Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân kép - Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh 
Bộ môn Toán Ứng dụng 
------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải tích hàm nhiều biến 
Chương 3: Tích phân kép 
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) 
 dangvvinh@hcmut.edu.vn 
Nội dung 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0.2 – Tọa độ cực 
0.3 – Ứng dụng hình học 
0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
0.4 – Ứng dụng cơ học 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Cho vật thể (hình trụ cong) được giới hạn trên bởi mặt bậc hai ( , )f f x y
giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn). 
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D 
Tìm thể tích vật thể. 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai ( , )f x y
giới hạn dưới bởi miền D (đóng, bị chặn). 
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên D 
Tìm thể tích vật thể. 
1) Chia D một cách tùy ý ra thành n miền không dẫm nhau: D1, D2, ..., Dn. 
Có diện tích tương ứng là 
1 2
, ,..., .
nD D D
S S S
2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm ( , )
ii i i D
M x y S
3) Thể tích của vật thể: 
1
( )
i
n
i D n
i
V f M S V

 
lim n
n
V V

4) 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Định nghĩa tích phân kép 
Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D. 
Cho f = f(x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D. 
Tích phân kép của f trên miền D là giới hạn (nếu có) 
1
( , ) ( )lim
i
n
i D
n iD
I f x y dxdy f M S
 
 
    
 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tính chất của tích phân kép 
1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơn tùng khúc thì 
khả tích trên miền này. 
3) ( , ) ( , )
D D
f x y dxdy f x y dxdy  
2) 1D
D
S dxdy 
 4) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy    
5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 không dẫm lên nhau: 
1 2
( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy   
6) ( , ) , ( , ) ( , )
D D
x y D f x y g x y fdxdy gdxdy     
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Ví dụ 
Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai 
2 2( , ) 16 2f x y x y  
giới hạn dưới bởi hình vuông: [0,2] [0,2]R  
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song oz, tựa trên biên R. 
Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau: 
a) Chia R thành 4 phần bằng nhau; 
b) Chia R thành 16 phần bằng nhau; 
c) Chia R thành 64 phần bằng nhau; 
d) Chia R thành 256 phần bằng nhau; 
e) Tính thể tích của vật thể. 
41
( )
in i D
i
V V f M S

  
1, 1,...,4.iD i
S   
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)V f f f f   
13 7 10 4 34.V     
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Cách tính (Định lý Fubini) 
1) Giả sử D xác định bởi: 
Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D. 
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
b
a xD
y x
y
I f x y dxdy dx f x y dy   
a bx 


y=y1(x) 
y=y2(x) 
a b 
1 2( ) ( )y x y xy 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Cách tính tích phân kép (Định lý Fubini) 
) Giả sử D xác định bởi: 
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
d
c yD
x y
x
I f x y dxdy dy f x y dx   c dy 


c 
d 
x=x1(y) 
x=x2(y) 
1 2( ) ( )x y x yx 
I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Giải câu e) 
Tính thể tích của vật thể. 
2 
2 0 2x 

0 2y 
 2 216 2
R
V x y dxdy    
2 2
0
2 2
0
16 2dx x y dy   
0
32
2
2
0
(16 ) 2
3
x d
y
xy
 
    
 
2
2
0
16
32 2
3
x dx
 
    
 
48
Ví dụ 
Tính tích phân kép , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 
D
I xydxdy 
22 , .y x y x  
2 1x 


22x y x 
 
D
I xy dxdy   
221
2
x
x
dx xy dy


  
2
21
2
2
2
x
x
x dx
y


 
   
 
2 2 21
2
(2 )
2 2
x x
x x dx

 
   
 
Ví dụ 
Tính tích phân kép , trong đó D là tam giác OAB, với ( )
D
I x y dxdy 
(0,0), (1,1), (2,0).O A B
0 2x 

0 y 
A
B
?
Cần chia D ra thành hai miền: D1 và D2 
D1 D2 
1 2D D D
I     
1 2 2
0 0 1 0
( ) ( )
x x
I dx x y dy dx x y dy

      
Nếu lấy cận y trước, x sau thì không cần chia
Ví dụ 
Tính tích phân kép 
D là miền phẳng giới hạn bởi 
2
D
I y x dxdy 
 
D
I xy dxdy 
   
1 2
2 2
D D
y x dxdy x y dxdy    
   
2
2
1 1 1
2 2
1 1 0
x
x
dx y x dy dx x y dy
 
      
11
15
I 
1 1,0 1.x y    
D1 
D2 D2 
1 2
2 2
D D
y x dxdy y x dxdy    
Ví dụ 
Tính tích phân kép 
21 1
0
x
y
I dy e dx  
Tích phân không tính được ( qua các hàm sơ cấp) 
21 x
y
e dx
Thay đổi thứ tự lấy tích phân: 
1) Xác định miền D 
2) Vẽ miền D 
3) Thay đổi thứ tự 
Thay đổi cận: 
0 1
:
1
y
D
y x
 

 
0 1
:
0
x
D
y x
 

 
21
0 0
x
xI dx e dy  
21
0
0
xxe y dx 
21
0
xxe dx 
2
1
0
1 1
2 2
x ee

 
Ví dụ 
Tính tích phân kép 
1 1
3
0
sin( 1)
y
I dy x dx  
Tích phân không tính được (qua các hàm sơ cấp) 
1
3sin( 1)
y
x dx
Thay đổi cận: 
0 1
:
1
y
D
y x
 

 
2
0 1
:
0
x
D
y x
 

 
21
3
0 0
sin( 1)
x
I dx x dy  
21
3
0
0
sin( 1)
x
x y dx  
1
2 3
0
sin( 1)x x dx 
cos(1) 1
3


Ví dụ 
Thay đổi thứ tự lấy tích phân 
2
1
0 0
( , )
y y
I dy f x y dx

  
Vẽ miền D: 
2
0 1
:
0
y
D
x y y
 

  
0 2
: 1 1 4
1
2
x
D x
y
 

  
 
 2 1
0 1 1 4
2
( , )
x
I dx f x dy
  
  
Thay đổi cận 
Ví dụ 
Thay đổi thứ tự lấy tích phân 
2
2
2 43
3 12
( , )
y
y
I dy f x y dx
 
 
  
Vẽ miền D: 
2 2
3 3
:
12 2 4
y
D
y x y
   

    
1
2 2
3 2 3
:
12 4
x
D
x y x x
  

   
Thay đổi cận 
Phải chia D làm 3 miền 
D1 
D2 
D3
2
2 2
3 2 3
:
4 12
x
D
x x y x
  

     
3
2 2
2 3 4
:
4 4
x
D
x x y x x
  

     1 2 3D D D
I fdxdy fdxdy fdxdy    
II. Tọa độ cực 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
( , )M x y
x 
y 
x
y 
r 
cos
sin
x r
y r





Mối liên hệ giữa tọa độ cực và 
tọa độ Descartes 
2 2 2x y r Chú ý: 
2 2 4x y Ví dụ. Phương trình đường tròn tâm 0, bán kính bằng 2: 
Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: 2.r 
II. Tọa độ cực 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: 2 2 cos 2cosr r r   
Ví dụ. Phương trình đường tròn tâm (1,0), bán kính bằng 1: 2 2 2x y x 
Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là: 2 2 sin 2sinr r r   
Ví dụ. Phương trình đường tròn tâm (0,1), bán kính bằng 1: 2 2 2x y y 
Phương trình đường thẳng này trong tọa độ cực là: 
2
cos 2
cos
r r

  
Ví dụ. Phương trình đường tròn thẳng x = 2 (trong tọa độ Descartes) 
II. Tọa độ cực 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
cos
sin
x r
y r





( , )
R
I f x y dxdy 
Qua phép đổi biến: 
Chia [a,b] thành m phần. 
Chia thành n phần. [ , ] 
Miền 
1
1
:
i i
ij
j j
r r r
R
  


 

 
Trên Rij lấy một điểm 
* *( , )i jr 
* *
1 1
1 1
( ); ( )
2 2
i i i i i ir r r       
Diện tích miền Rij là: 
2 2
1
1
1 1
; 
2 2
( )
ij i i
j j
A r r 
  


    
  
 2 21
1
2
ij i iA r r         1 1
1
2
i i i ir r r r       
*
ir r   
Tọa độ cực của điểm Rij là: 
* * * *( cos , sin )i j i jr r  
Tổng Riemann 
* * * *
1 1
( cos , sin )
m n
mn i j i j i
i j
V f r r A 
 
     
* * * * *
1 1
( cos , sin )
m n
i j i j i
i j
f r r r r  
 
       
( , ) ( cos , sin )g r r f r r     Đặt * *
1 1
( , )
m n
mn i j
i j
V g r r 
 
   
* * * *
, 1 1
( , ) lim ( cos , sin )
m n
i j i j i
m n i jR
f x y dxdy f r r A 
  
 
       
 
* *
, 1 1
lim ( , )
m n
i j
m n i j
g r r 
  
 
    
 
( , )
b
a
g r drd


   
( , ) ( os , sin )
b
R a
f x y dxdy d f r c r dr r


        
Ví dụ 
Tính tích phân kép , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi( )
D
I x y dxdy 
2 2 2 21, 4, y 0, x y x y y x     
cos
sin
x r
y r





0
: 4D



 


1 2r

 
( )
D
I x y dxdy 
 
/ 4 2
0 1
cos sinI d r r drr

        
/ 4 2
2
0 1
cos sind r dr

      
 
23/ 4
0 1
cos sin
3
r
I d

    
 
/ 4
0
8 1
cos sin
3 3
I d

  
 
     
 
7
3
I 
: 4 3D
 
 
Ví dụ 
Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 24
D
I x y dxdy  
2 2 4, , 3 (y x)x y y x y x    
cos
sin
x r
y r





0 2r 
/ 3 2
2
/ 4 0
3I d r drr


    
2
9
I


: 2 4D
 

 
 


Ví dụ 
Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 
2 2
D
I x y dxdy 
2 2 2 , .x y x y x   
cos
sin
x r
y r





0 2cosr  
2cos/ 4
/ 2 0
r drrI d





   
/ 4
3
/ 2
8
cos
3
I d


 


 
16 10 2
9


: 4 3D
 


 


Ví dụ 
Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi ( 1)
D
I x dxdy 
2 2 2 22 ; 4 ; ; 3x y x x y x y x y x      
cos
sin
x r
y r





2cos 4cosr  
4cos/3
/ 4 2cos
( cos 1)I d r drr

 
 

    
0
: 2D



 


Ví dụ 
Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi ( )
D
I x y dxdy 
2 2 2 22 ; 2 .x y x x y y   
cos
sin
x r
y r





0 r 
1 2D D
I   
D2 D1 
1
0
: 4D



 

 2sin0 r  
2 : 4 2D
 


 

 2cos0 r  
?
II. Tọa độ cực 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
0
0
cos
sin
x x r
y y r


 

 
Toạ độ cực mở rộng: 
Trường hợp 1. Miền phẳng D là hình tròn 
2 2 2
0 0( ) ( )x x y y a   
Dùng phép đổi biến: 
Khi đó định thức Jacobi: 
' '
' '
r
r
x x
J
y y



Khi lấy cận của ta coi như gốc tọa độ dời về tâm hình tròn. ,r 
cos .sin
sin .cos
r
r
 
 

 r
II. Tọa độ cực 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Toạ độ cực mở rộng: 
Trường hợp 2. Miền phẳng D ellipse 
2 2
2 2
1, 0, 0
x y
a b
a b
   
cos
sin
x
r
a
y
r
b





 

Dùng phép đổi biến: 
Khi đó định thức Jacobi: 
' '
' '
r
r
x x
J
y y



.cos .sin
.sin .cos
a ar
b br
 
 

 . .a b r
Khi đó cận của , :r  0 2
0 1r
  

 
Ví dụ 
Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi (2 )
D
I x y dxdy 
2 2( 1) ( 2) 4; 1.x y x    
1 cos
2 sin
x r
y r


 

 
 
/ 2 2
/ 2 0
2(1 cos ) (2 sin )I rd r r dr


  

      
: 2 2D
 


 

 0 2r 

Gốc tọa độ dời về đây
Ví dụ 
Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi ( 1)
D
I x dxdy 
2 2
1; 0; 0
9 4
x y
y x   
cos
3
sin
2
x
r
y
r





 

 
/ 2 1
0 0
. cos3 3 21I drrd r

      
0
: 2D



 

 0 1r 

Ví dụ 
Tính , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 
D
I xdxdy 
2
2 1; 0;
3
x
y y y x   
cos
3
sin
x
r
y r





 
/ 3 1
0 0
. cos3 3 1I rd r dr

      
0
:D
 

0 1r 

sin
tg
cos




/
/( 3)
y r
x r

Vì đường y = x nên tg 3 
3

 
3

III. Ứng dụng hình học 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Diện tích miền D: 1D
D
S dxdy 
Thể tích hình trụ cong được giới hạn trên bởi f = f(x,y), giới hạn dưới bởi miền
D, giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song 0z, tựa trên biên D
( , )
D
V f x y dxdy 
Thể tích hình trụ cong được giới hạn trên bởi f = f2(x,y), giới hạn dưới bởi 
f = f1(x,y), giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song 0z, tựa trên
biên D: 
 2 1( , ) ( , )
D
V f x y f x y dxdy 
Ví dụ 
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 
2 2 2 22 ; 6 ; 3; 0x y y x y y y x x     
Diện tích miền D là: 
D
D
S dxdy 
6sin/ 2
/3 2sin
d rdr

 
  
6sin
/ 2
/3 2sin
2
2
D
r
S d


 
 
/ 2
2
/3
16sin d


  
4
2 3
3
DS  
III. Ứng dụng hình học 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 2 1( , ) ( , )
D
V z x y z x y dxdy  
Để tính thể tích khối 
1) Xác định mặt giới hạn bên trên: 2( , )z z x y
2) Xác định mặt giới hạn bên dưới: 1( , )z z x y
3) Xác định hình chiếu của xuống 0xy:  proxyD  
Chú ý: 1) Có thể chiếu xuống 0xz, hoặc 0yz. Khi đó mặt phía trên, mặt 
phía dưới phải theo hướng chiếu xuống. 

2) Để tìm hình chiếu của xuống 0xy, ta khử z trong các phương trình 
của 


III. Ứng dụng hình học 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
2 2 1
2 22 12 2( ) ( )
x y
x xV dxdyyx
 
   
 
2 2
2 2
1
1
x y
V x y dxdy
 
  
 
2 1
2
0 0
1V d r r dr

    
Đổi sang tọa độ cực: 
12 42
0 0
2 4
r r
d


 
   
 
2
V


cos
sin
x r
y r





Ví dụ 
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 
2 2 2; ; 1; 0z x y y x y z    
Mặt trên: 
Hình chiếu: D 
2 2z x y 
Mặt phía dưới: 0z 
D 
III. Ứng dụng hình học 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 2 2 0
D
V x y dxdy  
 
2
1 1
2 2
1 x
V dx x y dy

  
2
131
2
1 3 x
V x
y
y dx

 
   
 
61
2 4
1
1
3 3
x
V x x dx

   
       
    
88
105

2
1 1
:
1
x
D
x y
  

 
Ví dụ 
Tính thể tích vật thể giới hạn trên bởi 
2 2( 1) ;2 2x y z x z    
Hình chiếu
Mặt phía trên: 2 ( , ) 2 2z z x y x  
Mặt phía dưới: 
2 2
1( , ) ( 1)z z x y x y   
Hình chiếu: khử z trong 2 phương trình 
2 2( 1) 2 2x y x    2 2 1x y  
2 2: 1D x y  
 
2 2
2 1
1x y
V z z dxdy
 
 
Ví dụ 
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi và các mặt tọa độ
2 22 1; 1;z x y x y    
Mặt dưới 
Mặt phía trên: 2 22 1z x y  
Mặt phía dưới: 0z 
Hình chiếu: là tam giác màu đỏ. 
 2 22 1 0V x y dxdy   
tam giaùc
0
A
B
x 
z 
Ví dụ 
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 
2 24 ; 2; 1; 2.z y z y x x      
Chiếu vật thể xuống 0yz: 
2x 
Mặt phía dưới: 1x  
Có thể chiếu xuống 0xy tương tự các ví 
dụ trước. 
Mặt phía trên: 
Thể tích vật thể cần tính: 
 2 1( , ) ( , )
D
V x y z x y z dydz 
z 
y 
D 
2
2
41
1 2
(2 ( 1))
y
y
V dy dz

 
   
2
2
41
1 2
3
y
y
V z dy

 
 
 
1
2 2
1
3 4 2V y y dy

   
8.V 
III. Ứng dụng hình học 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Mặt S cho bởi phương trình z = z(x,y), D là hình chiếu của S xuống 0xy. 
Chia miền D thành n miền con D1, D2, ..., Dn. S được chia thành các mặt
con S1, S2, ..., Sn. 
Lấy điểm bất kỳ ( , ,0)i i i iP x y D Tương ứng điểm ( , , )i i i i iM x y z S
T là mặt tiếp diện với S tại Mi 
1
( )
n
n i
i
S S S T

  
Ti là mảnh có hình chiếu Di 
Với Di nhỏ ta coi diện tích của Ti là diện tích gần đúng của mảnh Si. 
Gọi là góc giữa hai mảnh Di và Ti : i ( ) ( ) cosi i iS D S D  
Ta có là góc giữa pháp tuyến tại Mi với mặt S và trục Oz. i
III. Ứng dụng hình học 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Véctơ pháp của S tại Mi : 
   
2 2
' '
1
cos
( , ) ( , ) 1
i
x i i y i if x y f x y
 
 
   
2 2
' '
1
( , ) ( , ) 1 ( )
n
n x i i y i i i
i
S S f x y f x y S D

    
' '( ( , ), ( , ), 1)i x i i y i in f x y f x y 

   
2 2
' '
1
1 ( )lim
n
x y i
n i
S f f S D
 
 
    
 
Diện tích mặt cong có phương trình z = f(x,y), có hình chiếu xuống mặt phẳng
xy là D được tính bởi công thức: 
22
1
D
f f
S dxdy
x y
   
          
Ví dụ 
Tính diện tích phần mặt paraboloid nằm trong hình trụ 
2 21z x y  
Hình chiếu của S xuống 0xy: 
Diện tích phần mặt paraboloid: 
2 2 1x y 
2 2: 1D x y 
Phương trình mặt S: 
2 21z x y  
' '2 ; 2x yz x z y   
   
2 2
' '1 x y
D
S z z dxdy  
2 2
2 2
1
1 4 4
x y
S x y dxdy
 
  
2 1
2
0 0
1 4d r r dr

    
Bài tập 
Bài tập