Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất - Lê Trường Giang

BÀI GIẢNG 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
Giảng viên 
ThS. Lê Trường Giang 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING 
KHOA CƠ BẢN 
BỘ MƠN TỐN – THỐNG KÊ 
ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING 
KHOA CƠ BẢN 
BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ 
Cán bộ giảng dạy: 
Ths Lê Trường Giang 
Chương 1 
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 
 Blaise Pascal 
Pierre de Fermat 
Vào năm 1651, Blaise Pascal 
nhận được bức thư của nhà quý 
tộc Pháp, De Méré, nhờ ơng giải 
quyết các rắc rối nảy sinh trong 
trị chơi đánh bạc. Pascal đã 
tốn học hố các trị trơi đánh 
bạc này, nâng lên thành những 
bài tốn phức tạp hơn và trao 
đổi với nhà tốn học Fermat. 
Những cuộc trao đổi đĩ đã nảy 
sinh ra Lý thuyết Xác suất – Lý 
thuyết tốn học về các hiện 
tượng ngẫu nhiên. 
Gottfried Wilhelm Leibniz 
James BERNOULLI 
James BERNOULLI là 
người phát minh ra Luật 
Số Lớn. Chính vì lý do đĩ, 
ngày nay Hội Xác Suất 
Thống Kê Thế Giới mang 
tên BERNOULLI 
Leibniz cĩ nhiều đĩng 
gĩp quan trọng trong 
việc xây dựng Lý thuyết 
Xác suất 
Chương 1 
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CƠNG THỨC XÁC SUẤT 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
1. Phép thử ngẫu nhiên 
2. Khơng gian mẫu và biến cố 
3. Phép tốn và quan hệ giữa các biến cố 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và sự kiện 
1. Phép thử ngẫu nhiên 
Phép thử ngẫu nhiên là việc thực hiện một thí nghiệm 
hay quan sát một hiện tượng nào đĩ để xem cĩ xảy ra 
hay khơng. (khi đĩ, hiện tượng cĩ xảy ra hay khơng 
trong phép thử được gọi là biến cố ngẫu nhiên) 
Ví dụ 1. Việc gieo một con xúc xắc và quan sắt số chấm 
xuất hiện ở mặt trên của con xúc xắc là thực hiện một 
phép thử ngẫu nhiên 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
2. Khơng gian mẫu và biến cố 
Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, một và chỉ một kết quả 
trong tập hợp các kết quả xuất hiện. 
+ Một kết quả trong phép thử này được gọi là kết quả sơ cấp. 
+ Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp được gọi là khơng gian mẫu. 
Ta kí hiệu một kết quả sơ cấp là  và khơng gian mẫu là  . 
Ví dụ 2. Gieo một con xúc xắc và quan sát số chấm xuất 
hiện ở mặt trên của con xúc xắc. Khi đĩ, khơng gian mẫu 
là  1,2,3,4,5,6
. 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
2. Khơng gian mẫu và biến cố 
Một biến cố (sự kiện) A trong  là một tập hợp gồm một số 
kết quả sơ cấp thuộc  
Biến cố A là một tập con của khơng gian mẫu  . 
A và A xảy ra nếu và chỉ nếu kết quả sơ cấp .A 
Tập hợp rỗng  gọi là biến cố rỗng 
Bản thân  được gọi là biến cố chắc chắn. 
Sự kiện   chỉ chứa một kết quả sơ cấp  được gọi là biến cố sơ cấp. 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
2. Khơng gian mẫu và biến cố 
Ví dụ 3. Gieo một con xúc xắc ta cĩ 
Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm 
nhỏ hơn 7 là 
Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm 
bằng 7 là 
Biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm 
nhỏ hơn 4 là biến cố ngẫu nhiên. 
3. Phép tốn và quan hệ giữa các biến cố 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
a. Tổng của hai biến cố 
=C A B
=C A B
Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố 
kí hiệu xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai 
biến cố A hoặc B xảy ra. 
Ví dụ 4A. Kiểm tra hai lơ hàng, 
gọi 
1
A là sự kiện lơ hàng thứ nhất cĩ sản phẩm bị lỗi 
2
A là sự kiện lơ hàng thứ hai cĩ sản phẩm bị lỗi. 
1 2
A A A  là sự kiện cĩ sản phẩm bị lỗi trong hai lơ hàng. 
b. Tích của hai biến cố 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
3. Phép tốn và quan hệ giữa các biến cố 
Tích của hai biến cố A và B là một biến cố C A B  
 kí hiệu là .C A B xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố 
 A và B cùng đồng thời xảy ra. 
Ví dụ 4B. Kiểm tra hai lơ hàng, 
 gọi 
1
A là sự kiện lơ hàng thứ nhất cĩ sản phẩm bị lỗi. 
2
A là sự kiện lơ hàng thứ hai cĩ sản phẩm bị lỗi. 
1 2
.A A A là sự kiện trong hai lơ hàng đều cĩ sản phẩm lỗi. 
c. Quan hệ kéo theo 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
3. Phép tốn và quan hệ giữa các biến cố 
Biến cố A được gọi là biến cố thuận lợi cho biến cố B khi và chỉ khi 
 nếu A xảy ra thì B xảy ra, kí hiệu là A B . 
Ví dụ 5. Gieo một con xúc xắc, 
gọi A là sự kiện xuất hiện mặt cĩ số chấm nhỏ hơn 4. 
Gọi 
i
B là sự kiện xuất hiện mặt cĩ số chấm là , 1,6.i i  
Khi đĩ ta cĩ 
1 2 3
, ,B A B A B A   . 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
3. Phép tốn và quan hệ giữa các biến cố 
d. Quan hệ tương đương 
Hai sự kiện A và B được gọi là bằng nhau (tương đương nhau) 
 khi và chỉ khi A B và .B A 
Ví dụ 6. Gieo hai con xúc xắc, 
A là sự kiện tổng số chấm xuất hiện là số lẻ. 
B là sự kiện một con xúc xắc xuất hiện là số lẻ 
 và một con xuất hiện số chấm là số chẳn. 
Ta cĩ .A B 
e. Quan hệ xung khắc 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
3. Phép tốn và quan hệ giữa các biến cố 
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc 
nếu hai biến cố A và B khơng cùng xảy ra. 
Kí hiệu . .A B  
Ví dụ 7. Gieo một con xúc xắc, 
gọi A là sự kiện xuất hiện mặt cĩ số chấm nhỏ hơn 3. 
 B là sự kiện xuất hiện mặt cĩ số chấm lớn hơn 4. 
 Khi đĩ hai sự kiện A và B là xung khắc. 
f. Quan hệ đối lập 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
3. Phép tốn và quan hệ giữa các biến cố 
Biến cố đối của biến cố A kí hiệu là A . 
A và A thỏa đồng thời i và ii 
 i. A A  , 
 ii. . .A A  
Ví dụ 8. Gieo một con xúc xắc, 
gọi A là sự kiện xuất hiện mặt cĩ số chấm nhỏ hơn 3. 
 A là sự kiện xuất hiện mặt cĩ số chấm lớn hơn 2. 
Bài 1. Phép thử, khơng gian mẫu và biến cố 
3. Phép tốn và quan hệ giữa các biến cố 
g. Biến cố độc lập 
Hai sự kiện A và B được gọi là độc lập nhau nếu sự 
kiện A xảy ra hay khơng sẽ khơng ảnh hưởng đến sự 
xảy ra hay khơng của sự kiện B và ngược lại. 
h. Họ đầy đủ các biến cố 
Họ các biến cố 1 2, ,..., nA A A được gọi là một họ đầy đủ 
Thỏa đồng thời i và ii 
i. Xung khắc từng đơi một  ,   i jA A i j i j 
ii. Phải cĩ một biến cố trong họ xảy ra 1 2 ...   nA A A . 
Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 
2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê 
3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 
4. Định nghĩa xác suất theo quan điểm tiên đề 
Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 
Xét một khơng gian các biến cố sơ cấp cĩ n 
biến cố sơ cấp đồng khả năng và giả sử cĩ m 
biến cố sơ cấp thuận lợi cho một biến cố ngẫu 
nhiên A. Khi đĩ, xác suất của của A kí hiệu P(A). 
 
số cácsự sơ cấpkiện thuận lợi cho [ ]
số cácsự kiệnsơ cấpcủa [ ]
A A m
P A
n
  
 
. 

Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 
Tính chất của xác suất 
a)  0 1. P A 
b)   1, P   0 P . 
c)    1 . P A P A 
d) Nếu A B thì    P A P B . 
Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Quan 
sát số chấm ở mặt trên của con xúc xắc. 
a. Tính xác suất số chấm là số chẵn? 
b. Tính xác suất số chấm bé hơn 4? 
c. Tính xác suất số chấm là 6? 
Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 
Ví dụ 2. Trong 1 bình kín cĩ 5 cầu trắng, 3 cầu đen giống 
nhau về hình dạng, kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. 
Tính xác suất để: 
a.Lấy được 2 cầu trắng 
b.Lấy được 2 cầu đen 
c.Lấy được một cầu trắng và một cầu đen 
Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 
Ví dụ 3 (BTN). Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm từ một lơ 
hàng chứa 12 sản phẩm, trong đĩ cĩ 4 phế phẩm và 8 
chính phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm lấy 
a. Cĩ 2 chính phẩm. 
b. Cĩ ít nhất 1 phế phẩm. 
c. Cĩ cả chính phẩm và phế phẩm ít nhất là 2. 
Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 
1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển 
Ví dụ 4 (BTN). Trong một hộp kín chứa các quả cầu 
cùng hình dạng và kích thức. Trong đĩ cĩ 5 quả màu 
màu xanh, 4 quả màu đỏ, 3 quả màu trắng? Chọn 
ngẫu nhiên cùng lúc 3 quả cầu. Tính các xác suất 
sau 
a. Cả 3 quả cầu cùng một màu 
b. Đúng hai quả cầu cùng màu 
c. Ít nhất hai quả cầu cùng màu 
d. Cả 3 quả khác màu nhau. 
Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 
2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê 
Định nghĩa. Giả sử một phép thử được thực hiện lập lại n lần 
 trong trong cùng một điều kiện xác định và đếm được 
A
n lần 
xuất hiện một sự kiện A. Khi đĩ, tần suất (tỉ lệ) A
n
n
 được gọi là 
 xác suất của sự kiện A khi n tăng lên vơ hạn 
  lim .A
n
n
P A
n
 
Bài 2. Định nghĩa xác suất của biến cố 
3. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 
Khơng gian mẫu cĩ thể được biểu diễn bởi 
một miền hình học    cĩ độ đo là ( )mes  . 
Mỗi sự kiện ngẫu nhiên được biểu diễn bởi 
một miền hình học A   cĩ độ đo là ( )mes A . 
 Xác suất P(A) của sự kiện A được xác định bởi 
  
( )
.
( )
mes A
P A
mes


Bài 2. Định nghĩa xác suất của sự kiện 
4. Định nghĩa xác suất theo quan điểm tiên đề 
Cho khơng gian mẫu  và  - đại số các sự kiện của  . 
Một hàm P: 0,1   được gọi là một “độ đo xác suất” 
hay nĩi gọn là xác suất nếu thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 
i.   1P   . 
ii. Nếu hai sự kiện A và B xung khắc thì 
     .P A B P A P B   
iii. Đối với một dãy giảm các sự kiện 
1 2
... ...
n
A A A    , , 1,2,...
i
A i  
thuộc  - đại số và 
1 2
. ... ...
n
A A A  đẳng thức sau luơn đúng 
lim 0
n
n
A

 . 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
1. Cơng thức cộng xác suất 
2. Cơng thức xác suất cĩ điều kiện 
3. Cơng thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện 
4. Cơng thức xác suất đầy đủ và Bayes 
5. Cơng thức Bernoulli 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
1. Cơng thức cộng xác suất 
Cho A và B là hai sự kiện trong cùng một khơng gian mẫu. 
 Khi đĩ đẳng thức sau luơn đúng 
        . .P A B P A P B P A B    
Nếu A và B là hai sự kiện xung khắc thì 
      .P A B P A P B   
Xét trường hợp A, B, C là ba sự kiện ngẫu nhiên 
 
             . . . . . .
P A B C
P A P B P C P A B P BC P AC P A BC
  
      
Nếu A, B, C là ba sự kiện đơi một xung khắc thì 
        .P A B C P A P B P C     
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
1. Cơng thức cộng xác suất Chú ý:      . . .P A B P A P A B  
Ví dụ 2. Một nhĩm cĩ 10 bạn sinh viên, trong đĩ cĩ 6 sinh viên học 
giỏi tốn. Chọn ngẫu nhiên 6 bạn sinh viên, tính xác suất để chọn 
được số sinh viên giỏi tốn nhiều hơn khơng giỏi tốn ? 
ĐS: 23/42. 
Ví dụ 1. Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 0,09; 
mắc bệnh phổi là 0,12 và mắc cả hai bệnh là 0,07. Khám ngẫu nhiên 
một người trong vùng đĩ, tính xác suất người đĩ khơng mắc cả hai 
bệnh trên. 
ĐS: 0,86. 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
1. Cơng thức cộng xác suất 
Ví dụ 3 (BTN). Một lớp học cĩ 80 sinh viên, trong đĩ cĩ 50 sinh viên 
 giỏi Tin học, 30 sinh viên giỏi Anh văn, 10 sinh viên giỏi cả 
 Tin học và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp đĩ. 
 Tính xác suất chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai mơn 
 Tin học và Anh văn? 
Ví dụ 4 (BTN). Một cửa hàng cần bán 50 sản phẩm, trong đĩ 
cĩ 15 sản phẩm khơng đạt trọng lượng, 10 sản phẩm khơng đạt 
chất lượng và 5 sản phẩm khơng đạt cả chất lượng và trọng 
lượng. Khách hàng vào chọn mua ngẫu nhiên 1 sản phẩm. 
a. Tính xác suất chọn phải sản phẩm khơng đạt ít nhất một 
trong hai chuẩn trên? 
b. Tính xác suất chọn được sản phẩm khơng vi phạm cả hai 
tiêu chuẩn? 
c. Tính xác suất chọn sản phẩm đạt chất lượng nhưng khơng 
đạt trọng lượng? 
d. Tính xác suất chọn sản phẩm khơng đạt chất lượng nhưng 
đạt trọng lượng? 
e. Tính xác suất chọn phải sản phẩm chỉ vi phạm 1 tiêu chuẩn? 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
1. Cơng thức cộng xác suất 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
2. Cơng thức xác suất cĩ điều kiện 
Xét đến trường hợp A và B khơng độc lập, nghĩa là nếu biết trước 
sự kiện B đã xảy ra thì sẽ ảnh hưởng đến sự xảy ra của sự kiện A. 
Xác suất của sự kiện A khi biết sự kiện B đã xảy ra trước đĩ gọi là 
xác suất cĩ điều kiện và kí hiệu là P(A/B). 
Cơng thức tính xác suất cĩ điều kiện như sau 
  
 
 
.
/
P A B
P A B
P B
 
Tính chất. 
1.  0 / 1.P A B  
2.  / 1P B B  . 
3.        / / / . /P A C B P A B P C B P AC B      . 
 Nếu A C  thì      / / /P A C B P A B P C B     . 
4.    / 1 /P A B P A B  . 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
2. Cơng thức xác suất cĩ điều kiện 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
3. Cơng thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện 
Gọi A và B là hai sự kiện trên một khơng gian xác suất 
      . /P AB P A P B A 
      . /P AB P B P A B 
Hai sự kiện A và B độc lập nếu và chỉ nếu      .P AB P A P B . 
Với A, B, C là ba sự kiện trong một khơng gian xác suất 
        . / . / .P ABC P A P B A P C AB 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
3. Cơng thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện 
Ví dụ 5. Một hộp kín chứa 8 quả cầu màu đỏ và 5 quả 
màu trắng. Lấy ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một quả 
cầu, khơng hồn lại. Tính xác suất lấy được 
a. Cả hai quả cầu màu đỏ? 
b. Hai quả cầu khác màu? 
c. Quả cầu thứ hai màu trắng? 
ĐS: 14/39; 20/39; 5/13 
Ví dụ 6 (BTN). Đề bài tương tự ví dụ 6, nhưng chọn 2 lần 
và cĩ hồn lại. 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
3. Cơng thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện 
Ví dụ 7. Hai xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia một 
cách độc lập, mỗi người bắn một phát. Xác suất để 
xạ thủ thứ nhất và thứ hai bắn trúng bia lần lượt là 
0,7 và 0,8. Tính xác suất để 
a. Cả hai xạ thủ bắn trúng bia 
b. Chỉ cĩ xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia 
ĐS: 0,56; 0,14. 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
3. Cơng thức nhân xác suất và tính độc lập của các sự kiện 
Ví dụ 8 (BTN). Để dập tắt nạn dịch sâu bệnh hại 
lúa, đội bảo vệ thực vật đã tiến hành phun thuốc 3 
lần liên tiếp trong 1 tuần. Xác suất sâu bị chết sau 
lần phun thứ nhất là 0,5. Nếu sống sĩt ở lần phun 
thứ nhất thì khả năng sâu bị chết ở lần phun thứ 
hai là 0,7. Nếu sống sĩt ở lần phun thứ hai thì khả 
năng sâu bị chết ở lần phun thứ 3 là 0,9. Tính xác 
suất sâu bị chết sau đợt phun thuốc. 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
4. Cơng thức xác suất đầy đủ và Bayes 
4.1 Cơng thức xác suất đầy đủ 
Cho A1, A2,...,An là họ đầy đủ các biến cố. 
Khi đĩ, với một biến cố B trong khơng gian mẫu  ta cĩ 
     
1
/
n
i i
i
P B P A P B A

 . 
    , / , 1,2,...,
i i
P A P B A i n được gọi là xác suất tiên nghiệm, 
 cịn các xác suất  /
i
P A B được gọi là xác suất hậu nghiệm. 
 
 
 
   
 
/
/ .
i i i
i
P AB P A P B A
P A B
P B P B
  
Ví dụ 9. Cĩ ba lơ hàng, tỉ lệ phế phẩm ở từng lơ hàng 
tương ứng là 7%, 5%, 3%. Chọn ngẫu nhiên một lơ 
hàng rồi từ đĩ lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính 
xác suất chọn được phế phẩm? 
ĐS: 0,05. 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
4. Cơng thức xác suất đầy đủ và Bayes 
4.1 Cơng thức xác suất đầy đủ 
Ví dụ 10 (BTN). Cửa hàng cĩ một lơ hàng 50 sản phẩm, 
trong đĩ cĩ 5 phế phẩm. Cĩ hai người lần lượt vào mua, 
mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. 
Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai cĩ khả năng lấy 
được phế phẩm cao hơn?. 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
4. Cơng thức xác suất đầy đủ và Bayes 
4.2. Cơng thức Bayes 
Giả sử A1, A2,...,An là nhĩm biến cố đầy đủ, 
A là biến cố đã xảy ra cùng với một trong các biến cố Ai. 
  
 
 
   
 
   
   
1
1
/ /
/ .
/
i i i i i
i n
i
i
P AB P A P B A P A P B A
P A B
P B P B
P A P B A

  

Nhà Tốn học người Anh 
Thomas Bayes (1702 – 1761). 
Ví dụ 11. Một kho hàng chứa cùng một loại sản phẩm do 
ba nhà máy sản xuất, biết số sản phẩm của nhà máy I 
chiếm 2/3 số sản phẩm của kho hàng, số sản phẩm của 
nhà máy II chiếm 1/4 số sản phẩm của kho hàng, số sản 
phẩm cịn lại của nhà máy III. Tỷ lệ sản phẩm tốt của mỗi 
nhà máy lần lượt là 80%, 60% và 40%. Lấy ngẫu nhiên 
một sản phẩm từ kho hàng 
a. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt? 
b. Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, tính xác suất 
để sản phẩm đĩ do nhà máy II sản xuất? 
ĐS: 0,72; 9/43. 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
4. Cơng thức xác suất đầy đủ và Bayes 
4.2. Cơng thức Bayes 
Ví dụ 12. Trong số 10 xạ thủ cĩ 5 người bắn trúng bia với 
xác suất 0,9 (nhĩm thứ nhất); cĩ 3 người bắn trúng bia 
với xác suất 0,8 (nhĩm thứ hai) và cĩ 2 người bắn trúng 
bia với xác suất 0,7 (nhĩm thứ ba). Chọn ngẫu nhiên một 
xạ thủ và cho anh ta bắn một viên đạn nhưng kết quả 
khơng trúng bia. Tính xác suất để xạ thủ đĩ thuộc nhĩm 
thứ hai. 
ĐS: 0,17; 6/17. 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
4. Cơng thức xác suất đầy đủ và Bayes 
4.2. Cơng thức Bayes 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
4. Cơng thức xác suất đầy đủ và Bayes 
4.2. Cơng thức Bayes 
Ví dụ 13 (BTN). Cĩ hai hộp thuốc. Hộp thứ nhất 
đựng 8 lọ thuốc, trong đĩ cĩ 3 lọ kém chất lượng; 
hộp thứ hai đựng 6 lọ thuốc, trong đĩ cĩ 2 lọ kém 
chất lượng. 
a. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ. Tính xác 
suất để được 1 lọ tốt 1 lọ kém chất lượng? 
b. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đĩ lấy ra một 
lọ thì được lọ kém chất lượng. Tính xác suất để lọ 
kém chất lượng đĩ thuộc hộp 2? 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
5. Cơng thức Bernoulli 
Xét loại phép thử chỉ cĩ hai kết quả là “thành cơng” kí hiệu T 
 hoặc “thất bại” kí hiệu T . Nếu xác suất thành cơng  P T q 
thì xác suất thất bại sẽ là   1P T q  . 
Phép thử loại trên được gọi là phép thử Bernuolli, kí hiệu là B(q). 
Lập lại phép thử B(q) n lần độc lập nhau, xác suất để cĩ k lần 
 thành cơng 0 k n  , kí hiệu  ,
n
P k q được cho bởi cơng thức 
    , 1 .
n k
k k
n n
P k q C q q

  
Nhà Tốn học người Thụy Sĩ 
James Bernoulli (1654 – 1705). 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
5. Cơng thức Bernoulli 
Ví dụ 14. Tỷ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8%, 
Kiểm tra một lơ hàng gồm 75 sản phẩm. 
a. Tính xác suất cĩ 10 phế phẩm trong lơ hàng? 
b. Tính xác suất để cĩ ít nhất một phế phẩm? 
ĐS: 0,0394; 0,998. 
Ví dụ 15.(BTN) Tỷ lệ sản xuất phế phẩm của một máy là 
5%, Kiểm tra một lơ hàng gồm 100 sản phẩm. 
a. Tính xác suất cĩ 6 phế phẩm trong lơ hàng? 
b. Tính xác suất cĩ khơng ít hơn 3 phế phẩm? 
Bài 3. Cơng thức tính xác suất 
5. Cơng thức Bernoulli 
Ví dụ 16. Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt từ một 
lơ hạt giống cĩ tỉ lệ hạt lép là 3% để nghiên cứu. Hỏi phải 
lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để cĩ ít nhất 
một hạt lép khơng bé hơn 95% ? 
ĐS: 99. 
 XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!