Bài giảng Toán A1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân - Huỳnh Văn Kha

Chương 2
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Huỳnh Văn Kha
Khoa Toán – Thống Kê
Toán A1 - MS: 501001
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 29
Nội dung
1 Đạo hàm và các tích chất
Đạo hàm, đạo hàm một phía và tính chất
Đạo hàm hàm ẩn, hàm cho bởi pt tham số
2 Vi phân và tính gần đúng
Vi phân và tính gần đúng
3 Quy tắc L’Hospital
4 Định lý giá trị trung bình và ks hàm số
Định lý giá trị trung bình
Đơn điệu, cực trị, điểm uốn
5 Công thức Taylor, Mac Laurin
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 1 / 29
Đạo hàm
Định nghĩa
Cho f : (a, b)→ R và x0 ∈ (a, b), giới hạn
lim
∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
(nếu có) được gọi là đạo hàm
của f tại x0. Ký hiệu: f
′(x0).
f ′+(x0) = lim
∆x→0+
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
được gọi là đạo
hàm phải của f tại x0.
f ′−(x0) = lim
∆x→0−
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
được gọi là đạo
hàm trái của f tại x0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 2 / 29
Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f ′ là một
hàm số
f ′ : (a, b) → R
x 7→ f ′(x)
Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta
nói f có đạo hàm cấp hai tại x0. Ký hiệu:
f ′′(x0) = (f ′)′(x0)
Nếu f có đạo hàm cấp n là f (n) thì đạo hàm cấp
n + 1 được định nghĩa là: f (n+1)(x) = (f (n))′(x)
Các đạo hàm của y = f (x) còn được ký hiệu:
f ′(x) =
df
dx
(x) =
dy
dx
, f ′′(x) =
d2f
dx2
(x) =
d2y
dx2
, · · ·
Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 3 / 29
Các tính chất của đạo hàm
Nếu f , g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì:
1. (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x)
2. (αf )′(x) = αf ′(x), với α ∈ R
3. (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
4.
(
f
g
)′
(x) =
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
g 2(x)
5. (g ◦ f )′(x) = g ′(f (x))f ′(x)
6. Nếu f đơn ánh và f ′(x) 6= 0 thì f −1 cũng có đạo
hàm tại y = f (x) và:
(f −1)′(y) =
1
f ′(x)
=
1
f ′(f −1(y))
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 4 / 29
Đạo hàm các hàm sơ cấp
f (x) f ′(x) f (x) f ′(x)
ex ex ln x
1
x
ax ax ln a loga x
1
x ln a
xα αxα−1
sin x cos x tan x
1
cos2 x
= 1 + tan2 x
cos x − sin x cot x −1
sin2 x
= −(1 + cot2 x)
arcsin x
1√
1− x2 arccos x
−1√
1− x2
arctan x
1
1 + x2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 5 / 29
Ví dụ
1. f (x) =
ex
2 + sin(x)
. Tính f ′(x).
2. f (x) = x arctan
(
1
x
)
. Tính f ′(x).
3. f (x) =
1
1 + x
. Tính f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x), f (n)(x).
4. f (x) =
1
1− x2 . Tính f
′(x), f ′′(x), f ′′′(x), f (n)(x),
và f (20)
(
1
2
)
.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 6 / 29
Đạo hàm hàm ẩn
Để tính đạo hàm hàm ẩn y = y(x) cho bởi pt
g(x , y) = 0, ta xem y là hàm theo x lấy đạo hàm 2
vế rồi suy ra y ′(x).
Ví dụ.
1. x3 + y 3 = 12xy . Tính y ′(x).
2. sin(xy) + x2 = y + cos(pix). Tính y ′(0).
3. 3
√
x2 + y 2 = x sin(y) + 4. Tính y ′(x).
Biết y(0) < 0, tính y ′(0).
4. x4 + y 4 = 16. Tính y ′′(x).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 7 / 29
Đạo hàm hàm cho bởi pt tham số
Nếu hàm số cho bởi pt tham số
{
x = x(t)
y = y(t)
.
Thì ta có: y ′(x) =
dy
dx
=
(
dy
dt
)/(
dx
dt
)
Ví dụ. Cho y là hàm theo x xác định bởi ptts:
1.
{
x = et
y = t + ln t
. Tính
dy
dx
,
dy
dx
(e),
d 2y
dx2
(e).
2.
{
x = arctan t
y =
t
1 + t2
. Tính
dy
dx
,
dy
dx
(0),
d 2y
dx2
(0)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 8 / 29
Khả vi – Vi phân
Hàm số y = f (x) được gọi là khả vi tại x0 nếu số gia
hàm số tại điểm x0 có thể viết dưới dạng:
∆f = f (x0 + ∆x)− f (x0) = A∆x + o(∆x).
Trong đó A là hằng số và o(∆x) là một vô cùng bé so
với ∆x khi ∆x → 0.
Khi đó đại lượng A∆x được gọi là vi phân của f tại x0
và được ký hiệu là df hay dy .
f khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x .
Và khi đó: df = f ′(x)dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 9 / 29
Ví dụ:
1. Tìm df , biết f (x) = e
√
x .
2. Cho f (x) = cos(xx). Tính df (1).
Vi phân cấp 2 của f là: d 2f = f ′′(x)dx2
Tương tự, vi phân cấp n của f là: dnf = f (n)(x)dxn
Ví dụ:
3. Tìm d 2y , biết y = arcsin
√
x .
4. Cho y =
√
2x + 1. Tính dny và dny(0).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 10 / 29
Tính gần đúng (xấp xỉ tuyến tính)
Khi f khả vi tại x0 thì:
f (x0 + ∆x)− f (x0) = f ′(x0)∆x + o(∆x).
Cho nên ta có thể xấp xỉ:
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f ′(x0)∆x
Vế phải được gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tại x0. Ký
hiệu: L(x) = f (x0) + f
′(x0)(x − x0).
Ví dụ: Dùng vi phân tính xấp xỉ các giá trị sau
1. 3
√
28.
2. tan 44o.
3. arctan(0.97).
4.
√
(0.1)2 + 4e0.1.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 11 / 29
Quy tắc L’Hospital
Quy tắc L’Hospital
Giả sử các hàm f , g khả vi và g ′(x) 6= 0 trên một
khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Và giả sử
một trong hai điều sau là đúng:
lim
x→a f (x) = limx→a g(x) = 0, hoặc
lim
x→a f (x) = limx→a g(x) = ±∞.
Thì khi đó: lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
, miễn là giới hạn vế
phải tồn tại (hoặc bằng ±∞).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 12 / 29
Chú ý: Nếu thay “x → a” bằng x → a+, x → a−,
x → +∞, hoặc x → −∞ thì vẫn đúng.
Ví dụ:
1. lim
x→1
ln x
1− x = (a) 1 (b) −1 (c) 0 (d) +∞
2. lim
x→+∞
ex
x2
= (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1
3. lim
x→pi−
sin x
1− cos x =
(a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃
4. lim
x→+∞
[
x
(
e1/x − 1)] =
(a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 13 / 29
5. lim
x→1
(
x
x − 1 −
1
ln x
)
=
(a) 0 (b) 1/2 (c) 1 (d) 2
6. lim
x→0+
(1 + sin 2x)cot x =
(a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2
7. lim
x→+∞ (e
x + x)1/x =
(a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2
8. lim
x→+∞
(
2x − 3
2x + 5
)2x+1
=
(a) 1 (b) e−3 (c) e5 (d) e−8
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 14 / 29
9. lim
x→0
cosmx − cos nx
x2
=
(a) m (b) n −m (c) m2 − n2 (d) (n2 −m2)/2
10. lim
x→a+
cos x ln(x − a)
ln (ex − ea) =
(a) cos a (b) a cos a (c) e sin a (d) a sin a
11. lim
x→0
3
√
8 + 5x − 2√
1 + x −√1− x
12. lim
x→0
ex − e−x − 2x
x − sin x
13. lim
x→0+
ln x
1 + 2 ln sin x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 15 / 29
14. lim
x→1−
ln(1− x) + tan
(pix
2
)
cot(pix)
15. lim
x→+∞[(pi − 2 arctan x) ln x ]
16. lim
x→0
(
tan x
x
)1/x2
17. lim
x→+∞
(
tan
pix
2x + 1
)1/x
18. lim
x→0
(
ax − x ln a
bx − x ln b
)1/x2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 16 / 29
Định lý giá trị trung bình
Định lý Fermat
Nếu f đạt cực trị tại c , và nếu f ′(c) tồn tại thì f ′(c) = 0.
Định lý Rolle
Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b).
Khi đó nếu f (a) = f (b) thì sẽ có c ∈ (a, b) sao cho:
f ′(c) = 0.
Tổng quát, ta có định lý giá trị trung bình sau đây.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 17 / 29
Định lý GTTB (Lagrange)
Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b).
Khi đó có c ∈ (a, b) sao cho: f ′(c) = f (b)− f (a)
b − a .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 18 / 29
Đơn điệu và cực trị
1. Nếu f ′(x) > 0 trên [a, b] thì f tăng trên [a, b].
2. Nếu f ′(x) < 0 trên [a, b] thì f giảm trên [a, b].
3. Nếu f ′(x) = 0 trên [a, b] thì f là hằng số trên [a, b].
Giả sử f ′(c) = 0, ta có:
1. Nếu f ′ đổi dấu từ dương sang âm tại c thì f đạt cực
đại (địa phương) tại c .
2. Nếu f ′ đổi dấu từ âm sang dương tại c thì f đạt cực
tiểu (địa phương) tại c .
3. Nếu f ′ không đổi dấu tại c thì f không đạt cực trị
tại c .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 19 / 29
Ngoài ra, có thể xét cực trị bằng đạo hàm cấp 2.
1. Nếu f ′(c) = 0 và f ′′(c) > 0 thì f đạt cực tiểu tại c .
2. Nếu f ′(c) = 0 và f ′′(c) < 0 thì f đạt cực đại tại c .
Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 20 / 29
Tiếp tuyến
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x0 có
phương trình là: y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).
Ví dụ:
1. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số
f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 tại điểm x0 = 1.
2. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số
f (x) = x ln x tại điểm x0 = e.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 21 / 29
Lồi, lõm
Nếu đồ thị của f (x) nằm trên tất cả các tiếp tuyến
của nó trên khoảng I thì ta nói f lồi trên I .
Nếu đồ thị của f (x) nằm dưới tất cả các tiếp tuyến
của nó trên khoảng I thì ta nói f lõm trên I .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 22 / 29
Nếu f ′′(x) > 0 trên I thì f lồi trên I .
Nếu f ′′(x) < 0 trên I thì f lõm trên I .
Điểm P được gọi là điểm uốn của đường cong y = f (x)
nếu f liên tục tại đó và đường cong thay đổi từ lồi sang
lõm hoặc từ lõm sang lồi khi đi qua P .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 23 / 29
Ví dụ:
1. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm
uốn của các hàm số f (x) = x4 − 4x3.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 24 / 29
2. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm
uốn của các hàm số f (x) = e1/x .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 25 / 29
3. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm
uốn của các hàm số f (x) = 3
√
x2(6− x).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 26 / 29
Khai triển Taylor
Công thức Taylor
Cho f : (a, b)→ R là có đạo hàm đến cấp n trên (a, b)
và x0 ∈ (a, b). Khi đó, với mọi x ∈ (a, b), ta có:
f (x) = f (x0) +
f ′(x0)
1!
(x − x0) + f
′′(x0)
2!
(x − x0)2 +
· · ·+ f
(n)(x0)
n!
(x − x0)n + Rn(x)
=
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x − x0)k + Rn(x)
Trong đó Rn(x) = o
(
(x − x0)n
)
là phần dư dạng Peano.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 27 / 29
Khai triển Mac Laurin
Khai triển Taylor với x0 = 0 gọi là khai triển Mac Laurin
f (x) =
n∑
k=0
f (k)(0)
k!
xk + o(xn).
Ví dụ:
1. Viết kt Taylor tới cấp 4 của: f (x) = 3
√
2x − 1, tại
x0 = 1.
2. Viết kt Mac Laurin tới cấp 3 của: f (x) = arcsin x .
3. Viết kt Mac Laurin tới cấp 4 của: f (x) = e−x
2
.
4. Viết khai triển Mac Laurin tới bậc n (tổng quát) của
các hàm số sau: ex , sin x , cos x , arctan x , ln(1 + x).
Chú ý: Khai triển Taylor tại x = x0 là khai triển theo lũy
thừa của x − x0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 28 / 29
HẾT
Chương 2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Đạo hàm và vi phân Toán A1 - MS: 501001 29 / 29