Bài giảng Hình học họa hình - Phần 2

dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2). Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2 Giải: Dựa vào tính chất của đường mặtAB đã cho ở vị trí bất kỳ.Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới (П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt . Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2.Để thực hiện: +Chọn x’//A2B2 +Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất)Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1A1xAxA2x’A’1A’xΠ1Π2Π2Π’1B1B2B’1B’xBxφĐLT: ABHình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2	Điều kiện:	Cách xây dựng như thay П1 thành П’1* Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3)*Tính chất:- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2)	+ A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’	+ A’xA’2 =AxA2A1xAxA2Π1Π2x’A’2A’xΠ1Π’2Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2	Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức. (Hình 4.4) Giải: Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng. - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC) 	 Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1. 	 Tìm A’2B’2C’2? - Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật của ΔABC.Π1Π2C1C2xA2B2B1A1x’A’2A’xΠ1Π’2B’2B’xC’2C’xHình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABCAxBxCx2- Thay hai mặt phẳng hình chiếua) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 rồi thay П2 thành П’2 	Điều kiện: Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5)Giải: - Tìm A’1: A’1A2 ^ x’ ; A’xA’1=AxA1 - Tìm A’2: A’2A’1 ^ x” ; A’xA”2=AxA’2 A1Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1 rồi thay П2 thành П’2Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2A1xAxA2x’A’1A’xΠ1Π2Π2Π’1x’’A’2A”xΠ’2Π’1Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2). Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới.(Hình 4.6)Giải: Thay П1thành П’1 để trong hệ thống (П’1,П2), AB là đường mặt. + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2. + Tìm A’1B’1? (Độ cao điểm A âm)Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống (П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng. + Muốn vậy, chọn trục x”^A’1B’1. + Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng)A1xAxA2x’A’xΠ1Π2Π2Π’1B1B2B’1B’xBxΠ’1Π’2x’’A”x ≡ B”xA’2 ≡ B’2Hình 4.6. Ví dụ 3Độ cao âmA’1b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 rồi thay П1 thành П’1 	Điều kiện: Thực hiện phép thay tương tự như mục a)Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2.(Hình 4.7).Giải:Tìm A’2: A1A’2 ^ x’ ; A’xA’2=AxA2Tìm A’1: A’1A’2 ^ x” ; A’’xA’1=A’xA1	A1xAxA2Π1Π2x’A’2A’xΠ1Π’2x’’A’1A’’xΠ’1Π’2Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1AxHình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 rồi thay П1 thành П’1 Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giácABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)Giải:- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệthống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng chiếu bằng. Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. Chọn trục x’^A1f1.Tìm A’2B’2C’2?- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng mặt. Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2.Tìm A’1B’1C’1?- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC.Π1Π2C1C2xA2B1A1A’2A’xΠ’2Π’1B’2B’xC’2C’xB2C’1A’1B’1x’’x’BxCxAxB”xA”xC”xΠ’2Π1Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABCf2f11112Bài 5Đa diệnI- Biểu diễn đa diện	Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó. 	Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a)	 - Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b)	Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện. 	 B1A1C1S1A2B2C2S2B1A1C1l1A2B2C2l2Hình 5.1. Biểu diễn đa diệna)b)	Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2)Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi qua đỉnh S, đó là SE và SE’. * Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2 * Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường thẳng song song cạnh đáy hình chóp. Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp.	B1A1C1A2C2S1B2E ≡E’1N1N2J2J1Q2P2P1M’2M2E’2E2Q1Q’1I2I1M1P’2S2Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1 Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2, Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.3) Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng t song song với cạch bên của lăng trụ. * Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1 * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b). PÎb Þ P1Îb1 * Tìm Q1, ngược lại: gắn Q vào đường thẳng k (k//a,b) 	B1A1C1A2B2C2N1N2P2P1P’2M2M’2M1G2G1H1H2Q2Q1Q’1E1≡E’1E’2E2B’2Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu các điểm bằng cách gắn các điểm vào đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụHình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1 a1b1k1k’1c1t1k2t’2t2s’2≡ s1b2c2a2≡ s2II- Giao tuyến của mặt phẳng và đa diện	Chú ý: 	 - Trong phạm vi chương trình chỉ nghiên cứu đa diện lồi	 - Giao của một mặt phẳng với một đa diện lồi là một đa giác lồi hay còn gọi là thiết diện. Thiết diện này có: 	 + Các đỉnh của thiết diện là giao điểm của mặt phẳng cắt với các cạnh của đa diện.	 + Các cạnh của thiết diện là giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của đa diện.	 Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với hình chóp được cho trên hình vẽ.(Hình 5.4) Giải: - Nhận xét: (α) là mặt phẳng chiếu đứng, do đó ta đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là đoạn 11-21-31. - Tìm hình chiếu bằng của giao tuyến ta đưa về bài toán điểm thuộc hình chóp. - Chú ý: + Đoạn 1242 khuất. + Điểm 32 , 2’2 , 42 thẳng hàng, do đó không cần tìm điểm 2’2 . B1A1S131J121B2C1A2C2112’222J2421232S2α1Hình 5.4. Ví dụ 1 :Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với hình chóp ≡41 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với lăng trụ chiếu bằng được cho như trên hình 5.5. (Lăng trụ chiếu bằng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu bằng П2)	A1B1C1B2C2A2M1M2≡P1N1c1a1b1x≡N2≡P2mαnαΠ2B2C2A2MM2≡PNcab≡N2≡P2mαnαΠ1xHình 5.5. Ví dụ 2 : Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với lăng trụGiải: - Nhận xét : Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu bằng, do đó ta biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến là M2N2P2 trùng với A2B2C2.- Tìm M1 , N1 , P1 giải bài toán điểm thuộc mặt phẳng α(mα, nα) - Chú ý: Vì mặt (ac) khuất do đó M1P1 khuất	A1B1C1B2C2A2K1K2I1I2D2D1Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứngIV- Giao điểm của đường thẳng với đa diệnVí dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứng được cho như trên hình 5.7. 	( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П1)Giải: Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I1, K1 của giao điểm. Tìm I2 K2: Bài toán điểm thuộc đường thẳng : I2 , K2 thuộc l2.Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất.l1l2 Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng chiếu l(l1,l2) với hình chóp được cho trên đồ thức. (Hình 5.8) Giải: - Giả thiết đường thẳng l là đường thẳng chiếu bằng, do đó ta đã biết trước hình chiếu bằng của giao điểm: I2 ≡ K2≡ l2 - Tìm K1 , I1 : bài toán điểm I , K thuộc các mặt của hình chóp S.ABCB1A1C1A2C2S2B2S1l1l2K1≡K2≡I2I1H1G1H2G2Hình 5.8. Ví dụ 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng chiếu l(l1,l2) với hình chópVí dụ 3: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp được cho trên đồ thức.(Hình 5.9)Giải: Giả thiết đường thẳng l(l1,l2) bất kỳ, đa diện là hình chóp, ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo phải dùngphương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10) - Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l - Tìm giao tuyến của (α) với chóp : Δ123 - Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của Δ123 thì I, K là giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho.B1A1S131J121B2C1A2C21122J21232S2≡ α1l1l2K1K2I1I2Hình 5.9. Ví dụ 3 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chópHình 5.10. Phương pháp mặt phẳng phụ trợ Chú ý: Mặt phẳng (α) được chọn là mặt phẳng chiếu.αlBAS32C1KIVí dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng . (Hình 5.11) Giải: - Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín. - Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51. - Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt của hình chóp. - Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai triển như hình 5.12	Hình 5.12. Bảng nối và xét thấy khuất giao tuyến trên hình chiếu bằngHình 5.11. Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứngBASSDEFDCASS1154321’5’3’1’B1A1S14121B2C1A2C211=1’1221232S21’231 ≡3’13’24251 ≡5’1525’2D1E1F1D2F2E2(-)Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng (Hình 5.13)	Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất giao tuyến trên hình chiếu đứngEFCBACDE56424’313’Hình 5.13. Tìm giao của lăng trụ với lăng trụ chiếu đứng(-)(-)B1A1B2C1A2C2D1E1F1D2E2F24’12142≡4’212311132≡3’2416251523’161H2G2H1G122Bài 6Mặt congI- Biểu diễn mặt cong	 Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó. 	Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)	 - Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh. 	Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó.	 O1S1S2O1l1l2O2O2	Hình 6.1 Biểu diễn mặt congII- Điểm thuộc mặt cong	Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.2)Giải: - Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M - Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ - Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa điểm P - Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q. Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón	O1J1S1O2E1≡E’1N1N2J2K1Q2P2P1M’2M2E’2E2Q1Q’1I2I1M1P’2S2 ≡	Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón. Tìm M2 , N2, P2, Q1K2	Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M1, N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3).	O1J1T1J2T’2N1P2P1M2M’2M1G2G1H1H2Q2Q1E’2E2T2Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ. Tìm M2 , N2, P1, Q1	 Giải: - Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1. Chân đường sinh: E1, E’1. Trên hình chiếu bằng có E2, E’2. Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2. M2 Î a2, M’2 Î a’2 - Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s. N1 Î s1, N2 Î s2 . - Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2 - Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2 O2T2 ^ l2. Từ T1 vẽ đường sinh l1 Þ Q1 Î l1	 Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ là hình tròn, ta có thể gắn các điểm vào đường tròn song song đáy trụN2P’1E1≡E’1s1s2a1a’2a2k’1k1k2l1l2O2	Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu. Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.4) Giải: - Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song song với П2 - Tìm N2 , P2: Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu: N1 Î (u1) Þ N2 Î (u2) P1 Î (v1) Þ P2 Î (v2) * Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm tương tự.	O1O2N1N2E1P2P1(u1)M’2M2E2M1P’2(u2)(v1)(v2)Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ?III- Giao tuyến của mặt phẳng với mặt cong1- Một số định nghĩa	- Bậc của đường cong phẳng là số giao điểm tối đa của đường cong đó với đường thẳng.	- Bậc của đường cong ghềnh trong không gian là số giao điểm tối đa của đường cong đó với một mặt phẳng.	- Bậc của mặt cong là số giao điểm tối đa của mặt cong đó với một đường thẳng.	- Giao tuyến của một mặt bậc hai với một mặt phẳng là một đường bậc hai.	- Giao của mặt cong bậc m với một mặt cong bậc n là một đường cong có bậc bằng m.n	S1I1J1A1B1α1A2B2C2D2J2S2Hình 6.5. Mặt phẳng (α) cắt nón theo elíp2- Ví dụVí dụ 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp:a) Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường sinh của nón, giao tuyến là elíp (E) (Hình 6.5) - (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình chiếu đứng là đoạn A1B1. - A2B2 là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng. - Lấy I1 là trung điểm A1B1 Þ I2 là trung điểm của A2B2 . I2 là tâm đối xứng của elíp trên hình chiếu bằng. - C1 ≡ D1, Tìm C2D2 (bài toán điểm thuộc mặt nón). C2 D2 là trục ngắn của elíp (E). - Để thuận lợi ta tìm thêm các điểm trung gian khác. Chú ý: S2 là tiêu điểm của elíp(E2)(E1)X1X2X’2K1K2C1≡D1≡I2b) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với một đường sinh SM, giao tuyến là parabol (P). (Hình 6.6) Giải: - (α) cắt nón theo parabol (P) có hình chiếu đứng là đoạn A1B1. - Tìm hình chiếu bằng: bài toán điểm thuộc mặt nón. B2 là đỉnh của parabol (P). - Để vẽ parabol, ta tìm các điểm trung gian, ví dụ điểm I.S1I1J1M1B1α1A1M2B2I2I’2J2A2A’2S2(P)Hình 6.6. Mặt phẳng (α) cắt nón theo parabolc) Trường hợp mặt phẳng (α) song song với hai đường sinh SM và SP, giao tuyến là hypecbol (H). (Hình 6.7)Giải: - (α) cắt nón theo hypecbol (H) có hình chiếu đứng là đoạn A1B1. - Tìm hình chiếu bằng: bài toán điểm thuộc mặt nón. B2 là đỉnh của hypecbol (H). - Để vẽ hypecbol, ta tìm các điểm trung gian, ví dụ điểm I.S1A’2I1J1M1B1α1A1M2B2I2I’2J2A2S2≡ P1P2Hình 6.7. Mặt phẳng (α) cắt nón theo hypecbol(H)Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng được cho như trên hình 6.8. (Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2).Giải: Giao tuyến (α) với trụ là đường elíp. Vì mặt trụ là mặt trụ chiếu bằng nên biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến. + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V. + Tìm điểm thấp nhất và cao nhất A, B. + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB.A1A2U1U2V1V2B1B2O2C2D2X2Y2X1Y112221121h1h2f2f1D1C1O1Hình 6.8. Tìm giao tuyến của α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng Hình 6.9.Giao của (α ) với trụ chiếu đứng trong không giand2d1mαnαΠ2nαΠ1O2ABmαUVDOαdxCIV- Giao tuyến của đường thẳng với mặt congVí dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt trụ chiếu đứng được cho như trên hình 6.9Giải: - Giả thiết cho mặt trụ là mặt trụ chiếu đứng, đường thẳng l bất kỳ. - Ta biết giao điểm I, K có hình chiếu đứng I1, K1 nằm trên vòng tròn đáy trụ và I1, K1Î l1. - Tìm I2, K2 : Bài toán điểm thuộc đường thẳng.l1l2I1K1I2K2Hình 6.9. Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt trụ chiếu bằngChú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất.Ví dụ 2: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l với mặt nón được cho như trên hình 6.10.Giải: - Vì l là đường thẳng chiếu bằng , do đó biết hình chiếu bằng I2 ≡ K2≡ l2 - Tìm I1, K1: Bài toán điểm thuộc mặt nónl1O1S1S2O2T1T’1H2 ≡ G2l2H1G1I1Hình 6.10. Ví dụ 2: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bắng l với mặt nónK1≡I2≡K2Ví dụ 3: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S) được cho như trên hình 6.11.Giải: - Trong bài toán này, chưa biết hình chiếu nào của giao điểm, do đó ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2), φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ là đường tròn (C): (C2) ≡ (φ2). - Tìm (C1). - Ta có: I1, K1 ≡ (C1)∩ f1 I2, K2 Î f2f1K2I1K1f2O1O2I2≡ φ2(C2)(C1)Hình 6.11. Ví dụ 1: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S)(S1)(S2)1211* Chú ý: Để tìm giao điểm của đường thẳng với mặt cong trong trường hợp tổng quát chưa biết hình chiếu nào của giao điểm ta dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. Mặt phẳng phụ trợ phải cắt mặt cong theo giao tuyến sao cho hình chiếu của giao tuyến đó phải là đường thẳng hoặc đường tròn. Muốn vậy: + Với mặt nón, mặt phẳng phụ đi qua đường thẳng và đỉnh nón. + Với mặt trụ, mặt phẳng phụ đi qua đường thẳng và song song với trục. +Với mặt cầu ta có thể sử dụng mặt phẳng phụ đi qua đường thẳng và tâm cầu rồi xoay quanh đường bằng hoặc đường mặt, hoặc thay mặt phẳng hình chiếu.* Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát (Hình 6.12)Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, l)Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy nón tại J.Trên l lấy điểm T tùy ý, kéo dài ST cắt mặt phẳng đáy nón tại F.JF cắt đáy nón tại hai điểm 1, 2 . Nối S1, S2 cắt l tại I và K. I, K là giao điểm cần tìm. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng đáy nón quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng l (Hình 6.12.b)FSJT12IKFSJT12IKRa)b)llHình 6.12. Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát bằng phương pháp mặt phẳng phụ trợααLập mặt phẳng phụ trợ α đi qua l và song song với trục của trụ.Kéo dài đường thẳng l cắt mặt phẳng đáy trụ tại J.Trên l lấy điểm T tùy ý, qua T kẻ đường thẳng song song với trục của trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ tại F.JF cắt đáy nón tại hai điểm 1, 2 . Qua điểm 1, 2 kẻ hai đường thẳng song song với trục của trụ cắt l tại I và K. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng đáy trụ quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng l (Hình 6.15.b)FOJT12IKa)b)lOlR* Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát (Hình 6.15)Hình 6.15. Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quátαFJT12IKαV- Giao của đa diện với mặt cong	 Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc 2.Vì vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các đường bậc 2.	 Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình nón tròn xoay được cho trên hình 6.16. Giải: - Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4 - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón. Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác. - Nhận xét: + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2 + Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4.	Hình 6.16. Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với nón tròn xoayS161A1 ≡A’1B2323’2A2S2C212221121≡312’24142626’2525’251B1 ≡B’1C1 ≡C’1A’2C’2B’2Hình 6.17. Tìm giao tuyến của đa diện với trụ chiếu đứng	Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của đa diện với trụ chiếu đứng (Hình 6.17)Giải: - Vì mặt trụ đã cho là mặt trụ chiếu đứng, do đó hình chiếu đứng của giao tuyến đã biết, đó là cung elíp 1-2-3-4. - Có 2 mặt (SAB) và (SAC) cắt trụ. - Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc đa diện. Chú ý: Điểm giới hạn thấy khuất 2 ; 2’112131413212222’2423’2S1B1A1B2A2S2≡ C1C2VI- Giao của hai mặt congVí dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ. + Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất. - Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm thêm các điểm X, Y...Hình 6.18Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoayS1S21141312132222’2423’212X1Y1X2X’2Y2Y’2Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất của trụ. + Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất của trụ + Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu. Hình 6.19Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu613121715132226252722’23’25’26’2Hình 6.20. Giao của mặt trụ tiếp xúc với mặt cầuChú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.Hình 6.21. Minh họa định lý 1Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo một đường bậc hai thứ hai.S1S211312132222’23’212