0x
m)1(i sx
n)1(j dx
xc min
ij
n
1j
iij
j
1m
1i
ij
1m
1i
n
1j
ijij
 2.Trường hợp thứ hai là không tính đến sự thiệt hại do thiếu hàng ở nút 
cầu 
Lúc này ta cũng đưa về bài toán vận tải (đóng) như trên, nhưng vì 
không tính đến sự thiệt hại nên mục tiêu sẽ là 
∑∑
= =
m
1i
n
1j
ijijxc min 
 Ghi chú : 
 Với bài toán vận tải mở, nguồn chuyển không hết sang các nhu cầu, người ta 
có thể tính thêm cước phí lưu kho ở mỗi nguồn cho mỗi đơn vị hàng là ci (n+1) 
(i=1→m) . Hoàn toàn tương tự như trên, khi đưa bài toán này về bài toán vận tải 
(đóng) bằng cách thêm vào nút cầu giả (n+1) thì hàm mục tiêu trở thành 
∑∑+
= =
1n
1j
m
1i
ijijxc min 
 Như vậy ta chỉ cần xét bài toán vận tải (đóng) 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
112 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
→=→=≥
→==
→==
∑
∑
∑∑
=
=
+
= =
n)1j,m1(i 0x
n)1(j dx
m)1(i sx
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
1n
1j
m
1i
ijij
 c- Bài toán vận tải có đường cấm 
 Đây là bài toán vận tải nhưng không phải mỗi nguồn đều có cung nối với mọi 
đích. nghĩa là có đường cấm. Cách đưa về bài toán vận tải là dùng phương pháp M-
lớn, tức là phương pháp phạt như sau : 
 Gọi E là tập các cung không cấm, tức là các cung (i,j), i∈S, j∈D và bài toán có 
thêm điều kiện 
 xij=0 với (i,j)∉E 
ta đưa bài toán có các yêu cầu 
 (*) 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
∉=
→=→=≥
→==
→==
∑
∑
∑∑
=
=
+
= =
Ej)(i, khi 0x
n)1j,m1(i 0x
n)1(j dx
m)1(i sx
xc min
ij
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
1n
1j
m
1i
ijij
về bài toán vận tải bằng cách đặt cước vận chuyển mới như sau : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉
∈
=
Ej)(i, nÕu M
Ej)(i, nÕu c
c
ij
ij 
 Ở đây M là một số rất lớn, được coi là số lớn hơn mọi số gặp phải khi tính 
toán. 
 Xét bài toán với cước phí mới như trên như sau : 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
113 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
→=→=≥
→==
→==
∑
∑
∑∑
=
=
+
= =
n)1j,m1(i 0x
n)1(j dx
m)1(i sx
xc min
ij
j
m
1i
ij
i
n
1j
ij
1n
1j
m
1i
ijij
 (**) 
thì ta có : 
 Định lý : 
 Giả sử là phương án vận chuyển tối ưu của (**) thì khi đó : n.m
*
ij
* ]x[x =
1. Nếu thì là phương án vận chuyển tối ưu của 
bài toán vận tải có đường cấm (*) 
Ej)(i, 0x*ij ∉∀= *x
2. Nếu tồn tại Exkl ∉ mà thì bài toán vận tải có đường cấm 
(**) không có nhiệm chấp nhận được. 
0xkl >
 d- Bài toán vận tải kèm chế biến trung gian 
 Giả sử rằng trong mô hình vận tải có một số điểm nguồn, tức là điểm sản xuất, 
cho ra một số sản phẩm cần phải chế biến trước khi đến điểm cầu. Giả sử có λ=1→k 
điểm chế biến với khả năng chế biến là aλ đơn vị sản phẩm tương ứng. Gọi cước phí 
vận chuyển một đơn vị bán sản phẩm từ i đến λ là λic′ và chuyển một đơn vị sản phẩm 
từ λ đến j là . Bài toán đặt ra là lập kế hoạch vận chuyển tất cả các sản phẩm qua 
chế biến đến tất cả các điểm cầu sao cho cước phí nhỏ nhất. 
λic ′′
 Gọi xiλj là lượng sản phẩm từ i qua λ rồi qua j, ta cần tìm x=[ xiλj]mkn sao cho : 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
→=→=λ→=≥
→=λ=
→==
→==
′′+′
λ
λ
= =
λ
= =λ
λ
=λ =
λ
= =λ =
λλλ
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑∑
)n1j,k1,m1(i 0x
)k1( ax
)n1(j dx
m)1(i sx
x)cc( min
ji
m
1i
n
1j
ji
j
m
1i
k
1
ji
i
k
1
n
1j
ji
m
1i
k
1
n
1j
jiji
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
114 
IV- BÀI TOÁN DÒNG TRÊN MẠNG 
 1- Mở đầu 
 Nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính có thể quy về bài toán làm cực tiểu phí 
tổn vận chuyển hàng trong một mạng (gồm các nút và các cung đường) sao cho đảm 
bảo được các nhu cầu ở một số nút sau khi biết nguồn cung cấp tại một số nút khác. 
Các bài toán như vậy được gọi là các bài toán dòng trên mạng hay bài toán chuyển 
vận (TransShipment Problem). Đây là lớp bài toán quan trọng nhất và hay gặp nhất 
trong quy hoạch tuyến tính. Lớp này bao gồm các bài toán quen thuộc trong thực tế 
như : 
 - Bài toán vận tải 
 - Bài toán mạng điện 
 - Bài toán mạng giao thông 
 - Bài toán quản lý 
 - Bài toán phân bổ vật tư 
 - Bài toán bổ nhiệm 
 - Bài toán kế hoạch tài chính 
 - Bài toán đường ngắn nhất 
 - Bài toán dòng lớn nhất 
 - ................. 
 Vì là một bài toán quy hoạch tuyến tính nên các bài toán dòng trên mạng có 
thể giải được bằng bất kỳ thuật toán nào giải được bài toán quy hoạch tuyến tính, 
chẳng hạn bằng thuật toán đơn hình như đã biết . Tuy nhiên, nếu tận dụng những cấu 
trúc đặc biệt của các bài toán dòng trên mạng sẽ làm cho phương pháp đơn hình đơn 
giản hơn và được thực hiện nhanh hơn. 
 2- Phát biểu bài toán dòng trên mạng 
 Mạng là một đồ thị có hướng ký hiệu G=(N,A), N là tập các nút, A là tập các 
cung, cùng một số thông tin về số lượng bổ sung như sau : 
 . bi (i∈N) biểu thị nguồn từ ngoài vào nút i, gọi tắt là nguồn 
 . uij biểu thị tải năng của cung (i,j)∈A 
 . cij biểu thị cước phí cho một đơn vị của dòng trên cung (i,j)∈A 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
115 
 . xij biểu thị lượng vận chuyển của dòng trên cung (i,j)∈A 
 Giá trị tuyệt đối |bi| được gọi là nhu cầu của nút i. Nếu bi>0 thì nút i được gọi 
là điểm nguồn, nếu bi<0 thì nút i được gọi là điểm hút. Một cách hoàn toàn tự nhiên 
người ta đặt hai điều kiện sau đây : 
 a- Tổng lượng trên dòng vào nút i bất kỳ phải bằng tổng lượng trên 
dòng ra khỏi nút i (luật bảo toàn dòng). Như vậy : 
N)i( xxb
Q(i)j
ij
I(i)j
jii ∈∀=+ ∑∑
∈∈
 (1) 
Trong đó : 
 I(i)= {nút j / cung (j,i)∈A} : những nút có cung nối đến nút i 
 O(i)= {nút j / cung (i,j)∈A} : những nút có cung nối từ nút i đến nó 
 b- Dòng trên cung là không âm và không vượt quá tải năng của cung. 
Như vậy : 
 Aj)(i, ux0 ijij ∈∀≤≤ (2) 
 Mọi vectơ x có các thành phần xij , (i,j)∈A, được gọi là một dòng. Dòng x thoả 
điều kiện (1) và (2) được gọi là dòng chấp nhận được. Lấy tổng của (1) theo các nút i 
ta được : 
 (3) 0b
Ni
i =∑
∈
Điều này có nghĩa là tổng dòng từ bên ngoài vào mạng phải bằng tổng dòng từ mạng 
ra ngoài. Nếu điều này điều này không thoả thì bài toán là không chấp nhận được. 
 Mục tiêu của bài toán là làm cực tiểu cước phí dòng trên mạng, tức là : 
 (4) ∑
∈Aj)i,(
ijijxc min
trong đó cực tiểu lấy trên mọi dòng chấp nhận được. Như vậy ta nhận được một bài 
toán quy hoạch tuyến tính như sau : 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
116 
Aj)(i, ux0
N)i( xxb
xc min
ijij
O(i)j
ij
I(i)j
jii
Aj)(i,
ijij
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∀≤≤
∈∀=+ ∑∑
∑
∈∈
∈
V- QUY HOẠCH NGUYÊN 
 1- Mở đầu 
 Quy hoạch nguyên (Integer Programming) , viết tắt là IP, là bài toán quy 
hoạch mà trong đó tất cả hoặc một phần các biến bị ràng buộc chỉ lấy giá trị nguyên. 
Trường hợp thứ nhất được gọi là quy hoạch nguyên hoàn toàn (Pure Integer 
Programming – PIP), trường hợp thứ hai được gọi là quy hoạch nguyên bộ phận 
(Mixed Integer Programming – MIP). Tuy vậy thuật ngữ ’’quy hoạch nguyên’’ được 
dùng chung cho cả hai trường hợp. 
 Mảng các bài toán có vẻ đơn giản nhất mà cũng là quan trọng nhất trong lớp 
các bài toán quy hoạch nguyên là các bài toán chọn các quyết định (chọn/không 
chọn). Chẳng hạn như bài toán bổ nhiệm, biến quyết định việc bổ nhiệm nhận giá trị 
như sau : 
⎩⎨
⎧=
j viÖc c«ng nhËn kh«ng i ng-êi nÕu
j viÖc c«ng nhËn i ng-êi nÕu
 0
 1
x ij
Vì các biến quyết định thường chỉ nhận một trong hai giá trị nên bài toán này còn 
được gọi là bài toán quy hoạch nguyên nhị phân (Binary Integer Programming) . 
 Một ý tưởng tự nhiên để giải bài toán quy hoạch nguyên là cứ giải như một bài 
toán quy hoạch tuyến tính tổng quát tạm bỏ qua ràng buộc biến phải nguyên. Khi tìm 
được phương án tối ưu thì sẽ làm tròn nó để được phương án tối ưu nguyên gần đúng. 
Phương pháp này có thể áp dụng trong thực tế nhưng phải chú ý đến hai nguy cơ sau 
đây : 
- Một là phương án tối ưu đã được làm tròn không chấp nhận được đối 
với bài toán quy hoạch nguyên. 
- Hai là phương án tối ưu đã được làm tròn chấp nhận được nhưng có 
thể giá trị mục tiêu tương ứng là rất xa với mục tiêu tối ưu của bài toán quy 
hoạch tuyến tính nguyên. 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
117 
 2- Bài toán quy hoạch nguyên trong thực tế 
 a- Bài toán balô 
 Một nhà thám hiểm mang theo một balô chỉ chứa được một trọng lượng không 
quá b. Có n loại vật dụng phải mang theo. Mỗi vật loại vật i có trọng lượng là ai và giá 
trị sử dụng là ci. Hỏi ông ta phải chọn lựa các vật mang theo như thế nào để có giá trị 
sử dụng là lớn nhất ? 
 Gọi xi (i=1→n) là số lượng vật loại i mà ông ta mang theo thì mô hình toán 
của bài toán balô này là quy hoạch nguyên như sau : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→=≥
≤
=
∑
∑
=
=
n)1(i nnguyª vµ 0x
bxa
xcz max
i
n
1i
ii
n
1i
ii
 Về mặt toán học thì nếu hàm mục tiêu là min z hoặc ràng buộc là đẳng thức thì 
bài toán cũng gọi là bài toán balô. Bài toán balô có dạng đặc biệt và đơn giản vì chỉ có 
một ràng buộc ngoài ràng buộc dấu và tính nguyên. Người ta nghiên cứu được nhiều 
cách giải riêng cho bài toán và đưa bài toán quy hoạch nguyên về bài toán balô để 
giải. 
 b- Bài toán sản xuất có lệ phí cố định 
 Giả sử một nhà máy có kế hoạch sẽ sản xuất n sản phẩm. Chi phí sản xuất sản 
phẩm j=1→n gồm lệ phí cố định kj , không phụ thuộc vào số lượng sản phẩm j, và 
cước phí cj đối với mỗi đơn vị sản phẩm j. 
Gọi xj ≥ 0 là lượng sản phẩm j=1→n sẽ sản xuất thì chi phí sản xuất sản phẩm 
j sẽ là : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
>+
=
0 0
0 xck
)x(c
jjj
jj
j
j
x nÕu
x nÕu
mục tiêu sản xuất với chi phí cực tiểu sẽ là : 
 ∑
=
=
n
1j
jj )x(cz min
 Trong trường hợp này hàm mục tiêu z là hàm phi tuyến với các đối số là xj 
(j=1→n) mặc dù các ràng buộc thực tế như nguyên liệu, thị truờng,.... đều là tuyến 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
118 
tính nên bài toán rất khó giải. Người ta có thể đưa bài toán này về bài toán quy hoạch 
tuyến tính nguyên bộ phận bằng cách đưa vào các biến phụ nhị phân như sau : 
 (1) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
>
=
0 0
0 1
y j
j
j
x nÕu
x nÕu
 Để biểu thị yj (j=1→n) là biến nhị phân độc lập, không phụ thuộc vào xj như 
trong (1) người ta đưa vào một ràng buộc tuyến tính như sau : 
 xj ≤ Myj (j=1→n) 
ở đây M>0 và rất lớn để ràng buộc xj ≤ µ là thừa. Khi đó hàm mục tiêu và ràng buộc 
trên trở thành : 
 (2) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎢⎢⎣
⎡=
≤≤
+= ∑
=
1
0
y
Myx0
)xcyk(z min
j
jj
n
1j
jjjj
 Thật vậy : 
- Nếu xj > 0 thì yj không thể bằng 0 nên yj =1 
- Nếu xj = 0 thì yj = 0 hoặc yj=1 
Nhưng vì kj>0 ( nếu kj= 0 thì không cần đưa vào biến phụ yj) và hàm mục tiêu là min 
z nên ở thuật toán tìm phương án tối ưu luôn lấy yj=0 vì phương án với xj=0 và yj=1 
không thể là tối ưu. Khi viết đủ các ràng buộc tuyến tính khác vào ta được bài toán 
quy hoạch tuyến tính nguyên bộ phận. 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
119 
CÂU HỎI CHƯƠNG 4 
1- Trình bày chiến lược bị trội hơn. 
2- Trình bày chiến lược MaxiMin và MiniMax. 
3- Xây dựng quy hoạch tuyến tính trong trường hợp không có nghiệm ổn định. 
4- Trình bày các giai đoạn giải bài toán vận tải. 
ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
120 
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 
1- Tìm phương án tối ưu cho bài toán lý thuyết trò chơi có ma trận điểm được cho như 
sau : 
2 3 -2 -1 
-1 5 4 -2 
-2 -5 0 3 
2- Giải bài toán vận tải có ma trận cước phí 
 60 70 40 30 
100 2 1 4 3 
80 5 3 2 6 
20 6 2 1 5