Bài giảng Hình học - Họa hình

yển động luôn đi qua một điểm cố định và tựa trên một đường cong cho trước.- Điểm cố định gọi là đỉnh nón.- Đường cong cho trước gọi là đường chuẩn của nón.* Cách biểu diễn:Khảo sát mặt nón bao gồm mặt xung quanh và mặt đáy nón. Trên mỗi hình chiếu cần xác định hình chiếu của đỉnh nón, đáy nón, đường sinh bao ngoài và xác định phần thấy và khuất trên từng hình chiếu đó2. Các mặt cong thường gặp.SĐỉnhĐừơng chuẩna. Mặt nón.Chú ý: +Trên hình chiếu đứng, nửa trước của mặt nón giới hạn bởi đường thấy ngoài sẽ thấy, còn nửa sau khuất.+Trên hình chiếu bằng, nửa trên của mặt nón giới hạn bởi đường thấy ngoài sẽ thấy, còn nửa dưới sẽ khuất.Mặt sauMặt trướcĐườngsinhVĩ tuyếnS1S2SABS1A1B1C1D1S2D2C2A2B2Ví dụ: cho mặt nón như hình bên.-Theo hướng chiếu đứng,đường thấy ngoài của mặt nón là hai đường sinh SA và SB. Từ đó vẽ được đường bao quanh hình chiếu đứng của mặt nón là S1A1B1S1. Xét thấy khuất, các đường sinh có chân nằm trên cung A2D2B2 là thấy trên hình chiếu đứng của mặt nón.-Theo hướng chiếu bằng, đường thấy ngoài là hai đường sinh SC và SD ,hình chiếu bằng của chúng là S2C2 và S2D2 tiếp xúc với hình chiếu bằng đường tròn đáy tại C2 và D2. Từ đó vẽ được đường bao quanh hình chiếu bằng là S2C2A2D2S2. Trên hình chiếu bằng chỉ các đường sinh có chân nằm trên cungC2A2D2 là thấy.-Trên các hình chiếu, các điểm nằm trên các đường sinh thấy trên hình chiếu đó sẽ thấy.Điểm thuộc mặt nón:Để xác định các hình chiếu của điểm thuộc mặt nón ta có 2 cách:Gắn điểm vào đường sinh của mặt nón.Gắn điểm vào đường tròn song song với đáy của mặt nón.S1S2O1O2xM1(T)M2(T)º N1 (K)N2(K)S1S2xM1 (T)M2 (T)Định nghĩa: Mặt trụ là quỹ tích của một đường thẳng chuyển động luôn song song với một đường thẳng cho trước và tựa trên một đường cong cho trước.- Mặt trụ chiếu: Là mặt trụ có đường sinh là đường thẳng chiếu.- Mặt trụ xiên: Là mặt trụ có đường sinh là đường thẳng bất kì.b. Mặt trụ.lĐừơng chuẩna1a2b1b 2xxO2O'2O1O'1Điểm thuộc mặt trụ:-Để xác định các hình chiếu của điểm thuộc mặt trụ, ta gắn điểm vào đường sinh của mặt trụ.xM1 (T) º N1 (K)2M2 (T)N (T)xO1O2O'1O'2M2 (K)M1 (T)* Hình biểu diễn: 	 Đường bao quanh hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của mặt cầu là 2 vòng tròn bằng nhau có đường kính bằng đường kính mặt cầu đã cho. Đó là hình chiếu tương ứng của hai vòng tròn lớn thuộc mặt phẳng mặt và mặt phẳng bằng.c. Mặt cầu* Định nghĩa: Mặt cầu có thể coi là mặt tròn xoay do nửa đường tròn lớn bất kỳ của mặt cầu xoay quanh đường kính của nó tạo ra.xO1O2V1V2C2C1O1O2x M1 (T)º N1 (K)N2 (T)M2 (T)O1O2x M2 (T) º N2 (K)N1 (K)M1 (K)* Điểm thuộc mặt cầu:	Để xác định điểm thuộc mặt cầu ta gắn điểm đó vào đường tròn nằm trên mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳng mặt của mặt cầu.	Chương 5: Giao của mặt phẳng với các mặtĐịnh nghĩa: Giao của mặt phẳng với các mặt là tập hợp các điểm vừa thuộc mặt phẳng vừa thuộc mặt đó.5.1. Dạng của giao- Giao của mặt phẳng với đa diện là một đa giác, có các cạnh là các giao tuyến của các mặt của đa diện với mặt phẳng, có các đỉnh là các giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng.5.1.1. Giao của mặt phẳng với đa diệnPSABCD1243PS1234ABCD5.1.2. Giao của mặt phẳng với mặt cong .Ta xét một số trường hợp sau:a. Giao của mặt phẳng với mặt trụ.	Nếu là mặt trụ tròn xoay thì giao có thể là:- Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục mặt trụ thì giao tuyến là một đường tròn.- Nếu mặt phẳng cắt hợp với trục của trụ một góc  90 thì giao tuyến là một Elíp.- Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh của mặt trụ thì giao tuyến là 2 đường sinh.aaqab. Giao của mặt phẳng với mặt nón.	Nếu mặt nón có đáy (Đường chuẩn) là đường tròn thì giao tuyến có thể là:- Là một đường tròn nếu mặt phẳng cắt song song với đáy nón.- Là một elíp nếu mặt phẳng cắt cắt tất cả mọi đường sinh của nón.- Là một Parabol, nếu mặt phẳng cắt song song với chỉ một đường sinh của nón.- Là một Hypecbol nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh của nón.mặt phẳng cắt đi qua đỉnh nón và tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh.- mặt phẳng cắt đi qua đỉnh nón và cắt nón theo hai đường sinh phân biệt.Mặt phẳng  song song với đáy nón cắt tất cả đường sinh đi qua S và cắt nón theo 2 đường sinh // 1 đường sinh // 2 đường sinhc.Giao của mặt phẳng với mặt cầu.- Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn nếu khoảng cách từ tâm cầu tới mặt phẳng nhỏ hơn bán kính cầu.- Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm khi khoảng cách từ tâm cầu tới mặt phẳng bằng bán kính cầu.5.2.vẽ Giao của mặt phẳng với đa diện- Một hình chiếu của giao tuyến đã biết nằm trên hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu.- Hình chiếu còn lại của giao tìm được dựa vào bài toán vẽ điểm hay đường thẳng thuộc đa diện.A – Trường hợp đặc biệt	Trường hợp này một hình chiếu của giao đã biết. áp dụng tính liên thuộc của các yếu tố hình học để tìm hình chiếu thứ 2. Đó là các trường hợp:1. Mặt phẳng chiếu cắt Đa diện.* Nguyên tắc nối giao: - Hai điểm cùng thuộc một mặt bên của đa diện thì nối được với nhau.- Khi xét thấy khuất, cạnh nào thuộc mặt thấy trên hình chiếu tương ứng của đa diện thì sẽ thấy. Ví dụ : vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng  với mặt chóp S.ABCD.Giải: Vì ()  P1 ,nên giao tuyến có:- Hình chiếu đứng đã biết thuộc 1	Gọi các đỉnh của giao là 1,2,3,4 thì 11213141  1- Tìm hình chiếu bằng của các đỉnh là 12, 22, 32, 42 thuộc hình chiếu bằng các cạnh tương ứng của chóp- Nối các đỉnh tìm được và xét thấy khuất của chúng, ta được hình chiếu bằng của giao.2. Mặt phẳng bất kỳ cắt lăng trụ chiếu- Một hình chiếu của giao đã biết nằm trên hình chiếu suy biến của lăng trụ chiếu.- Hình chiếu còn lại tìm bằng cách áp dụng bài toán vẽ điểm hay đường thẳng thuộc mặt phẳng.	Ví dụ: Xác định giao tuyến của mặt phẳng (n , m ) và lăng trụ chiếu abc.	Giải:B232S2x21D2D112A211A1B142C2C1314122S1a1Vì lăng trụ( abc) P2, nên giao tuyến có:- Hình chiếu bằng đã biết . Gọi các đỉnh của giao là 1,2,3, thì hình chiếu bằng là tam giác có các đỉnh: 12  a2 , 22  b2 , 32  c2 , - Tìm hình chiếu đứng bằng cách gắn chúng vào các đường thẳng của mặt phẳng , ta tìm được các đỉnh là 11, 21, 31- và nối chúng bằng các đoạn thẳng, rồi xét thấy khuất.xnama112131M1M2a1b1c1c2º32a2º12b2º22	Trường hợp này chưa có hình chiếu nào của giao tuyến đã biết Để xác định giao ta thường dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ để tìm giao của đường thẳng bất kỳ(cạnh của đa diện) với mặt phẳng bất kỳ (mặt phẳng cắt), rồi nối các đỉnh thuộc cùng một mặt bên của đa diện lại với nhau bằng các đoạn thẳng và xét thấy khuất của chúng. B – Trường hợp tổng quát :Mặt phẳng bất kì cắt tháp và lăng trụ xiên Ví dụ: vẽ giao của mặt phẳng  và mặt chóp S.ABC. Nhận xét:- Mặt phẳng (n , m ) và chóp S.ABC là bất kỳ.- Ta dùng các mặt phẳng phụ trợ chiếu đứng, lần lượt tìm giao của các cạnh SA,SB,SC với mf()- tương ứng là các điểm 1,2,3.- Nối các đỉnh với nhau bằng các đoạn thẳng , ta được giao là tam giác 123. Trên hình chiếu đứng: các cạnh 1121,2131 thấy, còn cạnh 1131 là khuất. Hình chiếu bằng có cạnh 1222, 1232 là thấy, còn cạnh 2232 là khuất.A2B2S2xA1B1C1C2S1211131123222nama5.3. Giao của mặt phẳng với mặt cong 1. Giao của mặt phẳng chiếu và mặt cong .- Giao của mặt phẳng chiếu với mặt cong có một hình chiếu suy biến trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng.- Từ hình chiếu đã biết tìm hình chiếu còn lại theo bài toán vẽ điểm thuộc mặt cong.:- Trình tự:	+ Xác định dạng của giao tuyến.	 + Tìm hình chiếu của một số điểm cần thiết thuộc giao tuyến như: Các điểm giới hạn thấy khuất (nếu có); điểm cao nhất, thấp nhất; điểm xa nhất, gần nhất... Các điểm xác định dạng đường cong trên hình chiếu.	 + Nối các điểm đã tìm được và xét thấy khuất.Nhận xét:- Mặt phẳng() cắt tất cả các đường sinh của nón và không vuông góc với trục nón, vậy giao tuyến là Elíp- Hình chiếu đứng của Elíp suy biến thành đoạn thẳng A1B1 nằm trên 1- Xác định hình chiếu bằng của giao là một elíp:	+ Một trục của elíp là A2B2 .	+Trục thứ 2 là C2D2- là đường thẳng chiếu đứng đi qua trung điểm của A2B2. Để xác định C2 và D2, ta dùng mf phụ trợ là mf bằng đi qua C1  D1.-Từ hai trục, vẽ được elíp hình chiếu bằng.	Ví dụ 2: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng () và trụ xiên.	Ví dụ 1: vẽ giao của mf chiếu đứng ( )và mặt nón tròn xoay đỉnh S.S2xS1a1maC1ºD1A1B1A2B2C2D2Nhận xét:- Mặt phẳng() cắt trụ theo giao tuyến là Elíp.- Hình chiếu đứng của giao là đoạn thẳng: 1141,nằm trên 1.- Xác định hình chiếu bằng của giao:	+ Xác định hình chiếu bằng của các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6	+ Với 22, 52 là các điểm giới hạn thấy khuất trên hình chiếu bằng.	+Nối các điểm tìm được, ta được elip hình chiếu bằng.	Ví dụ 3: Vẽ giao của mặt phẳng () và mặt cầu tâm O	Giải:O2O'2O'1xO11222324252625141112131º61a12. Giao của mặt phẳng bất kỳ và mặt trụ chiếu.- Giao tuyến có một hình chiếu đã biết trùng với hình chiếu suy biến của trụ chiếu.- Từ hình chiếu đã biết tìm được hình chiếu còn lại.(Tương tự trường hợp trên).-Giao là đường tròn.-H/c bằng suy biến thành đoạn thẳng nằm trên 2.-H/c đứng là elíp có các điểm đặc biệt+ 21 và 61- là hai điểm giới hạn thấy khuất+1141 và 3151- là hai trục của elíp.xO'2O1112132º523141516122º621242naa2	Ví dụ: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng (n , m ) và trụ chiếu bằng.	Bài giải:xnama1121314112223242M2N2M1N1Chú ý: Nếu mặt phẳng cắt trụ chiếu theo giao tuyến là Elíp thì trục ngắn và trục dài của Elíp hình chiếu cũng như Elíp giao tuyến nằm trên các đường như sau:- Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với P2 và đường bằng, nếu trụ là chiếu bằng.- Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với P1 và đường mặt, nếu trụ là chiếu đứng.Chương 6: giao điểm của Đường thẳng với các mặt6.1. Giao của đường thẳng với đa diện	- Một hình chiếu của giao điểm trùng với hình chiếu suy biến của đường thẳng.	- Hình chiếu còn lại áp dụng tính liên thuộc của điểm thuộc đa diện để tìm.	Định nghĩa: Giao của đường thẳng với đa diện là tập hợp các điểm chung của đường thẳng và mặt đa diện.A – Trường hợp đặc biệt	Trường hợp mà một hình chiếu của giao điểm đã biết, áp dụng tính liên thuộc của các yếu tố hình học tìm hình chiếu còn lại.1. Đường thẳng chiếu cắt đa diện.Ta thấy:	- Vì đường thẳng m  P2,nếu gọi giao của m với chóp là I vàJ, thì: I2  J2  m2	-Gắn I,J vào các đường sinh của các mặt của chóp, ta sẽ tìm được các hình chiếu đứng của chúng.	-Khi xét thấy khuất của đường thẳng cần chú ý: Đoạn thẳng nối hai giao điểm luôn khuất ;phần hình chiếu của đường thẳng nằm ngoài đường bao quanh hình chiếu của đa diện thì luôn thấy; phần còn lại của đường thẳng trên mỗi hình chiếu đều có một đầu mút là là một giao điểm của đường thẳng với đa diện. Nếu giao điểm đó thuộc mặt thấy của hình chiếu đa diện thì đoạn thẳng đó thấy trên hình chiếu đó, ngược lại thì đoạn đó khuất.	Ví dụ: Tìm giao điểm của đường thẳng chiếu bằng m với mặt chóp S.ABC.B2A2S2B1A1xC2C1S1m2ºI2ºJ2m1I1J1- Một hình chiếu của giao điểm đã biết là giao điểm giữa hình chiếu suy biến của lăng trụ chiếu với hình chiếu tương ứng của đường thẳng.Hình chiếu còn lại áp dụng tính liên thuộc của điểm thuộc đường thẳng để tìm.Ví dụ: Tìm giao điểm của đường thẳng m và lăng trụ chiếu bằng.	2. Đường thẳng bất kỳ cắt lăng trụ chiếu.xa1b1c1d1a2b2c2d2I1J1I2J2m1m2	Trường hợp này chưa có hình chiếu nào của giao điểm đã biết ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ.* Nội dung: 	Bước 1: Qua đường thẳng đã cho dựng mặt phẳng phụ trợ ()	Bước 2: Tìm giao tuyến phụ của mặt phẳng phụ trợ () với các mặt của Đa diện.	Bước 3 Tìm giao của đường thẳng đã cho và giao phụ, được giao điểm của đường thẳng và Đa diện.B – Trường hợp bất kỳ - Đường thẳng bất kỳ cắt đa diện bất kỳ.* Chú ý: 	+ Mặt phẳng phụ trợ () phải chọn sao cho dễ tìm giao phụ nhất.	+ Thường chọn mặt phẳng phụ trợ() là các mặt phẳng chiếu chứa đường thẳng, mặt phẳng đi qua đường thẳng và đỉnh tháp; mặt phẳng đi qua đường thẳng và song song với cạnh lăng trụ...	+ Sau khi xác định được giao điểm thì phải xét thấy khuất các hình chiếu của đường thẳng.skHGSABC123sSABCMNGHEFPQkNEFPQHksMGCách giải:B1: Qua m dựng mặt phẳng ()  P1B2: Tìm giao phụ 123 = () x S.ABCB3: Tìm I, J là giao của m với giao phụ 123B4: Xét thấy khuất các hình chiếu của m.Ví dụ: Xác định giao của đường thẳng m với mặt chóp S.ABC.S2A2A1xB2B1C1C2S1112131122232I1J1I2J2m1m26.2. Giao Điểm của đường thẳng với mặt cong- Một hình chiếu của giao điểm đã biết trùng với hình chiếu suy biến của đường thẳng.- Hình chiếu còn lại áp dụng tính liên thuộc của điểm thuộc mặt cong để tìm.Định nghĩa: Giao của đường thẳng với mặt cong là tập hợp các điểm chung của đường thẳng và mặt cong.A – Trường hợp đặc biệt.	Trường hợp này một hình chiếu của giao điểm đã biết, áp dụng tính liên thuộc của các yếu tố hình học để tìm hình chiếu còn lại.Gồm các trường hợp sau:1. Đường thẳng chiếu cắt mặt cong.2. Đường thẳng bất kỳ cắt mặt trụ chiếu. - Một hình chiếu của giao đã biết là giao giữa hình chiếu suy biến của mặt trụ chiếu với hình chiếu tương ứng của đường thẳng.- Hình chiếu còn lại áp dụng tính liên thuộc của điểm và đường thẳng để tìm.Ví dụ: Tìm giao điểm của đường thẳng chiếu bằng m với mặt trụ.xO1O2m2ºI2ºJ2I1J1m1 Ví dụ: Tìm giao của đường thẳng m và mặt trụ chiếu bằng.xI1J1I2J2m1m2	Trường hợp này chưa có hình chiếu nào của giao đã biết, vì vậy phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ- tương tự cách xác định giao điểm của đường thẳng với đa diện.B – Trường hợp tổng quát - Đường thẳng bất kỳ cắt mặt cong.Chú ý: 	- Mặt phẳng phụ trợ () phải chọn sao cho giao tuyến phụ của mặt phẳng phụ trợ với mặt cong có hình chiếu là đường thẳng hoặc đường tròn.	- Nếu mặt cong là mặt nón, thì mặt phẳng phụ trợ() chứa đỉnh nón và đường thẳng.	- Nếu mặt cong là mặt trụ, thì mặt phẳng phụ trợ() chứa đường thẳng và song song với đường sinh trụ.	- Nếu mặt cong là mặt cầu, thì:	+ Nếu đường thẳng đã cho là đường bằng hay đường mặt, thì mặt phẳng phụ trợ () là mặt phẳng bằng hay mặt phẳng mặt.	+ Nếu đường thẳng là bất kỳ, thì dùng phương pháp biến đổi hình chiếu.skSEFMNPQGHOkAGHBEFPQO'Os	Ví dụ: Tìm giao của đường thẳng m và mặt nón.xS1S2A1B1I1J1111221B222A2I2J2E2F2m1m2Chương 7: giao của hai mặtĐịnh nghĩa: Giao của hai mặt  và  là tập hợp các điểm cùng thuộc mặt  và mặt  .7.1. giao của hai đa diện- Giao của hai đa diện là một hay nhiều đường gẫy khúc khép kín gồm các đoạn thẳng nối tiếp nhau.- Mỗi đỉnh của giao là giao điểm của một cạnh nào đó của đa diện này với một mặt của đa diện kia.- Mỗi cạnh của giao là giao tuyến của hai mặt tương ứng của hai đa diện.7.1.1. Dạng của giao.18234567abcedf341256Nhận xét:-Trường hợp đầu, ta thấy mỗi đa diện đều có ít nhất một cạnh không giao với đa diện kia- Gọi là cắt nhau không hoàn toàn, giao của chúng thường là một đường gãy khúc khép kín.-Trường hợp sau, tất cả các cạnh( d,e,f) của lăng trụ xiên đều cắt đa diện kia-Gọi là cắt nhau hoàn toàn, giao thường là hai đường gãy khúc khép kín.* Nguyên tắc nối giao:- Chỉ hai đỉnh cùng thuộc một mặt của đa diện này đồng thời thuộc cùng một mặt của đa diện kia thì nối được với nhau thành cạnh của giao.* Nguyên tắc xét thấy khuất:	Trên mỗi hình chiếu, cạnh nào của giao thuộc hai mặt cùng thấy của hai đa diện trên hình chiếu đó thì thấy,còn lại là khuất.7.1.2. phương pháp tìm giao.- Để tìm giao của hai đa diện ta có thể:	+ Xác định cạnh của giao bằng cách tìm giao của từng mặt của Đa diện này với Đa diện kia. Cách này thường khó, nên ít dùng.	+ Xác định các đỉnh của giao bằng cách tìm giao của các cạnh của Đa diện này với Đa diện kia, rồi nối chúng với nhau bằng các đoạn thẳng.- Trường hợp đặc bịêt: (Một Đa diện là lăng trụ chiếu, một Đa diện là bất kỳ)	Trường hợp này một hình chiếu của giao dễ dàng tìm được, hình chiếu còn lại tìm được bằng cách áp dụng tính liên thuộc của các yếu tố hình học.- Trường hợp bất kỳ: (Hai đa diện là bất kỳ)	Để tìm các đỉnh và các cạnh của giao phải dùng phương pháp phụ trợ.Ví dụ 1: Vẽ giao của hai đa diện abc và def.Nhận xét:- Hai đa diện cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường gẫy khúc.-Lăng trụ a,b,c  P2 , vậy hình chiếu bằng của giao suy biến ,nằm trên hc suy biến của lăng trụ này.	 +Tìm giao của các cạnh của lăng trụ( abc) với lăng trụ xiên:	 Các cạnh a,c không cắtCạnh b x (de) = 2	 có (22  b2)Cạnh b x (df) = 5 có (52  b2)+Tìm giao của các cạnh lăng trụ def với lăng trụ đứng:Cạnh d- không cắtCạnh e x (ab) = 1, e x (bc) = 3	Cạnh f x (ab) = 6, f x (bc) = 4a1b1c1a2e1d1f1c2b2f2e2d2522251211232113162426141+Nối các đỉnh với nhau bằng các đoạn thẳng:12 = ab x de 23 = bc x de 34 = bc x ef45 = bc x df 56 = ab x df 61 = ab x ef-Chú ý khi nối phải xác định thấy khuất của các cạnh giao tuyến trên các hình chiếu.+ Cuối cùng phải xét thấy khuất các cạnh của hai đa diện trên từng hình chiếu do sự che khuất lẫn nhau của chúng.a1b1c1a2e1d1f1c2b2f2e2d2522251211232113162426141a1b1c1a1d1e1f1d1++++--112131415161Có thể dùng hình khai triển các mặt của hai đa diện để nối các đỉnh của giao:-Hai đỉnh trên một ô nối với nhau.-Cạnh thuộc cả hai mặt thấy thì thấy.S1A1D1C1B1a1c1b1xS2b2a2c2B2C2A2D211211222314132425161526271817282º 91º 10192102c2a2S2A2B2C2D2A2++++---1232527212229242628210222a2b2Ví dụ 2: Vẽ giao của chóp S.ABCD với lăng trụ chiếu đứng abc.-Nhận xét: Tất cả các cạnh bên của chóp đều cắt lăng trụ, vậy giao là 2 đường khép kín.-Sau khi xác định các đỉnh của giao, ta có thể dùng hình khai triển mặt xung quanh của hai đa diện để nối các đỉnh của giao với nhau và xét thấy khuất của giao tuyến đó như hình dưới đây:- Giao của đa diện với mặt cong là một hay nhiều đường khép kín gồm các đoạn đường cong nối tiếp nhau.- Có các điểm gẫy khúc là giao điểm của các cạnh đa diện với mặt cong.- Còn các đoạn đường cong của giao là giao của các mặt của đa diện với mặt cong.7.2 Giao của đa diện với mặt cong.12347.2.1 Dạng của giao7.2.2 Cách tìm giao- Để tìm giao của Đa diện với mặt cong ta lần lượt tìm giao của từng mặt của Đa diện với mặt cong.- Nguyên tắc xét thấy khuất:	Trên mỗi hình chiếu, phần đường cong nào của giao thuộc cả 2 mặt cùng thấy của đa diện và mặt cong trên hình chiếu đó thì thấy, còn lại là khuất.b1c1O1O21112223221 º 31º414251 º 61625271 º 817282Ví dụ 1: Vẽ giao của lăng trụ chiếu đứng ( abc)với mặt cầu.Giải: -Có hai mặt ab và bc của lăng trụ cắt mặt cầu, hình chiếu đứng của giao suy biến thành các đoạn thẳng b111 và b141.	 -Hình chiếu bằng là cung tròn 221232 và cung elíp 224232.Ví dụ 2: Vẽ giao của lăng trụ ( abc) và nón đứng.	Bài giải:Nhận xét: 	Mặt bên (ac) x nón = Đường tròn.	Mặt bên (ab) x nón = Parabol.	Mặt bên (bc) x nón = Elíp.	Mp đáy trên (abc) x nón = Hypebol	Cạnh a x nón = hai điểm 1, 2.	Cạnh dưới của đáy trên x nón = hai điểm 4, 5.	Cạnh b x nón = hai điểm 7, 8.82729232124222526291315141º11º21º71º8161S1c2S2xa2b2c2a1b17.3.1. Dạng của giao.- Giao của hai mặt cong nói chung là một hay nhiều đường cong ghềnh. Trong một số trường hợp giao có thể là các đường cong phẳng.7.3. Giao của hai mặt cong.* Nguyên tắc chung:	Để vẽ giao của 2 mặt cong  và  ta làm như sau:- Dựng mặt phụ trợ () cắt cả hai mặt  và  - Tìm các giao phụ 	c = () x , g = () x - Tìm giao điểm của c và g là những điểm thuộc giao của 2 mặt đã cho.* Chú ý:- Khi chọn mặt phụ trợ () phải chọn sao cho việc tìm giao phụ được dễ dàng, thường chọn () là mặt phẳng.- Trường hợp đặc biệt :	Khi đã biết 1 hình chiếu của giao, để vẽ hình chiếu còn lại ta tiến hành như sau:	+ Xác định một số điểm đặc biệt và các điểm giới hạn thấy khuất của giao	+ Căn cứ vào dạng của giao để nối các điểm vừa tìm được với nhau.	+ Nói chung số điểm tìm được càng nhiều thì giao vẽ càng chính xác.	+ Xét thấy khuất các hình chiếu của giao và của hai mặt .7.3.2 Cách tìm giaoVí dụ: Vẽ giao của mặt trụ và mặt nón.11º2171º8132725212426282xS1S22231º4151º617.3.3 Trường hợp hai mặt bậc hai cắt nhau theo hai đường bậc hai1- Nếu hai mặt bậc hai đã cắt nhau theo một đường bậc hai , thì chúng còn cắt nhau theo một đường bậc hai nữa.S1O2A1B1B2C2O1S2C1A22-Nếu hai mặt bậc hai cùng nội hay ngoại tiếp với một mặt bậc hai thứ ba, thì chúng cắt nhau theo hai đường cong phẳng. Các đường cong này đi qua giao điểm của các đường tiếp xúc.A1B1E1F1C1D1CDABºA1B1E1F1C1D1ABEFºC2D2F2E2B2A27.2.5 hai mặt bậc hai có mặt phẳng đối xứng chungĐịnh lý: Nếu hai mặt bậc hai có mặt phẳng đối xứng chung thì giao của chúng chiếu lên mặt phẳng đối xứng chung đó nói chung là đường cong bậc hai.C1D1A1E1F1A2B2C2F2E2B1D2ººº