Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất - Lê Trường Giang (Phần 2)

BÀI GIẢNG 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN 
Giảng viên 
ThS. Lê Trƣờng Giang 
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING 
KHOA CƠ BẢN 
BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ 
Chƣơng 2 
 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 
& THỐNG KÊ TOÁN 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
1. Phân phối Bernoulli B(1, p) 
2. Phân phối nhị thức B(n, p) 
3. Phân phối siêu bội 
4. Phân phối Poisson 
5. Phân phối đều (SV tự đọc) 
6. Phân phối chuẩn 
7. Phân phối chi bình phương (SV tự đọc) 
8. Phân phối Student (SV tự đọc) 
9. Phân phối Fisher (SV tự đọc) 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
1. Phân phối Bernoulli B(1, p) 
BNN X có tập giá trị    Im 0,1X  và bảng phân phối xác suất 
gọi là có phân phối Bernoulli tham số  0,1p kí hiệu  1,X B p 
X 0 1 
B 1-p p 
a. Định nghĩa 
b. Tham số đặc trưng 
i. Kỳ vọng  E X p . 
ii. Phương sai     1Var X p p . 
James BERNOULLI 
c. Mô hình ứng dụng 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
1. Phân phối Bernoulli B(1, p) 
Thực hiện phép thử Bernoulli, chỉ xảy ra hai kết quả. Một kết 
quả là sự kiện T xảy ra gọi là thành công với xác suất p > 0 và 
kết quả còn lại là T gọi là thất bại với xác suất 1 – p. Xây dựng 
biến ngẫu nhiên X cho mô hình như sau    1, 0X T X T  . 
Khi đó X tuân theo phân phối Bernoulli. 
Phép thử tung đồng tiên cân đối đồng chất, kết quả xuất hiện 
mặt sấp S,   1X S  hoặc xảy ra mặt ngửa N,   0X N  . Xác 
suất  
1
1
2
P X   , vậy 
1
1,
2
X B
 
 
 
. 
d. Ví dụ 1. 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
2. Phân phối nhị thức B(n, p) 
Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị là số tự nhiên 
   Im 0, 1, 2, ,X n  với xác suất sau 
   1
n k
k k
n
P X k C p p

   
được gọi là có phân phối Nhị thức, kí hiệu là  ,X B n p 
a. Định nghĩa 
b. Tham số đặc trưng 
i. Kỳ vọng  E X np . 
ii. Phương sai    1Var X np p  . 
iii. Mode :    ( )np q Mod X np p 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
Ví dụ 2. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm với xác suất có 
một phế phẩm là 3%. Cho máy sản suất ra 20 sản phẩm. 
a) Tính xác suất trong 20 sản phẩm sản xuất ra có 4 phế 
phẩm? 
b) Tìm số sản phẩm tốt trung bình trong 20 sản phẩm được 
sản xuất ra? 
2. Phân phối nhị thức B(n, p) 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
Ví dụ 4(BTN). Một người nuôi 200 con gà mái đẻ. Xác suất để 1 
con gà đẻ trứng trong ngày là 80%. 
a) Tìm số trứng gà trung bình thu được trong ngày? 
b) Nếu muốn mỗi ngày thu được 300 trứng gà thì cần phải 
nuôi thêm bao nhiên con gà? 
2. Phân phối nhị thức B(n, p) 
Ví dụ 3 (BTN). Một nhà máy có 50 máy giống nhau hoạt động 
độc lập. Xác suất xảy ra hư hỏng của mỗi máy trong ngày là 
0,05. Tính xác suất mỗi ngày có nhiều nhất là 2 máy hư hỏng? 
Số máy hư hỏng trung bình trong ngày?Nhiều khả năng nhất là 
bao nhiêu máy hỏng? 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
3. Phân phối siêu bội 
Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X thuộc loại rời rạc, phụ thuộc 
vào ba tham số nguyên dương N, M và n. Xác suất của biến 
ngẫu nhiên X tại các giá trị k được cho như sau 
      

       
 
, max 0, ,min ,
k n k
M N M
n
N
C C
P X k k n N M n M
C
. 
Biến ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội kí hiệu là 
 , ,X H N M n . 
Đặc trƣng số. 
M
p
N
i. Kỳ vọng  E X np . 
ii. Phương sai    1
1
N n
Var X np p
N

 

. 
MN M
k phần tử có tính chất M 
n phần tử 
 PHÂN PHỐI SIÊU Bội 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
3. Phân phối siêu bội 
Cho  , ,X H N M n . Trong thực tế nếu N khá lớn, n rất nhò 
so với N   0,05n N , đặt 
M
p
N
 thì 
  

  
.
k n k
k k n kM N M
nn
N
C C
P X k C p q
C
Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
Ví dụ 5. Một ông chủ vườn lan đã để nhầm 20 chậu lan 
có hoa màu đỏ vào cùng với 100 chậu lan có hoa màu 
tím (lan chưa nở hoa). Một khách hàng chọn mua ngẫu 
nhiên đồng thời 15 chậu từ 120 chậu lan này. 
a. Tính xác suất khách hàng mua được từ 5 đến 6 chậu 
lan có hoa màu đỏ? 
b. Gọi X là số chậu lan có hoa màu đỏ mà khách hàng 
chọn được. Tính trung bình và phương sai của X. 
3. Phân phối siêu bội 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
Ví dụ 6(BTN). Một lô hàng có 30 sản phẩm được đóng 
gói giống nhau, trong có có 5 sản phẩm lỗi kỹ thuật và 
25 sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên 10 sản 
phẩm từ lô hàng trên. 
a. Xác định phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ 
số sản phẩm đạt tiêu chuẩn? 
b. Tính xác suất để có ít nhất 8 sản phẩm đạt tiêu 
chuẩn? 
c. Tính trung bình số sản phẩm đạt tiêu chuẩn? 
3. Phân phối siêu bội 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
Ví dụ 7 (BTN). 
Một lô hàng có 5000 sản phẩm, trong đó có 250 phế 
phẩm. Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô hàng này. 
Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 2 phế 
phẩm? (tính theo hai cách) 
3. Phân phối siêu bội 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
4. Phân phối Piosson 
Định nghĩa. BNN X được gọi là có phân phối Poisson với 
tham số dương  , kí hiệu  X Poisson  , nếu X nhận các 
giá trị 0,1,2,...k  với xác suất tương ứng là 
  
  , 0,1,2,...
!
k
P X k e k
k
Đặc trƣng số. 
i. Kỳ vọng  E X  . 
ii. Phương sai  Var X  . 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
4. Phân phối Piosson 
Người đầu tiên mô tả phân phối Poisson là Simeon Denis 
Poisson vào năm 1837. Phân phối này có nhiều ứng dụng 
đối với các quá trình liên quan đến số quan sát trên một 
đơn vị thời gian hay không gian. 
Thông tin cho biết của phân phối Poisson là trung bình số 
lần xảy ra thành công của một sự kiện trong một khoảng 
thời gian hay không gian nhất định. Giá trị này gọi là 
lambda, ký hiệu là  . 
BNN X chỉ số lần sự kiện A xảy ra trong một khoảng 
thời gian hay không gian liên tục nhất định. 
Điều kiện đặt ra là số lần sự kiện A xảy ra trong 
những khoảng khác nhau là độc lập và số lần tỉ lệ 
thuận với chiều dài của khoảng. Trung bình số lần xảy 
ra của sự kiện A chính là  được xác định 
.
t
c   . 
Trong đó, c được gọi là cường độ (số lần trên một 
đơn vị thời gian), 
t
 là khoảng thời gian. 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
4. Phân phối Piosson 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
4. Phân phối Piosson 
Ví dụ 8. Ở một tổng đài điện thoại, các cú điện thoại 
gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và 
trung bình có 2 cuộc gọi đến trong một phút. Tìm 
xác suất để: 
a. Có đúng 5 cú điện thoại gọi đến trong 2 phút. 
b. Không có cú điện thoại nào gọi đến trong 30 giây. 
c. Có ít nhất một cú điện thoại gọi đến trong 10 giây. 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
4. Phân phối Piosson 
Ví dụ 9 (VN). 
Một bệnh viện tiếp nhận trung bình 5 ca bệnh trong 
30 phút. Tính xác suất 
a. Bệnh viện tiếp nhận 17 ca bệnh trong một giờ? 
b. Xác định khoảng thời gian 
t
 mà bệnh viên 
không tiếp nhận ca bệnh nào với xác suất 0,80? 
Thực hiện n lần phép thử Bernoulli độc lập, xác suất sự 
kiện A xảy ra trong mỗi phép thử là pn. Nếu lim 0n
n
p

 
và .
n
n p  , với  là hằng số dương. Khi đó với 
 0,1,...,k n ta có 
 lim 1 . .
!
k
n k
k k
n n n
n
C p p e
k
 

  
 Trong thực tế ta có xấp xỉ, nếu  ,X B n p với 30n  
và  5np hoặc  (1 ) 5p n thì  X P np . 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Piosson 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
4. Phân phối Piosson 
Ví dụ 11 (BTN). Một công ty sản xuất dược 
phẩm với tỉ lệ phế phẩm của những viên thuốc 
là 0,002. Nếu công ty sản xuất 1000 viên thuốc. 
Tính xác suất để có không quá 2 viên thuốc là 
phế phẩm. 
Ví dụ 10. 
Cho biết xác suất trúng đích trong mỗi lần bắn của 
xạ thủ là 0,99. Xạ thủ bắn 500 phát, tính xác suất để 
có ít nhất 2 phát bắn trượt? (tính theo hai cách) 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
4. Phân phối Piosson 
Ví dụ 12 (VN). Một nhà máy sản xuất với tỉ lệ 
phế phẩm là 0,001. Nhập vào một lô hàng với số 
lượng là 1000 sản phẩm. 
a. Tính xác suất để có một đến hai phế phẩm 
trong lô hàng này? 
b. Tính xác suất để lô hàng nhập có phế phẩm? 
Định nghĩa. BNN X được gọi là có phân phối đều trên 
đoạn     ,a b a b , kí hiệu là   ,X U a b nếu X có hàm 
mật độ là 
 

    
   
1
,
0 ,
x a b
f x b a
x a b
Đặc trƣng số. 
i. Kỳ vọng  


2
a b
E X . 
ii. Phương sai  
 

2
12
b a
Var X . 
iii. Mod(X) là bất kì giá trị nào trên [a,b]. 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
5. Phân phối đều 
Định nghĩa. BNN X có hàm mật độ xác suất f phụ 
thuộc hai tham số  và 2 ( 0  ) 
  ,
2
1
.
21
.
2
x
f x e x


 
 
  
 

  
gọi là có phân phối chuẩn, kí hiệu  2,X N   . 
Đặc trƣng số. 
i. Kỳ vọng  E X  . 
ii. Phương sai   2Var X  . 
iii. Mod(X) = Med(X) =  . 
1
2 

y
O
f(x)
x
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Phân phối chuẩn do Carl F. Gauss đưa ra năm 1795. 
Carl Friedrich Gauss 
(1777 - 1855) 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Dạng chuẩn tắc kí hiệu  0;1X N có hàm mật độ 
  
2
,
2
1
.
2
x
f x e x


  
O
f(x)
x
y
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
2
2
0
1
.
2
dx
z x
e





zαO
f(x)
x
y
Bảng tích phân Laplace. 
 Các giá trị của hàm  được tính trong bảng Laplace 
 
2
2
0
1
.
2
dx
z x
z e

 


  
Hàm  có tính chất    z z    . Nếu gọi  0;1Z N thì 
   0P Z z z      . 
Ta có   0,5   và   0,5.    Nếu 5a  thì   0,5.a  
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Bảng phân vị chuẩn mức  . 
Các giá trị của  cho trong bảng phân vị chuẩn 
 
2
2
1
.
2
dx
z x
z e

 



   
Hàm  có tính chất    1z z    . 
 Mối liên hệ giữa  và  như sau 
   
1
.
2
z z   
Nếu gọi  0;1Z N thì    P Z z z     . 
Tính chất của hàm phân phối ta có ngay   1   và   0   . 
zα
y
x
f(x)
O
2
2
1
.
2
dx
z x
e






Công thức tính xác suất 
Với  0;1Z N , dùng bảng tích phân Laplace của hàm  
hoặc phân vị chuẩn  cho trong bảng tính các xác suất sau. 
i.          P a Z b b a b a       
ii.      0,5 .P Z b b b    
iii.      0,5 1P a Z a a     . 
Với  2,X N   , ta chuẩn hóa X là 
2
X
Z



 và sử dụng 
các kết quả trên 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Công thức ứng với  


 
2
2
0
1
.
2
dt
tx
x e 
 
   
         
 
;
1 1
; ;
2 2
1 1
; ; 0 0; .
2 2
2 .
P X
P X P X
z z
P X
   
   
 
   
   
 
    

  

    
      
   
    
        
   
        
 
    
 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Công thức ứng với  



  
2
2
1
.
2
dt
tx
x e 
 
   
         
 
;
1; 1 ;
1; 1; 0 0.5; 1 .
2 1.
P X
P X P X
z z
P X
   
 
 
   
 
 

 

    
       
   
    
         
   
            
 
     
 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Quy tắc k . Cho biến ngẫu nhiên  2,X N   . 
Ta có 
   
   
   
2 1 0,68268
2 2 2 0,9545
3 2 3 0,9973
P X
P X
P X
  
  
  
   
   
   
Ta nhận thấy hầu như chắc chắn X sẽ lấy giá trị 
trong khoảng  3 ; 3     
Định lý. Cho 
1 2
,X X độc lập và  21 1 1, ,X N   
 22 2 2,X N   . 
Với ,a b ta có  2 2 2 21 2 1 2 1 2,aX bX N a b      . 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn 
Cho  ,X B n p thỏa 
 
30
5
1 5
n
np
n p
 


  
thì  ,X N np npq . 
Ta có công thức xấp xỉ 
 
 
2 1
1 2
1
k np k np
P k X k
npq npq
k np
P X k f
npq npq
 
    
         
   
 
    
 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Ví dụ 13. Điểm thi Toeic của sinh viên năm cuối ở 
một trường đại học là BNN X có phân phối chuẩn 
với giá trị trung bình là 560 điểm và độ lệch chuẩn 
là 78 điểm. Tính: 
a. Tỷ lệ sinh viên có điểm từ 600 đến 700 điểm? 
b. Tỷ lệ sinh viên có điểm thi trên 500 điểm? 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Ví dụ 14 (BTN). Thời gian để sản xuất một sản 
phẩm loại A là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân 
phối chuẩn với trung bình 10 và độ lệch chuẩn 1 
(đơn vị là phút). 
a. Tính xác suất để một sản phẩm loại A nào đó 
được sản xuất trong khoảng thời gian từ 9 phút đến 
12 phút? 
b. Tính thời gian cần thiết để sản xuất một sản 
phẩm loại A bất kỳ? 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Ví dụ 15 (VN). Trọng lượng của một loại cá một 
năm tuổi được nuôi trong hồ là biến ngẫu có phân 
phối chuẩn với trung bình 1,2kg và độ lệch chuẩn 
0,2kg. 
a. Tính tỉ lệ cá từ 0,9kg đến 1,1kg? 
b. Trọng lượng cá từ x gam trở lên đạt tỉ lệ 90%, 
hãy tìm giá trị của x ? 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
6. Phân phối chuẩn 
Ví dụ 16. Người ta lấy ngẫu nhiên 400 hạt lúa từ 
một kho lúa rất lớn, có tỉ lệ hạt lép là 0,2 để kiểm 
tra. Tính xác suất để trong đó có từ 80 đến 100 hạt 
lép. 
Ví dụ 17 (BTN). Theo thống kê của một công ty 
sản xuất xe máy thì có 60% khách mua của họ là 
phụ nữ. Chọn ngẫu nhiên 200 người mua xe của 
công ty này. Tính xác suất để trong 200 người này 
có ít nhất 140 phụ nữ. 
Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f 
 
1
2 2
2
1
neáu 0
2 .
2
0 neáu 0.
n x
n
x e x
nf x
x
 

 
       


Trong đó,  là hàm Gamma xác định như sau 
  1
0
y
y e dy


    . 
Biến ngẫu nhiên X được xác định như trên gọi là tuân theo 
luật phân phối chi bình với n bậc tự do, kí hiệu  2X n . 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
7. Phân phối chi bình phương 
Đặc trƣng số. 
i. Kỳ vọng  E X n . 
ii. Phương sai   2Var X n . 
Định lý. Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc 
 0;1X N thì biến ngẫu nhiên  2 2 1X  . 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
7. Phân phối chi bình phương 
Định lý. Cho 
1 2
,X X độc lập và    2 21 1 2 2,X k X k  . 
Khi đó tổng  21 2 1 2X X k k  . 
• Phân phối 2( )n do Karl Pearson đưa ra năm 1900. 
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
8. Phân phối Student 
Định nghĩa. Cho Z và V độc lập,    20;1 ,Z N V n . Khi đó, 
BNN T được xác định như sau 
Z
T
V
n
 được gọi là luật Student với n bậc tự do, kí hiệu là  T t n . 
BNN  T t n có hàm mật độ xác suất f 
 
1
2 2
1
2
1 , 0.
.
2
nn
x
f x x n
nn
n


 
   
       
  
  
 
Đặc trƣng số. 
i. Kỳ vọng   0E X  . ii. Phương sai  
2
n
Var X
n


. 
Bảng phân vị. BNN  T t n , giá trị phân vị  t n và xác 
suất   P T t n được cho trong bảng Student. 
 
 
.
t n
f t dt





tα n( )
y
x
f(x)
O
Bài 3. Một số luật phân phối xác suất thường dùng 
8. Phân phối Student 
• Phân phối ( )St n do Willam.S.Gosset đưa ra năm 1908. 
 XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!