Bài giảng Hình học họa hình - Phần 1

thẳng1- Đường thẳng đã cho không phải là đường cạnh	Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không phải là đường cạnh là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.	Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng A1l1l2A2A1Π1Π2AxA2l1l2lx2- Đường thẳng đã cho là đường cạnh	Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện 	Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh yxQ2P3zyQ3P1OP2I1I3I2Q1Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. 	Nếu: Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh 	- Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90o ).	- Trên t lấy:	 - Vẽ 	xQ2P1P2I1I2I’1Q1tα- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau - Nếu thì tỉ số đơn bằng nhauIV- Vết của đường thẳng	Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu (Hình 2.12)	- Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 Þ M1Îl1 , M2Îx	- Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 Þ N1Îx , N2Îl2 Hình 2.12. Vết của đường thẳng N1M2Π1Π2xN2M1l1l2lN1l1l2xM1N2M2	Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l1,l2) được cho như trên đồ thức và xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13)	Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng 	Giải:* Tìm vết M, N của đường thẳng l: M2Îx Þ M2≡ l2∩x Þ M1Îl1 N1Îx Þ N1≡ l1∩x Þ N2Îl2* Xét l đi qua góc phần tư nào?- Xét AÎMN: A có độ cao dương, độ xa âm Þ A thuộc góc phần tư thứ II Þ l đi qua góc phần tư thứ II. - Xét BÎMN: B có độ cao âm, độ xa âm; Þ B thuộc góc phần tư thứ III Þ l đi qua góc phần tư thứ III - Xét CÎMN : C có độ cao dương, độ xa dương; Þ C thuộc góc phần tư thứ I Þ l đi qua góc phần tư thứ I. Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, IIIN1l1l2xM1N2M2B1B2Góc(I)Góc (II)Góc (III)A2A1C2C1V- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng1- Hai đường thẳng cắt nhaua) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh	Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức: các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14)	Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhauI1a1a2I2xb1b2b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường thẳng l thỏa mãn: l1∩P1Q1 ≡ I1 l2∩P2Q2 ≡ I2 Xét xem l và PQ có cắt nhau không? (Hình 2.15)Giải:	Ta có: IÎl Þ PQ∩l Û IÎPQ Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau (một trong hai đường thẳng là đường cạnh)xQ2P1P2I1I2I’1Q1tαl1l22- Hai đường thẳng song songa) Định nghĩa:	Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào. b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên đồ thức* Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh	Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng song song và các hình chiếu bằng của chúng cũng song song. (Hình 2.16)	Hình 2.16. Hai đường thẳng song song không phải là đường cạnha1a2xb1b2* Cả hai đường thẳng là đường cạnh	Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường cạnh RS. Ta có: P1Q1//R1S1	P2Q2//R2S2	Xét xem PQ có song song với RS không? (Hình 2.17)Giải: - Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu: - Cách 2: Dùng định nghĩa. Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không?	 Hình 2.17. Xét xem hai đường cạnh có song song hay không?xQ2P1P2I1I2Q1S2R2S1R13- Hai đường thẳng chéo nhaua) Định nghĩa Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung nào.b) Điều kiện hai đường thẳng chéo nhau trên đồ thức (Hình 2.18)	Hình 2.18. Hai đường thẳng chéo nhauK1a1a2I2xb1b2c) Khái niệm cặp điểm đồng tia chiếu (Hình 2.19)	*Cặp điểm đồng tia chiếu bằng	- Cặp điểm Ia (I1a,I2a) ; Ib(I1b,I2b) gọi là cặp điểm đồng tia chiếu bằng.	- I1a cao hơn I1b nên: I2a thấy, I2b khuất.	 *Cặp điểm đồng tia chiếu đứng	-Cặp điểm Ka (K1a,K2a); Kb(K1b,K2b) gọi là cặp điểm đồng tia chiếu đứng.	- K2a xa hơn K2b nên: K1a thấy, K1b khuất.	Hình 2.19. Các cặp điểm đồng tia chiếub1a2xa1b2VI- Hai đường thẳng vuông góc1- Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông (Hình 2.20)	- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П.	- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:	Hình 2.20. Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông O’y’Ox’xya)П2- Chuyển sang đồ thức 	- Trên đồ thức, để một góc vuông trong không gian được giữ nguyên là vuông thì một trong hai cạnh của góc phải là đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh)	Hình 2.21. Ví dụ 1I1a1a2I2xh1h2I1b1b2I2xf1f2Hình 2.22. Ví dụ 2Ví dụ 1: (Hình 2.21)Ví dụ 2: (Hình 2.22)Hình 2.23. Ví dụ 3a1a2xh1h2b1b2xf1f2Hình 2.24. Ví dụ 4Ví dụ 3: (Hình 2.23) (a và h chéo nhau)Ví dụ 4: (Hình 2.24)(b và f chéo nhau)Bài 3Mặt phẳngI- Đồ thức của một mặt phẳng	Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng 	A1l1l2A2A1A2B1B2C1C2	Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng I1b1b2I2a1a2d1d2c1c2a)d)c)b)	Chú ý:	Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳngII- Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu 	 	Cho mặt phẳng (α):	* Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1	* Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2	* Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3	Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó.	Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα -Vết bằng : nα -Vết cạch : pαxΠ1Π3yΠ2pmnzxzyOm=m1p=p3n=n2m2=n1=p2p1	Hình 3.2. Vết của mặt phẳngOymαnαpαα - Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αxÎ x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c)	 - Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng	 - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2 và n1,n2 (Hình 3.3a) 	 - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c)	xm1n2xmαnααxxmαnαa)c)b)	Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thứcαxm2=n1=x	Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên đồ thức, a cắt b tại I. (Hình 3.4)	Hình 3.4. Ví dụ tìm vết của một mặt phẳngαxmαa2b1a1b2M’1M1M’2M2I1I2N1N2N’1N’2x	Giải: 	- Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng a và b.	 + Tìm vết đứng M(M1,M2) của đường thẳng a	 + Tìm vết đứng M’(M’1,M’2) của đường thẳng b	 mα đi qua M1, M’1	 + mα ∩ x ≡ αx	 + Tìm vết bằng N(N1,N2) của a	 + Vết bằng nα đi qua αx và N2	nαChú ý: 	Không cần tìm vết bằng N’(N’1 ,N’2 ) của đường thẳng b vì αx , N2 , N’2 thẳng hàng	*Tính chất : 	 -Vết bằng 	 - - mα , x = (α) , П2 = φ (Hình 3.5)III- Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)1- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)a) Mặt phẳng chiếu đứng* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.Ví dụ: Mặt phẳng 	Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứngΠ1xC1C2xA1A2φCA1C1mαΠ2φABnαB1B2B1mαnααxα1Chú ý: mα là hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng (α) nên thường thay mα bởi α1	b) Mặt phẳng chiếu bằng* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.	Ví dụ: Mặt phẳng 	Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng*Tính chất : -Vết đứng 	 - - nβ , x = (β) , П1 = φ (Hình 3.6)Π1xC1C2xA1A2CABh1Π2A2nβφC2B2mβB1B2nβφmββx β2Chú ý: nβ là hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng (β) nên thường thay nβ bởi β2	c) Mặt phẳng chiếu cạnh	* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.Ví dụ: Mặt phẳng *Tính chất : 	 xC3Π1Π3zyxA3zC3A1C1OB1αβpγA3OB3αβpγΠ2ACBmγnγmγnγB3yy	Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnhγ2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)a) Mặt phẳng bằng	* Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.	Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2	*Tính chất : Π1xB1B2xA1A2C2	Hình 3.8. Mặt phẳng bằngBA1AB1Π2A2CB2C1mαmαC1C2Chú ý: (α)//П2 do đó (α) П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứngα1b) Mặt phẳng mặt* Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1.Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1	*Tính chất : 	 	Hình 3.9. Mặt phẳng mặtΠ1xC1C2xA1A2CA1C1Π2A2βB2ABB1C2B1B2nβnβChú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng β2c) Mặt phẳng cạnh* Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3	*Tính chất : 	 	Hình 3.10. Mặt phẳng cạnhxΠ1Π3yA3B3zOp3Π2BC2A1pB2B1AA2CC1C3γmγnγmγnγxA2B3yA3B1OA1C2E2C3C1yz(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằngChú ý: IV- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)1- Bài toán cơ bản 1Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11)	Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1I1b1b2I2a112l1l21121a222b1b2I2a112l’1l’221a222a) l1 cắt cả hai đường a1 b1- Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22)b1b2I2a112l1l211a2I1I111K2K1b) l1 đi qua I1- Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2) KÎ l’→l qua IK c) l1 song song với một trong hai đường a1 b1- VD: l1//b1- Dựa vào điểm 1(11,12) l2 đi qua 12, l2//b2l1l2Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2 (Hình 3.12)Giải: - Lấy M1≡ l1 ∩ mα → M2Î x- Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2Î nα- l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm 	Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1M2l1l2M1N1N2mαnαxChú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng 	 - Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết2- Bài toán cơ bản 2 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I,điểm K thuộc mặt phẳng α đó. Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình chiếu bằng K2 . (Hình 3.13)Giải: - Gắn điểm K vào một đường thẳng lÎ(α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ? (bài toán cơ bản 1) - K2 Î l2 (Điểm thuộc đường thẳng)	Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2b1b2I2a112l1l221a222I111K2K1Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα). Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2(Hình 3.14) Giải:	 - Gắn K vào đường thẳng aÎ(α) → a1 qua K1. Tìm K2? - K2 Î a2 	Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2αxa1a2M1M2N1N2xK1K2Chú ý:	Trong hai bài toán cơ bản trên, nếu cho hình chiếu bằng của đường thẳng và của điểm, tìm hình chiếu đứng của chúng, ta cũng làm tương tự 	 mαnαV- Các đường thẳng đặc biệt của mặt phẳng1- Đường bằng của mặt phẳng* Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và h là đường bằng của (α). Khi đó hÎ(α) và h//П2.(Hình 3.15)Π1xxh1h2// nαHình 3.15. Đường bằng của mặt phẳnghΠ2mαnαmαnααh1h2Chú ý:	Nếu mặt phẳng (α) cho bởi vết mα, nα thì đường bằng song song với vết bằng, do đó trên đồ thức h2//nα.Ví dụ: 	 Cho mặt phẳng α (a,b), trong đó a//b. Vẽ đường bằng h thuộc (α) sao cho h có độ cao bằng 3cm. (Hình 3.16) Giải: - Vẽ h1//x, h1cách x một khoảng bằng 3 cm sao cho h1 ở phía trên trục x (vì độ cao dương).- Tìm h2 : bài toán cơ bản thứ nhất	Hình 3.16. Ví dụ đường bằng của mặt phẳngb1b2a1a212212211h1h23cmx2- Đường mặt của mặt phẳng *Định nghĩa: Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và song song với mặt phẳng hình chiếu đứng. Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và f là đường mặt của (α). Khi đó fÎ(α) và f//П1. (Hình 3.17)Hình 3.17. Đường mặt của mặt phẳngΠ1xxf1// mαf2fΠ2mαnαmαnααf1f2Chú ý:	Nếu mặt phẳng (α) cho bởi vết mα, nα thì đường mặt song song với vết đứng, do đó trên đồ thức f1//mα .VI- Vi trí tương đối của hai mặt phẳng1- Hai mặt phẳng song songa) Định nghĩa: 	 Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung nào.b) Định lý: 	 Nếu trong mặt phẳng này có chứa hai đường thẳng cắt nhau tương ứng song song với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song với nhau. Giả thiết: a,bÎ(α) ; a∩b ≡ O a’,b’Î(β) ; a’∩b’ ≡ O’ a//a’ ; b//b’ Kết luận: (α)//(β) 	Chú ý:	Định lý này dùng để chứng minh hai mặt phẳng song song, đồng thời dể dựng hai mặt phẳng song song.αβaa’bb’Hình 3.21. Hai mặt phẳng song songOO’	Ví dụ 2: Cho α(mα, nα) , I(I1,I2). Qua I dựng mặt phẳng (β) // (α). (Hình 3.23)Giải:- Qua I dựng đường bằng hÎ(β): Vì (β)//(α) nên: h2//nα ; I2Îh2 h1//x; I1Îh1- Tìm M(M1,M2) là vết đứng của đường bằng h: M2≡ h2 ∩x Þ M1Îh1-Vì (β) // (α) nên: mβ//mα ; M1 Î mβ nβ//nα	xh1h2mαnαI1I2M1M2mβnβHình 3.23. Ví dụ 2: Qua I dựng mặt phẳng (β)//(α)Chú ý:	 Nếu hai mặt phẳng (không phải là mặt phẳng chiếu cạnh) song song với nhau được cho bởi vết, thì các vết tương ứng của chúng song song nhau(mα//mβ ; nα//nβ) Khi hai mặt phẳng đã song song thì các đường thẳng đặc biệt tương ứng của hai mặt phẳng đó cũng song song nhau2- Hai mặt phẳng cắt nhauVấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳngBái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. 	Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Giải:	- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 	- (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ β1	β2α1g1g2xHình 3.24. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(β2)Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. 	Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25) Giải:	- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 	- (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ β1	- Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng: + g1≡ α1∩ β1 + g2 ^ xβ1α1g1g2xHình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(β1)Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. 	Ví dụ 3: Cho α(α1) , β(ABC) (Hình 3.26) Giải:	- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡ α1 	- Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳngA1B1A2C2B2C112112122g1 ≡g2Hình 3.26. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) ,β(ABC) α1Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. 	Ví dụ 4: Cho α(α2) , β(mβ,nβ) .(Hình 3.27) Giải:	- (α) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ α2 	- Để tìm g1 quy về bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳngxHình 3.27. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(mβ,nβ) mβα2N1N2M1M2g1g2 ≡nβBái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. 	Ví dụ 5: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) . (Hình 3.28) Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đóGiải:	- Tìm hai điểm chung M, N của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β): 	 + M1≡ mα∩mβ Þ M2Îx	 + N2≡ nα∩nβ Þ N1Îx	- g1 đi qua các điểm M1 và N1	- g2 đi qua các điểm M2 và N2Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ) xmαN1N2M1M2g1g2nαmβnβHình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) Ví dụ 6: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d. Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ. (Hình 3.29) Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau: - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k ≡ (φ)∩(α) 	 l ≡ (φ)∩(β) J ≡ k∩l Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng (α) và (β). - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’) 	 l’ ≡ (φ’)∩(β’) J’ ≡ k’∩l’ Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt phẳng (α) và (β). Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β). Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụChú ý:	 (φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu. Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l αglβkJφk’l’φ’J’Ví dụ 6: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d.	C2D2xC1d1d2c2c1D1A1B1E1F1a1b1a2b2A2B2E2F2J’1(φ1)(φ’1)J1J2J’2Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụg1g2k1k2k’1k’2l1l2l’1l’2VI- Vi trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng1- Đường thẳng và mặt phẳng song songa) Định nghĩa: 	 Một đường thẳng được gọi là song song với một mặt phẳng khi đường thẳng và mặt phẳng đó không có điểm chung nào.(Hình 3.31)b) Định lý: 	 Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng. αaba//(α) a//b ; bÎ(α) Hình 3.31. Đường thẳng và mặt phẳng song song2- Đường thẳng và mặt phẳng cắt nhauVấn đề đặt ra: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) .Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), α(α2) . (Hình 3.33)Giải: (α) ^ П2 Þ K2 Î α2 Mà K2 Î l2 Þ K1Î l1 Þ K(K1,K2) ≡ l ∩(α) l2α2l1xK1K2Hình 3.33. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(α2) Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)Ví dụ 2: Cho l vuông góc với П1, mặt phẳng α(a,b). (Hình 3.34)Giải: - l ^ П1 Þ K1 ≡ l1 - Tìm K2 đưa về bài toán cơ bản 1 (điểm thuộc mặt phẳng) Þ K2 ≡ l’2 ∩l2l2a2l1xK1 ≡K2b2a1b1Hình 3.34. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l ^ П1, α(a,b) l’1l’212221121Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)Ví dụ 3: Cho l(l1,l2),, mặt phẳng α(ABC).Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: (Hình 3.35) + Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l + Tìm giao tuyến g của (φ) và (α) + Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α) Hình 3.35. Phương pháp mặt phẳng phụglKαφChú ý:	 Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)Ví dụ 4: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC).(Hình 3.36)Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ Tìm được K ≡ l ∩ (α) * Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt phẳng (ABC) -Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1l,P2l) và (P1BC, P2BC): P1lÎ l1 ; P1BCÎ B1C1 ; P2l ≡ P2BC Trên hình chiếu đứng P1l cao hơn P1BC Þ trên hình chiếu bằng P2l thấy, P2BC khuất Þ P2lK2 thấy. - Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11l,12l ) Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12l Þ trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11l khuất Þ 11lK1 khuất.A1B1A2C2B2C112112122φ1 ≡l1K1K2l2g2≡ g1Hình 3.36. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) và mặt phẳng α(ABC).≡ 11l12lBài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)Ví dụ 5: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(mα,nα). (Hình 3.37)Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: - Lấy (φ) chứa l (φ1 ≡ l1) - (φ) ∩ (α) ≡ g : g1 ≡ φ1 ≡ l1 - Tìm g2 (Bài toán cơ bản 1) - Lấy K2 ≡ l2 ∩ g2 K1Î l1 Þ K(K1,K2) ≡ l ∩(α)xl1N1N2M2M1g2K1K2l2mαnαHình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(mα,nα).Chú ý:	 Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng (φ2 ≡ l2) thì ta cũng làm tương tự. φ1 ≡≡ g1VII- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc1- Định nghĩa	 Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. (Hình 3.38.a)2- Định lý	 Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng. (Hình 3.38.b)3- Chuyển sang đồ thức	 - Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh)	 - Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó.Hình 3.38. Đường thẳng và mặt phẳng vuông gócαβaalbOla)b)4- Ví dụ:	Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I1, I2). Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α).(Hình 3.39) Giải: - Vẽ đường bằng Ah (A1h1, A2h2) - Vẽ đường mặt Cf (C1f1, C2f2) - Qua I vẽ l ^ α(ABC): +Vẽ I1l1 ^ C1f1 + Vẽ I2l2 ^ A2h2 - Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(ABC)(Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng α(ABC)	h1A1B1A2C2B2C111≡ φ1l1I1I2l2g2≡ g1h2D1D2E2E1H1H2212212f1f2Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α).Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα,nα). Đường thẳng a(a1,a2). Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α). (Hình 3.41)Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Áp dụng: - Trên đường thẳng a lấy điểm I- Vẽ đường thẳng Ib ^ α(mα, nα) - β(a,b) là mặt phẳng qua a và β(a,b) ^ α(mα, nα) xb2mαnαI1I2b1a2a1Hình 3.41. Dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α)