Bài giảng Lý thuyết trường điện tử - Phần: Các phương trình Poisson và Laplac - Nguyên Công Phương

isson & Laplace
9. Từ trường dừng
10. Lực từ & điện cảm
11. Trường biến thiờn & hệ phương trỡnh Maxwell
12. Súng phẳng
13. Phản xạ & tỏn xạ súng phẳng
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 2
14. Dẫn súng & bức xạ
Cỏc phương trỡnh Laplace & Poisson
• Phương trỡnh Poisson 
• Phương trỡnh Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất 
• Giải phương trỡnh Laplace
• Giải phương trỡnh Poisson 
• Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace
Phươ hỏ lưới• ng p p 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 3
Phương trỡnh Poisson (1)
Luật Gauss: v .D
0D E ( ) ( ) vV       .D . E .
V EGradient thế: vV    . 
(Phương trỡnh Poisson)
V V V  
x y zV x y z
     a a a
AA A yx z
x y z
     .A
2 2 2VV V V V V          
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 4
2 2 2.
yx zV
x x y y z z x y z
                      
Phương trỡnh Poisson (2)
vV    . 
2 2 2
2 2 2.
V V VV        
2 2 2
2
2 2 2
vV V VV
x y z


         
Đặt 2  .
x y z
(Hệ Descartes)
2 2
2 2 2
1 1 vV V V
z
     
             (Hệ trụ)
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1sin
sin sin
vV V Vr
r r r r r
     
                    
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 5
(Hệ cầu)
Cỏc phương trỡnh Laplace & Poisson
• Phương trỡnh Poisson 
• Phương trỡnh Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất 
• Giải phương trỡnh Laplace
• Giải phương trỡnh Poisson 
• Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace
Phươ hỏ lưới• ng p p 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 6
Phương trỡnh Laplace
2 2 2
2 vV V VV        Phương trỡnh Poisson:
0v 
2 2 2x y z   
2 2 2
(Phương trỡnh Laplace, hệ Descartes)2 2 2 2 0
V V VV
x y z
        
2 2
2 2 2
1 1 0V V V
z
    
            (Hệ trụ)
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sin
V V Vr
r r r r r
    
                   
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 7
(Hệ cầu)
Cỏc phương trỡnh Laplace & Poisson
• Phương trỡnh Poisson 
• Phương trỡnh Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất 
• Giải phương trỡnh Laplace
• Giải phương trỡnh Poisson 
• Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace
Phươ hỏ lưới• ng p p 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 8
ấĐịnh lý nghiệm duy nh t (1)
2 2 2
2 0V V VV       2 2 2x y z  
Giả sử phương trỡnh Laplace cú 2 nghiệm V1 & V2, :
2 0V 1
2
2 0V 
2
1 2( ) 0V V  
Giả sử phương trỡnh Laplace cú điều kiện bờ Vb V V V   1 2b b b
( ) ( ) ( ). D .D D.V V V    
1 2V V V 
1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] ( )[ ( )]. .V V V V V V V V         
1 2( )D V V  
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 9
1 2 1 2( ) ( ).V V V V   
ấĐịnh lý nghiệm duy nh t (2)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] ( )[ ( )] ( ) ( ). . .V V V V V V V V V V V V            
1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] ( )[ ( )]
( ) ( )
V V
V V V V dv V V V V dv
V V V V dv
          
  
 

. .
1 2 1 2V
 .
. .
S V
d dv  D S DĐịnh lý đive:
1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] [( ) ( )]b b b bV SV V V V dv V V V V d         . . S
1 2b b bV V V 
1 2 1 2[( ) ( )] 0V V V V V dv      .
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 10
1 2 1 2 1 2 1 20 ( )[ ( )] ( ) ( )V VV V V V dv V V V V dv           . .
ấĐịnh lý nghiệm duy nh t (3)
1 2 1 2 1 2 1 2( )[ ( )] ( ) ( ) 0V VV V V V dv V V V V dv          . .
2
1 2 1 2( ) ( ) 0. V V V V      
( ) ( ) 0V V V V d   2( )V V d1 2 1 2V v   . 1 2V v  21 2( ) 0V V  
 21 2( ) 0V V   
1 2 constV V  
1 2( ) 0V V  
V V VV      a a ax y zx y z  
Tại biờn giới V1 = Vb1, V2 = Vb2
→ const = V V = 0
V1 = V2
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 11
 b1 – b2 
1 2b b bV V V 
Cỏc phương trỡnh Laplace & Poisson
• Phương trỡnh Poisson 
• Phương trỡnh Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất 
• Giải phương trỡnh Laplace
• Giải phương trỡnh Poisson 
• Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace
Phươ hỏ lưới• ng p p 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 12
Giải phương trỡnh Laplace (1)
Giả sử V = V(x) 2
Vớ dụ 1 
2 2 2
2
2 2 2 0
V V VV
x y z
        
2 0
d V
dx
  V Ax B  
V V
1
1x x
2
2x x
V V 
1 2
1 2
V VA
x x
    1 2 2 1( ) ( )V x x V x xV    
2 1 1 2
1 2
V x V xB
x x
  
1 2x x
0
0
x
V  
0V xV
d
 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 13
0x d
V V 
Giải phương trỡnh Laplace (2)
Mặt dẫn d
x
V = V(x)
V
Vớ dụ 1 
 x = 
0
0
x
V  
0V V
0xV
d
 
E V
Mặt dẫn x = 0
x d  
0E ax
V
d
   0D aV  
D E xd
0D D aV    0VD    0VD    
0S xx d N d S N d
0V S 0S VQ dS dS     QC  S
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 14
dS S d 0V d
Giải phương trỡnh Laplace (3)
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
1 V  
Vớ dụ 2 
2 2
2
2 2 2
1 1 0V V VV
z
    
             
0      
1 0d dV
d d
  
     0
d dV
d d
 
    
dV A
d
  
lnV A B  
0V l ( / )b
0lnaV A a B V   
ln 0 ( )
b
V A b B b a    0
ln ln
ln
A
a b
V bB
  
0
n
ln( / )
V V
b a
 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 15

ln lna b
  
Giải phương trỡnh Laplace (4)
Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ)
l ( / )b
Vớ dụ 2 
2 2
2
2 2 2
1 1 0V V VV
z
    
             
0
n
ln( / )
V V
b a
 
0
ln( / )
E aVV
b a    
0
( ) ln( / )N a S
VD
a b a
   
0 2V aLQ dS     2Q LC    
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 16
ln( / )SS a b a 0 ln( / )V b a
Giải phương trỡnh Laplace (5) z
Giả ử V V( ) (hệ t )
Vớ dụ 3 
Khe hở s = φ rụ
2 2
2
2 2 2
1 1 0V V VV
z
    
             
α
2
2 2
1 0V 
 
2
2 0
V

  V A B  
0
0V B  
0
0B
V
  0
V V  
0V A B V      A 
0E VV
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 17
a    
Giải phương trỡnh Laplace (6)
Vớ dụ 4 
Giả ử V V(θ) (hệ ầ ) s = c u
2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sin
V V VV r
r r r r r
    
                     
1 sin 0V      2 sinr      sin 0V 
      sin
dV A
d
  
Giả sử r ≠ 0; θ ≠ 0; θ ≠ π
i
ddV A   ln tgA B
    
dV A B  
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 18
s n 2sin
Giải phương trỡnh Laplace (7)
Vớ dụ 4 
Giả ử V V(θ) (hệ ầ ) ln tgV A B
    s = c u 2  
/ 2
0V    V = V0
α
Kh hở
l t   
0 ( / 2)V V     
V = 0
e 
0
n g
2
ln tg
V V 
      
01
sin ln tg
E a aVVV
r r
  
          2 2
0
S N
VD E         
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 19
sin ln tg
2
r    
Giải phương trỡnh Laplace (8)
Vớ dụ 4 
Giả ử V V(θ) (hệ ầ ) 0
V s = c u
0VQ dS dS  
V = V0
α
Kh hở
sin ln tg
2
S
r 
     
sin ln tg
2
SS S
r
 
        V = 0
e 
idS d d
0
0
2 V dr
   
20
0 0
sinV r d drQ
r
  

     
s nr r 
ln tg
2  sin ln tg 2   
12 rQC   
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 20
0 ln cotg
2
V    
Cỏc phương trỡnh Laplace & Poisson
• Phương trỡnh Poisson 
• Phương trỡnh Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất 
• Giải phương trỡnh Laplace
• Giải phương trỡnh Poisson 
• Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace
Phươ hỏ lưới• ng p p 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 21
v
Giải phương trỡnh Poisson (1)
02 sech thv v
x x  0,5
1
0v
Vựng p Vựng n
2( sech ; th )
x x
x x x x
e ex x
e e e e

 
  
a a –5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
–0,5
1
/x a
v
2
02 sech thvd V x x  
2 vV   Phương trỡnh Poisson :
–
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
02
x
v
E
a


E2 a adx 
0
1
2 sechv adV x C
dx a

   02 a x
–0,5
–1
/x ax
x
dVE
dx
  1sech
v
xE Ca    1 0C 
Khi x→ ± ∞ thỡ Ex→ 0
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 22
02 sechvx
a xE
a

  
v
Giải phương trỡnh Poisson (2)
02 sech thv v
x x  0,5
1
0v
Vựng p Vựng n
a a
2 vV   Phương trỡnh Poisson :
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
–0,5
1
/x a
v
24
02 sechvx
a xE
a

   –5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
02
x
v
E
a


E
–
/0
2arctg
x av aV e C   –0,5
–1
/x a
0 5
V
x
0V Giả sử
2
040 v a C   
2
/04 arctg x av aV e      V
–5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
0,25
,2
02 v a0x 24
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 23
4   –0,25
–0,5
/x a
v
Giải phương trỡnh Poisson (3)
02 sech thv v
x x  0,5
1
0v
Vựng p Vựng n
2
/04 arctg
4
x av aV e 
    
a a –5 –4 –3 –2 –1
1 2 3 4 5
–0,5
1
/x a
v
2
0
0
2 v
x x
aV V V      
–
0 0 00
2 sech th 2 sech th 2v v v vV V
x x x xQ dv dv S dx aS
a a a a
        
2 V0 0vQ S   
dVdQ dQ
0
02 2
v SC S
V a
  
   
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 24
0
0
I C C
dt dt dV
   
Cỏc phương trỡnh Laplace & Poisson
• Phương trỡnh Poisson 
• Phương trỡnh Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất 
• Giải phương trỡnh Laplace
• Giải phương trỡnh Poisson 
• Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace
Phươ hỏ lưới• ng p p 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 25
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (1)
• Cỏc vớ dụ trước giả thiết rằng V chỉ biến thiờn theo/phụ 
thuộc vào một tọa độ
• Phương phỏp nghiệm tớch ỏp dụng cho V(x, y)
2 2 2
2
2 2 2 0
V V VV
x y z
        
2 2
2 2 0
V V   
• Giả sử V = XY X = X(x) Y = Y(y)
x y 
( , )V V x y
 , , 
2 2
2 2 0
X YY X   
2 2
2 2 0
d X d YY X  
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 26
x y  dx dy
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (2)
2 2
2 2 0
d X d YY X 
2 2
2 2
1 1 0d X d Y  
2 2
2 2
1 1d X d Y  
dx dy X dx Y dy X dx Y dy
2
2
1 d X
X d
chỉ phụ thuộc x
x
2
2
1 d Y
Y dy
 chỉ phụ thuộc y
2
21 d X   2
2
2
2
1
X dx
d Y 
  
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 27
Y dy
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (3)
( , ) ( ) ( )V V R     
2 21 1 0V V V       
2
2
1 0R
R
   
           2 2 2z        
2d dR
R d d
   
       
2
2
2
1 d
d

    
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 28
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (4)
( , ) ( ) ( )V V R     
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sin
V V Vr
r r r r r
    
                   
2 2
2 2 2
2 1 1 0
tg
R R
R R
 
    
                      
2 2 ( 1)R R n n      2 2
21 1 ( 1)
R R
n n
          
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 29
2 tg     
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (5)
Vớ dụ
Khảo sỏt điện thế & điện trường ở lõn cận một vật hỡnh trụ trũn dài vụ hạn
  
nằm trong một điện trường đều E0. Điện mụi của mụi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuụng gúc với trục của vật.
2d dR
R d d
         ( , ) ( ) ( )V V R      2
2
2
1 d
d

  
( ) ( ); ( ) ( )V V V V        
( ) cos sin ,Đặt p pA p B p p        
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 30
1( ) cos , 1A    
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (6)
Vớ dụ
Khảo sỏt điện thế & điện trường ở lõn cận một vật hỡnh trụ trũn dài vụ hạn
2
nằm trong một điện trường đều E0. Điện mụi của mụi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuụng gúc với trục của vật.
2
2
1 d
d

    
1( ) cos , 1A    
2d dR
R d d
   
    
2
2
k
k
k
k
k Bd dR
R d d B
    
     ( )Đặt kR B
1k  
1  k 
1( )R B B     
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 31
1 1
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (7)
Vớ dụ
Khảo sỏt điện thế & điện trường ở lõn cận một vật hỡnh trụ trũn dài vụ hạn
2
nằm trong một điện trường đều E0. Điện mụi của mụi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuụng gúc với trục của vật.
2
12
1 ( ) cosd A
d
  
       2 1
1 1( )
d dR R B B
R d d
      
         
1V AB AB
( , ) ( ) ( )V V R     
1C C
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 32
1 1 1 1cos cos       cos cos     
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (8)
Vớ dụ
Khảo sỏt điện thế & điện trường ở lõn cận một vật hỡnh trụ trũn dài vụ hạn 
nằm trong một điện trường đều E0. Điện mụi của mụi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuụng gúc với trục của vật.
1 y
1 1 1cos cosNgoài: V C C      
1
2 2 2cos cosTrong: V C C      
E0
ε1
0 x
V E x 
1 1, x
V V C x  

     
ρ
θ
ε21 0C E
  
x
2
2 0gốc tọa độ
CV V  

  
2 0C
 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 33
0
Ở gốc tọa độ điện trường vẫn hữu hạn
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (9)
Vớ dụ
Khảo sỏt điện thế & điện trường ở lõn cận một vật hỡnh trụ trũn dài vụ hạn 
nằm trong một điện trường đều E0. Điện mụi của mụi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuụng gúc với trục của vật.
1 y
1 1 1cos cosNgoài: V C C      
1
2 2 2cos cosTrong: V C C      
E0
ε1 ρ
θ
ε2
1 0 2, 0C E C
   
1 x1 0 1
2 2
cos cos
cos
V E C
V C
   
 
 

    
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 34
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (10)
Vớ dụ
Khảo sỏt điện thế & điện trường ở lõn cận một vật hỡnh trụ trũn dài vụ hạn 
nằm trong một điện trường đều E0. Điện mụi của mụi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuụng gúc với trục của vật.
1 y
1 0 1cos cosV E C      
2 2 cosV C  
E0
ε1 ρ
θ
ε2
1 2a a
V V  
1
0 1 2( ) cos cosE a C a C a       xa
1 2
1 2
a a
V V
 
   
  
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 35
2
1 0 1 2 2( ) cos cosE C a C a        
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (11)
Vớ dụ
Khảo sỏt điện thế & điện trường ở lõn cận một vật hỡnh trụ trũn dài vụ hạn 
nằm trong một điện trường đều E0. Điện mụi của mụi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuụng gúc với trục của vật.
1
1( ) cos cosE a C a C a      2 2  
1 0 1cos cosV E C      
2 2 cosV C  
0 1 2
2
1 0 1 2 2( ) cos cosE C a C a       
1 2 1
1 0 2 0
1 2 1 2
,C E a C E   
      
2a   1 2
1 0 2
1 2
1
1 cos ,
2
với
ới
V E a
V E
    

        
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 36
2 0
1 2
cos v a      
Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace (12)
Vớ dụ
Khảo sỏt điện thế & điện trường ở lõn cận một vật hỡnh trụ trũn dài vụ hạn 
nằm trong một điện trường đều E0. Điện mụi của mụi trường & của vật 
lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuụng gúc với trục của vật.
2  1 2
1 0 2
1 2
1
1 cos ,
2
với
ới
aV E a
V E
      

        2 0
1 2
cos v a     
2 2
1 1 2 1 1 2
1 0 1 02 21 cos , 1 sin
V Va aE E E E 
                         
2 1 2 1
2 0 2 0
1 2 1 2
2 2cos , sinV VE E E E 
       
          
1 2 1 2        
2
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 37
1
2 2 0
1 2
zE E E

    
Cỏc phương trỡnh Laplace & Poisson
• Phương trỡnh Poisson 
• Phương trỡnh Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất 
• Giải phương trỡnh Laplace
• Giải phương trỡnh Poisson 
• Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace
Phương phỏp lưới• 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 38
Phương phỏp lưới (1)
• Dựng để giải phương trỡnh Laplace khi V = V(x, y) 
• Là phương phỏp số, cú thể đạt độ chớnh xỏc tựy ý
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 39
y
Phương phỏp lưới (2) x
2 2 2
2 0V V VV       
V0 V
V2
V3
b
2 2 2x y z  
2 2
( , )V V x y
h
1
ac
d2 2
0V V
x y
    
V VV 
h V4
1 0
ax h

0 3V VV 
2
1 0 0 3
2 2
V V V VV
x h
   c
x h

V V 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 40
2
2
a cV x x
x h
  
y
Phương phỏp lưới (3) x
2 2
0V V 
V0 V
V2
V3
2 2x y
  
2
1 0 0 3V V V VV   
h
1
2
2 0 0 4V V V VV    
2 2x h

h V4
2 2y h
2 2
1 2 3 4 04 0V V V V VV V     2 2x y h    
 1V V V V V  
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 41
0 1 2 3 44

Phương phỏp lưới (4)
Vớ dụ 1 V = 100Khe hở Khe hở 0 1 2 3 41V V V V V   4
 1 0 100 0 0 25
4
    43,843,8 53,2
V = 0 V = 0 1 100 50 0 25 43,8
4
    25
18,8 18,8
 1 0 25 0 0 6,2
4
   
6,2 6,29,4
V = 0 1 43,8 100 43,8 25 53,24    
1 1 Bước 1
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 42
 25 43,8 0 6,2 18,8
4
     6,2 25 6,2 0 9,4
4
    
Phương phỏp lưới (5)
V = 100Khe hở Khe hở 0 1 2 3 41V V V V V   
Vớ dụ 1
4
 1 100 50 0 25 43,8
4
    43,843,8 53,2
43 4352,8
V = 0 V = 0 1 53,2 100 0 18,8 43
4
    25
18,8 18,8
18,6 18,6
 1 43,8 100 43,8 25 53,2
4
   
6,2 6,29,4
V = 0 1 43 100 43 25 52,84    
1 1 Bước 2
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 43
 25 43,8 0 6,2 18,8
4
     25 43 0 6,2 18,6
4
    
Phương phỏp lưới (6)
V = 100Khe hở Khe hở 0 1 2 3 41V V V V V   
Vớ dụ 1
4
43,843,8 53,2
43 4352,8
 1 0 100 0 0 25
4
   
V = 0 V = 0
2518,8 18,8
18,6 18,6
 1 18,6 52,8 18,6 9,4 24,9
4
   
24,9
7,0 7,09,8
6,2 6,29,4
 1 0 25 0 0 6,2
4
   
V = 0
1
 1 9,4 18,6 0 0 7,0
4
   
1 Bước 2
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 44
 6,2 25 6,2 0 9,4
4
     7,0 25 7,0 0 9,8
4
    
Phương phỏp lưới (7)
V = 100Khe hở Khe hở 0 1 2 3 41V V V V V   
Vớ dụ 1
4
43,843,8 53,2
43 4352,8
 1 52,8 100 0 18,6 42,9
4
   
42,9 42,952,7
18,7 18,725,0
V = 0 V = 0
2518,8 18,8
18,6 18,624,9
7,0 7,09,8
 1 42,9 100 42,9 24,9 52,7
4
    7,1 7,19,8
6,2 6,29,4
 1 24,9 42,9 0 7,0 18,7
4
   
V = 0 1 18,7 52,7 18,7 9,8 25,04    
1 1 Bước 3
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 45
 9,8 18,7 0 0 7,1
4
     7,1 25 7,1 0 9,8
4
    
Phương phỏp lưới (8)
• Dựng để giải phương trỡnh Laplace khi V = V(x, y) 
• Là phương phỏp số, cú thể đạt độ chớnh xỏc tựy ý
• Lặp cho đến khi đạt độ chớnh xỏc cho trước 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 46
Phương phỏp lưới (9)
Vớ dụ 2 10 V
1 2 3(0) (0) (0)
0 V
20 V
4 5 6
1 2 10... 0V V V   
 (1) (0) (0)1 2 41 10 0 2,5000V4V V V    
0 V
0 V
7 8
9 10 (1) (0) (1) (0)2 3 1 51 10 3,1250V4V V V V    
0 V (1) (0) (1) (0)7 8 5 9
...
1 0 0,2344V
4
V V V V    
...
 (1) (1) (1)10 8 91 20 0 6,7358V4V V V    
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 47
Phương phỏp lưới (10)
Vớ dụ 2 10 V
1 2 3k 0 1 23 24
0 V
20 V
4 5 6
( )
1 (V)
kV
( )
2 (V)
kV
( )k
0
0
2,5000
3,1250
5,6429
9,1735
5,6429
9,1735
0 V
0 V
7 8
9 10
3 (V)V
( )
4 (V)
kV
( ) (V)kV
0
0
8,2813
0,6250
0 9375
13,1111
3,3957
7 9405
13,1111
3,3957
7 9405 
0 V
5
( )
6 (V)
kV
( ) (V)kV
0
0
0
,
7,3047
0 2344
,
13,2710
5 9219
,
13,2710
5 92197
( )
8 (V)
kV
( )
9 (V)
kV
0
0
,
6,8848
0,0586
,
13,0324
3,7147
,
13,0324
3,7147
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 48
( )
10 (V)
kV 0 6,7358 8,9368 8,9368
Phương phỏp lưới (11)
• Dựng để giải phương trỡnh Laplace khi V = V(x, y) 
• Là phương phỏp số, cú thể đạt độ chớnh xỏc tựy ý
• Lặp cho đến khi đạt độ chớnh xỏc cho trước 
• Cú thể đặt cỏc giỏ trị đầu của cỏc điện ỏp của cỏc nỳt tự 
do bằng zero 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 49
Cỏc phương trỡnh Laplace & Poisson
• Phương trỡnh Poisson 
• Phương trỡnh Laplace
• Định lý nghiệm duy nhất 
• Giải phương trỡnh Laplace
• Giải phương trỡnh Poisson 
• Nghiệm tớch của phương trỡnh Laplace
Phươ hỏ lưới• ng p p 
Cỏc phương trỡnh Poisson & Laplace 50